利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）解析版-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第06講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................2

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過............................................6

高頻考點(diǎn)一：判斷、證明或討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).......................6

高頻考點(diǎn)二：證明唯一零點(diǎn)問題....................................11

高頻考點(diǎn)三：利用最值(極值)研究函數(shù)零點(diǎn)問題....................15

高頻考點(diǎn)四：利用數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)問題...................24

高頻考點(diǎn)五：構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題...........................35

第四部分：典型易錯(cuò)題型............................................41

備注：函數(shù)零點(diǎn)討論時(shí)借助圖象，容易畫錯(cuò)草圖......................41

第五部分：新定義題.................................................43

第一部分：基礎(chǔ)知識

1、函數(shù)的零點(diǎn)

(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義：對于函數(shù)y=/(x),把使/(x)=o的實(shí)數(shù)X叫做函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn).

(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系

方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)=函數(shù)y=/(%)有零點(diǎn).

2、函數(shù)零點(diǎn)的判定

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有那么函數(shù)

y=/(x)在區(qū)間(。力)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a,A),使得/'(c)=0,這個(gè)c也就是/(x)=0的根.我們把

這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理.

注意：單調(diào)性+存在零點(diǎn)=唯一零點(diǎn)

第二部分：高考真題回顧

1.(2023?全國?乙卷文)函數(shù)，(》)=/+依+2存在3個(gè)零點(diǎn)，貝I。的取值范圍是(

A.(-℃,-2)B.(^?,-3)C.(<一1)D.(-3,0)

【答案】B

【分析】

寫出((x)=3/+a,并求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.

【詳解】

/(x)=x3+av+2,則/'(x)=3x?+a,

若了(元)要存在3個(gè)零點(diǎn)，則〃x)要存在極大值和極小值，則a<0,

令/'(x)=3%2+〃=0,解得％=一后或序

且當(dāng)［，-圖底+、

?時(shí)，r(x)>o,

7

當(dāng)一斤斤］小)<(

),

故的極大值為了卜任］極小值為了1,

小行"仁丹-后+2>。

若/(無)要存在3個(gè)零點(diǎn)，貝人>，即二V二，解得"3

，后<。|三修舊+2<。

2.(2022,全國?乙卷文)已知函數(shù)/(%)=以-工-(。+1)111尤.

X

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求/(x)的最大值；

⑵若/(X)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】(1)-1

(2)(0,+oo)

【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解;

(2)求導(dǎo)得/'(x)=(辦一?(Al),按照aWO、0<。<1及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極

值，即可得解.

【詳解】(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=---lnx,x>0,則((x)=!」==,

XXXX

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，f<^x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí),r(x)<0,單調(diào)遞減；

所以外)而=〃1)=T；

(2)/(x)=<xv---(a+l)lnx,x>0,則:(x)=a+二一"、("l'」",

XXXX

當(dāng)aWO時(shí)，ar-l<0,所以當(dāng)x?0,l)時(shí)，/^)>0,〃x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(l,E)時(shí),r(x)<0,〃尤)單調(diào)遞減；

所以〃尤)?x=/(l)=aT<°，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)0<a<l時(shí)，)>1,在(0,1),+8)上，f^x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

在U上，“X)單調(diào)遞減；

又〃l)=a-1<0,

由(1)得,+lnxNl,BPln->l-x,所以lnx<x/n6<?,lnx<26，

xx

當(dāng)x>1時(shí)，/(x)=ax--(a+l)lnx>ax——-2(a+1)?>ax—(2a+3)Vx,

xx

則存在根=已+2丫>工，使得〃根)>0,

\a)a

所以F(X)僅在［T,+s］有唯一零點(diǎn)，符合題意；

當(dāng)0=1時(shí)，所以/■")單調(diào)遞增，又/⑴=a—1=0,

所以/(X)有唯一零點(diǎn)，符合題意；

當(dāng)a>l時(shí)，-<1,在［。3］,(1,+8)上，/^x)>0,〃x)單調(diào)遞增；

在1,1］上’r(x)<0,〃x)單調(diào)遞減；此時(shí)"l)=a—1>0‘

由（1）得當(dāng)OVJTVI時(shí)，lnx>l--,InVx>1—廣,所以lnx>2

xy/X

11?1?12(a+1)

止匕日寸f(%)=------(a+1)Inx<ax------2(a+1)1-|<------1-----y=—,

%%\y!x)Xy/x

存在"樂使得“)<°，

所以〃X)在I。，)有一個(gè)零點(diǎn)，在］，+［無零點(diǎn)，

所以/(元)有唯一零點(diǎn)，符合題意；

綜上，a的取值范圍為(o,+8).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)

的單調(diào)性與極值的問題.

3.(2022?全國?乙卷理)已知函數(shù)〃x)=ln(l+x)+flxeT

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,〃0))處的切線方程；

⑵若〃尤)在區(qū)間(T,0),(0,y)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【答案】(l)y=2x

⑵(YO,-1)

【分析】(1)先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可

(2)求導(dǎo)，對a分類討論，對x分(-1,0),(0,+^)兩部分研究

【詳解】(1)“X)的定義域?yàn)?-1,舟)

y11—y

當(dāng)a=l時(shí),/(%)=耿1+%)+="(0)=0,所以切點(diǎn)為(0,0)/(%)=--+<"'(0)=2,所以切線斜率為2

e1+xe

所以曲線>=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為y=2x

(2)f(x)=ln(l+x)H——

e

：1I“(lr)eha。一巧

1+xe，(l+x)ex

設(shè)g(x)=e，+a(l-

1°若。>0,當(dāng)xw(—1,0)，9(尤)=/+。(1-尤2)>。,即((無)>0

所以/(無)在(-1,0)上單調(diào)遞增,/(元)</(0)=0

故"X)在(-1,0)上沒有零點(diǎn)，不合題意

2°若一1<。<0,當(dāng)xe(0,+?)),貝Ug'(x)=e'-2依>0

所以g(x)在(。，+⑹上單調(diào)遞增所以g(x)>g(0)=1+a20,即f\x)>0

所以f(x)在(0,舟)上單調(diào)遞增，/'(尤)>/(0)=0

故Ax)在(0,+8)上沒有零點(diǎn)，不合題意

3若。<—1

⑴當(dāng)尤e(0,+oo)，則g'(尤)=e'-2or>0,所以g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增

g(0)=1+<2<0,g(l)=e>0

所以存在加e(0,1),使得g(m)=0,即f'(m)=0

當(dāng)xe(0,m),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減

當(dāng)xeO,+oo),/(x)>OJ(X)單調(diào)遞增

所以

當(dāng)xe(0,㈤,〃方</(0)=0,

X1—X

令h(x)==,X>—1,則hf(x)=

ee

所以/z(x)=，在上單調(diào)遞增，在(L”)上單調(diào)遞減，所以加幻4/1。)=：,

又?{+屋=0，

17cc

所以一(X)在(％位)上有唯一零點(diǎn)

又(。,加)沒有零點(diǎn)，即〃x)在(0,+8)上有唯一零點(diǎn)

(2)當(dāng)xe(-l,0),g(尤)=e*+a(l-x2)

設(shè)h(x)=g'(無)=ex-2ax

"(x)=e*-2a>0

所以g'(x)在(-1,0)單調(diào)遞增

,1,

g(_l)=_+2o<0,g(0)=l>0

e

所以存在〃e(T,。),使得g'(")=0

當(dāng)xe(-l,"),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減

當(dāng)xe(〃,0),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,g(x)<g(0)=1+a<0

又g(-l)=」>0

e

所以存在fe(T〃),使得g(t)=0,即f'Q)=0

當(dāng)xe(-1,f)"(無)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(f,0),f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(-l,0),/z(x)>/z(-l)=-e,

X-l<eae-l<0,/(efle-l)<ae-ae=0

而f(0)=0,所以當(dāng)xe?,0)"(x)>0

所以f(x)在(-1,0上有唯一零點(diǎn),GO)上無零點(diǎn)

即AM在(-1,。)上有唯一零點(diǎn)

所以。<-1,符合題意

所以若/⑺在區(qū)間(-1,0),(。,+與各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍為(-?,-1)

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對。的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并

用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過

高頻考點(diǎn)一：判斷、證明或討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

典型例題

例題L例3-24高三下?陜西安康?階段練習(xí))記函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為廣(x),尸(力的導(dǎo)函數(shù)為白⑺,設(shè)。

是的定義域的子集，若在區(qū)間。上((x)V0,則稱“X)在。上是"凸函數(shù)".已知函數(shù)"x)="sinx-d.

⑴若在0,|上為"凸函數(shù)"，求。的取值范圍；

⑵若a=2,判斷g(無)="司+1在區(qū)間(0㈤上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】(1)［-2,內(nèi))

(2)1個(gè)

【分析】

(1)根據(jù)"凸函數(shù)"定義對函數(shù)求導(dǎo)，由不等式-asinx-2<0在［0用恒成立即可求得a的取值范圍；

(2)易知g(x)=2sinx-d+l,由導(dǎo)函數(shù)求得其在(0,兀)上的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可知零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1

個(gè).

【詳解】(1)由〃x)=asinx—%2可得其定義域?yàn)镽,且/'(x)=acosx-2尤，

所以/"(X”-asinx-2,

若〃尤)在［0,1］上為"凸函數(shù)"可得r(x)=-asinx-2<0在［恒成立，

當(dāng)時(shí)，顯然符合題意;

兀

當(dāng)時(shí)，需滿足一。sin—2W0,可得一2?〃<0；

2

綜上可得，的取值范圍為［-2,+8)；

(2)若〃=2,可得g(x)=2sinx—九2+1,所以g'(九)=2cosx—2%,

令力(九)=2cosx—2x,貝I=—2sinx—2；

易知"(x)=—2sin%—2Vo在區(qū)間(0,兀)上恒成立，

因此可得力(無)=/(%)=285%-2%在(0,兀)上單調(diào)遞減；

顯然81f=23巳-2義￡=石_］>0,g］：j=2cos：-2x：=^-"|<。；

根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得存在x。e［若］使得g'(x0)=2cosx0-2%=0,

因此可知當(dāng)xe(O,x0)時(shí)，g'(x)>0,即g(x)在(0,%)上為單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(%n)時(shí),g'(x)<0,即g(元)在(工,兀)上為單調(diào)遞減；

2

又g(0)=2sin0-0+1=1,顯然在(O,xo)上g(x)不存在零點(diǎn)；

Tfjjg(7i)=2sin7r-7i2+l=l-7i2<0,結(jié)合單調(diào)性可得在小,兀)上g(尤)存在一一個(gè)零點(diǎn)；

綜上可知，8(%)="2+1在區(qū)間(0,兀)上僅有1個(gè)零點(diǎn).

例題2.(23-24高三下?廣東廣州,階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e'—2x.

⑴求函數(shù)〃x)的極值；

(2)討論函數(shù)ga)=〃x)-sinx在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(參考數(shù)據(jù)：sin1-0.84,cos1?0.54)

【答案】⑴極小值是2-21n2,無極大值；

(2)2

【分析】

(1)求導(dǎo)，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解極值點(diǎn)，

(2)分類討論x>0和x<0上的導(dǎo)數(shù)正負(fù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可求解.

【詳解】⑴

■函數(shù)〃x)=eX-2x,

.?"'(x)=e-2；

令/'(x)=0,即1-2=0,解得x=ln2,

當(dāng)x>ln2時(shí)，尸(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x<ln2時(shí)，單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=ln2時(shí)，/(x)取極小值，

函數(shù)，(尤)的極小值是“1112)=*—21n2=2-21n2,無極大值；

(2)(x)=/(x)-sinx=e%-2x-sinx,貝ljg'(x)=e》一2-cosx,

令相(尤)=e“-2-cosx,則mz(x)=ex+sinx,

由于x>0時(shí)，根'(尤)=e"+sin%>1+sin無N0,因此函數(shù)加(X)=g'(%)在x>0上單調(diào)遞增，

由于g'(0)=l-2-lvO,g'(l)=e-2-cosl>0,

因此存在唯一的??。,1),使得存($)=0,

故當(dāng)xe(O,Xo),g，(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(%,y),g<x)>0,g(x)單調(diào)的遞增,

x<0時(shí)，g,(%)=eA-2-cos%<e°-2-COSJ:=-1-COSX<0,止匕時(shí)g(x)單調(diào)遞減，

綜上可知g(x)在xe(-℃,%)單調(diào)遞減，在xe5,+oo)單調(diào)遞增，

又g(l)=e-2-sinl<0,g(-71)=e-n+2TT>0,當(dāng)xf+co時(shí)，g(x)f+8,

因此g(x)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故g(x)=〃x)-sinx在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)y=零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：⑴直接法：令/(力=0,則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)

就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)；(2)零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間,,可上是連續(xù)不斷的曲線，且〃。>/0)<0,再

結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)

化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在一個(gè)

區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，

確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.

例題3.(23-24高三上?廣東梅州?階段練習(xí))已知曲線C：/(x)=sin2x+aeA-x(aeR)

⑴若曲線C過點(diǎn)P(O,-I),求曲線C在點(diǎn)尸處的切線方程；

(2)若0<aVl,討論g(x)=f(x)+gcos2尤一a-；的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】(1)'=-21

⑵答案見解析

【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)得切線斜率，然后由點(diǎn)斜式得切線方程并化簡；

(2)先求得g(x),得g(x)的單調(diào)性，然后討論且⑺神的正負(fù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】(1)依題意得，/(O)=-l=a,此時(shí)/(x)=sin2x—e'-x,

/r(x)=sin2x-ex-1,

則切線斜率為/'(。)=-2,故切線方程：y+l=-2(%-0),即y=-2x-1.

令g，(x)=ae"-1=0得x=-lna,令g，(x)>0得x>-lna,

令g<x)<0得x<-lna.&("減區(qū)間為(—0,-1110:),增區(qū)間為(-lna,4<o),

g(_r)?g(-lna)=l+lna-a.

當(dāng)4=1時(shí)，l+lna-a=O,

g(x)20,/.g(x)在(-(?,*?)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)。<0<1時(shí)，^*r(a)=l+lna-a(0<a<l),/(a)=—1=------>0,

二r(a)在(0,1)上單調(diào)遞增，

r(a)<r(l)=O,即g(-lna)<0,

又g(0)=0,J.g(x)在(TO,-In上有一個(gè)零點(diǎn)，

X^(—21na)=—+21na—a

令0(a)=L+21na-a(O<a<l),則d(〃)=_("一1)<0,二°(a)在(0,1)上單調(diào)遞減，

aa

：.e(a)>0(l)=O,二g(-21na)>0,g(x)在(-Ina,-21na)上有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，a=l時(shí)，g(x)有一個(gè)零點(diǎn)，0<“<1時(shí)，g(x)有2個(gè)零點(diǎn).

練透核心考點(diǎn)

1.(2024?湖南■二模)已函數(shù)/(無)=》:5+加!+樂+<?(0,6,1:€11),其圖象的對稱中心為(1,-2).

(1)求a-6-c的值；

(2)判斷函數(shù)“X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】⑴-3

⑵答案見解析

【分析】

(1)由〃尤)的圖象關(guān)于(1,-2)對稱，得至ij/a+l)+〃r+l)=T,列出方程組即可求解；

(2)由(1)得到函數(shù)的解析式，求出l(x),利用△判斷尸(x)=0根的情況，分類討論確定零點(diǎn)的個(gè)

數(shù).

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)〃尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,-2)中心對稱，故y=〃x+l)+2為奇函數(shù)，

從而有了(尤+l)+2+/(—x+l)+2=0,即/(x+l)+/(—x+l)=T,

/(x+l)=(x+l)3+a(%+l)2+&(x+l)+c=x3+(o+3)x2+(2a+b+3)x+a+b+c+\,

/(1—x)=(1—x)3+a(l—尤y+6(1—x)+c=-+(a+3)x~—(2a+b+3)x+a+6+c+l,

2a+6=0Ja=-3

所以,解得1/?+c=0

2a+2b+2c+2=-4

所以〃_人_。=_3；

(2)由(1)可矢口，/(x)=x3-3x2-cx+c,/r(x)=3x2-6x-c,A=36+12c,

①當(dāng)c4—3時(shí)，A=36+12c<0,f'(x)>0,所以〃x)在R上單調(diào)遞增,

/(l)=-2<0,43)=27-3x9-3c+c=-2c>0,

..?函數(shù)/(尤)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)一3<c<0時(shí)，再+9=2>0,xl-x2=-^>0,

/'(x)=0有兩個(gè)正根，不妨設(shè)無i<%,貝!|3*-6菁-c=0,

，函數(shù)/(X)在(-8,%,)單調(diào)遞增，在&,%2)上單調(diào)遞減，在(%,+功上單調(diào)遞增，

/(%)=耳~3x^-(%-6xJ=-2X](x；_3%+3)<0,/(3)=-2c>0,

；?函數(shù)/(尤)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)c=0時(shí),/(%)=丁-3%2,

令/(尤)=丁一3/=0,解得x=0或無=3,

F(”有兩個(gè)零點(diǎn)；

④當(dāng)c>0時(shí)，玉+3=2,%]-%2=--1<0,

/'(尤)=。有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，不妨設(shè)再<。<々，

二函數(shù)/(X)在(-8,%)上單調(diào)遞增，在&,%)上單調(diào)遞減，在(馬,+力)上單調(diào)遞增,

/(^)>/(0)=c>0,/(X2)</(1)=-2<0,

；?函數(shù)/(x)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)；

綜上，當(dāng)c>0時(shí)，函數(shù)〃x)有三個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)c=0時(shí)，函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)c<0時(shí)，函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn).

2.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=ln(l+x)+acosx.

(1)曲線y=fM在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為y=X+2,求實(shí)數(shù)。的值.

⑵在⑴的條件下，若g(x)=/(x)-」，試探究g(x)在等上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

1+xI2)

【答案】(皿=2

(2)只有1個(gè)零點(diǎn)

【分析】(1)求導(dǎo)廣(尤)=—1-asinx,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解;

X+1

(2)由(1)知g(x)=ln(l+x)+2cosx—J—,再利用導(dǎo)數(shù)法求解.

【詳解】(1)解：由/(%)=ln(l+x)+acos%,

得/'(尤)=---?sinx,則有八、

x+1[f[O)=a,

所以切線方程為y=%+〃.

又因?yàn)榍€y=fM在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程為y=X+2,

所以。=2.

(2)由(1)矢口g(x)=ln(l+x)+2cosx---,

1+x

貝(JSr(x)=-2sinx+--y.

1+x(1+x)

12

令h(x)gg則〃30-2到-

當(dāng)xe(-l,O]時(shí),h'(x)<0,則g'(x)單調(diào)遞減,

所以g'(x)Ng'(0)=2>0.

所以g(x)在(T，0］上單調(diào)遞增.

當(dāng)X-—1時(shí)，g(x)--co；當(dāng)x=0時(shí)，g(O)=l>。.

所以g(x)在(-1,0］上存在零點(diǎn)，且只有一個(gè)零點(diǎn).

(、/但一一2+--

當(dāng)費(fèi)時(shí)，h'(x)<0,則/(x)單調(diào)遞減，g@=2,『5廠1+4?

所以存在g'(x())=。，當(dāng)xw(O,Xo)時(shí)，g'(x)>0,則g(無)單調(diào)遞增；當(dāng)xe(尤o，|J時(shí)，g，(x)<0,則g(無)單

調(diào)遞減.

gf—^Inf1+—>l+lcos-------=Inf1+—------>0福2(、人鼠吟

而(2)I2)2［+工(2)1+￡，所以g(x)在。，彳)匕無零點(diǎn).

綜上，g(x)在(-1胃)上只有1個(gè)零點(diǎn).

高頻考點(diǎn)二：證明唯一零點(diǎn)問題

典型例題

例題1.(23-24高三下?四川雅安?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)=Mlnx-a)+lnx+a.

(1)若°=1,當(dāng)％>1時(shí)，證明：/(%)>0.

⑵若a<2,證明：〃x)恰有一個(gè)零點(diǎn).

【答案】(1)證明見解析

⑵證明見解析

【分析】

(1)根據(jù)題意，求導(dǎo)可得力^)>°，即可得到“力在。，內(nèi))上單調(diào)遞增，再由〃力>〃1)=0,即可證

明；

(2)根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx-o+邛+￡,求導(dǎo)可得g'(x)>0,即g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，再

結(jié)合g(l)=。，即可證明.

【詳解】(1)

證明：因?yàn)閍=l,所以/(x)=xlnx-x+ln尤+1,7'(元)=lnx+，.

當(dāng)x>l時(shí)，>0,則〃x)在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x>l時(shí)，/(x)>/(l)=0.

(2)

/(x)=x(lnx-a)+lnx+a=++.

人1Inxa,”\11—Inxax+1-lnx-a

令g(x)=lnx-Q+——+-,貝n!Jrg(%)=—+—2-----r=------2-----.

XXXXXX

令/z(x)=x+l-lnx—a,貝=1—.

當(dāng)力￡(0,1)時(shí),〃(力<0,九(%)在(0,1)上單調(diào)遞減,當(dāng)4w(l,+oo)時(shí),人(九)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以M%"/2(1)=2-a>0,所以/⑺="1］產(chǎn)一〃〉0,

則g(力在(0,+。)上單調(diào)遞增.

因?yàn)間(l)=。，所以g(“恰有一個(gè)零點(diǎn)，則/(%)恰有一個(gè)零點(diǎn).

例題2.(23-24高三下?河北?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=-ae-sinx-l在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn)4,其

中aeR,e為自然對數(shù)的底數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑵證明：/(x)在區(qū)間［。,內(nèi)有唯一零點(diǎn).

【答案】⑴(TO)

(2)證明見解析

【分析】⑴求導(dǎo)得/(%),分和火0討論「(無)的單調(diào)性，并保證在網(wǎng)內(nèi)有唯一零點(diǎn)4即可.

(2)利用導(dǎo)數(shù)確定了(X)在區(qū)間［a?］上的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理證明即可.

【詳解】(1)/(x)=-ae*-cosx,當(dāng)xe(。,"時(shí)，cos%e(0,1),

①當(dāng)時(shí)，尸(x)<0,〃x)在上單調(diào)遞減，沒有極值點(diǎn)，不合題意；

②當(dāng)。<0時(shí)，y=-詔與y=-co次在上分別單調(diào)遞增，顯然/'(x)在(0,2上單調(diào)遞增，

因?yàn)槭?0)=，1，0-〃2>0,

所以『'(0)=—。-1<0,得4>一1,此時(shí)/(無)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)4，

所以當(dāng)天?0,占)時(shí)，尸(x)<0；當(dāng)時(shí)，用x)>0,

所以/(x)在(0，2內(nèi)有唯一極小值點(diǎn)七，符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-1,0).

兀3兀)

(2)證明：由(1)知—IvavO,當(dāng)xe—,I,y=—aex>0,y=—cosx>0,

???在上廣(%)=-*-cosx>0,

〃x)在］上單調(diào)遞增，

?.?當(dāng)?卜寸，“X)單調(diào)遞增，

.?.當(dāng)xe(O，x)時(shí)，/(力單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

?當(dāng)xe(O,不)時(shí)，/(x)</(O)=-a-l<O,/(^)<0,

文:f［^=-a^>Q,在卜芝|內(nèi)有唯一零點(diǎn)，

即/(x)在(0,內(nèi)有唯一零點(diǎn).

例題3.(23-24高三上?黑龍江?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=x+lnx,g(x)=e、lnx+a,且函數(shù)〃尤)的零點(diǎn)

是函數(shù)g(x)的零點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

⑵證明：y=g(x)有唯一零點(diǎn).

【答案】(1)1

⑵證明見詳解

【分析】(1)易判斷單調(diào)遞增，令〃Xo)=%+lnXo=O,即可得不薩=1,令g(%)=。即可求?；

(2)由導(dǎo)數(shù)判斷g(x)單調(diào)遞增，g(%)=0即可得證.

【詳解】(1)由〃x)=x+lnx易判斷在(O,+e)單調(diào)遞增,

1|=l+ln-=--l<0,/(l)=l+lnl=l>0,

jeee

所以可令/(%0)=%+1口％0=。，

得%=—ln%,所以/+lnXo=In(/e%)=0=>/e"=1,

由題意g(尤o)=0,即e與\nx0+a=-e^°x0+a=-l+a=Of

所以a=l；

(2)g(x)=e*lnx+l,則/⑴=e(lnx+,

令"(％)=ln%+^,貝U//(%)=1y=,

XXXX

所以當(dāng)X￡(O,1)時(shí)，p'(x)<0,p(x)單調(diào)遞減，當(dāng)%￡(L+co)時(shí)，p(x)>0,P(x)單調(diào)遞增，所以

p(x)>p(l)=l>0,

所以g'(x)=e(lnx+]>0,

結(jié)合(1)可得存在唯一Xoc'』],使得g(x0)=O,即函數(shù)y=g(x)有唯一零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題(1)的關(guān)鍵是通過同構(gòu)得出/e%=l；(2)的關(guān)鍵是二次求導(dǎo)確定函數(shù)的

單調(diào)性.

練透核心考點(diǎn)

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=lnx-x+2sinx,f(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù).求證：f(x)在(0,兀)

上存在唯一零點(diǎn).

【答案】證明見解析

【分析】

求導(dǎo)，確定函數(shù)單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)情況.

【詳解】設(shè)g(x)=/(x)=：T+2cosx,

當(dāng)xe(O,7i)時(shí)，g,(x)=-2sinx--y<0,所以g(元)在(0,無)上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?閭=3-1+1>0,g(1］=2-i<o

13/兀J71

所以g(x)在］，鼻上存在唯一的零點(diǎn)1，命題得證.

2.(2023高三上,全國?專題練習(xí))已知a>0,函數(shù)/(x)=xe*-a,g(x)=xlnx-a.證明：函數(shù)〃x),g(元)

都恰有一個(gè)零點(diǎn).

【答案】證明見解析

【分析】先求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性，然后利用零點(diǎn)存在定理來證明即可.

【詳解】證明：函數(shù)〃力=m"一。的定義域?yàn)镽,r(x)=(x+l)e",

Qx<-1時(shí)，f(x)<0,x>-l時(shí),ff^x)>0,

\/(x)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，f(X)在(-1,+8)上單調(diào)遞減增，

Qx<0時(shí)，/(x)<0,f(0)=-a<0,f(a)=aea-a=a［ea-1)>0,

，函數(shù)/(x)恰有一個(gè)零點(diǎn).

函數(shù)g(x)=xlnx-a的定義域?yàn)?0,+8),g,(x)=lnx+l,

0<x/時(shí)，g,(x)<0,x>，時(shí)，g,(x)>0,

ee

g(x)在［a［上單調(diào)遞減，g(x)在g,+?j上單調(diào)遞增,

JX<1時(shí)，g(x)<0,g(l)=-fl<0,

令b>max{a,e}(max{機(jī),〃}表示w中最大的數(shù))，g(/?)=/?InZ?-o>?(lna-1)>0,

函數(shù)g(x)恰有一個(gè)零點(diǎn).

高頻考點(diǎn)三：利用最值(極值)研究函數(shù)零點(diǎn)問題

典型例題

例題1.(23-24高二上?浙江紹興?期末)已知函數(shù)/(x)=;v2-(2a+l)x+alnx+a(aeR).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴單調(diào)遞增區(qū)間為：［。［］和（1,+?）,單調(diào)遞減區(qū)間為：Q,i

1、1

(2)0<Q<5或］<〃<2

【分析】

（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并化簡為:（函=（2》一18-0）,0<x<2,再討論。的取值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,

判斷函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而求解實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】（1）

當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=x2-3x+lnx+l,定義域?yàn)?0,+°0)

2%2—3%+1(2兀-1)(十一1)

XXX

令八%）>。，得元>1或

所以/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（0,；］和（1,叱），單調(diào)遞減區(qū)間為：R,1

（2）

f（x）—2x—（2a+1）H—=------------（0<xv2）

XX

①當(dāng)aWO時(shí)，x-a>G,所以在（0,，上單調(diào)遞減，在。,2）上單調(diào)遞增,

故/（X）只有一個(gè)極小值點(diǎn)g，與條件矛盾，故舍去.

②當(dāng)0<“<g時(shí)，〃尤）在（0,。）和口,2）上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，

故/（X）有兩個(gè)極值點(diǎn)a和g，與條件相符.

③當(dāng)g<a<2時(shí)，〃”在（0,￡|和（4,2）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故/（X）有兩個(gè)極值點(diǎn)。和：，與條件相符.

④當(dāng)。=:時(shí)，廣（“2丁）后0,

故在（0,2）上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，舍去.

⑤當(dāng)。22時(shí)，x-a<0,所以/（x）在上單調(diào)遞增，在［gz］上單調(diào)遞減，

故/（X）只有一個(gè)極大值點(diǎn)與條件矛盾，故舍去.

11

綜上可得：0<a<——<a<2

例題2.(23-24高二下?重慶黔江?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx+依+2

(1)若函數(shù)在x=l處取得極值，求。的值；

⑵若函數(shù)在定義域內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】(l)a=—1

⑵(-e,0)

【分析】(1)利用極值點(diǎn)的意義得到廣⑴=。，從而求得。，再進(jìn)行驗(yàn)證即可得解；

(2)分類討論。的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)得到的性質(zhì)，從而得到a<0且/，:]>0,解之即可得解.

【詳解】(1)因?yàn)?■(x)=lnx+ax+2(x>0),則/(尤)=4+a=竺以，

因?yàn)楹瘮?shù)在x=l處取得極值，所以(⑴=1+。=0,解得a=-L

當(dāng)a=—l時(shí)，可得/(消=上三，

X

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/(力>0,〃力單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(,+8)時(shí),小)<0,單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/(X)取得極大值，符合題意，故a=-l.

(2)由尸(尤)=竺土L其中x>0,

X

當(dāng)。20時(shí)，可得/'(x)>0,/單調(diào)遞增，

此時(shí)函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)a<0時(shí)，令/(了)=0,解得x=」，

a

當(dāng)xe。-￡|時(shí)，/(x)>0,單調(diào)遞增；

當(dāng)尤U，+1|時(shí)，r(x)<°-單調(diào)遞減；

所以當(dāng)彳=-：時(shí)，f(x)取得極大值，也是最大值，

最大值為了(一：)=In+°{_J+2=1-In(-a),

Xf(e2)=ae2<0,且當(dāng)x->+8時(shí)，/(x)^--oo,

所以要使得函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足了[-：)>0，

即解得一e<avO,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-e,0).

例題3.(23-24高二下?貴州黔西?開學(xué)考試)已知〃同=加-云+4,/3在x=2處取得極小值

⑴求的解析式;

⑵求“X)在x=3處的切線方程；

⑶若方程/'(》)+左=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求左的取值范圍.

【答案】⑴〃尤)=g尤3-4尤+4

(2)5%-,-14=0

(3)38,一萼牛+"

【分析】

了,⑵=0

(1)求出((無)，由題意可的，小、4,由此即可求出答案；

了⑵一

(2)分別求出f(3),廣(3)的值，再利用點(diǎn)斜式寫出直線；

(3)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)》=-左與>=/(無)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求出函數(shù)>=/(尤)的單調(diào)性與極值，即可求

出％的取值范圍.

【詳解】(1)由題意知f(x)=3依2-6,

4

因?yàn)?(%)在％=2處取得極小值—-

f(2)=12a-b=0

則，c、。C,〃4.解得：a=^,b=4

f(2)=8a-2b+4=--3

經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以。=；,b=4,

所以/(彳)=；尤3—4x+4

(2)由題意矢口/(x)=§;>?—4x+4,/r(x)=x2—4,

所以“3)=1,尸(3)=5,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1),斜率左=5

所以切線方程為：J-l=5(x-3),即5元一〉一14=0.

(3)令/=解得％=-2或%=2,

則31⑺，/(%)的關(guān)系如下表：

X(-咫-2)-2(-2,2)2(2,+與

+0-0+

28_4

〃尤)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

T-3

4

貝廳(-2)=可，/(2)=--,

方程/(x)+左=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根等價(jià)于-k=/(x)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,

等價(jià)于函數(shù)y=-左與y=有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

即一左<—24或一女〉2二8，解得：k<-2—8^k>~4,

3333

28

所以代—00,---------

3

9

例題4.(23-24高二上?福建福州?期末)已知函數(shù)/(尤+6%+a(〃￡R).

⑴求了⑺在［-2,3］上的最大值;

(2)若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

9

【答案】⑴

(2)[-|，-2

【分析】

(1)求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值及端點(diǎn)的函數(shù)值，即可求出函數(shù)的最大值;

(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，再結(jié)合題意列出不等式組即可得解.

【詳解】(1)

/(X)=3x2-9x+6=3(x-l)(x-2),

可知xe［-2,l］時(shí)，f^x)>0,司勸單調(diào)遞增,

九目1,2］時(shí),/(x)<0,『(%)單調(diào)遞減,

xw[2,3]時(shí)，f<^x)>0,單調(diào)遞增,

所以/(x)a=max{〃l),〃3)},

59

由/(I)=—,/(3)=—+tz,

9

/?^=/(3)=-+?；

(2)

f(%)=3x?-9x+6=3(%-1)(%-2),

當(dāng)％<1或%>2時(shí)，>0,當(dāng)lvx<2時(shí)，/r(x)<0,

所以fM在(―*1)和(2,+8)上單調(diào)遞增，在(1,2)單調(diào)遞減，

所以〃龍)極大值=/⑴=|+a，A》)極小值=/⑵=2+a，

當(dāng)九f_OO時(shí)，當(dāng)％->+8時(shí)，/(力—小，

因?yàn)?(X)有三個(gè)零點(diǎn)，所以V卜大值>gp-2+a>0,

〔小)極小值<°(2+?<0

解得一<°<-2,故a的取值范圍為

練透核心考點(diǎn)

1.(2024高二下?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=gx3+ax,g(x)=-x2-a(aeR).

(1)若函數(shù)-%)="可-8(%)在［1,+8)上單調(diào)遞增，求。的最小值;

⑵若函數(shù)G(x)=〃x)+g(x)的圖象與尸依有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

【答案】⑴-3

(2)^-co,-1^u(0,+co)

【分析】(1)分析可知，/(x)=x2+2x+a30對任意的x21恒成立，分析函數(shù)尸'(X)在［L+s)上的單調(diào)

性，根據(jù)F'(x)1nhi2?？汕蟮脤?shí)數(shù)。的取值范圍，即可得解；

(2)令/?(x)=gx3一分析可知，函數(shù)用”的圖象與直線>只有一個(gè)公共點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)可力

的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)解：由已知可得/(%)=〃%)—g(x)=；%3+%2+:+。,

6n則尸=+2x+〃,

因函數(shù)F(X)在［1,+a))上單調(diào)遞增，

所以/'(1)=%2+2］+?！怠θ我獾?21恒成立，

又因?yàn)楹瘮?shù)/'(X)=爐+2x+Q在［1,+00)上為增函數(shù)，

則少(力.=9(1)=〃+32。，解得aN—3,故實(shí)數(shù)。的最小值為—3.

2

(2)解：G(x)=/(x)+^(x)=-x+ax-a9令G(x)=av,可得a

因?yàn)楹瘮?shù)G(x)=/(x)+g(x)的圖象與產(chǎn)依有且只有一個(gè)交點(diǎn),

令/2（x）=gx3-/,則函數(shù)可無）的圖象與直線y=a只有一個(gè)公共點(diǎn)，

貝=令//（工）＞0,解得％＜0或%＞2,令"（犬）＜0,解得。＜尤＜2,

所以人⑺在（-8,0）、（2,+8）上單調(diào)遞增，在（0,2）上單調(diào)遞減，

QA

則可力的極大值為人⑼=0,極小值為/i（2）=|-4=-j,

萬⑴的圖象如下所示：

由圖可知，當(dāng)。＜-|或。＞。時(shí)，函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn),

因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是（-雙-力口（。,+8）.

2.（23-24高二上■江蘇南京■期末）已知函數(shù)〃彳）=丁一;無2-2》+加.

（1）當(dāng)“7=1時(shí)，求曲線”X）在點(diǎn)（2,”2））處的切線方程；

（2）若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)相的取值范圍.

【答案】⑴8*7-13=0

223

（2）---＜m＜—.

272

【分析】（工）求出導(dǎo)數(shù)，計(jì)算出切點(diǎn)及斜率，寫出直線方程即可；

22

m-\--->0

27,,

（2）利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間以及極值，要使函數(shù)F（力有三個(gè)不同的零點(diǎn),只需滿足計(jì)

算即可.

【詳解】(1)當(dāng)根=1時(shí)，/(x)=x'—萬尤2—2x+l,/'(x)=3x?—x—2.

所以“2)=3,(⑵=8,

所以切線/：j-3=8(x-2),即8x-y-13=。

(2)/,(x)=3x2-X-2=(3J:+2)(X-1)

/、?

令r(x)=o,得了=§或x=i.

當(dāng)尤<一：或x>i時(shí)，r(x)>o:當(dāng)一\<x<i時(shí)，r(x)<o.

二八X)的增區(qū)間為「”,一口，(1,+8)；減區(qū)間為「|，1

“X)的極大值為/(-：]=+“X)的極小值為〃1)=機(jī)-；

22

m-\--->0

27223

，解得:---<m<—

3Z12

/(l)=m--<0

此時(shí)〃—2)<0,f(2)>0,所以函數(shù)〃