人教版七年級數(shù)學上冊《實際問題與一元一次方程（第4課時）》示范公開課教學設計

第五章一元一次方程5.3《實際問題與一元一次方程》第4課時空調計費問題

一、教材分析本節(jié)課《空調計費問題》是人教版初中數(shù)學七年級上冊第5章第三節(jié)內容的第4課時，該教材內容緊密聯(lián)系學生的生活實際，通過空調綜合費用的計算，讓學生感受到數(shù)學在日常生活中的應用價值．這種聯(lián)系不僅激發(fā)了學生的學習興趣，還培養(yǎng)了他們將數(shù)學知識應用于解決實際問題的能力．通過比較不同能效等級空調的綜合費用，學生可以了解能效等級對使用成本的影響，從而增強他們的經濟意識和環(huán)保意識．這有助于學生在日常生活中做出更加合理、經濟的選擇．空調計費問題是實際生活中的常見問題，也是可借助方程模型解決的典型問題之一，并具有一定的代表性，這類問題的背景和表達都更接近實際，對這一問題的探究可以使學生進一步體驗一元一次方程與實際的密切聯(lián)系，體會數(shù)學建模思想，培養(yǎng)利用一元一次方程分析和解決實際問題的能力．本節(jié)課使方程思想得到進一步滲透．實際問題與一元一次方程是密切相連的，通過列方程使實際中的未知數(shù)轉化為確定的數(shù)，列方程在本章、本節(jié)占有重要地位，根據相等關系建立模型貫穿在全章．通過學生觀察、發(fā)現(xiàn)、思考，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力、邏輯推理能力和問題解決能力．教材內容通過引入空調計費問題，設立未知數(shù)（如使用年數(shù)t），建立一元一次方程來比較不同能效空調的綜合費用．教授學生如何根據題目條件列出方程，并解方程找出使綜合費用相等的臨界使用年數(shù)，從而判斷哪款空調在長期使用中更經濟．旨在將一元一次方程的知識與現(xiàn)實生活緊密結合，幫助學生理解數(shù)學在解決實際問題中的應用價值，提升他們的數(shù)學建模能力和應用意識．它不僅能夠幫助學生掌握數(shù)學知識和技能，還能夠培養(yǎng)他們的應用能力、建模能力和經濟意識，促進他們的全面發(fā)展，提升他們的綜合素養(yǎng)．

二、學情分析本節(jié)《空調計費問題》內容是在學生對應用一元一次方程解決問題具備了一定的基礎，已經學習了配套＋工程問題、銷售中的盈虧問題以及球賽積分問題，對建立方程模型解決問題的基本過程也有了基本的認識，能夠理解和解決簡單的數(shù)學問題．同時學生應具備基本的物理常識，如電能的計量單位（kW·h）和電價的概念，對解決空調計費問題有很大幫助．學生正處于從形象思維向抽象思維過渡的階段，對于將實際問題抽象為數(shù)學問題的過程可能存在一定的困難．需要培養(yǎng)將數(shù)學知識應用于解決實際問題的能力，而空調計費問題正是一個很好的實踐案例．在教學過程中，應注重引導學生通過觀察、分析、歸納等方式，鼓勵學生自主探究和歸納，培養(yǎng)他們的自主學習能力和批判性思維．設計多樣化的練習題，讓學生在實踐中鞏固所學知識，提高解題能力．鼓勵學生積極主動進行思考、分析、交流，直到解決問題．課程立足于學生的“學”，要求學生多觀察．課堂采用自主探究和合作交流的方法組織教學，使每位學生都參與到課堂當中，體會到數(shù)學的樂趣．教師可以更加精準地把握學生的實際情況和學習需求，從而制定更加有效的教學策略和方法．

三、教學目標會從空調的綜合費用比較計費方式中尋找數(shù)量關系，列出方程．體會分類思想和方程思想在解決問題中的作用，能夠根據已知條件選擇分類關鍵點分析問題，選擇最優(yōu)方案．經歷探究空調計費問題中數(shù)量關系的過程，體會方程思想，明確用方程解決實際問題時，還要檢驗方程的解是否符合問題的實際意義．小組合作共同探究，激發(fā)學生對數(shù)學學習的興趣，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學思維習慣和良好的學習習慣．

四、教學重難點重點：會從空調的綜合費用比較計費方式中尋找數(shù)量關系，列出方程．難點：體會分類思想和方程思想在解決問題中的作用，能夠根據已知條件選擇分類關鍵點分析問題，選擇最優(yōu)方案．

五、教學過程活動一溫故舊知問題1：用一元一次方程解決實際問題的基本過程是怎樣的？答：用一元一次方程解決實際問題的基本過程可以歸納如下：1．審題，分析題目中的數(shù)量關系；2．設適當?shù)奈粗獢?shù)，并表示未知量；3．根據題目中的數(shù)量關系列方程；4．解這個方程；5．檢驗是否符合題意和實際；6．作答．設計意圖：本環(huán)節(jié)通過提問的方式引導學生回顧和鞏固用一元一次方程解決實際問題的基本過程，旨在為學生后續(xù)學習新內容做好鋪墊，同時培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、自主學習能力和歸納總結能力，為本節(jié)課進一步學習利用一元一次方程求解空調計費問題打下基礎．通過回顧舊知引出新知識，引發(fā)學生的探索欲，促使他們思考如何求解更復雜的實際問題．從而喚起新思維的過程，搭建知識框架，為新知識的學習提供支持，并引發(fā)學生的思考，為學習新課做鋪墊．活動二探究用一元一次方程解空調計費問題問題1：科普能源效率標識．答：能源效率標識(簡稱能效標識)，是附在耗能產品或其最小包裝物上，表示產品能源效率等級性能指標的一種信息標簽．中國的能效標識將能源效率分為5個等級．比如空調，能效標識顯示的是空調效能的等級，簡單來說就是消耗同樣多的電量所產生的冷氣有多少，這是衡量空調性能優(yōu)劣的一個重要參考數(shù)．等級越低，表示能耗越低，越節(jié)電．【探究3】不同能效空調的綜合費用比較購買空調時，需要綜合考慮空調的價格和耗電情況．某人打算從當年生產的兩款空調中選購一臺，表5.3-2是這兩款空調的部分基本信息．如果電價是0.5元/(kw·h)，請你分析他購買、使用哪款空調綜合費用較低．問題2：想一想，綜合費用由哪些部分費用組成？答：綜合費用＝空調的售價＋電費．提示：選定一種空調后，售價是確定的，電費則與使用的時間有關．問題3：如果空調的使用年數(shù)是t，請用代數(shù)式分別表示出兩款空調的綜合費用(單位：元)．答：1級能效空調的綜合費用是3000＋0.5×640t，化簡后3000＋320t．3級能效空調的綜合費用是2600＋0.5×800t，化簡后2600＋400t．問題4：t取什么值時，兩款空調的綜合費用相等?答：1級能效空調的綜合費用是3000＋0.5×640t，化簡后3000＋320t．問題3：本題中的相等關系是什么?答：3000＋320t＝2600＋400t，解得t＝5．當t＝5時，兩款空調的綜合費用相等．問題4：當t取其他值時，怎么比較1級和3級的綜合費用大小呢？答：為了比較兩款空調的綜合費用，我們把表示3級能效空調的綜合費用的式子2600＋400t變形為1級能效空調的綜合費用與另外一個式子的和：3000＋320t＋(80t－400)，也就是3000＋320t＋80(t－5)．當t＜5時，80(t－5)是負數(shù)，這表明3級能效空調的綜合費用較低；當t＞5時，80(t－5)是正數(shù)，這表明1級能效空調的綜合費用較低．總結：由此可見，同樣是1.5匹的空調，1級能效空調雖然售價高，但由于比較省電，使用年份長（超過5年）時綜合費用反而低．根據相關行業(yè)標準，空調的安全使用年限是10年（從生產日期計起），因此購買、使用1級能效空調更劃算．1級能效空調既節(jié)能又省錢！師生活動：學生先獨立思考，再以小組形式匯報展示．設計意圖：通過實際生活中的空調購買問題，引導學生將數(shù)學知識（如一元一次方程）與現(xiàn)實生活問題相結合，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力和應用意識．通過比較不同能效等級空調的購買價格和耗電情況，學生需要理解綜合費用（即購買價格與運行費用之和）的概念，并學會如何計算它．通過實際問題的分析和解決，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力、應用意識、經濟意識、決策能力以及學習興趣，從而培養(yǎng)學生根據實際問題條件進行驗證和判斷的能力．整個環(huán)節(jié)學生先獨立思考，再以小組形式匯報展示，主要是培養(yǎng)學生的團隊合作精神．活動三善于歸納練思維問題5：空調計費最優(yōu)方案問題的一般步驟．答：審題，分析題目中的數(shù)量關系；設適當?shù)奈粗獢?shù)；用未知數(shù)表示費用；根據費用相同列方程；分析更優(yōu)惠的情況；作答．師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答．設計意圖：通過解決“空調計費最優(yōu)方案問題”，引導學生形成一套系統(tǒng)的問題解決策略，培養(yǎng)他們的歸納思維能力和邏輯推理能力培養(yǎng)他們的歸納能力，使他們能夠更系統(tǒng)地理解和掌握知識．活動四運用新知顯身手【教材練習】1．在甲復印店用A4紙復印文件，復印頁數(shù)不超過20時，每頁收費0.12元；復印頁數(shù)超過20時，超過部分每頁收費降為0.09元．在乙復印店用A4紙復印文件，不論復印多少頁，每頁收費0.1元．復印頁數(shù)為多少時，兩店的收費相同？答案：解：設復印頁數(shù)為x時，兩店的收費相同．當x≤20時，甲復印店復印每頁的費用高于乙復印店．當x＞20時，根據題意，列得方程20×0.12＋0．09×(x－20)＝0.1x．解得x＝60．答：復印頁數(shù)為60時，兩店的收費相同．2．現(xiàn)有兩種地鐵機場線計次月票：第一種售價200元，每月包含10次；第二種售價300元，每月包含20次，兩種月票超出每月包含次數(shù)后，都需要另外購票，票價為25元/次，張先生每月乘坐地鐵機場線超過10次，他購買哪種月票比較節(jié)省費用？答案：解：設張先生每月乘坐地鐵機場線x次(x＞10)．情況一：當10＜x≤20時，第一種月票的費用：200＋25(x－10)=(25x－50)(元)．第二種月票的費用：300元．令25x－50＝300，解得x＝14．情況二：當x＞20時，第一種月票的費用：(25x－50)元．第二種月票的費用：300＋25(x－20)=(25x－200)(元)．顯然25x－50＞25x－200．答：當每月乘坐地鐵機場線的次數(shù)小于14時，第一種月票劃算；當每月乘坐地鐵機場線的次數(shù)等于14時，兩種月票的費用一樣；當每月乘坐地鐵機場線的次數(shù)大于14時，第二種月票劃算．師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答．設計意圖：通過實際問題的練習，讓學生鞏固和深化對新知識點的理解和應用，同時培養(yǎng)他們的數(shù)學思維和問題解決能力．第1小題在解題過程中，學生需要進行代數(shù)運算，如設立方程、解方程等，以找出兩店收費相同的復印頁數(shù)學生需要分析題目中的條件，判斷不同情況下的收費情況，并據此進行邏輯推理，最終得出結論．第2小題通過這個問題，學生可以學會從經濟角度分析問題，理解不同選擇下的成本差異，并做出合理的決策．這個問題貼近學生生活實際，通過解決這類問題，學生可以增強將數(shù)學知識應用于解決實際問題的能力．通過兩個實際問題的練習，旨在鞏固和深化學生對新知識點的理解和應用，同時培養(yǎng)他們的數(shù)學建模能力、代數(shù)運算能力、邏輯思維能力、經濟意識以及實際應用能力．整個活動圍繞實際問題展開，要求學生通過分析問題、建立數(shù)學模型、求解并驗證結果等步驟來解決問題．這一過程有助于培養(yǎng)學生的問題解決能力，使他們學會如何將數(shù)學知識應用于實際情境中．活動五限時5分測測看1．某學校用的課外讀物可以到甲、乙兩家書店購買，已知兩家書店的標價都是每本8元，甲書店的優(yōu)惠條件是購買10本以上，從第11本開始按標價的75%出售；乙書店的優(yōu)惠條件是全部按標價的85%出售．購買本課外讀物時，到兩家書店花費相同．2．某市水費標準：每月用水量在15噸以內(包括15噸)按2.5元/噸收費，超過15噸但不超過25噸的部分按3.5元/噸收費，超過25噸的部分按5元/噸收費．某戶居民一個月交水費90元，該戶居民這個月用水量是噸．3．某市出租車起步價為5元(不超過3km收5元)．超過3km，每千米加收一定的費用．某人從車站到家共13km，求行程超過3km時，每千米收元．某省公布的居民用電階梯電價聽證方案如下小軍家10月份電費為126.3元，求小軍家10月份的用電量．答案：1．25；解：設購買x本課外讀物．當x＜10時，甲書店沒優(yōu)惠，則乙書店花費少，顯然費用不相同．當x≥10時，根據兩家書店花費相同，列得方程8×10＋8×(x－10)×75%＝8x×85%，解得x＝25．2．28.5；解：設該戶居民這個月的用水量為x噸．①當x≤15時，水費為2.5×15＝37.5＜90(不符合題意)．②當15＜x≤25時，水費為2.5×15＋3.5×(x－15)＝90，解得x＝30，30＞25(不符合題意)．③當x＞25時，水費為2．5×15＋3．5×(25－15)＋5×(x－25)＝90．解得x＝28.5，28.5＞25(符合題意)．3．1.6；解：設行程超過3km時，每千米收x元，列得方程5＋(13－3)x＝21，解得x＝1.6B；解：先算電費為126.3元的用電量范圍．用電210度時的電費210×0.52＝109.2(元)，用電350度時的電費210×0.52＋(350－210)(0.52＋0.05)＝189(元)．109.2＜126.3＜189，所以10月份的用電量為第二檔電量．設小軍家10月份的用電量為x度，根據第二檔用電量計算電費，列得方程210×0.52＋(x－210)×(0.52＋0．05)＝126.3，解得x＝240．師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答．設計意圖：通過一系列與現(xiàn)實生活緊密相關的數(shù)學問題，快速檢驗學生對新學知識點的掌握程度和應用能力．通過本次活動，學生能夠在短時間內快速回顧和鞏固本堂課所學相關知識．同時培養(yǎng)他們的代數(shù)運算能力、邏輯推理能力、數(shù)學建模能力以及經濟意識．同時，通過限時測試的形式，也鍛煉了學生的解題速度和對題目的理解能力，同時培養(yǎng)他們的時間管理意識和學習興趣．活動六課堂總結師生活動：教師和學生一起回顧本節(jié)課所講的內容．1．本節(jié)課你學到了什么？2．選擇空調計費最優(yōu)方案問題應該怎樣分析？設計意圖：本節(jié)課的課堂總結活動引導學生全面回顧了本節(jié)課的學習內容．在總結過程中，教師可以引導學生明確本節(jié)課的學習重點，即如何利用數(shù)學知識解決空調計費等實際問題，這有助于學生把握學習的核心，明確學習的方向和目標．這種總結方式不僅幫助學生鞏固了知識，還提高了他們的自我反思和總結能力．同時，通過師生互動，教師也能及時了解學生的學習情況，為后續(xù)的教學提供有針對性的指導．通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節(jié)課所學的知識．實踐作業(yè)請同學們調查關于稅收的相關信息，創(chuàng)設問題情境并用一元一次方程解答．

六、板書設計

七、教學反思本節(jié)課《空調計費問題》是人教版初中數(shù)學七年級上冊第5章第三節(jié)內容的第4課時，該教材內容緊密聯(lián)系學生的生活實際，通過空調綜合費用的計算，讓學生感受到數(shù)學在日常生活中的應用價值．通過實際生活中的空調購買和使用情境引入問題，激發(fā)學生的學習興趣和探究欲望．從簡單的電費計算開始，逐步引導學生理解綜合費用的概念及其計算方法，組織學生分組討論不同能效等級空調的綜合費用問題，鼓勵他們提出自己的觀點和解決方案．通過具體案例分析（如題目中給出的兩款空調信息），讓學生親手計算并比較不同選擇下的綜合費用．在學生充分討論和計算的基礎上，進行總結提升，強調數(shù)學在解決實際問題中的重要性以及合理選擇空調的經濟意義．教師可以更加精準地把握學生的實際情況和學習需求，從而制定更加有效的教學策略和方法．在解決空調計費問題時，可以采用啟發(fā)式教學的方法，引導學生自己發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題．例如，可以先讓學生觀察題目中的條件，然后提問：“你們認為這個問題應該如何解決？”從而激發(fā)學生的思考．采用了講授、討論、練習等多種教學方法相結合的方式，使學生能夠全面參與學習過程．通過小組討論和合作學習，培養(yǎng)了學生的團隊協(xié)作能力和溝通能力，幫助學生能準確提取空調計