函數(shù)概念與基本初等函數(shù)-2020-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編（解析版）

冷題02備敷槐念易基中初等備救

五年考情?探規(guī)律

考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1函數(shù)概2024全國(guó)卷

20232021全國(guó)卷2020全國(guó)卷

念與單調(diào)性

函數(shù)的周期性單調(diào)性與奇偶性的

綜合應(yīng)用是高考的重難點(diǎn)方向，特

別是新高考新題型以后，它們與抽

考點(diǎn)2函數(shù)周象函數(shù)的結(jié)合將是未來(lái)一個(gè)重要

2023IIT4乙卷T5甲卷T14

期性與奇偶性方向

2022全國(guó)乙卷T16

應(yīng)用2021乙卷T9IT13

考點(diǎn)3函數(shù)圖2022全國(guó)乙卷T8

2022全國(guó)甲卷T5圖像的識(shí)別及應(yīng)用逐漸淡化

像應(yīng)用

2023IT11函數(shù)的綜合因應(yīng)用作為壓軸題，一

考點(diǎn)4函數(shù)性2022乙T12IT12IIT8

般會(huì)是同構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)比較大小，

質(zhì)綜合應(yīng)用2021甲T12IIT8T14

函數(shù)的綜合性質(zhì)應(yīng)用化工等

分考點(diǎn)?精準(zhǔn)練

考點(diǎn)01函數(shù)概念與單調(diào)性

—x—2（uc—a%<*0

L（2。24?全國(guó)?高考［卷）已知函數(shù)小）=mm-。在R上單調(diào)遞增,則〃的取值范圍是（）

A.SO]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.

【詳解】因?yàn)椤癤）在R上單調(diào)遞增，且尤20時(shí)，/a）=e*+ln（x+l）單調(diào)遞增，

―2a

------------>0

則需滿足2x（-1）,解得TWaVO,

-?<e°+In1

即〃的范圍是

故選：B.

2.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)〃耳=2加"）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（）

A.B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+03）

【答案】D

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.

【詳解】函數(shù)y=2工在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)/（尤）=24"）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，

2n

則有函數(shù)y=x（x-a）=（x-@）2-幺在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，因此藁21,解得此2,

242

所以。的取值范圍是[2,+00）.

故選：D

3.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（）

A.y=x2+2x+4B.J=|sinx|+n~I

-|sin,r|

4

C.y=2%+22~XD.y=\nx+——

Inx

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等"，即可得出民D

不符合題意，c符合題意.

【詳解】對(duì)于A,y=x2+2x+4=（x+l）2+3>3,當(dāng)且僅當(dāng)x=—l時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為3,A不符合

題意；

對(duì)于B,因?yàn)?vsi11耳41,y=|sinx|+-^—>274=4,當(dāng)且僅當(dāng)卜達(dá)耳=2時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其

Sillx\

最小值不為4,B不符合題意；

對(duì)于C,因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽,而2*>0,y=2'+22T=2*+222/=4,當(dāng)且僅當(dāng)7=2，即x=l時(shí)取

等號(hào)，所以其最小值為4,C符合題意;

對(duì)于D,y-\nx+-^—,函數(shù)定義域?yàn)?0,1)J(l,+°°),而InxeR且InxwO,如當(dāng)lnx=-l,y=-5,D不符

In尤

合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等"的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性

質(zhì)即可解出.

4.(2021?全國(guó)?高考真題)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A.f(x)=-xB.〃司=3]C./(x)=x2D.〃尤)=也

【答案】D

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,y(x)=-x為R上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對(duì)于B,〃尤)=e)為R上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對(duì)于C,〃力=/在(-8,0)為減函數(shù)，不合題意，舍.

對(duì)于D,〃x)=a為R上的增函數(shù)，符合題意，

故選：D.

5.(2020?海南?高考真題)已知函數(shù)/(x)=lg，-4x-5)在(a,xo)上單調(diào)遞增，貝吐的取值范圍是()

A.(2,-HX))B.[2,+oo)C.(5,+oo)D.[5,+8)

【答案】D

【分析】首先求出〃尤)的定義域，然后求出/(x)=lg(/_4x-5)的單調(diào)遞增區(qū)間即可.

【詳解】由》2-4彳-5>0得x>5或x<-l

所以的定義域?yàn)?f,-1)55,")

因?yàn)?gt;=/一4》一5在(5,笆)上單調(diào)遞增

所以=1g(尤2-4尤-5)在(5,")上單調(diào)遞增

所以

故選：D

【點(diǎn)睛】在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)一定要先求函數(shù)的定義域.

6.(2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)/(彳4式--^則/⑴

()

A.是奇函數(shù)，且在。+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在。+8)單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)，且在。+8)單調(diào)遞減

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x/O},利用定義可得出函數(shù)/'（X）為奇函數(shù),

再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性法則，即可解出.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)=定義域?yàn)閗|"0},其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而/（-X）=-“X）,

所以函數(shù)”X）為奇函數(shù).

又因?yàn)楹瘮?shù)y=V在（0,+8）上單調(diào)遞增，在（_8,0）上單調(diào)遞增，

1,,,

而y=F=X在（_00,0）上單調(diào)遞減，在（0,+8）上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)“X）=x3-j在（0,+8）上單調(diào)遞增，在（―②。）上單調(diào)遞增.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)02函數(shù)周期性與奇偶性應(yīng)用

1.（2024?天津,高考真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）

ccosx+x2Qx-Xsinx+4x

D.

c.y=y二

.一+1x+1^-

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.

【詳解】對(duì)A,設(shè)〃到=￡工，函數(shù)定義域?yàn)镽,但〃-1）=￡匕，/（1）=^,則〃一1）片〃1）,故A

元+122

錯(cuò)誤；

對(duì)B,設(shè)g（x）=cosf2,函數(shù)定義域?yàn)镽,

X+1

一目.g（-x）=c°s）X）=cos：+：=g（x）,則g（x）為偶函數(shù)，故B正確；

（T）+1X+1

對(duì)C,設(shè)可到=?二，函數(shù)定義域?yàn)閧x|xw-l},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則網(wǎng)力不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤;

對(duì)D,設(shè)e⑺=sin；：4x,函數(shù)定義域?yàn)镽,因?yàn)殒）=吧*1）=2?-4,

則（⑴彳夕（一1）,則0（無(wú)）不是偶函數(shù),故D錯(cuò)誤.

故選：B.

2.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）若=為偶函數(shù)，則。=（）.

A.-IB.0C.yD.1

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出。值，再檢驗(yàn)即可.

【詳解】因?yàn)榱刷艦榕己瘮?shù)，則/(I)=/(-I),(1+a)In1=(-1+a)In3,解得a=0,

or_iii

當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=xln-------,(2X-1)(2A:+1)>0,解得x>—或光<一不，

2x+122

則其定義域?yàn)榛蛴?lt;-；；,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

/(T)=(r)ln|^^=(r)ln答==xln||^=〃x),

故此時(shí)/'(尤)為偶函數(shù).

故選：B.

3(2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)/(%)=ln|2x+l|-ln|2%-1|,則於)()

A.是偶函數(shù)，且在(g,+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(-；,；)單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(F,-f單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減

【答案】D

【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出“X)為奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)尤(-[,￡|時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

可判斷出了(X)單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)xe[--時(shí)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出了(X)單調(diào)遞減，從而

得到結(jié)果.

【詳解】由/(x)=ln|2x+l|-ln|2x-l|得/(力定義域?yàn)椴吠陵P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，

X/(--^)=ln|l-2x|-In|-2x-l|=In|2x-l|-ln|2x+l|=-/(%),

\/(%)為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；

當(dāng)時(shí)，/(x)=ln(2x+l)-ln(l-2x),

Qy=ln(2x+1)在上單調(diào)遞增，y=ln(l—2力在卜昌上單調(diào)遞減,

\/(X)在上單調(diào)遞增，排除B；

當(dāng)尤e(_oo,一(]時(shí)，/(x)=ln(-2x-l)-ln(l-2x)=ln|^|=lnfl+-^—\

[L)LX—11Lx—17

〃=1+----在上單調(diào)遞減，”〃)=山〃在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,

2x-lI

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：/（X）在［-8,-g］上單調(diào)遞減，D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，根

據(jù)“T）與“X）的關(guān)系得到結(jié)論；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性

質(zhì)和復(fù)合函數(shù)"同增異減"性得到結(jié)論.

4.（2019?全國(guó)?高考真題）設(shè)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在（0,+8）單調(diào)遞減，則

【答案】C

2、

【解析】由已知函數(shù)為偶函數(shù),2、,轉(zhuǎn)化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，再比較大小.

7

【詳解】“X）是R的偶函數(shù),

2

33

log34>log33=l,l=2°>2>22,.-.log34>2>2^.

又在（0，+8）單調(diào)遞減，

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，解題關(guān)鍵在于利用中間量大小比較同一區(qū)間的取值.

5.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知了（%）=士—是偶函數(shù)，則〃=（）

e^-l

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則"尤）_小尤）=^10/=小、—e（"勺

e-1Jvv7e^-le-a￥-le^-l

又因?yàn)閄不恒為0,可得e，-e①3=0,即eX=e(“外，

貝l]x=(a—l)x,即l=a—1,解得a=2.

故選：D.

6.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,且

22

/(%)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，g(2)=4,則￡/㈤=()

k=\

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【分析】根據(jù)對(duì)稱性和已知條件得到/(x)+f(x-2)=-2,從而得到〃3)+〃5)++/(21)=-10,

/(4)+/(6)++/(22)=-10,然后根據(jù)條件得到了(2)的值，再由題意得到g(3)=6從而得到/■⑴的值即

可求解.

【詳解】因?yàn)閥=g。)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

所以g(2-x)=g(x+2),

因?yàn)間(x)寸(尤-4)=7,所以g(x+2)-f(x—2)=7,即g(尤+2)=7+/(尤一2),

因?yàn)閒(x)+g(2-x)=5,所以/'(x)+g(x+2)=5,

代入得/(x)+[7+/(x-2)]=5,即/(尤)+f(x-2)=-2,

所以〃3)+/(5)++"21)=(-2)x5=-10,

f(4)+f(6)++/(22)=(-2)x5=-10.

因?yàn)閒(x)+g(2-x)=5,所以f(0)+g(2)=5,即/'(0)=1,所以/(2)=—2-〃0)=—3.

因?yàn)間(x)-/(x-4)=7,所以g(x+4)-f(x)=7,又因?yàn)椤▁)+g(2-x)=5,

聯(lián)立得，g(2-x)+g(^+4)=12,

所以y=g。)的圖像關(guān)于點(diǎn)(3,6)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域?yàn)镽,

所以g⑶=6

因?yàn)閒(x)+g(x+2)=5,所以〃l)=5-g(3)=-1.

22_

所以￡/(幻=〃1)+〃2)+[〃3)+〃5)++/(21)]+[/(4)+/(6)++/(22)]=-1-3-10-10=-24.

k=\

故選：D

【點(diǎn)睛】含有對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心的問(wèn)題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后

得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.

7.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)Ax)的定義域?yàn)镽,>/(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),/(I)=1,則

22

()

k=T

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為6,求出函數(shù)一個(gè)周期中的〃1),“2),,/(6)

的值，即可解出.

【詳解】［方法一］：賦值加性質(zhì)

因?yàn)?a+y)+”x—y)=〃x)/(y),令x=i，y=o可得,2/(i)=〃i)〃o),所以〃o)=2,令x=o可得，

/(y)+/(-y)=2/(y),即/'(30=〃一30,所以函數(shù)為偶函數(shù)，令y=i得，

y(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有〃x+2)+〃x)=〃x+l),從而可知〃x+2)=-

〃尤-1)=—/'(尤—4),故〃x+2)=〃x-4),即/(x)=/(x+6),所以函數(shù)〃尤)的一個(gè)周期為6.因?yàn)?/p>

/(2)=/(1)-/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

〃5)=〃-1)=〃1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一個(gè)周期內(nèi)的/(1)+/(2)++/(6)=0.由于22除以6余4,

22

所以?㈤=/⑴+〃2)+〃3)+〃4)=1-1-2-1=-3.故選：A.

k=l

［方法二］:【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)

由〃x+y)+〃x-y)=/(x)〃y),聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式

cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy,可設(shè)/(x)=4COS0x,則由方法一中〃0)=2,〃1)=1知4=2,℃050=1,

171

解得COS0=J,取0=不，

Jr

所以〃x)=2cos］無(wú)，則

f(x+y)+f(x-y)=2cos\^x+^y^+2cos^x-^y^=4cos^xcos^y=f(x)f(y),所以〃x)=2cos：x

7=也=6

符合條件，因此AM的周期/一下一°,/(0)=2,/(1)=1,且

7

/(2)=-1,/(3)=-2,/(4)=-1,/(5)=1,/(6)=2,所以/(1)+7(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以￡〃左)=/⑴+/⑵+”3)+/(4)=1_1_2_1=_3.故選：A.

k=l

X

8.(2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)/(%)=1；2—，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

1+x

A.f(x—1)—1B./(x—1)+1C.f(x+1)—1D.f(x+l)+l

【答案】B

1_Y?

【詳解】由題意可得/(%)=;—=-l+--,

1+x1+x

2

對(duì)于A,不是奇函數(shù)；

?

對(duì)于B,/(%-1)+1=最是奇函數(shù)；

對(duì)于C,+=定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)；

對(duì)于D,/(%+1)+1=二,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù).故選：B

9.(2021?全國(guó)?高考真題)設(shè)“X)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且〃1+力=〃-X).若=；,則/

5115

A.—B.—C.—D.~

333

【答案】C

【詳解】由題意可得:嗚(小+》《|卜-嗚),

而嗚〉dm_小』=一；，

故后".故選:c.

二、填空題

10.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)若/(x)=(x-l)2+依+sin]x+一|")為偶函數(shù)，則"=________

【答案】2

【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到了[-萬(wàn)/久-J,從而求得。=2,再檢驗(yàn)即可得解.

【詳解】因?yàn)閥=/(x)=(x-l)2+ax+sin]x+

-I=(x-1)+OX+COSX為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽,

所以小鼻7[。即卜尸]-fa+cos(71、(九八2九兀

「力匕一-…晨

則Tta=+1]—[W—1)=2兀，故〃=2,

止匕時(shí)/(x)=(x-l)2+2x+cosx=x2+1+COSX,

所以/(-%)=(f)2+1+COS(-X)=X2+1+COSX=/(%)，

又定義域?yàn)镽，故〃x）為偶函數(shù),

所以〃=2.

故答案為：2.

11.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)〃力=尤3（4.2'一2一【是偶函數(shù)，則。=,

【答案】1

【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)。的值.

【詳解】因?yàn)椤▁）=x3（a.2，-2T）,故/'（-x）=f3（a.2T-2）

因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故〃一尤）=〃尤），

時(shí)尤3（a.2X-2T）=-x3（a-2-X-2X）,整理得到（a-1）（2，+2T）=0,

故。=1,故答案為：1

考點(diǎn)03函數(shù)圖像應(yīng)用

一、單選題

1.（2024?全國(guó)?高考甲卷文）函數(shù)〃月=-/+（/-葭卜加在區(qū)間［-2.8,2.8］的圖象大致為（）

【答案】B

【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C,代入x=l可得了⑴>0,可排除D.

【詳解】/（-%）=-x2+（e-x-eA）sin（-x）=-x2+（e*-尸卜inx=,

又函數(shù)定義域?yàn)椋?2.8,2.8］,故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

又〃1)=T+-->0,

(ejeJ622e42e

故可排除D.

故選：B.

2.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)是（

【答案】A

【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.

【詳解】設(shè)〃尤）=（^,則"1）=0,故排除B;

設(shè)/z（x）=,當(dāng)時(shí)，0<cosx<l,

所以=故排除C;

X+1X+1

設(shè)g（x）=j^,貝Ug（3）=3洋>0,故排除D.故選：A.

3.（2022?全國(guó),統(tǒng)考高考真題）函數(shù)y=（3-3f）cosx在區(qū)間-的圖象大致為（

【答案】A

【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.

【詳解】令“到=(3。3口COSX,XG-，

則/(―)=(3-"-3")cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-/(%),

所以為奇函數(shù)，排除BD；

又當(dāng)xjo，m時(shí)，3'-3T>0,cosx>0,所以〃x)>0,排除C.故選：A.

jr

4.(2020,全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)/(尤)=cos(s+V)在［-無(wú)㈤的圖像大致如下圖，則/(x)的最小正周期

又［-9，。1是函數(shù)“X)圖象與X軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn)，

所以一￥-+￡=一彳，解得：0=3

9622

_2%_2?_4"

所以函數(shù)了(力的最小正周期為至故選：C

2

考點(diǎn)04函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用

一、單選題

1.(2024.全國(guó).高考II卷)設(shè)函數(shù)/(x)=a(x+l)2-l,g(x)=cosx+2ox,當(dāng)xe(T,l)時(shí)，曲線>=f(x)與

y=g(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，則”=()

A.-1B.yC.1D.2

【答案】D

【分析】解法一：令尸(x)=or2+a_i,G(x)=cosx,分析可知曲線與y=G(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合

偶函數(shù)的對(duì)稱性可知該交點(diǎn)只能在y軸上，即可得。=2,并代入檢驗(yàn)即可；解法二：令

/z(x)=/(x)-g(x),xe(-l,l),可知可同為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知火力的零點(diǎn)只能為0,即可得

0=2,并代入檢驗(yàn)即可.

【詳解】解法一：令/(x)=g(x),即。(x+l)2-l=cosx+2or,可得加+a-i=cosx,

令尸(彳)=加+a-l,G(x)=cosx,

原題意等價(jià)于當(dāng)Xe(-1,1)時(shí)，曲線y=尸⑶與y=G(X)恰有一個(gè)交點(diǎn)，

注意到尸(X),G(X)均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，

可得尸(0)=G(0),即a—1=1,解得a=2,

若a=2,令產(chǎn)(x)=G(x),可得2f+l一cos%=0

因?yàn)閤e(-L,l),貝lU—wCU-cosxNO,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

可得2f+l-cosx20,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

則方程2/+l-cosx=0有且僅有一個(gè)實(shí)根0,即曲線y=F(x)與y=G(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，

所以。=2符合題意；

綜上所述：<7=2.

解法二：4'^(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-l-cosx,xe(-l,l),

原題意等價(jià)于h(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)榱?―x)=a(—尤)？+a—1—cos(-x)=ax2+a—1—cosx=/z(x),

則妝x)為偶函數(shù),

根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知h(x)的零點(diǎn)只能為0,

即〃(0)=。-2=0,解得a=2,

若a=2,則人⑺=？%2+l-cosx,xe(-l,l),

又因?yàn)?*>0,l-cosx>0當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

可得〃(x)N0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

即/?(力有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0,所以。=2符合題意；故選：D.

2.(2024?全國(guó),高考H卷)設(shè)函數(shù)/(x)=(x+a)ln(x+6),若/(x)20,則/+〃的最小值為()

11

A.—B.—C.-D.1

842

【答案】C

【分析】解法一：由題意可知：〃無(wú))的定義域?yàn)?-瓦+8),分類討論-。與-6,1-匕的大小關(guān)系，結(jié)合符號(hào)分

析判斷，即可得b=a+l,代入可得最值；解法二：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析ln(x+b)的符號(hào)，進(jìn)而可得x+a

的符號(hào)，即可得b=a+l，代入可得最值.

【詳解】解法一：由題意可知：〃幻的定義域?yàn)?-6,+。)，

令工+々=0解得兀=一〃；令ln(%+6)=。解得x=l—Z?；

若一1<一"，當(dāng)]￡(—"1一人)時(shí)，可知x+a>0,ln(x+Z7)<0,

此時(shí)/。)<。，不合題意；

若一當(dāng)％￡(—。/一人)時(shí)，可知x+〃>O,ln(x+Z?)<0,

此時(shí)“了)<。，不合題意；

若一〃二1一〃，當(dāng)工￡(—"1一人)時(shí)，可知vO,ln(x+Z?)<O,止匕時(shí)/(%)>。；

當(dāng)—瓦+“)時(shí)，可知x+〃Z0,ln(x+5)之0,此時(shí)/(x)20；

可知若符合題意；

若一々>1一人，當(dāng)了￡(1—"一1)時(shí)，可知x+Q(0,ln(x+Z2》0,

此時(shí)〃%)<。，不合題意；

綜上所述：一a=l—b,即Z?=〃+l,

貝1]/+62=/+(4+1)2=214+工丫+工2工，當(dāng)且僅當(dāng)=!時(shí)，等號(hào)成立，

所以的最小值為3；

解法二：由題意可知：/⑴的定義域?yàn)?-4+”),

令無(wú)+々=0解得x=_Q；令ln(x+0)=0解得x=]_6；

貝!)當(dāng)％￡(—"1一/?)時(shí)，ln(x+Z?)<0,故％+a<0,所以1—b+aWO；

犬￡(1一女+8)時(shí)，ln(x+&)>0,故x+a20,所以1—Z?+〃NO；

故1-b+1=0,則"2+/=Q2+(〃+]/=2(4+g[+l>lf

當(dāng)且僅當(dāng)a=-g,6=g時(shí)，等號(hào)成立，

所以的最小值為，故選：C.

3.(2024?北京?高考真題)己知(現(xiàn),％),優(yōu),%)是函數(shù)>=2、的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，貝U()

A.log2A±A<i±^B.1嗎甘

,y.+y91y+%

C.log2<xr+x2D.log.[2>%+W

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.

【詳解】由題意不妨設(shè)％<n，因?yàn)楹瘮?shù)y=2,是增函數(shù)，所以0<2再<2%，即0<%<%，

對(duì)于選項(xiàng)AB：可得2,gp2iZ21>22>0,

22

西+巧.

根據(jù)函數(shù)，=10g2尤是增函數(shù)，所以10g22產(chǎn)>log22k=七匹，故A正確，B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：例如玉=。,工2=1，則X=1，%=2,

可得log?，；%=log?3e（0,1）,即log2%<l=q+%,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：例如玉=-1,%=-2,則%=；,%=；,

可得1082鋁叢=10821=1。823-3€（-2,-1）,即log2M>-3=玉+%,故D錯(cuò)誤，

2o2

故選：B.

4.（2024?天津?高考真題）若。=4.2?6=4.2嗎c=log420.2,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.

【詳解】因?yàn)閥=4.2*在R上遞增，且-0.3<0<0.3,

所以0<4.2q<4,2°<4,20-3,

所以0<4.2毋3<1<4.2%即0<a<l<A,

因?yàn)閥ToggX在（0,+8）上遞增，且0<0.2<1,所以Iog4,20-2<log4.21=0,即c<0,所以6>a>c,故選：

B

5.（202全上海?高考真題）已知函數(shù)/3的定義域?yàn)閮憾x集合"=｛與m€：?,尤€（-8,%）"（耳</'5）｝,

在使得的所有“X）中，下列成立的是（）

A.存在〃尤）是偶函數(shù)B.存在“X）在x=2處取最大值

C.存在〃尤）是嚴(yán)格增函數(shù)D.存在〃尤）在戶-1處取到極小值

【答案】B

【分析】對(duì)于ACD利用反證法并結(jié)合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及極小值的概念即可判斷，對(duì)于B,構(gòu)造函數(shù)

—2,x<一1

“X）=f-14x41即可判斷.

1,X>1

【詳解】對(duì)于A,若存在y=/（x）是偶函數(shù)，取尤。=1日-1,1],

則對(duì)于任意無(wú)尤）而/（-1）=/（1）,矛盾，故A錯(cuò)誤；

-2,x<—1,

對(duì)于B,可構(gòu)造函數(shù)〃尤)=X,-1VXW1,滿足集合河=[-1』,

l,x>1,

當(dāng)X<—1時(shí)，貝!!/(尤)=一2,當(dāng)一時(shí)，/(X)G[-1,1],當(dāng)尤>1時(shí)，/(x)=l,

則該函數(shù)“X)的最大值是“2),則B正確；

對(duì)C,假設(shè)存在/■(%),使得了(X)嚴(yán)格遞增，則M=R,與已知航=卜1,1]矛盾，則C錯(cuò)誤；

對(duì)D,假設(shè)存在〃x),使得〃x)在x=-l處取極小值，則在T的左側(cè)附近存在“，使得了⑺這

與已知集合M的定義矛盾，故D錯(cuò)誤；

故選：B.

6.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(元)的定義域?yàn)镽,Kf(x+y)+f(x-y)=/(I)=1,則

22

￡f(k)=()

k=\

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為6,求出函數(shù)一個(gè)周期中的〃1),/(2),,/(6)

的值，即可解出.

【詳解】［方法一］：賦值加性質(zhì)

因?yàn)橛?〃y)，令尤="=0可得，2/(i)=〃i)〃o),所以〃0)=2,令x=o可得，

/(y)+/(-y)=2/(y),即/'(30=〃一30,所以函數(shù)“X)為偶函數(shù)，令y=i得，

y(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有f(x+2)+/(x)=C(x+l),從而可知〃x+2)=-〃X—1),

〃尤-1)=—/'(尤—4),故〃x+2)=〃x-4),即/(x)=/(x+6),所以函數(shù)〃尤)的一個(gè)周期為6.因?yàn)?/p>

/(2)=f(l)-/(O)=l-2=-l,/(3)=y(2)-y(l)=-l-l=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一個(gè)周期內(nèi)的/。)+/(2)++/(6)=0.由于22除以6余4,

22

所以￡/化)=〃1)+〃2)+/(3)+〃4)=1_1_2-1=-3.故選：A.

k=\

［方法二］:【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)

由尤-y)=/(x)/(y)，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式

cos(x+y)+cos(x-y)=2cos.rcosy,可設(shè)/(x)=acos0x,則由方法一中〃0)=2"⑴=1知a=2,acoso=l,

解得COS0=g

取0=§,

JT

所以/'(x)=2coswx，則

f^+y)+f(x-y)=2cos[^-x+^-y]+2cos^x-^-y\=4cos^-xcos^-y=f(x)f(y),所以〃x)=2cos：x

JJ，JJ/JJD

7=也=6

符合條件，因此/(x)的周期工一，/(o)=2,/(l)=l,且

7

〃2)=—1,/⑶=—2,〃4)=—1"⑸=1"⑹=2,所以/⑴+”2)+/⑶+”4)+〃5)+”6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以￡>(々)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1_1_2_1=-3.故選：A.

k=l

7.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)，(x),g(x)的定義域均為R,且

22

/(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的圖像關(guān)于直線尤=2對(duì)稱，g(2)=4,則￡/(%)=()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【詳解】因?yàn)閥=g(尤)的圖像關(guān)于直線》=2對(duì)稱，

所以g(2-x)=g(x+2),

因?yàn)間(x)-/(x-4)=7,所以g(x+2)-f(x—2)=7,即g(x+2)=7+/(x-2),

因?yàn)閒(x)+g(2-x)=5,所以/(x)+g(x+2)=5,

代入得/(x)+[7+/(x-2)]=5,即/(尤)+f(x-2)=-2,

所以/⑶+〃5)++/(21)=(-2)x5=-10,

/(4)+/(6)++/(22)=(—2)x5=—10.

因?yàn)?'(x)+g(2-尤)=5,所以f(0)+g⑵=5,即，(0)=1,所以/(2)=—2-/(0)=-3.

因?yàn)間(x)-/(x-4)=7,所以g(x+4)-f(x)=7,又因?yàn)椤皒)+g(2-x)=5,

聯(lián)立得，g(2—x)+g(x+4)=12,

所以V=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(3,6)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)g(無(wú))的定義域?yàn)镽,

所以g⑶=6因?yàn)閒(x)+g(x+2)=5,所以〃l)=5—g⑶=T.

22

所以X"幻=〃1)+〃2)+[/(3)+/(5)++/(21)]+[/(4)+/(6)++/(22)]=-1-3-10-10=-24.

k=l

8.(2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)設(shè)若％為函數(shù)”x)=a(x-a『(x-3的極大值點(diǎn)，貝U()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【分析】先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否變號(hào)，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)“進(jìn)行分

類討論，畫(huà)出/(X)圖象，即可得到。力所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】若々=人，則4為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意，故出b.

.?"