高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值【七大題型】

專題3.2函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值【七大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型梳理

【題型1利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間】....................................................2

【題型2由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】..............................................................3

【題型3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值（點(diǎn)）】........................................................3

【題型4根據(jù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)】..............................................................4

【題型5利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值】..............................................................4

【題型6已知函數(shù)最值求參數(shù)】.................................................................5

【題型7函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用】..................................................5

?命題規(guī)律

1、函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，從近三年的高考情況來(lái)看，高考中常涉

及的問(wèn)題有利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等；與不等式、方程的根（或函數(shù)的零點(diǎn)）等內(nèi)容結(jié)合

考查，此類問(wèn)題體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，此類問(wèn)題在選擇、填空、解答題中都有考查，

而在解答題中進(jìn)行考查時(shí)試題難度較大.

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)中函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的解題策略】

1.確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟；

（1）確定函數(shù)作）的定義域；

⑵求了（x）;

（3）解不等式f（x）＞0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間;

(4)解不等式f(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

2.含參函數(shù)的單調(diào)性的解題策略：

(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.

(2)若導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)及兩根的大??；若不能因

式分解，則需討論判別式△的正負(fù)，二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，兩根的大小及根是否在定義域內(nèi).

3.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：

(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：》=/□)在(。,6)上單調(diào)，則區(qū)間(。力)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.

(2&)為增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的在(°力)都有/(x巨0(/(*0),且在Q6)內(nèi)的任一非空子區(qū)間

上，/(x)不恒為零，應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則會(huì)漏解.

(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問(wèn)題.

【知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的極值與最值問(wèn)題的解題思路】

1.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)於)極值的一般步驟：

(1)確定函數(shù)於)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)/(x)；

(3)解方程/(x尸0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；

(4)列表檢驗(yàn)/(x)在/(x)=0的根%o左右兩側(cè)值的符號(hào)；

(5)求出極值.

2.根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)的一般思路：

已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，要注意：根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方

程組，利用待定系數(shù)法求解.

3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的解題策略：

⑴利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)Ax)在用上的最值的一般步驟：

①求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；

②求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值八0),?；

③將函數(shù)人x)的各極值與人。)，人為比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

(2)求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開(kāi)區(qū)間)上的最值的一般步驟:

求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間（或開(kāi)區(qū)間）上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性

和

極值情況，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.

?舉一反三

【題型1利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間】

【例1】（2023?江西鷹潭?貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)y=-7+lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.Q,e）B.（0,e）C.伍D.（。忘）

【變式1-1］（2023?遼寧鞍山?鞍山一中?？级＃┫铝泻瘮?shù)中，既是偶函數(shù)又在（0,+8）上單調(diào)遞增的函

數(shù)是（）

A./(%)=xlnxB./(%)=In(-％+J。+0

C.f（x）=ex+e_xD.f（x）=ex-e~x

【變式1?2】（2023?上海靜安?統(tǒng)考二模）函數(shù)y=久也%（）

A.嚴(yán)格增函數(shù)

B.在（0）上是嚴(yán)格增函數(shù)，在（3+8）上是嚴(yán)格減函數(shù)

C.嚴(yán)格減函數(shù)

D.在（0。上是嚴(yán)格減函數(shù)，在（：,+8）上是嚴(yán)格增函數(shù)

【變式1-3］（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)"x）=ln（x-2）+ln（4-x）,則/'（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為

（）

A.（2,3）B.（3⑷C.（-8,3）D.（3,+8）

【題型2由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】

【例2】（2023?廣西玉林?統(tǒng)考二模）若函數(shù)/（X）={ax+1）『在［1,2］上為增函數(shù)，則a的取值范圍是

)

A.[4+8）B.[4+8）

C.[-1+8）D.[0,+oo）

X21

【變式2-1]（2023?寧夏銀川?銀川一中?？既＃┤艉瘮?shù)f（x）=5-lnx在區(qū)間（血即+目）上不單調(diào)，則實(shí)

數(shù)優(yōu)的取值范圍為（）

22

A.0<m<B.^<m<l

2

C.3<m<1D.m>l

【變式2-2]（2023下?重慶?高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)/O）=久之-alnx-比-2023（a6R）在區(qū)間[1,+8）上

單調(diào)遞增，貝la的取值范圍是（）

A.（-oo,l）B.（-oo,l]C.（-D.（-oo,-

【變式2-3]（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)9（0=當(dāng)?-1!1（2久-1）在[1,+8）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)0

的取值范圍是（）

A.（-oo,4]B.[-oo,y]C.（4,y]D.（-8,6]

【題型3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值（點(diǎn)）】

【例3】（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（x）=2x-tanx-ir在區(qū)間（-弱的極大值、極小值分別為（）

ITTCK31T

A.'+1,一]+1B.-2+一彳+1

311nH3TE

C.H-1,-]+lD.——1,—彳+1

【變式3-1]（2023?河南洛陽(yáng)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)“外及其導(dǎo)函數(shù)/（X）的定義域均為R,且/（0

（%）=%2e2x,f（O）=0,則/'（x）（J

A.有一個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)B.有兩個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)

C.最多有一個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)D.最多有一個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)

【變式3-2]（2023?河北?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)f（久）=5也%-。且，則f（久）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式3-3]（2023?河南?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)fQ）=/lnx,則下列結(jié)論正確的是（）

A./（x）在％處得到極大值B./（x）在％=加處得到極大值：

C.f（久）在*處得到極小值D./（%）在工=加處得到極小值g

【題型4根據(jù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)】

]n%

【例4】（2023?貴州遵義統(tǒng)考三模）已知函數(shù)+丁+1在％=1處取得極值0,則a+b=（）

A.-1B.0C.1D.2

【變式4-1]（2023?陜西商洛?統(tǒng)考三模）若函數(shù)/（%）=：+Q%2+Q+6）%無(wú)極值，貝心的取值范圍為

（）

A.[-3,6]B.（-3,6）

C.（一8,-3]U[6,+8）D.（一8,-3）U（6,+8）

【變式4-2]（2023?四川綿陽(yáng)?統(tǒng)考一模）若函數(shù)y=cos（3久+：）（3>0）在區(qū)間（->））上恰有唯一極值

點(diǎn)，則3的取值范圍為（）

A.驚]B.（|）|]C,（|）|]D,（|1）

【變式4-3]（2023?高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)/0）=久3+（1久2+（￡1+6）%+1有極大值和極小值，則°的取

值范圍是（）

A.-1<a<2B.口<-3或。>6C.-3<a<6D.a<-1或a>2

【題型5利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值】

【例5】（2023?四川綿陽(yáng)?三臺(tái)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）當(dāng)％=2時(shí)，函數(shù)/（%）=/+6/-12刀取得極值，則/

G）在區(qū)間[-4,4]上的最大值為（）

A.8B.12C.16D.32

【變式5-1］（2023?廣西玉林?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）己知正實(shí)數(shù)x,y滿足y/=lnx-lny,則四皆+lny的最

大值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【變式5-2］（2023?江西贛州?南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)外幻=e2x-2tex+1+（e2+l）t2-2tln

x+（lnx）2,tER,則函數(shù)fCr）的最小值為（）

11e22e2

A.4B.2C.2D.2

ee2+le+1e+1

【變式5-3】（2023?陜西漢中?統(tǒng)考一模）設(shè)定義在R上的函數(shù)/（外滿足/（幻+外幻=3/0-=且/（0）=0

,則下列結(jié)論正確的是（）

A./（%）在R上單調(diào)遞減B./G）在R上單調(diào)遞增

C./（%）在R上有最大值D./（x）在R上有最小值

【題型6已知函數(shù)最值求參數(shù)】

【例6】（2023?廣西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=lnx+ax存在最大值0,貝b的值為（）

1

A.-2B.C.1D.e

【變式6-1】（2023?四川宜賓?統(tǒng)考三模）若函數(shù)“式）=［（：-3皿）：-22'”：°的最小值是-2,則實(shí)數(shù)m的取

I2x-3%,%>0

值范圍是（）

A.m<0B.m<0C.m>0D.m>0

la7

【變式6-2］（2023,上海松江?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)y=/-%-3x+a,aER,在區(qū)間（t-32+5）上有

最大值，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是（)

A.-6<t<0B.-6<t<0

C?—6<t<2D.-6<t<2

【變式6-3](2023?高二課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/(久)=/+%3+缶-3)久+1在區(qū)間(0,1)上有最小值，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是()

A.(e2)B.(-e,1-e)C.(1,2)D.(-oo,l-e)

【題型7函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用】

sinx'

【例7】(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=—+acosx(aER)/(%)為函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù).

e

⑴若2,討論/(%)在(0,2冗)上的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)g(%)=/(%)+/(%),且g(%)在(Oji)內(nèi)有唯一的極大值，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

【變式7-1](2023?吉林?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(%)=e"+znsin%.

(1)若函數(shù)/(%)在(0m)上單調(diào)遞增，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)求證：當(dāng)租=1時(shí)，/(%)在(-71,+8)上存在唯一極小值點(diǎn)％0,且-

【變式7-2](2023?吉林長(zhǎng)春?東北師大附中?？级?已知函數(shù)/(汽)=mxe~x+x-\nx(mGR).

⑴討論函數(shù)/G)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)若m>0,/(%)的最小值是1+Inm,求實(shí)數(shù)租的取值范圍.

【變式7-3](2023?陜西漢中?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)八幻=汨11%-亞1/7，其中a^R.

(1)若a=l,求/(久)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若八久)恰有2個(gè)不同的極值點(diǎn)，求a的取值范圍；

(3)若f(x)恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍.

1.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)函數(shù)f(x)=d+以+2存在3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()

A.(-oo,-2)B.(-8,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)

2.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)己知函數(shù)/(K)=。丁_也久在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為

().

2-1-2

A.eB.eC.eD.e

3.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)榉?(%y)=,則().

A./(O)=0B./(I)=0

C./(%)是偶函數(shù)D.%=0為f(%)的極小值點(diǎn)

4.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)八支）=山!1乂+:+5（￡170）既有極大值也有極小值，則（）.

入X

2

A.b