河北省2024-2025學年高三年級上冊11月階段調(diào)研檢測二 數(shù)學試題(含答案)_第1頁
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文檔簡介

河北省2025屆高三年級11月階段調(diào)研檢測二

數(shù)學

本試卷共4頁,滿分150分,考試用時120分鐘。

注意事項:

1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需

改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項

是符合題目要求的。

1.已知全集U=ZU8=’CNN—IOXWO},2門@8)={1,3,5,7},則集合8=()

A.{2,4,6,8}B.{2,4,6,8,9,10}

C.{0,2,4,6,8,10}D.{0,2,4,6,8,9,10}

2.函數(shù)j=Jig(、一1)的定義域為()

A.>1}B.卜卜>2}C.卜年>10}D.卜卜>11J

3.若事件Z,8發(fā)生的概率分別為0(N),P⑻,(P(Z)〉O,P(8)〉O),貝廣尸(以Z)=尸(5)”是

“尸(削B)二尸(4)”的()條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分且必要D.既不充分又不必要

4.球。是棱長為1的正方體的外接球,則球。的內(nèi)接正四面體體積為()

1V61V6

A.-B.-----C.一D.——

2634

5.某同學擲一枚正方體骰子5次,記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù),統(tǒng)計出結(jié)果的平均數(shù)為2,方差為0.4,可判

斷這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

>0,且」-+Li,

6.已知x>1,y則4x+y的最小值為()

x—ly

15+5后

A.13B.---------C.14D.9+V65

2

7.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(2x+l)為奇函數(shù),/(2x+4)=/(2x),則一定正確的是()

A./(x)的周期為213./&)圖象關于直線》=1對稱

C./Q+1)為偶函數(shù)D./(x+3)為奇函數(shù)

8.已知函數(shù)/(x)=2sin]⑺—智(0〉0)在區(qū)間[,兀]上有且僅有一個零點,當0最大時/(x)在區(qū)間

[-100匹100兀]上的零點個數(shù)為()

A.466B.467C.932D.933

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的選項中,有多項符合題

目要求。全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分。

8&6

9.^r(2x-1)=asx+a.jX+a6xH-1-a2x~+a1x+a0,貝U()

A.a?!?B.\——8

C.%+出+%+…+%+%=°D.%一出+。3—。4+,,+%—。8=—6561

10.已知平面內(nèi)點2(—1,0),8(1,0),點尸為該平面內(nèi)一動點,則()

人.|丑目+|尸目=4,點尸的軌跡為橢圓=點尸的軌跡為雙曲線

C.|R4|?忸用=1,點尸的軌跡為拋物線D.g3=2,點尸的軌跡為圓

1111\PB\

11.如圖,圓錐S。的底面直徑和母線長均為6,其軸截面為△S48,C為底面半圓弧48上一點,且

AC=2CB,SM=ASC,而=〃陽0<4<1,0<〃<1),貝I()

A.當4=!時,直線與8c所成角的余弦值為巫

220

B.當幾=〃=,時,四面體"MN的體積為28

21

C.當〃且〃面ONC時,2=-

4

D.當時,2=-

7

三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。

22

12.雙曲線C:%=1(?!?力〉0)的左焦點為尸,右頂點為8,點尸到漸近線的距離是點5到漸

近線距離的2倍,則C的離心率為.

13.已知數(shù)列{%}滿足%=(-1)"(2〃-1),其前100項中某項正負號寫錯,得前100項和為-50,則寫錯

的是數(shù)列中第項.

14.如右圖所示,△4BC中,D,E是線段5c的三等分點,尸是線段/C的中點,BF與4D,AE分

別交于N,則平面向量而用向量而,而表示為.

四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)在△43。中,角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,2a1-2b1=2cacosB-be.

(1)求角4的大??;

(2)若b+c=5,△NBC的面積為白8,求△ZBC的周長.

2

16.(15分)如圖,在四棱錐S—48CD中,底面48CD為直角梯形,AD//BC,AD1AB,

AD=AB=2BC,ASAB為等邊三角形且垂直于底面ABCD.

(1)求證:SDVAC-,

(2)求平面S5C與平面SQC夾角的正弦值.

17.(15分)已知函數(shù)/(x)=xlnx+L+ax(a£R)?

x

(1)當4=1時,求/(X)的圖象在點(1,2)處的切線方程;

(2)當。=0時,求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(3)若函數(shù)H(x)=x/(x)-j+21iu單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.

22萬

18.(17分)橢圓C:++%=l(a〉b〉O)左右頂點分別為Z,B,且|48|=4,離心率e=]-

(1)求橢圓C的方程;

(2)直線/與拋物線/=4x相切,且與。相交于〃、N兩點,求△?V3面積的最大值.

19.(17分)(1)在復數(shù)范圍內(nèi)解方程/=1;

(2)設Z]CC,Z2dC且Z2W0,證明:色=旦;

(3)設復數(shù)數(shù)列匕,}滿足:㈤=1,且對任意正整數(shù)〃,均有42〉]+22"2,川+2;=0.證明:對任意正

偶數(shù)機,均有匕1+與+…+zj<2]3.

河北省2025屆高三年級11月階段調(diào)研檢

測數(shù)學參考答案與解析

1.【答案】D2,【答案】B3.【答案】C

4.【答案】C

【解析】因為正四面體可以補形為正方體,可知右圖中正四面體和正方體有同一外接球,正方體棱長為

I,則體積為1,可得正四面體體積為正方體體積去掉四個角上的四面體體積,即1-4x^=1故選C.

【解析】不妨設五個點數(shù)為石3V》44天,由題意平均數(shù)為2,方差為0.4,

=

知(X]—2)一+—2)~+(玉—2)~+(》4—2)~+(%—2)~=2.西+x?+遍++/10.

可知五次的點數(shù)中最大點數(shù)不可能為4,5,6.

五個點也不可能都是2,則五個點數(shù)情況可能是3,3,2,1,1,其方差為

(3-2)2+(3-2)2+(2-2)2+(1-2)2+(1—2)24

=—=0.8,不合題意.

55

若五個點數(shù)情況為3,2,2,2,1,其方差為

(3—2丫+(2-2)2+(2—2)2+(2—2丫+(1—2)22

i———————_L±.4,符合題意,其眾數(shù)為2.

5=5=O

故選B.

6.【答案】A

【解析】vx>1,—1〉0,又〉〉0,且,+工=1,

x-1J

rii)了?4(i)

4x+y=4(x-l)+y+4=[4(x-l)+y]——+-+4=9+

(Iy)X-1y

當且僅當上=4(xT),解得x=*,y=3時等號成立,故4x+y的最小值為13.故選A.

x-1y2

7.【答案】D

【解析】/(2x+l)為奇函數(shù),得/(2x+l)+/(—2x+l)=0,即/(x+l)+/(—x+l)=0,

則/(x+1)為奇函數(shù),故C錯誤;

且/(x)圖象關于點(1,0)中心對稱,故B錯誤;

/(2x+4)=/(2x)可知,函數(shù)/(x)周期為4,故A錯誤;

f(x)=f(x+4),又C(x)圖象關于點(1,0)中心對稱,知/(x)=-/(2-x),

所以/(x+4)=—/(2—x),得/(x)關于點(3,0)對稱,則/(x+3)關于點(0,0)對稱,

所以/(x+3)為奇函數(shù),故D正確.故選D.

8.【答案】B

【解析】【法一】由題意,函數(shù)/(x)=2sin(ox—四](0〉0),可得函數(shù)的周期為7=0,

V3;①

兀g兀兀兀

因為XG,71,可得GX----G----------,?!?/p>

33333

又由函數(shù)y=2sin[<z>x—])(0〉0)在區(qū)間兀上有且僅有一個零點,

(/左7一1、)兀/??--兀--兀---〈析7八k-\<---<k

'"aa2TI7i33

且滿足33,且?!浚傻肎V3,即4且3,

兀(o3,1,,

左兀<G兀一]-(左+1)兀k<co——Vk+1

3

2

-1,<,0------1-<0C——<a)<\

333

當左=0時,\,解得《,所以一<。<1;

143

0<a)--<1

3133

八,

0<-0-----1<1,l<(y<4

33一47

當左=1時,<,解得《47,所以一<①?一;

,1--<^<-33

\<CD——<2133

3

4<(y<7

3;解得<

當左=2時,<,710,此時解集為空集,

—<a><—

2<a>——<3133

3

綜上可得,實數(shù)。的取值范圍為IJ"

77兀

所以§,得/(x)=2sin—x—

Imax33

7兀

f(x)=2sin—X—=Gn:x—^=kn(keZ)解得x=+左eZ)

33

令-100小西+為100兀=>-100-L迎]_

777773333

-701699

〈左〈也=233,共有467個零點.故選B.

33

2兀

【法二】由題意,函數(shù)/(x)=2sin(DX——j(J2)〉。),可得函數(shù)的周期為了二」

3

兀G兀兀兀

因為,可設%=@x——,貝he--------,①71----

3333

又函數(shù)y=2sinox—/(?!?)在區(qū)間方,兀上有且僅有一個零點,

27r7L71<?)jr7T2冗

‘2兀—'可得0<oV3,所以—‘<竺—則由y=2siW圖象性質(zhì),

。33333

?!∕兀C

——<-----<00<ty<1

333

可知<,得《14,即一<g<1.

?!?lt;a)<—3

0<am——<兀133

3

八〃m兀2兀

0<-----<——1<?<3

333,得.47

或者<47,即一<0V—.

兀JC—<a)<—33

71〈①71——?2兀133

3

7

所以外最大為得/(x)=2sin

=0ngx—1=A7i(《£Z),解得x=^^+](左£Z).

令TOO叱停+牙002一100一;吟*100一齊卷工*〈100x7]_

33

-701699

共有467個零點.故選B.

33

9.【答案】AC

【解析】令x=0,則(0—1)8=%=1,故A正確;

35

由二項式定理a3x=Cl(2x)3(-1)=—448/,則/=-448,故B錯誤;

令X=1,貝!J(2—1)'=/+%+&+--F?+。1+口0=1,

貝!Jq+。2+/+…+%+。8=0,故C正確;

令X=-1,則(—2-I)=。8—。7+。6,+。2—"1+。0=6561,又。0=1,

所以。8—%+牝----F?—4=6560,得力—外+%—%"I—,+%一1—6560,故D錯誤.

故選AC.

10.【答案】AD

【解析】由橢圓的定義知A正確;

線段ZW的長度與線段8/的長度的差為1<|46|=2,則M的軌跡應為雙曲線靠近8點的一支,故B

錯誤;

2

設點P(x,y),由|尸聞-\PB\=1得J(x+lC+).^(x-l)+/=1,

整理得(X2+2X+1+J2)(X2-2X+1+/)=1,即x4+/+2x2y2-2x2+2/=0,

當y=0時,x4-2x2=0,得x=0或x=±V2,

故曲線與x軸有三個交點,軌跡不為拋物線,故C錯誤;

由四-

由阿一=2,整理得

216

+v=—

-9

即軌跡是以為圓心,g為半徑的圓,故D正確.故選AD.

11.【答案】ACD

【解析】由題意可知是邊長為6的等邊三角形,SA=SB=SC,NC=3百,BC=3.

2=:時,M為SC的中點,取〃=!■得"乂〃5C,/ZW為直線與5c所成角或其補角,

又/〃=士叵,AN=36MN=—=~.^\cosZAMN=~幺一=亞,故A正確;

222.3V10320

2x-------x—

22

在Rt^ZBC中,AB=6,BC=3,得5人彳叱=Lx3x3G=^,

ZA/IDC22

1Q/T

SOV^ABC,且5。=36,則四面體£45C的體積為—X±X3G='.

322

2=//=-,/為SC的中點,N為S3的中點,故四面體體積為四面體£48。體積的四分之一,

2

27

得四面體”"N體積為,,故B錯誤;

8

對于CD選項:

2

【法一】當〃=—時,取SN的中點尸,則4P〃ON,

3

過尸作W〃CN交SC于/,

此時M為SC的中點,所以面4PW〃面ONC,

得幺M〃面ONC,所以4=工,故C正確;

2

當〃=;時,AN工SB,

在面SC8內(nèi)過N作;WJ_S8交SC于M,

ss

則S3上面MW,AMu面AMN,

故此時得到的AM±SB,

△SCB中,SC=SB=2CB=6,

7

由余弦定理得cosNCS8=—,SN=NB=3,ZSNM=9Q°,

8

24

24V4

得S"=一,則幾='=—,故D正確.故選ACD.

767

【法二】則以。為坐標原點,過點。與48垂直的直線為x軸,分別以。5、0s所在直線為y軸和z軸

建立如圖所示的空間直角坐標系,由題意得

50,0,36),幺(0,-3,0),5(0,3,0),C也,。,0

(22

SB=(0,3,-3^ySC=^,-,-3A/3,

(22?

SM=ASC,而=〃豆(0<4<1,0<〃<1)

對于C,//=|,則而=?2—26),ON=OS+SN=(0,2,s/3y

設平面ONC的一個法向量為〃=(x/,z),

2y+出z=0

nON-0

可取后-)

則_____.KL+J1=6,2

n-OC=0

122'

(aha\

ZM〃面ONC時,得加G=0,^y-2,j2+3,3V3-3V32-(-I,A-2)=0

解得4=故C正確.

2

對于D,麗=0,3,—36),

速2士+3,3百

AM=AS+SM

22

由NWSB得,[浮4^/1+3,36—36/1.(0,3,-373)=0,X.故D正確.

故選ACD.

12.【答案】2

13.【答案】38

【解析】an=(-1)"(2〃—1),則其前100項和為

-1+3-5+7-9+11-…+195-197+199=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+(-197+199)

=2x50=100

某項正負號寫錯后得前100項和為-50,說明某正項寫成了負數(shù),又100-(-50)=150,150+2=75,

故寫錯的數(shù)為75,令%=(-1)"(2〃—1)=75,解得〃=38.故寫錯的是數(shù)列中第38項.

14.【答案】—C4-—C5

2010

【解析】【法一】AD與BF交于M,可設G^ux詆+yEln^MX詆+Zy^nx+ZyMl,

CM=xCB+yCA=>CM=^xCD+yCA^^x+2y=\

解得x=!,y=~,得兩=」赤+」池.

2.424

—?1—■2—?

同理得CN=—C8+—CZ,

55

——?—■——■(1—-2—(1—■1—3—■3—■

所以ACV=CN—CM=-CB+-CA--CB+-CA\=—CA——CB.

(55八24J2010

【法二】過點£作EG〃AF交NC于點G,

A

BE_FG4F_3_AN

拓—1一充=而一萬一而,

得/N=。仁赤赤-3而,

5(3J55

同理過點D作BF的平行線可得,

——?3—?3(2—■—1—■3—■

AM=-AD=-\-CB-CA\=-CB——CA,

44(3)24

M—而=匹—河—[埼―河二薩一舒.

【法三】設彳耳=幾近,BN=/JBF,則強+新=麗,得詼+4施=〃而,

又因為次=瓦—瓦I=—反—豆2,BF=-BC+-BA,

322

所以詼+力[24—第]=〃[工元+工詼]n(l_4)詼+"前=幺元+幺詼.

(3)y22)322

故i—4=幺,—=^,解得4=3,〃=3,

23255

—■3—?38一?—1—■3—?

則ZN=—ZE=--CB-CA\=-CB——CA.

55(3J55

同理可得而=3詬=3(2赤—0]=工赤―。池,

44(3)24

MN^AN-AM=[-CB--ci\A-CB--ci\=—CA--CB-

(55八24J2010

【法四】特殊三角形法

設△48C是底為12,高為2的等腰三角形建立如圖所示的平面直角坐標系,

得4(0,2),3(-6,0),C(6,0),Z)(-2,0),£(2,0),F(3,l),

12

得直線/Z):y=x-1-2jAE:y——x+2,BF:jv=—x+—>

31_64

解得〃,N

252555

CA=(-6,2),赤=(-12,0),

273

=(-62,22)+(-12//,0),

lo'To

33—?3—?3—?

解得幾=一,〃=—一,所以"?V=——C4——CB.

20102010

15.解:(1),:2a"-2/=2cacosB-be,由余弦定理得,2G?—/)=<?+/-/—be,

b~+c~—a-=be,

b1+c2-a1

cosA

2bc2

又/e(0,兀),

,兀

A——

3

(2)因為△ZBC的面積為主2,即,bcsiiL4=Lxbxcxsin^=吏,

22232

be=6.

由余弦定理得/=b2+c~-2bccosA=b~+c~-be=0+c)~-3bc=25-18=7.

解得a=y/l.

所以△48C周長為5+J7.

16.解:(1)【法一】證明:如圖所示,取Z8中點。,△“B為等邊三角形,.,.S0LZ5,

又?.?面£45垂直于底面Z8CD,交線為AB,

得S。,面45CQ,

又NCu面ABCD^SO±AC.

底面Z5CD為直角梯形,AD//BC,AD=AB=2BC,

AD=AB,AO=BC,ADAO=AABC=90°,

所以△四。注ABC,ZBAC=ZADO,ZADO+ZAOD=90°,

所以N5ZC+NZOD=90°,得。QLZC,

又SOnOQ=O,得ZC,面SO。,Mu面SO。,所以⑼,ZC.

【法二】取45中點。,為等邊三角形且垂直于底面,交線為4B,

則S0LZ5,得5。_1_面45cD,

又因為AD〃8C,ADLAB,AD=AB=2BC,

可設AB=2,

則以。為坐標原點,過點。與5c平行的直線為y軸,分別以05、S。所在直線為x軸和2軸建立如圖

所示的空間直角坐標系,

得S(6,0,G),2(—1,0,0),C(1,1,0),£>(-1,2,0)

得%=(2,1,0),麗=《12-G),

所以k?麗=(2,l,0>Gl,2,—G)=—2+2=0,

得smzc.

(2)【法一】由(1)知5。,面48。。,

不妨設AD=AB=2BC=2,則SO=K,

以。為坐標原點,過點。與5c平行的直線為y軸,分別以08、S。所在直線為x軸和z軸建立如圖所

示的空間直角坐標系,

得S(b,O,G),5(1,0,0),C(1,1,0),£>(-1,2,0)

豆=1,0,-G),女=0,1,-G),麗=6,2,_灼;

設平面SBC的一個法向量為n=(x,y,z),

n-SB=0x-Cz=0

則_____

n-SC=0x+y-Gz=0

可取〃=G,o,G);

設平面SC。的一個法向量為機=(七,H/]),

m-SC=0fx+v,-#>Z1=0

則_____.,即?/*

m-SD=0-X]+2%一J3Z1=0

可取機=(1,2,V3).

設平面SBC與平面SDC夾角為9,

m-n3xl+V3xV3_V6

則cos6^=cos(m,7/

V9+3-V1+4+3-4

所以平面SBC與平面SDC夾角的正弦值為叵

4

【法二】不妨設AD=AB=2BC=2,

ASAB為等邊三角形且垂直于底面ABCD,交線為48,

底面Z5CD為直角梯形,AD//BC,ADLAB,

所以ZQ_L面£48,

又AD〃BC,得5CL面£48,

8Cu面S5C,得面S5CJ_面£48,交線為S3,

取S3的中點。,則Z0LS5,

等邊△“B邊長為2,則2。=百,

AD//BC,則AD〃面S8C,

則。點到面SBC的距離等于Z點到面SBC的距離為V3,

因為面£45,面£48,ASAD,△SBC均為直角三角形,AD=AB=2BC=2,

得SD=2后,SC=45,CD=M.

/7

作QELSC,可得£>£=¥2■

V5

V3

所以平面SBC與平面SDC夾角的正弦值為TVio

2瓜—4-

~JT

17.解:(1)當Q=1時,函數(shù)/(x)=xlnxH----FX(X〉0),

X

得r(x)=hu+2—4,則/(1)=1,

X

所以/(%)的圖象在點(1,2)處的切線方程為y=x+L

(2)因為當〃=0時,f(x)=xlnx+—(x>0),

x

ii7

/"(x)=lru+1--,f,,(x)>=—+—>0.

所以/'(x)=liu+1—4在(0,+s)上單調(diào)遞增,又廣⑴=o,

X

故當XG(0,1)時,/'(%)<0,/(X)單調(diào)遞減,

當xe(l,+oo)時,/'(x)〉0,/(x)單調(diào)遞增,

綜上所述:/(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8).

(3)由f(x)=xlnx+—+6zx,且H(x)=xf(x)-^-+21nx,

2

得7/(x)=xxlnxdax--+21nx=x2lnx+ax2--+21nx+l單調(diào)遞增,

2

所以〃'(x)20在(0,+8)上恒成立,

又H'(x)=2xlnx+x+2ax-x+—=2xlnx+2ax+—

xx

2

由題意H'(x)20恒成立,得2xlnx+2ax+—20,

即xlnxH---Fax20恒成立,得axN-xlwc——=>a>-Inx——-恒成立,

XXX

設800=_血T,得g'(x)=一+—=—

XXXX

X(0,V2)V23^+00)

g'(x)+0—

g(x)/極大值—In—

2

所以當x=/時,8^最大為—必行—^.

所以。2-Ira--1恒成立,得。2-111后—1.

%22

yI-1

綜上,若函數(shù)8(x)=x/(x)-j+21IU單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍為-In后--,+00

18.解:(1)由題意[4§|=4,得2。=4,a=2.

又。的離心率為得二=交,所以。=也,

2a2

則62=/_02=4_2=2,

22

得橢圓。的方程為土+匕=1.

42

(2)【法一】由題意當直線/斜率不存在時,直線/方程為x=0,

易得=止匕時S4MNB=;義2逝義2=2e.

當直線/斜率存在時,方程可設為y=fcc+7〃,與拋物線/=4x聯(lián)立得

(kx+m)2=4xnk2x2+2kmx+m2=4x

整理得k2x2+(2km-4)x+m2=0

由A=(2km-4)2-4k2m2=0=km=1.

y=kx+m

聯(lián)立<%2,2,得(1+2左2)%2+4.x+2加2_4=0,又km=l,

U2

整理得(1+2左2)/+4x+2m2—4=0

J.A=16-4(l+2F)(2m2-4)>0^4^2-m2>-2^4F—^>-2

得左2〉亙11

4

-42m-4

設N(X2,%),則石+5=]+2左2'取2=1+2左2

-4|2,2m2-42m2-4)(1+2k2)

得的|?-1+2/

1+2左2(1+2左2]

2—朋2+442

=J1+左2

(1+2左21

又點B到直線y=kx+m距離為嚴十可,

\1+k?

2左2-m2+4左2)(2左+加)~

2-m+42\2k+m\=行

(1+2左21J1+左2(1+2左2j

:2—機2+4左2)(4左2+4+機2)24左2+8—2切2—?/+16左4

=66

(1+2左21(1+2左2j

8(2左4+3左2+1)_2F+18(2左2+1)&+])2F+1

=叵左4=叵k4

(1+2左2](1+2F)2

86+l)T

8左6+8左,一I68左6+8左4_1

=6

1+2左2左40+2左2)―7V2二+k4

3^^"+4左4」

2左6+左4

I

由二次函數(shù)性質(zhì)知當正=1(滿足左2〉、—)時,

、/5,-g+g+4取得最大值為,

綜上所述,得△跖V3的面積的最大值為而.

【法二】由題意知直線/斜率不為0,故方程可設為》=叩+〃,

與拋物線y2=4x聯(lián)立得y2=4my+4n=>y2-4my-4〃=0,

直線/與拋物線相切得A=(4m)2+16〃=加2+〃=0,

x=my+n

聯(lián)立<2,得(川+2?2+2加町+“2_4=0,

142

且A=4m2n2-4(m1+2)(〃?-4)〉o=>-n2+2m2+4>0.

設N(“2)

-2mnn2-4

則%+%=

m2+2y^2=m2+2

又%=叩+〃與%軸交于點(〃,0),

11/-------2-----------

則SAWB=51〃—2|X|弘一%|=51〃—2|J(%+%)~—4%%

|^-2|\(-Imn//—4

24m2+2-4——

m2+2

又加2+〃=0,

S^MNB=A/2|?-2|j<4=72yj-n2-2n+A=^^-(?+1)2+5,

V(f+2)

當〃=一1(此時機2=1,符合—/+2機2+4〉。)時,國—(“+1)2+5取得最大值為麗

綜上所述,得△跖V3的面積的最大值為麗.

【法三】由題意可設直線/的切點為(為,%),

則切線方程為y()y=2x+2%

當切點為原點時,易得S&NB=LX2血乂2=2血

LX1MV11ND2

當切點不是原點時,聯(lián)立<了+與=1^X2+2(2X+2X°]-4=0

y0y=2x+2x0I%J

2

整理得(x0+2)x+4xx0+2x1-4x0=0

A=16XQ-4(x0+2)(2x:-4%)〉0,得0<%<1+后

設〃(X[,%),N@2,%)

._4xn2%—4%

貝IJ陽+%2=---------—,項'2

%o+2-%+2

彳2片-4/=ll+x0巧;_4(2丁_4%)(/+2)

得物|二

%+2yxoyGo+2)2

又點、B到直線為y=2x+2x0距離為,

J4+y;Jl+x0

血卜Xo卜X。(x;-2/-4)曷+21_6宙_2/_4)(%+2y

c

"AMNB22

N%N(x0+2)V(x0+2)

當/=1時(滿足0<%<1+后),面積最大5^“后=麗?

綜上所述,得△跖V3的面積

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