2025屆江蘇省百校高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月聯(lián)考試卷附答案解析

屆江蘇省百校高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月聯(lián)考試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合A＝{x∈N*|2x<4}，B＝{x∈N|－1<x<2}，則A∪B等于()A．{x|－1<x<2} B．{x|x<2}C．{0,1} D．{1}2．設(shè)，其中i為虛數(shù)單位．則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．在三角形ABC中，,AB=3，AC=6，向量在向量上的投影向量為，P為邊BC上一點(diǎn)，且BP=2PC，則（

）A．4 B． C． D．4．在正六棱臺(tái)中，，點(diǎn)是底面的中心，若該六棱臺(tái)的體積為84，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．已知，，，則（

）A． B． C． D．6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)上頂點(diǎn)A作直線交橢圓于另一點(diǎn).若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)在區(qū)間上有極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．若關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．

選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分。9．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A．B．若在區(qū)間上有且僅有個(gè)零點(diǎn)C．是奇函數(shù)D．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，10．已知正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，下列說(shuō)法正確的是（

）A．平面MAB與平面ABCD夾角的正弦值為B．若點(diǎn)P滿足，則的最小值為C．在四棱錐內(nèi)部有一個(gè)可任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體，則該正方體表面積的最大值為D．點(diǎn)Q在面內(nèi)，且，則點(diǎn)Q軌跡的長(zhǎng)度為11.已知定義在上的函數(shù)和，是的導(dǎo)函數(shù)且定義域?yàn)?若為偶函數(shù)，，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知直線分別與曲線，都相切，則的值為.13．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．14．已知P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足：,，則的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．已知在中，，(1)判斷的形狀，并說(shuō)明理由;(2)若點(diǎn)在AB邊上，且.若，求的面積.

16．設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為（且）(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；(2)若，求的值．17．已知圓C：過(guò)點(diǎn)的直線交圓C于兩點(diǎn)（1）若AP：PB=1:2，求此時(shí)直線l的方程。（2）過(guò)A,B分別作圓C的切線，設(shè)直線和的交點(diǎn)為M，求證：M在定直線上。18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.(1)求證：平面平面；(2)設(shè).①若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).②在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)，，在以為球心的球上？若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.19．已知函數(shù)（1）若1是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；（2）若，試問(wèn)是否存在零點(diǎn)，若存在，請(qǐng)求出該零點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？（3）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求滿足題意的的最小整數(shù)值（）2025屆江蘇省百校高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月聯(lián)考試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合A＝{x∈N*|2x<4}，B＝{x∈N|－1<x<2}，則A∪B等于()A．{x|－1<x<2} B．{x|x<2}C．{0,1} D．{1}【答案】C2．設(shè)，其中i為虛數(shù)單位．則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B3．在三角形ABC中，,AB=3，AC=6，向量在向量上的投影向量為，P為邊BC上一點(diǎn)，且BP=2PC，則（

）A．4 B． C． D．【答案】B4．在正六棱臺(tái)中，，點(diǎn)是底面的中心，若該六棱臺(tái)的體積為84，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C5．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)上頂點(diǎn)A作直線交橢圓于另一點(diǎn).若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A7．已知函數(shù)在區(qū)間上有極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B8．若關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得，即，當(dāng)時(shí)，，不等式在上顯然成立；當(dāng)時(shí)，令，則在上恒成立，由，在上，所以在上單調(diào)遞增，又時(shí)，，，所以只需在上恒成立，即恒成立．令，則，即在上單調(diào)遞增，其中，故，所以此時(shí)有．綜上，．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分。9．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A．B．若在區(qū)間上有且僅有個(gè)零點(diǎn)C．是奇函數(shù)D．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，【答案】ACD10．已知正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，下列說(shuō)法正確的是（

）A．平面MAB與平面ABCD夾角的正弦值為B．若點(diǎn)P滿足，則的最小值為C．在四棱錐內(nèi)部有一個(gè)可任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體，則該正方體表面積的最大值為D．點(diǎn)Q在面內(nèi)，且，則點(diǎn)Q軌跡的長(zhǎng)度為【答案】BC11.已知定義在上的函數(shù)和，是的導(dǎo)函數(shù)且定義域?yàn)?若為偶函數(shù)，，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，兩邊求導(dǎo)得，所以為奇函數(shù)，因?yàn)椋?，所以，故，所以，即的周期且，則，故B錯(cuò)誤；在，中，令，可得，所以，故A正確；由，令，可得，則，則，即，所以，故D錯(cuò)誤；在中，令得，，在中，令得，，兩式相加得，即，故C正確.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知直線分別與曲線，都相切，則的值為.【答案】13．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】14．已知P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足：,，則的最小值為.【答案】四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（本題滿分13分）已知在中，，(1)判斷的形狀，并說(shuō)明理由;(2)若點(diǎn)在AB邊上，且.若，求的面積.【解】（1）因?yàn)?當(dāng)時(shí)，則適合題意…………………2分當(dāng)時(shí)，所以，所以，所以所以因?yàn)?，所以…………………?分又，所以,化簡(jiǎn)可得,故，又因?yàn)椋?，……………?分所以（舍去）所以三角形為直角三角形，……………………7分（2）由于，，且為直角三角形，設(shè)，則，，在三角形中，由余弦定理可得,即，解得，………10分故………13分16．（本題滿分15分）設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為（且）(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；(2)若，求的值．【解】（1）的定義域?yàn)?，，，為上的奇函?shù)；………5分（2）由（1）知，為上的奇函數(shù)，即，令取，則，……………7分，，……10分令，則，即，………12分即.……………15分17．（本題滿分15分）已知圓C：過(guò)點(diǎn)的直線交圓C于兩點(diǎn)（1）若AP：PB=1:2，求此時(shí)直線l的方程。（2）過(guò)A,B分別作圓C的切線，設(shè)直線和的交點(diǎn)為M，求證：M在定直線上?！窘狻浚?）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，AB：解得，不合題意………………1分當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)由得得則……3分得………5分得代入上面方程，解得……………7分直線的方程或……8分（2）設(shè)，則以CM為直徑的圓的方程為………10分圓C為兩式相減得：……………12分因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)（1,1），則所以所以M在直線上…………………15分18．（本題滿分17分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.(1)求證：平面平面；(2)設(shè).①若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).②在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)，，在以為球心的球上？若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.【解】（1）在四棱錐中，平面平面，，平面，平面平面，所以平面，…………………3分又平面，所以平面平面；………5分（2）如圖以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立如圖所示直角空間坐標(biāo)系，設(shè)，則，由，，，，則，，因，則，，所以，，①設(shè)平面的法向量為，由，，得：，可取，設(shè)直線與平面所成角為，則有：，，即：，……………8分化簡(jiǎn)得：，解得或，即或，……………11分②如圖，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)，，在以為球心的球上，由，得，所以，所以，又得，，所以，，由得，即，………15分亦即（*），因?yàn)?，所以方程?）無(wú)實(shí)數(shù)解，所以線段上不存在點(diǎn)，使得點(diǎn)，，在以為球心的球上.…17分19．（本題滿分17分）已知函數(shù)（1）若1是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；（2）若，試問(wèn)是否存在零點(diǎn)，若存在，請(qǐng)求出該零點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？（3）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求滿足題意的的最小整數(shù)值（）【解】（1），因?yàn)?是函數(shù)的極值點(diǎn)所以，解得：…………1分此時(shí)，，由得，在上單調(diào)增所以，時(shí)，；時(shí)，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，在時(shí)取得極值所以，……………3分（2）①時(shí)，由第（1）問(wèn)可知，，此時(shí)，是不存在零點(diǎn)…………………4分②時(shí)，所以，在上單調(diào)遞增又，且在上的圖像是不間斷的所以，存在唯一的，使得，時(shí)，；時(shí)，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，……………6分由得：所以，…8分設(shè)則；令，得：0極大值所以所以在上單調(diào)遞減所以所以時(shí)，所以，即所以所以，無(wú)零點(diǎn)綜上，不存在零點(diǎn)…11分（3）由（2）可知，時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，舍去；時(shí)，在上單調(diào)遞增且圖像是不間斷的又所以，存在唯一的，使得，時(shí)，；時(shí)，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，由得：所以，因?yàn)?，?個(gè)零點(diǎn)所以……13分令，則當(dāng)時(shí)，恒成立