函數概念與性質專項訓練-2025屆高三數學一輪復習

2024-2025學年高三數學一輪復習5-一函數概念與性質專項訓練

一、單選題

1.函數〃*)=，2尤2+*—3的單調遞增區(qū)間為()

(31

A.l-oo,--B.(z-8,-1)

C.[l,+oo)D.-1,+00]

2.若函數〃尤)的定義域為。，則“為奇函數"是(0)=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.設函數/(無)在區(qū)間(。，鐘)上單調遞增，則”的取值范圍是()

X

A.(0,1]B.[l,+oo)C.(0,2]D.[2,+oo)

4.已知函數/(%)=J/__5在3,”)單調遞增,則。的取值范圍是()

A.—1]B.(—co,2]C.[2,+oo)D.[5,+<x))

5.已知函數“X)是定義在上的偶函數，在[T,0]上單調遞增.若/1+弓卜〃-2),

則實數尤的取值范圍是()

A.(-^o,-3)U(h+°o)B.(-3,1)

C.[—5,—3)u(l,3]D.[-3,1)D(3,5]

x2-ax+a2,x>2

都有("2)>0,則

6.函數/(%)=<幺-12滿足對石,工2eR且工產入2

--------，x<2x—x

、x—4i2

實數〃的取值范圍是()

A.(-oo,4)B.(-8,3)

c.(-雙-2ML3)D.(-^,-l]o[2,3)

二、多選題

7.下列說法不正確的是()

A.若〃％+1)的定義域為[-2,3),則/'(x-2)的定義域是[-1,4)

B.函數〃尤)=?^+」二的定義域是卜3,2)口(2,y)

%—2

C.函數y=x,xe[—2,2)是奇函數

D.若集合4=｛工|加+%+1=0｝中只有一個元素，貝!］。=工

8.對于定義在R上的函數〃x）,若"x-1）-1是奇函數，〃x+l）是偶函數，且“X）在［1,2］

上單調遞減，則（）

A."3）=0

B./（0）=/（2）

C./（1）+/（2）+/（3）+...+/（2023）+/（2024）=2024

D.“X）在［4,5］上單調遞減

9.已知函數的定義域為R,Vx,yeR,恒有“x+y）+2=/（x）+/（y）,且當尤＞0時,

f（x）＜2,則下列結論正確的是（）

A./（O）=2B./（3）=3/（1）-2

C./（-2024）+/（2024）=4D.Vx/一，,''一"々）＜。

玉一%2

10.下列說法正確的有（）

A.命題“Vx＞0,2%+1＞3”的否定是“以＞0,2x+143”

b4/7

B.已知必＜0,貝！J±+絲W-4

ab

C.已知。＞0,b＞0,貝廠W-42”是“4+6V8”的充要條件

a+b

D.函數/（x）='五a的值域是

V7X2+5I5」

三、解答題

11.已知函數/（x+l）=-+j；+5.

⑴求〃x）的解析式;

（2）判斷/（X）在［2,4?）上的單調性，并用定義法證明；

⑶若對任意的x?4,y）,都有〃力22%+1,求機的取值范圍.

2

12.已知函數/(x)=x-2,g(x)=/nx2-2mr+l(meR,z7i^O).

⑴若對任意xeR,不等式g(x)>/(x)恒成立，求m的取值范圍；

⑵若對任意石存在超e[3,4],使得8&)=/優(yōu))，求機的取值范圍.

2

一,x<0

x

13.已知函數〃￡)=,■--x,0<x<2.

—x2—3x,x之2

⑴求“0),/(/(2))；

⑵若〃租)=一1，求機的值;

(3)作出函數/(x)的圖象.

,4

14.已知函數〃%)=x+u

(1)用定義法證明函數f(x)在區(qū)間[1,E)上是增函數；

(2)函數/(力的定義域為求實數機的取值范圍.

15.已知函數/(x)=l%-2Q|+Q.

⑴若不等式/(%)<6的解集為(0,8),求〃的值；

⑵當。=3時，若存在x°wR,使得/(%)</—/(一1),求f的取值范圍;

(3)若/(%)>ax對任意xeR恒成立，求實數?的取值范圍.

16.已知函數/(X)是定義在R上的奇函數，當xNO時，

⑴當x<0時，求的解析式；

(2)判斷了(尤)在[0,+8)上的單調性，并用定義證明；

⑶若f優(yōu)+1)+〃2+辦)20對于Vxe[2,亙成立，求。的取值范圍.

4

參考答案:

題號12345678910

答案CDBDCDACDBCDACDBD

1.C

【分析】根據二次函數的性質，結合復合函數的單調性即可求解.

3

【詳解】由2/+彳_320,解得或-三

所以函數f（x）=y/2x2+x-3的定義域為1，，

^t=2x2+x-3，貝!Jy=〃，

函數t=2x2+x-3的對稱軸為x=-J,

所以函數"2元2+x_3在區(qū)間口。）上單調遞增，且叱0,

函數y=〃在［0,+8）上單調遞增，

所以函數/（久）在［1,+8）上單調遞增，

函數r=2/+x-3在區(qū)間，鞏-1上單調遞減，且此0,

函數＞=?在［0,+向上單調遞增，

所以函數/（無）在，*-|上單調遞減，

所以函數“久）的單調遞增區(qū)間為口,+8）,

故選：C

2.D

【分析】通過舉反例說明"/'（X）為奇函數”是“了（。）=0”的既不充分也不必要條件.

【詳解】由"/（X）為奇函數”不能得到“〃0）=0”，如〃x）=：,為奇函數，但在

尤=0時沒有意義.

由“〃0）=0"不能得到“f（x）為奇函數”，如〃x）=d,〃0）=0,但〃x）為偶函數.

故“/（X）為奇函數”是“/（0）=0”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

3.B

【分析】根據函數的解析式求解函數/（X）在（0,住）上的單調區(qū)間，再結合題給的區(qū)間求解

參數的范圍，最后得出答案.

【詳解】根據題意，xwO.設/赴?0,+co）,且占＞々＞。，

〃西）-/伍）=%

玉＞x2＞0Xj-x2＞0.

網＞々21時，1-提）＞0,此時/（X］）-/（X2）＞O，/（x）在（1,+8）上單調遞增;

馬＜為41時，1一一一＜0,此時_/&）一/伍）＜0,/（X）在（0,1）上單調遞減.

石工2

根據題意，函數/（X）在區(qū)間（。,討）上單調遞增，所以（a,y）=（l,y）,

解得，ae［l,+co）.

故選：B.

4.D

【分析】利用復合函數的單調性，結合二次函數求出函數“X）的單調遞增區(qū)間，再借助集

合的包含關系求出范圍.

【詳解】函數/（x）=&-4x-5中,X2-4X-5＞0,解得XW-1或X,5,

而函數〃=爐一八-5在上單調遞減，在［5,+8）上單調遞增，

又函數y=4在［。,+◎上單調遞增，因此函數/（尤）的單調遞增區(qū)間是［5,+8）,

依題意，（a,+°o）c［5,+co）,解得

所以a的取值范圍是［5,+oo）.

故選：D

5.C

【分析】根據定義域對稱求出。，再根據單調性和奇偶性可求不等式的解.

【詳解】因為/（x）為偶函數，故T+a—1=0即。=5,

而〃尤）在［T。］上單調遞增且〃尤）為偶函數，故”尤）在［。，4］上為減函數，

而+一2）即為〃》+1）＜〃一2）,

故4之次+］＞2,故-5＜xv-3或1＜%工3,

故選：C.

6.D

【分析】根據條件得到分段函數/（%）在R上單調遞增，需滿足每一段上單調遞增，且分段

處左端點值小于等于右端點值，從而得到不等式，求出答案.

【詳解】由對/且士力超，都有"—一/（*）＞o可得,〃尤）在R上單調遞增，

石-x2

2

ax-12(x-4)4-124a-12

其中x<2時,y==a+a=a+

x-4x-4x-4

--<2

2

故需滿足4tz-12<0解得2Wa<3或aW—l.

2a—12

M4—2a+ct~

.2-4

故選：D

7.ACD

【分析】對于A,根據抽象函數定義域的求解法則，求出定義域，即可判斷；

對于B,要使得分式，根式都有意義，可列出不等式組，解出不等式組，即可判斷;

對于C,由奇函數需滿足定義域關于原點對稱，即可判斷；

對于D,易得當。=0時，方程有唯一解.

【詳解】對于A,因為/（無+1）的定義域為［-2,3）,所以-2Vx<3,BP-l<x+l<4,

所以對于y=〃x-2）,-l<x-2<4,解得所以“x-2）的定義域是［1,6）,故A

不正確;

x+3>0、「、/、

對于B,由c八解得x13,且XW2,所以定義域為［-3,2）。（2,內），故B正確;

X—2WU

對于C,因為定義域2,2）關于原點對稱不成立，所以不是奇函數，故C不正確；

對于D,由題意得方程g?+*+1=0只有一個解，顯然當。=0時，x+l=0有唯一解x=-l,

故D不正確.

故選：ACD.

8.BCD

【分析】結合函數圖象變換,利用奇函數得了（x）的圖象關于點（T，1）對稱,利用偶函數得于3

的圖象關于直線x=l對稱，從而有了（一2-尤）+/（尤）=2,/（-1）=1,/（2-尤）=/（》），

/（0）=/（2）,兩者結合可得/（尤）+f（x+4）=2,這樣可計算選項C中的和，再由對稱性可

判斷單調性.

【詳解】若/（尤-1）-1是奇函數，即它的圖象關于原點對稱，

把的圖象向左平移1個單位，再向上平移一個單位得Ax）的圖象，

因此Ax）的圖象關于點（-M）對稱，所以/（-2-x）+/（x）=2,/（-1）=1,

/（x+1）是偶函數，即它的圖象關于'軸對稱，/（X+D的圖象向右平移一個單位得/5）的

圖象，

因此/(x)的圖象關于直線x=l對稱，從而“2-x)=/(尤)，/(0)=/(2),B正確;

所以/(4+x)=f(l-(3+x))=/(-2一元)=2-/(%),即/?(尤)+f(x+4)=2,

/(-1)+"3)=2,所以八3)=2-=A錯；

/(I)+/(2)+???+/(2024)=1012x2=2024,C正確;

/(x)在［1,2］上遞減，它關于直線x=l對稱，則“X)在上遞增，

又它的圖象關于點(-1.1)對稱，則在［-3,-2］上遞增，

3

再由它關于直線x=l對稱得它在［4,5］上遞減，D正確，

故選：BCD.

9.ACD

【分析】A選項，令x=y=O,求出/'(0)=2；B選項，令x=y=l,得/(2)=2/(1)-2,

令x=l,y=2,得/⑶=3〃1)_4,B錯誤;C選項，令尸—得,〃0)+2=〃X)+/(T)=4,

C正確；D選項，不妨設馬＞%，推出/(9)-/(為)=/仇-占)-2,根據*＞0時，/(x)＜2

得到〃9)-〃為)＜。，得到函數單調遞減，D正確.

【詳解】A選項，令x=y=0,得"0)=2,故A正確；

B選項，令x=y=l,得〃2)=2〃1)-2,

令x=l,y=2,W/(3)=/(2)+/(l)-2=3/(l)-4,故B錯誤；

C選項，令y=f得，〃0)+2=〃X)+〃T)=4,

即〃一2024)+〃2024)=4,故C正確;

D選項，不妨設%＞玉，/(*2)一/(占)=/'［(*2-占)+5］一/(玉)

=/(%-％)+/(%)-2-/(玉)=/(々-玉)-2,

由于尤2-%＞。，所以/(%-石)＜2,所以〃x2)-，a)＜。，

所以/(尤)為R上的減函數，故D正確.

故選：ACD.

10.BD

【分析】A：通過修改量詞，否定結論，然后判斷；B：先化負為正，然后利用基本不等式

計算并判斷；C：取特殊值判斷；D：先化簡f(x),然后根據對勾函數的單調性分析求解出

〃x)的值域.

【詳解】對于A：通過修改量詞，否定結論，可得否定是“*＞0,2尤+143”，故錯誤；

nhb4〃(b、4(b\4

對于B：因為必＜0,所以:二＜0,所以一+丁=---+尸大＜-2——卜建大二—4,

baab\a)fva)f

當且僅當=即6=-2〃時取等號，故正確；

4

nh

對于C：當a>0,b>0,------<2時，取a=3,〃=6,止匕時〃+b=9>8,

a+b

所以g42不能推出。+648,所以“342”不是Z+6W8”的充要條件，故錯誤;

a+ba+b

（Jd+4_&+41

對于D：因為名工222,所以/⑴=^^-=*+4）+廣］一,

&+4

令y=/+；（也2）,根據對勾函數的單調性可知…；在［2,+8）上單調遞增,

____12

所以+所以正^+國二,,所以°<正了7+^^"5,

Vx2+4

所以〃x）的值域為,故正確；

故選：BD.

4

11.（l）/（x）=x+-

（2）單調遞增，證明見解析

⑶S，2］

【分析】（1）利用配湊法直接求解即可；

（2）任取%>占22,由/（電）-〃占）=（/―百）-4）>0可得結論;

（3）根據單調性可得;■（%）1111n，根據/（x）*22m+1可構造不等式求得結果.

【詳解】(i)???”x+i)=：IF=T±Sx+i+/r-⑴

（2）〃x）在［2,包）上單調遞增，證明如下:

任取尤2>%22,

」=(%-%)+4(*")=(%-%)[1--—>|（王—龍1）&七一4）

/(%2)-/(%1)=%2+-----X1

XX

X2%1王龍2I\2)

?1,x2>%1>2,x2->0,^x2>4,

\在[2,+8)上單調遞增.

(3)由(2)知：〃x)在[4,-)上單調遞增，.?./⑺疝n=〃4)=4+l=5,

.?-2/77+1<5,解得：m<2,的取值范圍為(T?,2].

5

'2-62+疔

12.(1)

2'2

⑵[TO)

【分析】(1)變形為如2_(2機+1)尤+3>0,7"0,結合開口方向和根的判別式得到不等

式，求出答案；

(2)“X)在xe[3,4]上的值域包含g(x)在xe[l,2]上的值域，其中/(尤)=x-241,2],分

m>0和祖<0,得到g(x)在xe[l,2]上的值域，根據包含關系得到不等式，得到答案.

【詳角軍】(1)mxr-2mx+l>x-2=>?ix2-(2m+l)x+3>0,m0,

m>0

需滿足Lz[\2sc，解得

A=(2m+1)-12m<0

‘2-指2+疔

故機的取值范圍為

2'2

I7

(2)對任意石存在/e[3,4],使得g(%)=〃/),

故/(x)=x-2在xe[3,4]上的值域包含g(x)="zx2-2mx+l(〃zeR,〃?￥0)在xe[1,2]上的值

域，

其中xe[3,4]時，y(x)=x-2e[l,2],

8(%)=癖2-27儂+1(m?1<?7N0)的對稱軸為％=1,

若%>0,則屋彳六%2-2〃a+1(〃7?11,7九彳0)在工€[1,2]上單調遞增，

故g(x)e[g⑴,g(2)]=[fi+l,l],

但卜加+1,1]不會是[1,2]的子集，舍去；

當相<0時，則g(x)=〃發(fā)-2mx+1(:九eR,mw0)在xe[1,2]上單調遞減，

故g(x)e[g(2),g(1)]=[L,-m+1],

[L-M+1]是[L2]的子集,則IVTH+142,解得一IV根<0,

綜上，加的取值范圍是[TO).

6

13.⑴40)=0,〃〃2))=一：

⑵-2或1或3+幣

(3)答案見解析

【分析】(1)根據分段函數解析式計算可得；

(2)根據分段函數解析式，分類討論，分別計算可得;

(3)根據函數解析式，畫出函數圖象即可；

-2

一,x<0

x

【詳解】(1)因為/(x)=-x,0<x<2

—x2,—3x,x22

12

所以〃0)=0,/(2)=1X22-3X2=-4,

.?"(〃2))=〃-4)=￡=4.

2

(2)當機<0時，f(m)=—=—1,/.m=—2,

m

當0v2時，/(m)=-m=-1,:.m=\,

當機,2時，/(m)=^-m2-3m=-l,：.m=3±yfl,

綜上所述，機的值為-2或1或3+近.

14.(1)證明見解析

(2)-4<m<-l^c2<m<3

【分析】(1)根據條件，利用函數單調性的定義，即可證明結果；

"2

m-m-l<11-2m

(2)根據條件和(1)結果，得到不等式組療-機-121,即可求解.

ll-2m>l

【詳解】(1)任取石<龍2，且菁,馬￡[1，+8)，

7

44X_X+4(1一占)=(x_X)[(/+1)(，+1)—4]

則/(玉)一/(%2)=%1H------X?---------------

12(%+1)(%+1)*2(石+1)(4+1)

國+1X2+1

又西<彳2，玉，龍，e［l,+8),貝lj玉+122,%+2>2,所以尤］一/<0，(網+1)(%+1)>4,

得到了(%)一/(%)<0,即〃為)</(々)，所以函數/(X)在區(qū)間［L+8)上是增函數.

(2)因為函數〃x)的定義域為［1,內)，且在區(qū)間［1,+8)上是增函數，

m2-m-1<ll-2m

由了(機2一加一1)</。1一2m)，得至I卜根之一加一INI,解得-4<加工一1或2K根<3,

ll-2m>l

所以實數機的取值范圍為-4vm4-1或2<MV3.

15.(l)a=2

(2)［18,+oo)

⑶*

【分析】(1)將解析式代入不等式后可得關于。的絕對值不等式，解不等式后再結合解集為

(0,8),可得。的值.

(2)將a=3代入函數解析式，將不等式變形后可構造新函數，將不等式能成立問題轉化為

函數的最值問題后求出f的取值范圍.

(3)對。進行分類討論，分析當a取不同取值范圍時不等式的解集是否為R,進而求出。

最終的取值范圍.

【詳解】(1)不等式7。)<6的解集為(0,8),

所以|x-2a|<6-。的解集為(。,8),

由|%—2。|<6—。，可得a—6Vx—2av6—a,求得3a—6〈尤V6+Q,

又因為解集為(。,8),

故有3a—6=0,6+a=8,

故a=2.

(2)當a=3時，f(x)=|x—61+3,

若存在x°eR,使得了(%)?—/(—%),

即存在x()eR,使得/(%)+〃一/)4/,

令g(x)=f(x)+/(-x)=|x-6|+|x+6|+6,

故g(x)的最小值g(x)?1ta41,

X|x-6|+|x+6|+6>|(x-6)-(x+6)|+6=18,

當且僅當xe［-6,6］時等號成立，

所以g(x)的最小值為18,

故后18,

故使了(尤)4/〃-尤)有解的實數^的范圍為［18,+8).

(3)若|x-2a|+aNax恒成立,

則|無一2。|2ar-a恒成立，

8

則九一2々之辦一a或x—ax恒成立,

即（1-a）x2〃或（1+a）x＜3a恒成立.

①當。＞1時，解得xW=或屈

不等式解集不為R（舍），

3

②當。=1時，解得021或xWj,

不等式解集不為R（舍），

③當時，

解得x＞或尤＜，

1-a1+。

若不等式解集為R,

則，

1—。1+a

所以3a(l—a)?a(l+a),解得,

④當。=一1時，解得X"；或0V—3,解集不為R（舍），

⑤當時，解得xN二或解集不為R（舍），

綜上所述，。的取值范圍是0,；.

2x

16.（1）/（%）=一一-

%—3

（2）單調