空間向量的概念與運(yùn)算（5題型分類(lèi)）-2025年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)（原卷版）

專(zhuān)題35空間向量的概念與運(yùn)算5題型分類(lèi)

彩題如工總

題型1:空間向量的線性運(yùn)算

題型5:向量法證明垂直

題型2：空間向量基本定理及其應(yīng)用

空間向量的概念與運(yùn)算5題型分類(lèi)

題型4：向量法證明平行

題型3：空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用

彩先例寶庫(kù)

1.空間向量的有關(guān)概念

名稱(chēng)定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量

表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相壬后

共線向量(或平行向量)

或重合的向量

共面向量平行于同一個(gè)平面的向量

2.空間向量的有關(guān)定理

(1)共線向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量”，帥WO),a〃Z＞的充要條件是存在實(shí)數(shù)九使“=肪.

(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,6不共線，那么向量p與向量a,分共面的充要條件是存在唯二的有序

實(shí)數(shù)對(duì)(尤，y),使。=網(wǎng)+皿.

(3)空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,?z),使得p=xa

+yb+zc,[a,b,c｝叫做空間的一個(gè)基底.

3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律

(1)數(shù)量積

非零向量a，?的數(shù)量積a仍=|a||臼cos〈a,b）.

（2）空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)a=（ai，。2,俏）‘b=（bi?歷，bi）.

向量表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a-bg邊］+〃242+〃3幺3

共線〃=勸行0,AER)1，〃2=%62，〃3=2b3

垂直〃彷=0(〃W0,萬(wàn)W0)包.+歷+a3b3=0

模|?|N屆十一+居

a,b,______。協(xié)1+。2人2+俏人3

夾角余弦值

cos〈a,b)—同|"6WO)"‘S'4屆+層+尾々房+優(yōu)+房

4.空間位置關(guān)系的向量表示

（1）直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線/平行或重合，則稱(chēng)此向量a為直線/

的方向向量.

（2）平面的法向量：直線/La,取直線/的方向向量a,則向量a為平面a的法向量.

（3）空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

I1//I2ni//=2〃2(%￡R)

直線/i，L的方向向量分別為"1，n2

/1J-/2

直線/的方向向量為"，平面a的法1//a〃_L機(jī)臺(tái)〃?帆=0

向量為m,IQal-Lan//m^n=Am(2￡R)

a//pn//m^n=2m(A￡R)

平面a,4的法向量分別為〃，m

a_L夕

【常用結(jié)論

1.三點(diǎn)共線：在平面中A,B,C三點(diǎn)共線臺(tái)屆=彳協(xié)+》（元：（其中無(wú)+y=l）,。為平面內(nèi)任意一點(diǎn).

2.四點(diǎn)共面：在空間中P,A,B,C四點(diǎn)共面而+z詼（其中x+y+z=l）,。為空間中任意

一點(diǎn).

彩偏甄海籍

（一）

用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

（1）要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

（2）要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.

（3）在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.

題型1：空間向量的線性運(yùn)算

1-L（福建省福州十五中、格致鼓山中學(xué)、教院二附中、福州銅盤(pán)中學(xué)、福州十中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)

期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，空間四邊形0ABe中，OA=a,O8=8,OC=c，點(diǎn)M在。4上，且OM=2MA,

點(diǎn)N為中點(diǎn)，則/V=（）

211

B.—ci—7bH—c

322

221

C.D.—a+—b——c

222332

1-2.（2024?福建福州,三模）在三棱錐PA8C中，點(diǎn)。為AABC的重心，點(diǎn)。，E,尸分別為側(cè)棱以，PB,

PC的中點(diǎn)，^a=AF，b=CE,c=BD,則。尸=（）

1一171-11121,2222

A.-a+—b+-cB.——a——7b——cC.——a——b——cD.—ClH--bH--C

333333333333

1-3.（上海市南洋模范中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖所示，在平行六面體

48。-4g0，中，M為4G與8Q的交點(diǎn)，^AB^^AD^b^^c,貝I=()

B.L+4+c

2222

11,D.L+4+c

C.——a——b+c

2222

1-4.(2024高二上?陜西西安?期末)如圖，在四面體O-ABC中，。是“WC的重心，G是。d上的一點(diǎn),

且。G=2GG.^OG=xOA+yOB+zOC,貝U(x,y,z)為()

O

B

應(yīng)用共線(面)向量定理、證明點(diǎn)共線(面)的方法比較

三點(diǎn)(P,A,B)共線空間四點(diǎn)(M,P,A,B)共面

麗=力而MP^xMA+yMB

對(duì)空間任一點(diǎn)。，OP=OA+tAB對(duì)空間任一點(diǎn)。，OP=OM+xMA+yMB

對(duì)空間任一點(diǎn)。，OP=xOA+(l-x)OB對(duì)空間任一點(diǎn)0,OP=xdM+yOA+(l-x-y)OB

題型2:空間向量基本定理及其應(yīng)用

2-L(2024高二上?湖南郴州?階段練習(xí))已知"=(2%,1,3),b=(l,3,9),如果。與人為共線向量，則％=

()

111

A.1B.-C.-D.-

236

22(2024高二?全國(guó)?課后作業(yè))若AO+1,n-1,3)B(2m,n,加一2〃)、。(加+3,〃-3,9)三點(diǎn)共線，則加+幾=

().

A.0

B.1

C.2

D.3

2-3.（湖南省岳陽(yáng)市平江縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題）已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對(duì)

平面ABC外的任一點(diǎn)O,下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是（）

A.OM=OA+OB+OCB.OM=|oA+|（9B+|oC

C.OM=OA+^OB+^OCD.OM=2OA-OB-OC

2-4.（2024高二下?四川雅安?期末）向量。，b分別是直線4，4的方向向量，且。=。,3,5）,b=（x,y,2）,

若4〃4,則（）

13

A.尤=丁y=gB.x-3,y=15

—26315

C.x——,y=-D.x——,y=—

5522

2-5.（2024高二下?江蘇揚(yáng)州?期中）已知空間A、B、C、。四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)尸為

空間中任意一點(diǎn)，若BD=5PA-4PB+2PC,則2=（）

A.2B.-2C.1D.-1

31

2-6.（2024高二上?湖南郴州?階段練習(xí)）。為空間任意一點(diǎn)，^OP=-OA+-OB+tOC,若A、B、C、P

48

四點(diǎn)共面，則?=（）

111

A.1B.-C.-D.-

284

2-7.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知d=（2,—1,3）,E=（T,4,—2）/=（7,5,2）,若a也c三向量共面，則心等

于（）

626465

A.—B.9C.—D.—

777

2-8.（2024高二?全國(guó)?課后作業(yè)）在四面體O4BC中，點(diǎn)M,N分別為。4、2C的中點(diǎn)，若

OG=^OA+xOB+yOC,且G、M、N三點(diǎn)共線，貝|x+y=.

彩做題淞籍（二）

空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用

空間向量的數(shù)量積運(yùn)算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.

題型3:空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用

3-1.【多選】（2024高二上?遼寧大連?期末）已知向量a=（U,l）,/?=（-1,0,2）,則下列正確的是（）

,..兀

A.a+b=(0,1,3)B.|?|=-\/3C.a?b2D.〈a,b)=—

4

3-2.（2024高二上?山東濟(jì)寧?階段練習(xí)）已知是棱長(zhǎng)為2的正方體4BCD-AgCQ］內(nèi)切球的一條直徑,

貝=

3-3.(2024?上海松江?二模)已知空間向量〃=(1,2,3),6=(2,-2,0),c=，若c_L(2a+6),則

34（2024高二上?重慶萬(wàn)州?階段練習(xí)）已知空間向量a=（U,0）,6=（-1,0,2）,則。在〃方向上的投影向

量為.

3-5.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行六面體中，AD=BD=AAt=l,ADJ.BD,

則線段B2的長(zhǎng)為

3-6.【多選】（2024高三上?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，在平行六面體ABCD-AgCR中，其中以頂點(diǎn)A為

端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6,且彼此夾角都是60。，下列說(shuō)法中不正確的是（

B.ACX1BD

C.向量3?與A4；夾角是60。

D.向量BA與AC所成角的余弦值為當(dāng)

3-7.【多選】（2024高二上?浙江溫州?期末）已知空間向量Q=（2,-l,3）,b=（T,2,x）,下列說(shuō)法正確的是（）

什-10

A.右〃_/,/?，則％=不

B.若3〃+Z?=（2,—1,10）,則％=1

C.若a在6上的投影向量為gb,貝心=4

D.若a與6夾角為銳角，則xe[m，+co）

3-8.【多選】（2024?安徽?一模）在平行六面體ABC。-A4G。中，已知48=41）=44,=1,

Z^AB=Z^AD=ABAD=60°,則（）

A.直線AC與8。所成的角為90°

B.線段的長(zhǎng)度為行

C.直線AC與2瑪所成的角為90。

D.直線AC與平面A5CD所成角的正弦值為逅

3

彩他題祕(mì)籍

（四）

向量法證明平行、垂直

（1）利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐

標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及到直線、平面的要素）.

（2）向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開(kāi)立體幾何的有關(guān)定理.

題型4：向量法證明平行

4-1.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，2，平面ABC。，E為PD的

中點(diǎn)，證明：依〃平面AEC.

。為側(cè)棱3G上一點(diǎn)，且三棱柱ABC-尸GE的體積為32.過(guò)點(diǎn)。作OQLDE,垂足為點(diǎn)Q,

5-4.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，尸￡），底面ABCD,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2

的正方形，PD=DC,F,G分別是PB,AD的中點(diǎn).求證：Gf_L平面PCB；

5-5.（2024高二上?山西太原?期中）如圖，在平行六面體ABCD-ABIG。中,

AB=AD=4,A4]=5,ZDAB=ZDAAX=ZBA\=60.

⑴求AG的長(zhǎng)；

⑵求證：AQ±BD.

煉習(xí)與桎升

一、單選題

1.（2024高二下?江蘇泰州?期中）若點(diǎn)A（2,3（—1,-4,-2）,C（m+3,-3,〃）在同一條直線上,則=

()

A.21B.4C.-4D.10

2.（2024高二上?山東荷澤?階段練習(xí)）對(duì)于空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A民。，有如下關(guān)系:

OP=-OA+-OB+-OC,貝I」()

632

A.O,A,民C四點(diǎn)必共面B.尸,A,8,C四點(diǎn)必共面

C.O,P,B,C四點(diǎn)必共面D.O,RAB,C五點(diǎn)必共面

3.（2024高二上?陜西商洛,階段練習(xí)）已知。=（2,-3,1）,則下列向量中與°平行的是（）

A.(1,1,1)B.(口6,-2)C.(2,-3,-1)D.(-2,-3,1)

4.（2024高二上?北京西城?期中）兩個(gè)不同的平面a和夕，平面a的一個(gè)法向量為匕=（1,2,1）,平面月的一

個(gè)法向量％=（2,4,2）,則平面a與平面夕（）

A.平行B.垂直C.相交D.不能確定

5.（2024高二?全國(guó)?課后作業(yè)）下面關(guān)于空間向量的說(shuō)法正確的是（）

A.若向量a,6平行，貝!la,6所在直線平行

B.若向量點(diǎn)方所在直線是異面直線，貝不共面

C.若A,B,C,。四點(diǎn)不共面，則向量4B,CD不共面

D.若A,B,C,。四點(diǎn)不共面，則向量AB,AC，AD不共面

6.（2024高二上?安徽阜陽(yáng)?階段練習(xí)）下列命題中是假命題的是（）

A.任意向量與它的相反向量不相等

B.和平面向量類(lèi)似，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小

C.如果問(wèn)=0,則

D.兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同

7.（2024高二上?浙江臺(tái)州?階段練習(xí)）已知平面a的法向量為根=（2,1,-2）,A8=,則直線和

平面。的位置關(guān)系是（）

A.AB//aB.AB（^aC.AB與。相交但不垂直D.AB.La

8.（2024IWJ二上?全國(guó)?課后作業(yè)）若空間中任意四點(diǎn)0,A,B,尸滿足0尸=機(jī)。4+〃05，其中m+〃=1,

則（）

A.P^\ABB.PgAB

C.點(diǎn)尸可能在直線A8上D.以上都不對(duì)

9.（2024高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知在空間單位正交基底下，｛。，仇力是空間的一組單位正交基底,

[a+b,a-b,c\是空間的另一組基底.若向量p在基底｛a,瓦c｝下的坐標(biāo)為（4,2,3）,則向量方在基底

｛a+6,a-6,c｝下的坐標(biāo)為（）

A.（4,0,3）B.（1,2,3）C.（3,1,3）D.（2,1,3）

10.（2024高二上?新疆和田?期中）已知匕、%分別為不重合的兩直線4、4的方向向量，4、內(nèi)分別為不

重合的兩平面a、夕的法向量，則下列所有正確結(jié)論（）個(gè).

①匕〃馬?！ǎ?@Vj±v2oZj±/2；③4〃〃20a〃/7；④4

A.1B.2C.3D.4

11.（2024?福建福州?三模）以下四組向量在同一平面的是（）

A.（1,1,0）,（0,1,1）、（1,0,1）B.（3,0,0）、（1,1,2）、（2,2,4）

C.（1,2,3）、（1,3,2）、（2,3,1）D.（1,0,0）、（0,0,2）、（0,3,0）

12.（2024高二上?云南昆明?期末）如圖,M在四面體。48c的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上,且=,

設(shè)。!="，OB=b<OC=c，則下列向量與AN相等的向量是（）

B.a+4+L

33

C.-aH—hH—cD.

6666

13.（2024高三上?廣東廣州?階段練習(xí)）如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型P-ABC。，過(guò)點(diǎn)A作一個(gè)平面分別交

PB,PC,PD于點(diǎn)E,F,G,若名=［，北=＜，則黑的值為（

)

rB5JTC2rD

3

D.-

5

14.（2024?江西?二模）在四棱錐P-ABCD中，棱長(zhǎng)為2的側(cè)棱垂直底面邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。，M

為棱PD的中點(diǎn)，過(guò)直線的平面a分別與側(cè)棱叢、PC相交于點(diǎn)E、F,當(dāng)尸￡=尸尸時(shí)，截面MEBb的

面積為（）

A.20B.2C.3gD.3

二、多選題

15.（2024高二下?浙江?期中）空間直角坐標(biāo)系中，已知。（0,0,0）,OA=（-1,2,1）,OB=（-1,2,-1）,

(9C=(2,3,-1),貝I]()

A.網(wǎng)=2

B.ABC是等腰直角三角形

C.與OA平行的單位向量的坐標(biāo)為［坐，-恪，-乎］或［-手,g,冷

（636）（636）

（242、

D.Q4在。月方向上的投影向量的坐標(biāo)為「

16.（2024?廣東佛山?二模）四面體ABCD中，ABYBD,CDLBD,AB=3,BD=2,CD=4,平面ABD與

冗

平面3c。的夾角為則AC的值可能為（）

A.V17B.723C.735D.741

三、填空題

17.（2024?上海金山?二模）已知向量。=（0,1,0）,向量6=（1,1,0）,則a與。的夾角的大小為.

18.（2024高二上?北京西城?期中）已知平面a的法向量為（2,T,-2）,平面夕的法向量為（-1,2㈤，若,

貝I左二.

19.(2024高二上?山西?開(kāi)學(xué)考試)已知直線/的方向向量是w=(4,-2,3),平面a的法向量是根=(1,2,0),/

與。的位置關(guān)系為.

20.(2024高二下?天津薊州?期中)已知點(diǎn)A(1,2,3),B(0,1,2),C(-1,0,入)，若A,B,C三點(diǎn)

共線，則八一

21.(2024高二上?湖南株洲?階段練習(xí))已知向量4=(1,2,3)力=(一2,-4,-6),同=舊，若(a+b)-c=7,則

(a,c)=.

22.(2024高二上?北京?期中)直線正的方向向量為優(yōu)=(1,-2,彳)，直線"的方向向量為〃=(-2,4,5),平面a

的法向量為左=(〃,-8,7),mLn,nLa,則4、〃、/的值依次為.

23.(2024高二上?浙江臺(tái)州?階段練習(xí))如圖,三棱錐P—ABC中，PA，平面ABC,AB13C,且AB=3C=2,

AP=a.若。是棱PC上的點(diǎn)，滿足尸￡>=gpC,且則。=.

24.(2024高二上?江西宜春?階段練習(xí))如圖所示，在正方體中，E是棱的三等分點(diǎn)(靠

近2點(diǎn))，點(diǎn)尸在棱C/P上，且口尸=2D1G，若回平面ABE,貝1]2=.

四、解答題

25.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))如圖，在四棱錐尸-ABCD中，即，底面ABCD,底面A3C。是矩形,

PD=AB=2AD=4,E,G分別是的中點(diǎn)，F(xiàn)B=3PF.ilEW：EF±PC.

26.（2024高二下?江蘇?課后作業(yè)）在正方體ABC。-4月￡。中，M,N,P分別是CQ,的中點(diǎn)，試

建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求證：平面MNP〃平面A?。.

27.（2024高一?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，正四棱A8C。-ABCQ的底面邊長(zhǎng)1,側(cè)棱長(zhǎng)4,中點(diǎn)為E,

CG中點(diǎn)為求證：平面也比〃平面耳。尸.

28.（2024高三?全國(guó)?對(duì)口高考）如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD,ZDAB=60°,

尸C_L平面ABC。，AE±BD,CB=CD=CF.

①求二面角尸-C的余弦值;

⑵在線段A3（含端點(diǎn)）上，是否存在一點(diǎn)P,使得EP〃平面AE0.若存在，求出不；的值；若不存在，請(qǐng)

AB

說(shuō)明理由.

29.（2024高一?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，3c且AT）=23C,ADVCD,EG〃AZ）且EG=AD,CD//FG

且CD=2尸G,0G，平面ABC。，/M=OC=OG=2.若〃為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：MN〃平

面CDE；

30.（2024高二上?廣東廣州,階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD-AgGR中，E,尸分別是8瓦，2瓦的中

點(diǎn).

⑵求證：出，平面ABG

3L（2024高二下?江蘇?課后作業(yè)）已知棱長(zhǎng)為1的正方體OABC-QA耳￡在空間直角坐標(biāo)系中的位置如圖

所示，。,瓦尸,6分別為棱014,4月,放,定的中點(diǎn)，求證：DE//GF.

32.（2024高二?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，平面上4￡>_L平面A3CD,四邊形ABCD為正方形，一24。是直

角三角形，S.PA=AD=2,E,F,G分別是線段上4,PD,8的中點(diǎn)，求證：平面EFG〃平面PBC.

33.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在幾何體ABCDE中，ABC,BCD,C3E均為邊長(zhǎng)為2的等邊

三角形，平面4BOB平面BCQ,平面。C砸平面BCD求證：A,B,D,E四點(diǎn)共面；

34.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直三棱柱ABC-A4cl中，ZBAC=90,|AB|=|AC|=2,\A^\=4,

。為8C的中點(diǎn)，E為CG上的點(diǎn)，且|CE|=JCG].求證：防，平面A。片;

35.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直三棱柱ABC-A4G的側(cè)面BCG瓦為正方形，2AB=3C=2,E,

尸分別為AC,CG的中點(diǎn)，證明：防，平面4瓦石；

36.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在正方體ABC。-ABIGA中，如圖E、歹分別是8片，CD的中點(diǎn).求證:

平面A2F_L平面ADE；

37.（2024高二?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正三棱柱ABC-ABG中，瓦尸分別是棱4vB片上的點(diǎn),

AiE=BF=^AAi.

證明：平面CEF_L平面ACGA.

38.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知直三棱柱ABC-AB?中，側(cè)面耳B為正方形，AB=BC,E,F分

別為AC和CG的中點(diǎn)，。為棱A4上的動(dòng)點(diǎn).2/，4片.證明：BFYDE.

39.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A8CD是菱形，ZABC=60,AB=2,

ACtBD=O,尸01底面ABC。，尸。=2,點(diǎn)E在棱尸。上，且CE_LPD.證明：平面P3D_L平面ACE；

p

40.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-AB|C中，CG，平面ABC,AC1BC,

8C=AC=CG=4,。為A片的中點(diǎn)，CB、交BCi于點(diǎn)、E.證明：CBt±CiD.

41.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在底面是矩形的四棱錐尸-ABCD中，上4,平面ABCD,PA=AB^2,

BC=4,E是的中點(diǎn).

求證：平面尸CD_L平面MD.

42.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，棱臺(tái)ABCD-A宣C'。'中，AA'=BB'=CC=DD'=y/5,底面ABC。

是邊長(zhǎng)為4的正方形，底面AB'C'D是邊長(zhǎng)為2的正方形，連接AC',BD,DC'.證明：AC±BD.

43.（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測(cè)）如圖，己知四棱錐尸-ABCD的底面是平行四邊形，側(cè)面承B是等邊三角形,

BC=2AB,AC=#>AB、PB1AC.

⑴求證：平面PABJ_平面45CD；

（2）設(shè)。為側(cè)棱PO上一點(diǎn)，四邊形BE。尸是過(guò)B,Q兩點(diǎn)的截面，且AC平面3EQ產(chǎn)，是否存在點(diǎn)Q,使得

平面8EQ尸，平面PAD?若存在，求器的值；若不存在，說(shuō)明理由.

44.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）斜三棱柱ABC-A4G的各棱長(zhǎng)都為4,/4AB=60，點(diǎn)A在下底面A3C的

投影為A3的中點(diǎn)。.在棱2瓦（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)。使ADLAG?若存在，求出5。的長(zhǎng)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

45.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）斜三棱柱ABC-$瓦G的各棱長(zhǎng)都為2,幺48=60。，點(diǎn)4在下底面4BC

的投影為的中點(diǎn)O.在棱B片（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)。使AOLAG?若存在，求出8。的長(zhǎng)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

46.（2024?河北保定?一模）如圖，平行六面體ABCD-A4GR的所有棱長(zhǎng)均為血，底面A3CD為正方形,

TT

==點(diǎn)E為2瓦的中點(diǎn)，點(diǎn)F為CG的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在平面ABC。內(nèi).

aG

⑴若。為AC中點(diǎn)，求證：\01AO.

⑵若EP〃平面求線段CP長(zhǎng)度的最小值.

47.（2024高二上?北京海淀?期中）己知三棱錐尸-ABC（如圖1）的平面展開(kāi)圖（如圖2）中，四邊形ABCD

為邊長(zhǎng)為血的正方形，.ABE和均為正三角形.在三棱錐尸-ABC中：

P

⑴求點(diǎn)A到平面BCP的距離；

（2）若點(diǎn)M在棱PC上，滿足%=尢彳6、,[,點(diǎn)N在棱上，且3MLAN,求警的取值范圍.

JJD￡

48.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為正方形，PAL平面ABC。，E

為尸。的中點(diǎn)，上4=AB=2.求證：尸2〃平面AEC；

P

49.（2024高二上?山東聊城?階段練習(xí)）如圖，正方形ADEF與梯形A3C。所在平面互相垂直，已知AB〃CD,

AD±CD,AB=AD=-CD.

2

⑴求證：BP〃平面CDE.

EM

（2）線段EC上是否存在點(diǎn)使平面平面3D尸？若存在，求出丫的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

EC

50.（2024高二?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，PAL平面ABCD,AD±AB,AB//DC,

AD=DC=AP=2,AB=1,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).證明：

⑴BE〃平面PAD；

（2）平面PCDEI平面PAD.

51.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在蘇州博物館有一類(lèi)典型建筑八角亭，既美觀又利于采光，其中一角如圖

所示，為多面體ABC￡（E-AB]G2E|,AB±AE,AE//BC,AB//ED,底面MCDE,四邊形A4GA

是邊長(zhǎng)為2的正方形且平行于底面，AB//A.B,,D.E,與8的中點(diǎn)分別為尸，G,AB=AE=2DE=2BC

=4,M=1.證明：FG〃平面GC。；

52.（2024高二上?廣東佛山?階段練習(xí)）如圖，在正方體ABC。-Ag中，A8=2,瓦尸,G分別是

AA，BC，GA的中點(diǎn)

(1)證明：耳。，平面及G.

(2)在直線上是否存在點(diǎn)尸，使得與尸平面跖G?若存在，請(qǐng)指出尸的位置；若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由.

53.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))在四棱錐尸-ABCD中，平面A8C。回平面PCD,底面ABC。為梯形.AB//CD,

AD1DC,且AB=1,AD=DC=DP=2,ZP￡>C=120.若M是棱研的中點(diǎn)，則對(duì)于棱3C上是否存在

一點(diǎn)、F,使得與尸C平行.

54.(2024高二上?山西大同?期中)如圖，在直三棱柱A