集合與常用邏輯用語、復數(shù)、不等式（教師版）-2025年高考數(shù)學一輪復習

集合與常用邏輯用語、復數(shù)、不等式

（模塊綜合調(diào)研卷）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.已知集合"={。,1,3,5,7,9},/={1,3},5={1,7},則&（/□?=（）

A.{1,3,7}B.{5,9}C.{0,3,5,7,9}D.{0,5,9）

【答案】D

【分析】先求4U8,再根據(jù)補集定義即可求解結(jié)論.

【詳解】集合U={01,3,5,7,9},4={1,3},5={1,7},

.?./U5={1,3,7}，

..（NUB）={0,5,9}

故選：D.

2.命題的否定是（）

A.Vx>0,x2+x-1>0B.Vx>0,x2+x-1<0

C.<0,x2+x-1>0D.<0,x2+x-1<0

【答案】B

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式，即可求解.

【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，

即命題“*>0戶2+*-1>0"的否定為“也>0,*2斗工-140”.

故選：B.

3.下列命題為真命題的是()

A.若a>b>U,貝!!比2>兒2B.若a>/?>0,則/

C.若。<6<0,貝UQ2<I6D.若〃<6<0,貝

ab

【答案】B

【分析】取。=0,可判斷A；作差法比較數(shù)的大小可判斷B；由不等式性質(zhì)可判斷C；作差法比較數(shù)的大小

可判斷D.

【詳解】對于A：當。二0時，顯然不成立，故A錯誤；

對于B：因為/—〃=(q+6)(〃-6)>0,所以Q?〉/,故B正確;

對于C：因為。<6<0,所以才>ab,故C錯誤；

對于D：因為4-2=?>0,所以1>1,故D錯誤.

ababab

故選：B.

4.已知復數(shù)z滿足於-*-1=技則復數(shù)z的共輾復數(shù)三()

a1V3.R\N1.n6,1.

A.-------------1D.—|--------1C.-------------1D.---------1—1

22222222

【答案】A

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)z,由共軌復數(shù)的定義即可求解.

V3+i(V3+i)216

【詳解】解：由題意，za—9廣+丁，

則復數(shù)z的共軌復數(shù)］

22

故選：A.

5.已知為實數(shù),則"a>b>l"是"("1)(6-1)>0"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷.

【詳解】當a>b>l時，a-l>0且6-1>0,所以("1)(6-1)>。成立,

當"16-1>0時，得，?c或八,八，即a>b>l不一定成立,

所以"。>6>1"是"(a-1)伍-1)>0”的充分不必要條件.

故選：A

6.劉老師沿著某公園的環(huán)形道(周長大于1km)按逆時針方向跑步，他從起點出發(fā)、并用軟件記錄了運動

軌跡，他每跑1km,軟件會在運動軌跡上標注出相應的里程數(shù).已知劉老師共跑了11km,恰好回到起點,

前5km的記錄數(shù)據(jù)如圖所示，則劉老師總共跑的圈數(shù)為()

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】利用環(huán)形道的周長與里程數(shù)的關(guān)系建立不等關(guān)系求出周長的范圍，再結(jié)合跑回原點的長度建立方

程，即可求解.

【詳解】設(shè)公園的環(huán)形道的周長為：，劉老師總共跑的圈數(shù)為x,(xeN*),

1</<2

2t<343

則由題意3,>4，所以

4f>5

所以2<-1<一3,因為川=11,所以2彳2<x=1U1<3手3，又無eN*,所以x=8,

3t43t4

即劉老師總共跑的圈數(shù)為8.

故選：B

7.復數(shù)z=x+yi(x)eR,i為虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應點Z(x,y),則下列為真命題的是().

A.若|z+l|=|z—l|,則點Z在圓上

B.若|z+l|+|z—l|=2,則點Z在橢圓上

C.若|z+lHz-”=2,則點Z在雙曲線上

D.若|x+l|=|z-l|,則點Z在拋物線上

【答案】D

【分析】|z+l|=Jx+1)+y2>|z-1|=-1)~+分別表小點(x,y)與(-1,0)、(L。)之間的距禺，記F、(-1,0),

8(1,0),由復數(shù)模的幾何意義和圓錐曲線的定義逐一判斷可得答案.

【詳解】|z+l|=JX+1)2+)2表示點(x,y)與(T,O)之間的距離，

|z_1|=-1)2+)表示點(x,y)與(1,0)之間的距離,記片(-1,0),7s(1,0),

對于A,匕+1|=匕-1|,表示點Z(xj)到片、耳距離相等，則點Z在線段片B的中垂線上，故A錯誤；

或由（x+l）2+/=（x_l）2+V，整理得無=0,所以點z在x=0,故A錯誤；

對于B,由|z+l|+|z-l|=2得"|+|Z￡卜閨聞=2,這不符合橢圓定義，故B錯誤；

對于C,若|z+lHz-”=2,區(qū)用-區(qū)用=忸耳|=2,這不符合雙曲線定義，故C錯誤；

對于D,若|x+l|=|z-l|,則（x+l）2=（x-l『+y2,整理得/=4x,為拋物線，故D正確.

故選：D.

8.對于集合N,B,定義/\8={x|xe/且xgB},則對于集合/={x|x=6〃+5,neN）,

B={y\y=3m+7,z??eN},C=x|xe且x<1000},以下說法正確的是（）

A.若在橫線上填入"n”,則C的真子集有2葭-1個.

B.若在橫線上填入"U",則C中元素個數(shù)大于250.

C.若在橫線上填入則C的非空真子集有2153-2個.

D.若在橫線上填入"U1",則中元素個數(shù)為13.

【答案】B

【分析】根據(jù)各個選項確定相應的集合C,然后由集合與子集定義得結(jié)論.

【詳解】x=6〃+5=3x（2"+l）+2,y=3m+7=3（m+2）+l,集合4臺無公共元素，

選項A中，集合C為空集，沒有真子集，A錯；

選項B中，由6"+5<1000得“<165』，由3m+7C1000得加<331,因此C中元素個數(shù)為166+331=497,B

6

正確；

選項C中，C中元素個數(shù)為166,非空真子集個數(shù)為2謠一2,c錯;

選項D中，c^c=cun（^5）=n,而月項（；/,因此其中元素個數(shù)為33i個，D錯.

故選：B.

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）

9.已知實數(shù)對6滿足^<3,則下列不等式正確的是（）

7a7b

A.—<vB.a2>b2

ab

1,Q+1a

C.a+-->1D.---->-

Q+1b+1b

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題意，得到a>Z?>0,結(jié)合作差比較法，可判定A正確，D不正確；利用不等式的基本性質(zhì),

可得判定B正確；由基本不等式，可判定C正確.

【詳解】由不等式可得。>。力>。且即a>。>0,

7a7b

對于A中，由,-5=?<0,所以上<1，所以A正確；

ababab

對于B中，由a>/?>0,根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得/>/,所以B正確;

對于C中，由。+~L=(。+1)+□--1>2.(a+l)x—-1=1,

。+1〃+1V〃+1

當且僅當“+1=匕時，即”。時等號成立,

因為所以等號不成立'即所以C正確;

a+1a_b(a+1)-a(b+1)_b-a<。，所以舒哈所以

對于中，由可得則

Da>b>0,I+T~b~6(b+l)-b(b+l)

D錯誤.

故選：ABC.

10.已知復數(shù)4/2/3打足：㈤=El=2,z3=z1+z2=V3+i,若均在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則以

下結(jié)論正確的為（）

A.-z2|=V3B.2zj+z2GRC.z.z=2+2^31D.-=—i

12

z222

【答案】BC

【分析】設(shè)復數(shù)Z1/2/3在復平面內(nèi)對應的向量為西，豆，西，依題意可得四邊形OZZ3Z2為菱形，且

71

ZZ1OZ3=1,即可求出4、z2,再根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的運算法則計算可得.

【詳解】設(shè)復數(shù)4/2/3在復平面內(nèi)對應的點分別為Z”Z2，Z3，。為坐標原點，

則復數(shù)4,Z2,Z3在復平面內(nèi)對應的向量為西，區(qū)，抽，且|同=|區(qū)|=|西|=2,

鬲+西=西，西=（右』），

IT

所以四邊形OZZ/2為菱形，且NZQZj=

7TIT

又/Z0Z3=；,OZ3與X軸正半軸所成的角為2，

36

7T

所以。乙與X軸正半軸所成的角為B,所以Z1與Zj關(guān)于X軸對稱，

所以4=百-i,則為=2i,所以2Z]+z2=2^eR,故B正確；

因為Z1—z?=也—i—2i=V3—3i,所以JI—z?J='（GJ+（-3）~=2>/3,故A錯誤；

Z|Z?=2i（省-i）=2+2?,故C正確；

，畢與1工半，故D錯誤.

故選：BC

11.已知a,beR,a2b2+a2+b2=3?則（）

A.a6的最大值為1B.a6的最小值為一1

C.1+占的最小值為4D.2/+〃的最小值為2g-3

⑷I"

【答案】AB

【分析】利用基本不等式的知識，結(jié)合特殊值法進行排除即可得到正確答案.

【詳解】由于"+/+/=3,^3^a2b2+a2+b2>a2b2+2\ab\,即（9|+3乂回-1）40,解得

0<\ab\<1,gp-l<a/><l,故A和B均正確,

令。=1,6=1,滿足題干的式子，但是乙+5=2,故C錯誤，

1?1也I

o2

將崗2+/+62=3變形可得/=?，所以

a2+l

2a2+b2=2a2+1）+-^-3>2J2（a2+1）-^--3=4>/2-3,

a2+l'）a2+lV'）a2+l

當且僅當/=血_1時等號成立，故D錯誤，

故選：AB.

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.={xeN|log2（x-3）<21,B=則/口3=.

【答案】{4,5,6}

【分析】根據(jù)對數(shù)不等式求集合/，根據(jù)分式不等式求集合3,進而可得/c8.

【詳解】若bg2（x-3）42,則0<x-3W4,解得3<xW7,

所以/={xeN|3<xV7}={4,5,6,7}；

(x-3)(x-7)<0^解得ye

若則

X—7wO

所以8={x|3Wx<7}；

所以/ng={4,5,6}.

故答案為：{4,5,6}.

13.王昌齡《從軍行》中兩句詩為"黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還"，其中后一句中“攻破樓蘭"是"返回

家鄉(xiāng)”的..條件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要"）

【答案】必要不充分

【分析】根據(jù)古詩的含義依次判斷充分性和必要性即可.

【詳解】由題意知："攻破樓蘭"未必"返回家鄉(xiāng)”，充分性不成立；"返回家鄉(xiāng)"則必然"攻破樓蘭"，必要性成

立;

?「攻破樓蘭"是"返回家鄉(xiāng)"的必要不充分條件.

故答案為：必要不充分.

38

14.函數(shù)/'(x)=----2-----1-----2-----（xeR）的最小值

2sinx+13cosx+2

.不心、4910

【答案】

【分析】借助三角函數(shù)基本關(guān)系與基本不等式計算即可得.

【詳解】由sin2x+cos2%=l,

3838

故/(x)=----------1-----------=-----------1-----------

2sin2x+13cos2x+22sin2x+15-3sin2x

916

---?~2-------1----------；-5~

6sinx+310-6sinx

由si/xeN」］,^6sin2x+3>0^10-6sin2x>0,

(6sin2x+3+10-6sin2x

916：

/（無）=----2------1--------2-x--------------------------------

6sinx+310-6sinx13

22

19^10-6sin16(6sinx+3)

9+16+

136sin2x+310-6sin2x

2

9^10-6sinx)16(6sin?x+3)1?c小49

25+2.——(25+2x12)——

6sin2x+310-6sin2x13v713

7

9(10-6sin2x16(6sin2x+33

當且僅當即sin2、=?時，等號成立.

6sin2x+310-6sin2x7

49

故答案為：—

四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分,

19題17分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.已知集合/=卜卜2<尤41},集合2={x|2a-lV尤44+1}.

⑴若xe/是xe8的必要不充分條件，求實數(shù)。的取值范圍；

（2）若/c3=0,求實數(shù)。的取值范圍.

[答案]u（2,+”）

⑵（-8,-3]U（1,+8）

【分析】（1）利用集合間的基本關(guān)系及必要不充分條件的定義計算即可;

（2）利用集合間的基本關(guān)系計算即可.

【詳解】（1）?。三/是》三8的必要不充分條件，

???B是4的真子集.

①當8=0時，2a-l>a+l=：>a>2,

2a—1Wa+1

②當時，2a-l>-2,解得-；<aVO.

6t+l<1

實數(shù)。的取值范圍為1-；,0u（2,+x>）.

（2）由Nc2=0,

則①當8=0時，2a-l>a+lna>2,

—1W〃+112a—l?a+l

②當BH0時，可得或，

[a+1?-2[2a—1>1

解得aK-3或1<〃V2.

實數(shù)。的取值范圍為（-8,_3]口（1,+8）.

16.已知Z]=a+2i/2=3-4i（其中i為虛數(shù)單位）.

⑴若氣Z2為純虛數(shù)，求實數(shù)。的值；

（2）若|z「引〈㈤（其中馬是復數(shù)Z2的共軌復數(shù)），求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴|;

⑵IT

-=。

【分析】⑴利用純虛數(shù)的概念結(jié)合復數(shù)的運算得到戊6.求解。的值;

25

2

(2)利用復數(shù)的模的概念得到歸-Z2|=A/(?-3)+4<V774=|Z1|求實數(shù)a的取值范圍.

……」~4”+2i(a+2i)(3-4i)3a-84a+6.

【詳解】(1)由4=a+2i/2=3-41,可得—=4-\C=zr\+

z23-41(3-41)(3+41)2525

9=0

因為五為純虛數(shù)，所以<4^6/解得W；

Z

2-----W0

125

(2)因為z「2=(a+2i)-(3+4i)=(a-3)-2i,所以|z「引=J("3『+4,

2

由|z「可〈㈤，可得，|Z1_J2|=^(a-3)+4<7^74=|zj,解得，fl>|,

故實數(shù)。的取值范圍為[j,

17.設(shè)命題。：Vxe[-1,1],使得不等式x?-2x-3+/w<0恒成立；命題4：*e[0,1],不等式2x-22-3加

成立.

⑴若。為真命題，求實數(shù)用的取值范圍；

(2)若命題?、鄉(xiāng)有且只有一個是真命題，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】⑴(-8,0)

(2)(-oo,3]

【分析】(1)若。為真命題，即Vxe[-1,1],使得不等式/一2x-3+加<0成立，則轉(zhuǎn)化對于

2

m<(-x+2x+3)min即可.

2

(2)若4為真命題，即大e[0,l],不等式2x-22布-3加成立，則轉(zhuǎn)化為對于xe[0,1],(2x-2)max>m-3m

即可.

【詳解】(1)若。為真命題，即使得不等式f一2x-3+加<0成立，

2

則對于xe[-1,1],m<(-x+2x+3)1nhi即可.

由于xe[-l,l],(-x2+2x+3)mM=0,則加e(-8,0)

(2)若0為真命題，即*e[0,l],不等式2x-22療一3m成立,

則對于xe[0,1],加即可.

2

由于xe[O,l],2x-2e[-2,0],;.m-3m<0,解得加e[0,3]

m<0(m>0

p、q有且只有一個是真命題，貝IJ/八忒E或八,…

加(0或加)3[0<m<3

解得加e(-8,3].

18.已知實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=l.

1?

⑴若2/+/+Q,求證：0WQW1；

(2)若Q,b,CG(0,+oo),求證：-^―+-^—+-^>-.

'71-a1-b1-c2

【答案】⑴證明見解析

⑵證明見解析

【分析】(1)由題意可得b+c=l-%又1-2/=〃+，，結(jié)合基本不等式可得工_2/2匕蟲，化簡求

222

2

^0<a<-f得證；

(2)法一，由已知條件得金+上汽22,金-匕^=.,同理可得互+土也2人—+—>c,三式

1-a4Vl-a41-b41-c4

相加得證；法二，根據(jù)已知條件可得+-6)+(1-c)]=l,所以

>+」+F=:[(l-a)+(l-6)+(l-c)][f+j7+m]，利用柯西不等式求解證明.

1-a1-b1-c2L」(1一〃1-b1-cJ

【詳解】(1)因為a+b+c=l,所以6+c=l—a.

因為2/+萬+次=1,

2

所以4_2/=62+,22也土￡1=。;廠，當且僅當b=c時等號成立，

222

2

整理得5a2一2。V0,所以

(2)解法一：因為a+6+c=l,且a,b,ce(0,+(?),

所以1一。>0,l-Z>>0,l-c>0,所以工+^22/工,

1-a4}ll-a4

同理可得三+匕”b,—+—>c,

1-b41-c4

以上三式相力口得金+工+二2*(4+6+°)-3=1,當且僅當。=6=c=:時等號成立.

1-a1-b1-c4V7423

解法二：因為Q+b+c=l,且Q,b,C￡(0,+。),

所以1—Q>0,1—Z?>0,1—c>0,且][(1—a)+(1—6)+(1—c)]=1,

所以七+匕+b2c

±=g[(i_q)+(i_6)+(i—c)]---+----+----

1-a1-b1-c

>—

~2

當且僅當。=6=c=g時等號成立.

19.已知集合/=｛占,超,〃eN*,"23,若xe/,yeA,x+ye/或x-yeN,則稱集合/具有

"包容”性.

⑴判斷集合｛T123｝和集合｛-1,0,1,2｝是否具有“包容”性；

(2)若集合8=｛l,a,6｝具有"包容"性，求公+/的值;

⑶若集合C具有"包容”性，且集合C的子集有64個，leC,試確定集合C.

【答案】⑴集合｛-1,1,2,3｝不具有“包容”性，集合｛-1,0,1,2｝具有"包容"性

(2)1

(3)｛-2,-1,0,1,2,3｝,11,一；,0,；,1,|"|,,｛-3,-2,-1,0,1,2｝或|—1,-1,一：,