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江西省南昌八中、南昌二十三中等四校2025屆高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,滿足約束條件,則的最大值為A. B. C. D.2.直三棱柱中,,,則直線與所成的角的余弦值為()A. B. C. D.3.點(diǎn)為棱長(zhǎng)是2的正方體的內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),若滿足,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為()A. B. C. D.4.已知函數(shù),,則的極大值點(diǎn)為()A. B. C. D.5.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)原點(diǎn)O作斜率為的直線交C的右支于點(diǎn)A,若|OA|=|OF|,則雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.+16.下列選項(xiàng)中,說(shuō)法正確的是()A.“”的否定是“”B.若向量滿足,則與的夾角為鈍角C.若,則D.“”是“”的必要條件7.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.已知非零向量滿足,若夾角的余弦值為,且,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C.或 D.9.如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E為AD的中點(diǎn),若,則λ+μ的值為()A. B. C. D.10.函數(shù)在上的圖象大致為()A. B. C. D.11.某歌手大賽進(jìn)行電視直播,比賽現(xiàn)場(chǎng)有名特約嘉賓給每位參賽選手評(píng)分,場(chǎng)內(nèi)外的觀眾可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)給每位參賽選手評(píng)分.某選手參加比賽后,現(xiàn)場(chǎng)嘉賓的評(píng)分情況如下表,場(chǎng)內(nèi)外共有數(shù)萬(wàn)名觀眾參與了評(píng)分,組織方將觀眾評(píng)分按照,,分組,繪成頻率分布直方圖如下:嘉賓評(píng)分嘉賓評(píng)分的平均數(shù)為,場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為,所有嘉賓與場(chǎng)內(nèi)外的觀眾評(píng)分的平均數(shù)為,則下列選項(xiàng)正確的是()A. B. C. D.12.已知復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則=()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2,則的值為_(kāi)_14.已知實(shí)數(shù),對(duì)任意,有,且,則______.15.如圖所示,在邊長(zhǎng)為4的正方形紙片中,與相交于.剪去,將剩余部分沿,折疊,使、重合,則以、、、為頂點(diǎn)的四面體的外接球的體積為_(kāi)_______.16.已知平面向量與的夾角為,,,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四面體中,.(1)求證:平面平面;(2)若,求四面體的體積.18.(12分)已知函數(shù).(1)若,求不等式的解集;(2)若“,”為假命題,求的取值范圍.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(1)求的直角坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo);(2)設(shè)與交于,兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,求.20.(12分)已知函數(shù),.(1)若,,求實(shí)數(shù)的值.(2)若,,求正實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù),,若存在實(shí)數(shù)使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)在銳角中,分別是角的對(duì)邊,,,且.(1)求角的大?。唬?)求函數(shù)的值域.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,等價(jià)于,作直線,向上平移,易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)最大,所以,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法.2、A【解析】
設(shè),延長(zhǎng)至,使得,連,可證,得到(或補(bǔ)角)為所求的角,分別求出,解即可.【詳解】設(shè),延長(zhǎng)至,使得,連,在直三棱柱中,,,四邊形為平行四邊形,,(或補(bǔ)角)為直線與所成的角,在中,,在中,,在中,,在中,,在中,.
故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角,要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可,屬于中檔題.3、C【解析】
設(shè)的中點(diǎn)為,利用正方形和正方體的性質(zhì),結(jié)合線面垂直的判定定理可以證明出平面,這樣可以確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡,最后求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為,連接,因此有,而,而平面,,因此有平面,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡平面與正方體的內(nèi)切球的交線.正方體的棱長(zhǎng)為2,所以內(nèi)切球的半徑為,建立如下圖所示的以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系:因此有,設(shè)平面的法向量為,所以有,因此到平面的距離為:,所以截面圓的半徑為:,因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用,考查了立體幾何中軌跡問(wèn)題,考查了球截面的性質(zhì),考查了空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4、A【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)數(shù)為零,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,求得極大值點(diǎn)即可.【詳解】因?yàn)?,故可得,令,因?yàn)?,故可得或,則在區(qū)間單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故的極大值點(diǎn)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn),屬基礎(chǔ)題.5、B【解析】
以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,可求出點(diǎn),則,整理計(jì)算可得離心率.【詳解】解:以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,取第一象限的解得,即,則,整理得,則(舍去),,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是中檔題.6、D【解析】
對(duì)于A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,即可判斷出;對(duì)于B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角;對(duì)于C當(dāng)m=0時(shí),滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立;對(duì)于D根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可做出判斷.【詳解】選項(xiàng)A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,因此A不正確;選項(xiàng)B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角,因此不正確.選項(xiàng)C當(dāng)m=0時(shí),滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立,因此不正確;選項(xiàng)D若“”,則且,所以一定可以推出“”,因此“”是“”的必要條件,故正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,涉及知識(shí)點(diǎn)有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等,屬于簡(jiǎn)單題.7、D【解析】
由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出,再寫出其共軛復(fù)數(shù),得共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).得結(jié)論.【詳解】,,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,考查復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.8、D【解析】
根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為零,結(jié)合以及夾角的余弦值,即可求得參數(shù)值.【詳解】依題意,得,即.將代入可得,,解得(舍去).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用,涉及由向量垂直求參數(shù)值,屬基礎(chǔ)題.9、B【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示,利用,列出方程組求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則D(0,0).不妨設(shè)AB=1,則CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),解得則.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了由平面向量線性運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù),屬于中檔題.10、C【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時(shí)的符號(hào),即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,排除選項(xiàng)A,B;當(dāng)時(shí),,,排除選項(xiàng)D,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性,屬于中檔題.11、C【解析】
計(jì)算出、,進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知,,由頻率分布直方圖可知,,則,由于場(chǎng)外有數(shù)萬(wàn)名觀眾,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的大小比較,涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】解:由,得,.故選.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
根據(jù)弦長(zhǎng)為半徑的兩倍,得直線經(jīng)過(guò)圓心,將圓心坐標(biāo)代入直線方程可解得.【詳解】解:圓的圓心為(1,1),半徑,
因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)為2,
所以直線經(jīng)過(guò)圓心(1,1),
,解得.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓相交的性質(zhì),屬基礎(chǔ)題.14、-1【解析】
由二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式系數(shù)的求法得,又,所以,令得:,所以,得解.【詳解】由,且,則,又,所以,令得:,所以,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式系數(shù)的求法,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.15、【解析】
將三棱錐置入正方體中,利用正方體體對(duì)角線為三棱錐外接球的直徑即可得到答案.【詳解】由已知,將三棱錐置入正方體中,如圖所示,,故正方體體對(duì)角線長(zhǎng)為,所以外接球半徑為,其體積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的體積問(wèn)題,一般在處理特殊幾何體的外接球問(wèn)題時(shí),要考慮是否能將其置入正(長(zhǎng))方體中,是一道中檔題.16、【解析】
根據(jù)已知求出,利用向量的運(yùn)算律,求出即可.【詳解】由可得,則,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查向量的模、向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)取中點(diǎn),連接,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到,利用全等三角形證得,由此證得平面,進(jìn)而證得平面平面.(2)由(1)知平面,即是四面體的面上的高,結(jié)合錐體體積公式,求得四面體的體積.【詳解】(1)證明:如圖,取中點(diǎn),連接,由則,則,故故,平面.又平面,故平面平面(2)由(1)知平面,即是四面體的面上的高,且.在中,,由勾股定理易知故四面體的體積【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的證明,考查錐體體積計(jì)算,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】
(1))當(dāng)時(shí),將函數(shù)寫成分段函數(shù),即可求得不等式的解集.(2)根據(jù)原命題是假命題,這命題的否定為真命題,即“,”為真命題,只需滿足即可.【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí),由,得.故不等式的解集為.(2)因?yàn)椤埃睘榧倜},所以“,”為真命題,所以.因?yàn)椋?,則,所以,即,解得,即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法,以及絕對(duì)值三角不等式,屬于基礎(chǔ)題.19、(1),(2)【解析】
(1)利用互化公式把曲線C化成直角坐標(biāo)方程,把點(diǎn)P的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo);(2)把直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式代入曲線C的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)韋達(dá)定理以及參數(shù)t的幾何意義可得.【詳解】(1)由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ=2,將ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入上式并整理得曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=1,設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)镻的極坐標(biāo)為(,),所以x=ρcosθcos1,y=ρsinθsin1,所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,1).(2)將代入y2=1,并整理得41t2+110t+25=0,因?yàn)椤鳎?102﹣4×41×25=8000>0,故可設(shè)方程的兩根為t1,t2,則t1,t2為A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù),且t1+t2,依題意,點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為,所以|PM|=||.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,屬中檔題.20、(1)1(2)【解析】
(1)求得和,由,,得,令,令導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性,利用,即可求解.(2)解法一:令,利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為,令(),利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性,分類討論,即可求解.解法二:可利用導(dǎo)數(shù),先證明不等式,,,,令(),利用導(dǎo)數(shù),分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解.【詳解】(1)由題意,得,,由,…①,得,令,則,因?yàn)?,所以在單調(diào)遞增,又,所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故方程①有且僅有唯一解,實(shí)數(shù)的值為1.(2)解法一:令(),則,所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;故.令(),則.(i)若時(shí),,在單調(diào)遞增,所以,滿足題意.(ii)若時(shí),,滿足題意.(iii)若時(shí),,在單調(diào)遞減,所以.不滿足題意.綜上述:.解法二:先證明不等式,,,…(*).令,則當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,所以,即.變形得,,所以時(shí),,所以當(dāng)時(shí),.又由上式得,當(dāng)時(shí),,,.因此不等式(*)均成立.令(),則,(i)若時(shí),當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;故.(ii)若時(shí),,在單調(diào)遞增,所以.因此,①當(dāng)時(shí),
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