基本不等式（解析版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第03講基本不等式

（6類核心考點精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式

2023年天津卷，第14題,5分

求積的最大值

2021年天津卷，第13題,5分基本不等式求和的最小值

2020年天津卷，第14題,5分基本不等式求和的最小值

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題靈活，難度有高有低，分值為5分

【備考策略】L理解、掌握基本等式的基本內(nèi)容

2.能掌握基本不等式的解題方法

3.具備函數(shù)與基本不等式思想意識，會利用函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式解決最值問題

4.能夠在基本不等式與其他知識點結(jié)合時，靈活運用基本不等式的解題方法

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般最值問題，考慮使用基本不等式

I「?考點梳理

考點一、直接法

1.基本不等式的形式考點二、配湊法

2.幾個重要的不等式考點三、常數(shù)“1”的代換

基本不等式知識點：基本不等式〈

3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)v考點四、和積定值

4.利用基本不等式求最值問題考點五、消元法

考點六、雙換元

知識講解

知識點.基本不等式

1.基本不等式的形式：

(1)基本不等式成立的條件：aNO,

(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=A時取等號.

(3)其中陪稱為正數(shù)a,力的算術(shù)平均數(shù)，4瓦稱為正數(shù)a,6的幾何平均數(shù).

2.幾個重要的不等式

⑴才+Z/22M>3b￡R).

ho

(2)-+-^2(a,8同號).

ab

(3)a6W(^^)(a,力CR).

燈號(a,66R).

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

設(shè)a〉0,b>0,則a,6的算術(shù)平均數(shù)為手，幾何平均數(shù)為“瓦，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均

數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

4.利用基本不等式求最值問題

已知x>0,y>0,則

(1)如果積燈是定值夕，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=p時，x+p有最小值25.(簡記：積定和最小)

2

(2)如果和x+y是定值R那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，盯有最大值￡.(簡記：和定積最大)

考點一、直接法

典例引領(lǐng)

1.(2021?全國?高考真題)下列函數(shù)中最小值為4的是()

-4

A.y=%z+2%+4B.y=Isinxl+—―-

'y|sinx|

C.y=2X+22TD.y=Inx+二

【答案】c

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷4選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出

B,D不符合題意，C符合題意.

【詳解】對于A,y=%2+2x+4=(%+I)2+3>3,當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時取等號，所以其最小值為3,A不

符合題意；

對于B,因為0<|sinx|W1,y=|sinx|+>2V4=4,當(dāng)且僅當(dāng)|sinx|=2時取等號，等號取不到，所

以其最小值不為4,B不符合題意；

對于C,因為函數(shù)定義域為R,而2%>0,y=2x+22-x=2x+^>2^4=4,當(dāng)且僅當(dāng)2,=2,即x=1時

取等號，所以其最小值為4,C符合題意；

對于D,y-Inx+函數(shù)定義域為(0,1)U(1,+8),而InxeR且In無力0,如當(dāng)Inx=-1,y--5,D不

符合題意.

故選：C.

【點睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)

的性質(zhì)即可解出.

2.(2021?天津?高考真題)若a>0,6〉0,貝壯6的最小值為

ab2----------------

【答案】2V2

【分析】兩次利用基本不等式即可求出.

【詳解】a>0,b>0,

■■--+~+b>2+b=^+b>2口=2V2,

ayab7b

當(dāng)且僅當(dāng)工="且1=b,即a=b=/時等號成立，

abzb

所以工+G+b的最小值為2魚.

abz

故答案為：2VI

避即時檢測

1.(2024?寧夏銀川?二模)己知4(3,0),8(—3,0),P是橢圓[+[=1上的任意一點，則仍如?|PB|的最大

2516

值為.

【答案】25

【分析】先根據(jù)條件得伊知+\PB\=10,再利用基本不等式求最值.

22

【詳解】由已知可得4(3,0),B(—3,0)為橢圓3+9=1的焦點，

2516

根據(jù)橢圓定義知|P川+\PB\=10,

所以陷|?\PB\<(世詈I?=25,

當(dāng)且僅當(dāng)|P4|=\PB\=5時等號成立，

故伊川?|PB|的最大值為25.

故答案為：25.

2.(2024?甘肅定西?一模)/+5+近的最小值為()

X2

A.2V7B.3V7C.4V7D.S中

【答案】B

【分析】利用基本不等式即可得解.

【詳解】由題意知X大0,所以/>0,彳>。，

X2

所以/+4+V7>2"0+77=3夕.

X27X2

當(dāng)且僅當(dāng)/=[,即/=近時，等號成立.

故選：B.

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）若x>0,y>0,3%+2y=l,則8*+獷的最小值為（）

A.V2B.2V2C.3V2D.4近

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由基本不等式代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】8*+4>=23%+22y>2V23X-22y=2>j23x+2y=2V2,

當(dāng)且僅當(dāng)23久=22y且3%+2y=1,即x=-,y=工時等號成立，

64

故選：B.

4.（2024?重慶?模擬預(yù)測）若實數(shù)a,6滿足ab=2,則a?+2爐的最小值為（）

A.2B.2V2C.4D.4應(yīng)

【答案】D

【分析】借助基本不等式計算即可得.

【詳解】a2+2b2>2〃2a2b2=2V2x22=4位,

當(dāng)且僅當(dāng)a?=202時，等號成立.

故選：D.

5.（2024?安徽?模擬預(yù)測）若a>0,b>0,則“VH+迎W2”是“a+bW1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】借助充分條件與必要條件的定義，先借助特值排除充分性，再借助基本不等式驗證必要性即可得.

【詳解】當(dāng)a=b=l時，仿+7^42成立，而a+bW1不成立，

故“歷+VFW2”不是“a+bW1”的充分條件；

當(dāng)a+6Wl時，有a+b22V^F,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立，

則6+Vb=J（Va+Vb）2=y/a+b+2y[ab<J2（a+b）=V2<2,

故“傷+傷<2”是“a+bW1”的必要條件.

故選:B.

6.（2024?四川成都?三模）若正實數(shù)a,6滿足a?+匕2=巾，則a+b的最大值為（用m表示）.

【答案】歷

【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求解即得.

22

【詳解】因為a,b是正實數(shù)，a+b=m,所以(a+力尸=Q?+廬+2防工+爐+(標+62)=2血，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時取等號，于是a+b<72m,

所以Q+b的最大值為

故答案為：師

考點二、配湊法

典例引領(lǐng)

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))若函數(shù)/(%)=X+-^―(%>3)在％=Q處取最小值，則a=_____.

x-3

【答案】4

【分析】利用配湊法可得/(%)=%-3+++3,結(jié)合基本不等式計算即可求解.

【詳解】/(%)=x——=x-3H---F3之2/(X—3),——1-3=5,

x-3x~3yx~3

當(dāng)且僅當(dāng)汽-3=與即％=4時取等號，

x-3

即x=4時取最小值，故a=4.

故答案為：4

2.(2022?重慶?模擬預(yù)測)已知x>0,貝屹％的最小值為

2%+1-----

【答案】3

【分析】將原式變形為2x+l+；-1,然后利用基本不等式求最小值.

2x4-1

【詳解】解：2xH---=2%+14—---1>2I(2x+1),-—1=3,當(dāng)且僅當(dāng)2x+1=2,即刀=工時，

2x+l2X+1''2X+12

等號成立.

故答案為：3.

??即時檢測

1.(2023高三?全國?專題練習(xí))若無>1,則-+2：+2的最小值為

x-l----

【答案】2V5+4/4+2V5

【分析】由已知可得x-l>0,變形可得立竿=(x-l)+2+4,然后根據(jù)基本不等式即可得出答案.

x-1x-l

【詳解】由%>1,則％-1>0.

因為％2+2%+2=(%—I)2+4(%—1)+5,

所以久；2：+馬=(%—1)+-^―4-4>2/(x—1)-+4=2^/5+4,

當(dāng)且僅當(dāng)％-1=三，即刀=遍+1時等號成立,

X-1

故"+2：+2的最小值為2有+4

X-1

故答案為：24+4.

2.（21-22高三上?安徽安慶?期末）下列函數(shù)的最小值為2/的是（）

A.y=|cosx|+藍淚B.y=y[x+V8—x

2X4+8X2+10

C.y=2X+22TD.y=

X2+2

【答案】B

【分析】利用對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷A、D,利用基本不等式判斷C,將丫=《+7^=三兩邊平方，即可求出y

的范圍，從而判斷B.

【詳解】對于A：因為0<|cosx|Wl,又y=x+：在（0,1］上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)|cos%|=1時'min=3，故A錯誤；

對于B：將丫=y+5與兩邊平方得y2=8+2寸一%2+8%,

因為—/+8%=—4）2+16,所以y228（當(dāng)％=0或%=8時等號成立），又y>0,

所以為iin=2夜，故B正確；

因為2%>0,所以y=2%+22T2212%?22T=4,當(dāng)且僅當(dāng)2%=22-，即t=1時取等號，故C錯誤；

對于D：y=2“曹J1。=2限式：；：；2+1］=2（%2+2+又％2+222,y=%+：在［2,+8）上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)％2+2=2,即久=0時ymin=5,故D錯誤.

故選：B.

3.（2024?江西贛州?二模）已知y〉％〉0,則-匕一產(chǎn)■的最小值為

Jy-x2x+y----

【答案】I

【分析】依據(jù)條件結(jié)構(gòu)特征利用分離常數(shù)法和配湊法思想對上-產(chǎn)進行變形配湊，再結(jié)合基本不等式即

y-x2x+y

可求解最小值.

【詳解】由題y>%>0,所以

y4xy4x+2y—2yy2y

y—x2x+yy—x2x+yy—x2x+y

7\y-x2x4-yJ/\2y—2x2x+yJ

=/12y—2%)+(2%+則/(^2^+k2)\-2

2y+y2y2%

^-(2++-V2

3\2y—2x2x+yJ

>-(2+2匡ZE?互EH)-2=--2=-,

31q2y_2x2x+yJ33

當(dāng)且僅當(dāng)標2+:,即2%+y=2y—2x,即y=4%時等號成立.

故答案為：|.

【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵在于巧妙變形分離-4=-卓3=--2和配湊y=

2x+y2x+y2x+y/

|[(2y-2x)+(2x+y)].

4.(22-23高三下?上海浦東新?階段練習(xí))若關(guān)于x的不等式/+bx+c>OQb>1)的解集為R,則陪竺

的最小值為.

【答案】8

【分析】由題意可得A<0化簡得。2。，所以喏竺2(6-1)+1+4,利用基本不等式即可求解

4b-1'b-1

【詳解】因為不等式產(chǎn)+bx+c>O(b>1)的解集為R,則A=爐一4cW0=c2

因為b>1,所以6-1>0,

...上*年也=(J)2+4…+4=(…+3._1)*—+4=8.

b-1b-1b-117b-19Jb-1

當(dāng)且僅當(dāng)b—1=夫，即b=3時，取到等號.

b-1

故答案為：8

考點三、常數(shù)“1”的代換

典例引領(lǐng)

1.(2024?安徽?模擬預(yù)測)已知6,九E(0,+8),—+n=4,則租+?的最小值為()

mn

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解.

【詳解】yfm,nG(0,+oo),TH+(=+()('+九)=((10+mn+高)之：(10+2Jmn?3)=4,

當(dāng)且僅當(dāng)7rm=—,即TH=1,n=3時等號成立.

mn

故選：B.

2.(23-24高三下?重慶?階段練習(xí))已知正數(shù)a,b滿足工+<=1,貝必6+3b的最小值為()

ab

A.8B.9C.10D.12

【答案】B

【分析】將工+；=1變形為ab=a+6,代入ab+3b,再通過常數(shù)代換和基本不等式可得.

【詳解】因為工+：=1,所以ab=a+b,

ab

所以ab+3b=a+4b=(a+4b)&+目=5+產(chǎn)+注5+2a=9,

當(dāng)且僅當(dāng)a=3,b=|時，等號成立，所以ab+3b的最小值為9.

故選：B

即時檢測

I______________________

1.（2024?遼寧鞍山?模擬預(yù)測）若X>0,y>0,且％+y=l,貝?。荨?工的最小值為.

xy--------

【答案】9

【分析】利用“1”的變形，結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】。工=仁+。0+丫）=5+?+乏5+2率=9,

xy\xy/xyylxy

當(dāng)?=：,即％=2y,聯(lián)立％+y=l,得到久=|,y=］時，等號成立，

所以士+工的最小值為9.

xy

故答案為：9

2.（2024?廣西河池?模擬預(yù)測）若實數(shù)a>l>6>0,且。2+26=爐+2￡1,則工+工的最小值

a-1b

為.

【答案】4

【分析】根據(jù)a>l>b>0,將。2+26=62+2?；喛傻谩?6-2=0,再根據(jù)基本不等式“1”的巧用

求解最值即可.

【詳解】由a?+2b-b2+2a可得（a—b）（a+b—2）-0,

因為a>1>b>0,所以a—b力0,即a+b—2=0,則a—1+b=1,

則工+工=（工+口6-1+m=2+―+匕22+2/—?—=4,

a-1b\a-lbja-1b、a-1b

當(dāng)且僅當(dāng)二=?,即a=時等號成立，故工+機的最小值為4.

a-1b22a-1b

故答案為：4.

3.（2024?上海徐匯?二模）若正數(shù)a、b滿足工+!=1,貝U2a+b的最小值為

ab-------

【答案】3+2V2/2V2+3

【分析】根據(jù)基本不等式求解.

【詳解】由已知2a+6=（2a+/））（-+-）=3+—+->3+2&,當(dāng)且僅當(dāng)也=2,即a=1+烏b=1+/

baba2

時等號成立，故所求最小值是3+2a.

故答案為：3+2魚.

4.（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知a>0,b>0,若=1,則ab的最大值為（）

az+2abbz+ab

A.2-V2B.2+V2C.4+2V2D.4-2V2

【答案】D

【分析】首先變形帥=。匕*(丁=+4)，化簡后換元2=%>0,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的式子，利用基本不等

\a2+2abb2+ab/b

式求最值.

【詳解】ab=abx(^^+4)=^7+呂，

\a2+2abb2+ab/a2+2abb2+ab

+工

_十b%a'

設(shè)/%>0,

貝llccb=---Fy--=---I——=-------F1，

x+2-x4-1x+2x+1x+2x+1

=79---+1=—\--F1W-T=F1=4-2A/2,

(%+2)(%+l)x+|+32&+3

當(dāng)％=即久=V2,三=/時等號成立，

xb

所以協(xié)的最大值為4-2V2.

故選：D

5.(2024?寧夏?二模)直線a%+by-1=0過函數(shù)/(%)=%+W圖象的對稱中心，則1的最小值為

()

A.9B.8C.6D.5

【答案】A

【分析】先利用函數(shù)圖象平移與奇函數(shù)的性質(zhì)求得“%)的對稱中心，從而得到Q+b=l,再利用基本不等

式“1”的妙用即可得解.

【詳解】因為y=x+(為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于(0,0)中心對稱，函數(shù)圖象向右平移1個單位，再向上

平移1個單位可得函數(shù)f(%)=%+2的圖象，

所以/(%)的對稱中心為(1,1),所以a+b=l,

所以！+"=6+匕)((+￡)=5+千+展5+2---=9,

ab

當(dāng)且僅當(dāng)?建，即a=2b=|時，等號成立,

所%+的勺最小值為9.

故選：A

6.(2024?河南?模擬預(yù)測)已知點P(x,y)在以原點。為圓心，半徑r=夕的圓上，則高+六的最小值

為()

A.iB.史壁。51

999

【答案】D

【分析】由題可得點P滿足的圓方程產(chǎn)+必=7,進而(/+1)+(/+i)=9,然后利用基本不等式結(jié)合

條件即得.

【詳解】由題意可得點P的坐標滿足/+y2=7,所以，(/+1)+(川+1)=9.

142

因此,----------1----------=1收+1)+(y+1)]+

x2+ly2+l

“5+手+-5+2第x中

2222

9Lx+iy+i」9yx+iy+i

當(dāng)且僅當(dāng)嗯=警乎時，即"=±&/=±展時取等號.

故選：D.

考點四、和積定值

典例引領(lǐng)

1.(2024?廣西?模擬預(yù)測)已知a,bE(-8,0),且a+4b=。力一5,則ab的取值范圍為()

A.[25,+8)B.[1,+8)C.(0,5]D.(0,1]

【答案】D

【分析】首先確定0VQb<5,再由基本不等式得到ab+-5W0,從而求出ab的取值范圍.

【詳解】因為a,bE(-8,0),a+4b=ab—5f則a+4bV0,所以0VabV5.

又ab-5=a+4b=—[(—a)+4(-h)]<—2,4ab=-4VaF,

即ab+4VaF—5<0,BP(y[ab+5)?(VaF-1)<0,解得0<Vab<1,

所以0VabW1,當(dāng)且僅當(dāng)一。=-4b,即a=4b=一2時,等號成立，

即ab的取值范圍為(0,1].

故選：D.

2.(2023?河南焦作?模擬預(yù)測)已知正數(shù)%,y滿足2百%+2y-xy=0,則當(dāng)久y取得最小值時，x+2y=

()

A.4+8V3B.2+4V3C.3+6A/3D.8+6日

【答案】A

【分析】根據(jù)條件，利用基本不等式及取等號的條件，可得％=4,y=4V3,即可求出結(jié)果.

【詳解】由題意可得+y=之zjvixy,平方得孫216次，

當(dāng)且僅當(dāng)V^r=y,即％=4,y=4\?時取得等號，

故汽y取得最小值時，％+2y=4+8V3.

故選：A.

即時性測

L(2024?山東.模擬預(yù)測)已知兩個不同的正數(shù)a,6滿足/=厘，則M的取值范圍是

【答案】(0，)

【分析】本題將條件式化簡后結(jié)合基本不等式得出關(guān)于ab的不等式，再構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性求解

即可.

【詳解】將把之=產(chǎn)兩邊展開，

ab

得到小+3a+3H—=b2+3b+3H—，

ab

從而(a?-h2)+3(a一6)+&-￡)=。，

故(a—b)(Q+b+3—石)=0,而QWb,

故a+b+3---=0,又a>0,b>0,

ab

故—=a+b+3>27ab+3，

ab

從而2(V^K)3+3(VaK)2<1.

設(shè)函數(shù)g(')=2x3+3x2,則<g0=1,

觀察易得g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故

又a>0,b>0,所以0VabV工.

4

故答案為：

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)與不等式的綜合，其關(guān)鍵是利用均值不等式構(gòu)造關(guān)于ab的不等式

2(而尸+3(病產(chǎn)<1,再構(gòu)造函數(shù)g(x)=2x3+3/并利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題.

2.(2024?湖北?模擬預(yù)測)若正數(shù)a,6滿足：a3+b2=ab,貝b的最大值為()

A.%,ic.V2D.2

34

【答案】B

【分析】根據(jù)條件等式及均值不等式求解即可.

【詳解】因為a,b為正數(shù)，所以。3+爐227^^=2仍迎，

因為/+b2=ab,所以ab>2aby[a,

所以122VH,所以aW；,當(dāng)且僅當(dāng)a=；,b時，取等號.

故選：B.

考點五、消元法

典例引領(lǐng)

1.(23-24高三下?浙江?階段練習(xí))已知實數(shù)x,y滿足％>3,且xy+2久一3y=12,貝！U+y的最小值

為()

A.1+2V6B.8C.6V2D.1+2V3

【答案】A

【分析】由題意得丫=詈=-2++，進一步表示出x+y=(x—3)+++L結(jié)合基本不等式即可求

解.

【詳解】因為x>3,且xy+2x-3y=12,所以y=*六=一2+2,

從而久+y=x-2+*=(%—3)+2+1>2V6+1,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x=V6+3,y=V6—2,

所以x+y的最小值為1+2V6.

故選：A.

2.(2024?云南?模擬預(yù)測)已知正數(shù)x,y滿足比+y=4,則:津最小值為.

【答案】0

【分析】根據(jù)題意，化簡得到三-9=工-r=工+彳一1，結(jié)合基本不等式，即可求解.

X4X4X4

【詳解】由正數(shù)%y滿足第+y=4,可得y=4-%,

所以工一與=3—早=三+^—122H-1=O,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時取等號，

X4X4X4y4

所以工一［的最小值為0.

x4

故答案為：0.

即時檢測

I______________________

1.(2024?陜西西安?三模)已知%>0,y>0,xy+2x—y=10,貝h+y的最小值為.

【答案】4V2-1/-1+4V2

【分析】依題意可得％="，再由基本不等式計算可得.

y+2

【詳解】因為％>0,y>0且%y+2%-y=10,

所以久=”，

y+2

所以％+y=+y=囁+y+2-1>2J常.(y+2)-1=4V2-1,

當(dāng)且僅當(dāng)塌=y+2,即'=2魚一2,%=1+2魚時，等號成立，

故％+y的最小值為4魚一1.

故答案為：4V2-1.

2.(2024?浙江?模擬預(yù)測)已知>0,ab=1,求S=」-H——工的最小值.

l+al+2b

【答案】2/一2

【分析】根據(jù)條件，b=，弋入消去b,將S的表達式分離常數(shù)得S=1-一I，利用基本不等式求得結(jié)果.

aa+：+3

【詳解】a,b>0,ab-1,

1111

s=______?_______=______?______

l+a1+261+a1+1

1aa2+2a+2a

----------=1-------------

l+(2a+2a2+3a+2a2+3a+2

1

=1-2""T，

ad—aH3

a+->2a--=2-/2,當(dāng)且僅當(dāng)a=即。=/時等號成立,

ayaa

所以S>1-TTITZ=2V2-2.

2V2+3

故S的最小值為2金-2.

3.（2024?山西?三模）已知正實數(shù)x,y滿足%2+3%y—2=0,貝!）2%+y的最小值為（

2V10V1021

--Dn.—C.-D.

3--------333

【答案】A

【分析】根據(jù)題意分析可知2%+丫=募+意，利用基本不等式運算求解.

【詳解】因為正實數(shù)x,y滿足％2+34/-2=0,則y=:x

3

、.2%5%2o(5xr2>/10

則2%+y=2xH------=——I——>2-----

3x333%yl33x3

當(dāng)且僅當(dāng)￡=即％=F,）7=甯時，等號成立,

所以2x+y的最小值為竿.

故選：A.

考點六、雙換元

典例引領(lǐng)

（______________________________

1.（2024?四川成都?三模）設(shè)a>b>0,若a?+Ab2<土？，則實數(shù)2的最大值為（）

a-b

A.2+2V2B.4C.2+V2D.2V2

【答案】A

?+廬2,21+（當(dāng)2

【分析】由不等式可得2式氣「=二h士n3=口，求出右邊的最小值，進而可得2的最大值.

匕2ab-b2--1

b

31u3a3+b3_2212l+（@）2

【詳解】因為a>b>0,若02+2/）23二n，可得q—=h—n=

a-bb2ab-b2-1

Tb

設(shè)t=三〉1,只需要2小于等于右邊的最小值即可，

b

則萼=魯，

b

令5=1-1>0,可得t=s+l,

所以i+（s+i）z=s+1+222”+2=2或+2,當(dāng)且僅當(dāng)s=4即5=加時取等號，

SS7sS

所以4<2+2V2,

即/I的最大值為2+2V2.

故選：A.

2.（23-24高三上?河南?階段練習(xí)）正數(shù)a,1）滿足￡1>6,ab=4,則學(xué)《的最小值為（）

az-bz

A.2B.3C.4D.6

【答案】c

【分析】已知條件化簡可得：興=貯若絲="華1=。_6+白，利用基本不等式計算可得結(jié)果.

a^-bda-ba-ba-b

【詳解】由題意得笠=貯若世="吟=?！猙+白，

?！挂回耙襛-ba-ba-b

々t=a—b>0,則竽塔=t+：24,當(dāng)且僅當(dāng)t=2時，等號成立.

az-b2t

故選:c.

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知%>y>0,—+—=1,則2%-y的最小值為.

x+yx-y-----

【答案】12

【分析】令。==-,b=—,從而可得％=工+：,y=--i,再根據(jù)2%-y=（2+]）（3a+b）,結(jié)合基本

x+yx-yabab\ab/

不等式求解即可.

【詳解】令a=3,b=—,則％+y=3x-y=I，且a>0,b>0,

x+yx-yab

所以％=工+,，y=-—

abab

又3a+6=1,所以2*7=2C+3）-（W=HRG+、（3a+b）

=3+-+-+3>6+2/---=12,

abab

當(dāng)且僅當(dāng)a=；,b=：,即久=8,y=4時，等號成立.

故答案為：12

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)正實數(shù)陽y滿足;v>；,y>2,不等式三+2zn恒成立，求zn的最

3y-23x—2

大值.

【答案】16

【分析】利用換元法，將不等式左邊轉(zhuǎn)化為a,b的表達式，再多次利用基本不等式求得其最小值，從而得

解.

【詳解】因為x>|,y>2,所以3x-2>0,y-2>0,

令a=3x—2,b=y—2,則a>0,b>0,x=]+|,y=b+2,

所以空+—=噫邕+空空=貯+鋁+士+《+竺+±

y-23x-2babbbaaa

a2b24a4b44a2b24a4b44

一+一+--F---F-+->2?—+2------+2

bababa-ybCL、baba

=2、ab+8H—T=22/24abX.—4-8=16,

vab、vab

當(dāng)且僅當(dāng)貯=處且竺=竺且￡=&且2AO=*=,即a=6=2,

bababa\]ab

即X=(y=4時，等號成立，

又不等式竺+工之加恒成立，所以優(yōu)工16,即僧的最大值為16.

1%.好題沖關(guān)?

基礎(chǔ)過關(guān)

1.(2022?福建泉州?模擬預(yù)測)若正實數(shù)x,y滿足：+y=2,則無+：的最小值是()

9

A.4B.-C.5D.9

2

【答案】B

【分析】本題利用“1”的妙用技巧進行替換，然后利用基本不等式求解.

【詳解】解：因為乃y是正實數(shù)，所以孫>0

故有久+：乂打丫)("+3=乂5+孫+￡)*(5+2相=￡

當(dāng)且僅當(dāng)xy=j即％=|,y=1時取到等號.

故選：B.

2.(2024?天津?二模)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,拋物線上的點M(4,%)到尸的距離為6,

雙曲線捻-5=l(a>0,b>0)的左焦點后在拋物線的準線上，過點&向雙曲線的漸近線作垂線，垂足為H,

則H與雙曲線兩個焦點構(gòu)成的三角形面積的最大值為().

A.2B.V3C.V5D.3

【答案】A

【分析】利用拋物線的定義及焦半徑公式先求p、F.6,再由雙曲線的性質(zhì)，基本不等式計算即可.

【詳解】設(shè)雙曲線右焦點尸2，易知F&。)，MF=4+:=6今p=4,

即F(2,0),&(—2,0),&(2,0),而雙曲線的一條漸近線為y=￡x,

易知=-7===b,a2+b2=c2=4所以|0m=a,

由雙曲線的性質(zhì)可知SAHRB=2SAHF、O=ab,

由基本不等式可知M―=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=注時取得等號.

故選：A

3.（23-24高三下?北京順義?階段練習(xí)）已知a>0,b>0,貝?！癮+b>2”是“ab>1”的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】通過舉例的方法，以及基本不等式，結(jié)合充分，必要條件的定義，即可判斷選項.

【詳解】若a=1.5,b=0.6,滿足a+b>2,但ab<1,

若a>0,b>0,ab>1,則a+b22V^F>2,即a+b>2,

所以“a+b>2”是“ab>1”的必要不充分條件.

故選：B

4.（2023?天津南開?一模）已知實數(shù)a>0,b>0,a+b=1,則2。+2b的最小值為

【答案】2V2

【分析】運用基本不等式求和的最小值即可.

【詳解】a>0,b>0,a+b=1,

：.2a+2b>272a+2b=2V2a+&=2企，當(dāng)且僅當(dāng)2a=2〃即a=6=1時取等號.

故答案為：2立.

5.（2022?天津南開?模擬預(yù)測）若實數(shù)x,y滿足式>y>0,且孫=4,則篇的最大值為

【答案】沙125

【分析】令x-y=3對不等式變形得到盧七=當(dāng)，利用基本不等式進行求解.

（x+y）2t+y

【詳解】令1—y=3貝!k>0,

x-y_t_t_1<1_1

8，

（x+y）2（x-y）2+4xyt2+16t+半-

當(dāng)且僅當(dāng)￡=?，即t=4時，等號成立，

所以鼻的最大值為營

（x+y）28

故答案為：!

6.（21-22高三上?天津南開?階段練習(xí)）若心b〉0,且ab=a+b+3,則ab的最小值是

【答案】9

【分析】利用基本不等式得a+b=ab-3>2面，再解不等式可得結(jié)果.

【詳解】因為a+b=ab-322VHF（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立），

所以Zab）2-27ab一320,

所以（，菊一3）（而+1）20,所以病23,所以防29,

所以ab的最小值為9.

故答案為：9

7.（2024?天津?模擬預(yù)測）若a>0,b>0,且a+b=l,則（a+：）（b+*）的最小值為

【答案】自

4

【分析】先對（a+￡）（b+￡）進行等式變形，利用a+b=l把原式化簡為ab+總-2,再利用均值不等式可

得尤3%然后由函數(shù)y=x+1在區(qū)間（0,勺上是單調(diào)遞減，即可得到最小值為年.

【詳解】由（a+工）（6+：）=ab+2+FB2+-b-+^--ab+'

\a/\bjabababababab

因為a+b=l,所以上式=ab+12ab+三=ab+二—2,

ababab

又因為a>0,b>0,由均值不等式得：0<ab<（+y=+

利用函數(shù)y=“+（在區(qū)間（。點上是單調(diào)遞減可知：

（a+*（b+》=ab+春一22/?-2=張

4

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=凱寸取到最小值.

故答案為：個

4

能力提升

1.（2024?天津河西?三模）已知&，尸2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且N&PF2=《，

若橢圓的離心率為e「雙曲線的離心率為e2，貝|登+名的最小值為（）

A.3+V3B.—C.—D.4

22

【答案】C

【分析】設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：\+誓=1,2—著=1,易得說—比=諺+必=02,設(shè)區(qū)6|=

m,\PF2\=n,利用橢圓和雙曲線的定義得到爪=a］一。2，九=%+。2，然后在△「&國中，利用余弦定理得

到會+1=4,然后利用基本不等式求解.

【詳解】解：如圖所示：

2222

設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：言+g=1，器-&=1，

由題意得謚—b1=al+b1=c2,

771

設(shè)|PF/=m,\PF2\=九，則+幾=2al,幾—m=2a2，

尚畢得m=%—g，幾=+。2，

222

在AP尸1尸2中，由余弦定理得：\FrF2\=\PFr\+\PF2\-2\PFr\?\PF2\?cos^F1PF2,

22aaa9

即(2c)2=(at—a2)+(?i+a2)—(i—?2)(i+2)化簡得4c2=憂+3諼，

當(dāng)且僅當(dāng)與=浮，即多=時，等號成立；

ele2

故選：c

2.(2024?天津?二模)已知向量2=(1,1),3=(2x+y,2),其中2||3且xy>0,則衛(wèi)的最小值為

()

A.V2+1B.V2+2C.4D.V2-1

【答案】A

【分析】根據(jù)兩個向量平行的充要條件，寫出向量的坐標之間的關(guān)系，之后得出也=工+夫+1，利用基