遼寧省大連市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

遼寧省大連市第二十四中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考

試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.若集合Af={x|0Wx<4},N={x|3xN2},則加門"為（）

x0<x<|

A.B.{x|0<x<4}

x^<x<2

C.

2

2.命題。：Vx>2,x-l>0,貝（IF是（）

A.Vx<2,%2-l<0B.Vx>2,%2-l<0

C.Bx>2,x2-l<0D.3x<2,x2-l<0

3.已知2<a<4,-2<b<-l,貝的取值范圍是（）

A.（3,4）B.（4,5）

C.（5,6）D.（3,6）

4.已知函數(shù)了=/（無(wú)）的定義域是[-L1],則y=/（2x-l）的定義域是（）

A.[-3,1]B.[-1,1]

C.[-1,0]D.[0,1]

5.設(shè)尸（/，M）為函數(shù)了=國(guó)戶€卜1』圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若此函數(shù)圖象與X軸，直線x=-l及X=f

圍成圖形（如圖陰影部分）的面積為了?）,則>的圖象可表示為（）

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

6.已知函數(shù)/'(x)=x2+(m-2)尤+7加+1為偶函數(shù)，則7〃的值是()

A.1B.2C.3D.4

7.不等式《夜+6)4拒歷「對(duì)所有的正實(shí)數(shù)x,y恒成立，貝1"的最大值為()

行

A.2B.JiC.—D.1

2

8.設(shè)xeR,用[司表示不超過(guò)尤的最大整數(shù)，則>=區(qū)稱為高斯函數(shù)，例如：卜2』=-3,

[3.1]=3.已知函數(shù)/(x)=￡曰-：，則函數(shù)了=[/("]的值域是()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

二、多選題

9.已知實(shí)數(shù)。，6滿足a>b,則下列說(shuō)法正確的是()

A.同>同B.當(dāng)CHO時(shí)，貝Ijac2>6c2

C.當(dāng)c<0時(shí)，則ac<6cD.當(dāng)ab>0時(shí)，則

ab

10.已知正實(shí)數(shù)。，Z?滿足=。+6+3,則()

A.6的最小值為3B.6的最小值為6

C./的最小值為6D.仍的最小值為9

11.關(guān)于尤的方程,2一『_卜2_1+后=0,以下說(shuō)法正確的是()

A.存在實(shí)數(shù)左，使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根

B.存在實(shí)數(shù)上，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根

C.存在實(shí)數(shù)左，使得方程恰有6個(gè)不同的實(shí)根

D.不存在實(shí)數(shù)左，使得方程恰有7個(gè)不同的實(shí)根

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

三、填空題

12.函數(shù)>=2x-4的零點(diǎn)為

13.若方程無(wú)2一3"+2/=。的一個(gè)根小于1,另一個(gè)根大于1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是.

14.已知函數(shù)f(x)=--左，若存在實(shí)數(shù)沉，“，使得函數(shù)/(x)在區(qū)間［詬，夜］的值域?yàn)?/p>

［3詬,3五］,則實(shí)數(shù)上的取值范圍是

四、解答題

15.設(shè)［/=R,已知集合［={x|2VxV3},B=\x\m-\<x<2m+5^.

(1)當(dāng)3e8時(shí)，求實(shí)數(shù)優(yōu)的范圍；

(2)設(shè)0：xeA；q：x&B,若0是4的充分條件，求實(shí)數(shù)加的范圍.

16.求下列方程(方程組)的解集：

(1)2尤4一7/+3=0；

［2x—y—1=0

⑵1+2/=3?

2

17.函數(shù)/⑺是定義在R上的奇函數(shù)，已知當(dāng)x>0時(shí)，/(X)=X-2X-3;

⑴求函數(shù)“X)的解析式；

(2)作出函數(shù)/(x)的圖象，并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

(3)若方程/(x)-機(jī)=0有3個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值集合.

18.定義在R上的函數(shù)/(x)滿足:對(duì)任意的x,"R,都有/'(x7)=/(x)-/(力，且當(dāng)x>0

時(shí)，/(^)<0.

⑴判斷/(X)的奇偶性；

(2)求證：函數(shù)/(X)在R上是減函數(shù)；

⑶若/=且,Vae［-l,l］,「(同之一/+6行一9恒成立，求實(shí)數(shù)t的取

值范圍.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

19.若函數(shù)［(X)與g(x)滿足：對(duì)任意的網(wǎng)€。，總存在唯一的馬€。，使/1(xj/az”切

成立，則稱/(X)是區(qū)間。上的“小階自伴函數(shù)”；對(duì)任意的網(wǎng)e。，總存在唯一的％e。，

使/'(再立仁)=加成立，則稱/(尤)是g(x)在區(qū)間。上的“階伴隨函數(shù)”.

⑴判斷/'(x)=f+l是否為區(qū)間［0,3］上的“2階自伴函數(shù)”？并說(shuō)明理由；

「3-

⑵若函數(shù)/(x)=2x-l為區(qū)間-,b上的“1階自伴函數(shù)”，求6的值；

2

⑶若〃x)=E是83=尤2_2辦+/+1在區(qū)間［0,2］上的“2階伴隨函數(shù)”,求實(shí)數(shù)。的取值

范圍.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案DCDDBBDCBCDBD

題號(hào)11

答案BD

1.D

【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?=卜|3注2}=卜卜21，XA/={x|0<x<4},

所以McN=1||■Vx<4}.

故選：D

2.C

【分析】將全稱命題的量詞改變，否定結(jié)論，即可得出R

【詳解】因?yàn)槊}0：Vx>2,尤2_1>0,

根據(jù)全稱命題的否定可知，命題力：3x>2,%2-1<0,

故選：C

3.D

【分析】利用不等式性質(zhì)，先求解出的范圍，然后可求。+(-6)即的范圍.

【詳解】因?yàn)?2<6<-1,所以1<-6<2,

所以2+1<a+(-6)<4+2,即3<a—b<6,

故選：D.

4.D

【分析】由已知函數(shù)的定義域，可得-1W2X-1W1,進(jìn)而即得.

【詳解】???函數(shù)/(幻的定義域?yàn)镠M],

/.-1<2X-1<1,解得：0<x<l,

即函數(shù)/(2x-1)的定義域?yàn)閇0,1],

故選：D.

5.B

【分析】根據(jù)題意求出/⑺，再根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象.

答案第1頁(yè)，共12頁(yè)

【詳解】由題意可知

當(dāng)-14Y0時(shí)，=++=且f->0過(guò)程中增速變慢，

當(dāng)0<區(qū)1時(shí)，/(?)=|+1?2,且ffl過(guò)程中增速變快，

所以V=/⑺的圖象可表示為選項(xiàng)B,

故選：B

6.B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.

【詳解】若函數(shù)I(x)為偶函數(shù),則〃x)=〃-x),

即x?+(tn-2)x+1m+1=(-x>+2)(-x)+7m+1-x2-(M-2)X+1m+1,

整理得22)x=0,故〃2-2=0,解得〃z=2.

故選：B.

7.D

【分析】由題意可得，令機(jī)=斗亞獸>0,則有二f,二='+近，結(jié)合

yjx+yjyrnV2-y/x+ym2x+y

基本不等式求得病21,于是有冽21,從而得答案.

【詳解】因?yàn)闊o(wú),y為正數(shù)，所以4+6>0,

所以，4號(hào)手，則有W苧手濡，

7x+\yyjx+y]y

V2-Jx+y八f1Jx+Jy

令A(yù)m=--r=L>0,貝U—=—r=~~/，

7x+、ym72yx+y

所以上「？+2干二+互今年=],

m2(x+y)2x+y22-^xy

當(dāng)且僅當(dāng)工=歹時(shí)，等號(hào)成立，

所以一2<1，則加之21,

m

又冽>0,所以冽>1,

答案第2頁(yè)，共12頁(yè)

所以6JF的最小值為1,

所以/VI,即/的最大值為1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問(wèn)題，常采用參變分離法，只需求出分離后的函數(shù)(代數(shù)式)

的最值即可得解.

8.C

【分析】求得〃0)=g,當(dāng)xwO時(shí)，將函數(shù)化簡(jiǎn)變形得/(“六萬(wàn)十二]，令"X+：，然

~X

后分x>0和x<0兩種情況結(jié)合基本不等式可求出t的取值范圍，從而可求出/(x)的值域，

再由高斯函數(shù)的定義求出y=[/(x)]的值域.

【詳解】顯然，/(O)=1.

zX_(x+1)21_2(x+l)2-(x2+lj_X2+4X+1_12

2

當(dāng)xwO時(shí)，㈤-x?+]2-2(X+1)一212+1)一/x+JL.

當(dāng)x>0時(shí)，t=x+->2jx--=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號(hào)成立

XX\X

貝!<-+2x-=-；

當(dāng)尤<0時(shí)，t=x+-<-2-^(-x)--^=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=—l

時(shí)等號(hào)成立，

貝！v0」-2x，=」<f(x\<-.

2t222v72

一1?一

綜上所述，/(x)的值域?yàn)?,5,

所以根據(jù)高斯函數(shù)的定義，函數(shù)y=[/(尤)]的值域是{-1,。1},

故選：C.

9.BCD

【分析】舉例分析A選項(xiàng)；利用不等式的性質(zhì)判斷BCD選項(xiàng).

【詳解】A：取。=1力=-2,此時(shí)|1|<卜2],即時(shí)<同,故錯(cuò)誤

222

B：ac-be=(a-b)c,因?yàn)椤?gt;6且cwO,所以Q—6〉0,，〉0,所以ac2-be2>0,即

ac2>be29故正確；

答案第3頁(yè)，共12頁(yè)

C：ac-bc=[a-b）c,因?yàn)閍—b>0,c<0,所以—BPac<be,故正確;

D：1-1=^-,因?yàn)閎-a<0,仍>0,所以所以，<?,故正確；

abababab

故選：BCD.

10.BD

【分析】根據(jù)基本不等式結(jié)合一元二次不等式求法即可得到答案

【詳解】正實(shí)數(shù)。，6滿足仍=〃+6+3,則〃+6+3=劭4，1，

令。+6=機(jī)（加>0）,則7"?-4%-1220,解得加4-2（舍），或機(jī)26,

即。+626,當(dāng)且僅當(dāng)。=8=3時(shí)，等號(hào)成立，

故6的最小值為6,故B對(duì)；

正實(shí)數(shù)“，b旃足。6=a+6+3,則ab=a+6+322jab+3，

令/"（/>0）,則Z2-2/-3>0,解得摩3,或區(qū)-1（舍），

即"232=9,當(dāng)且僅當(dāng)。=6=3時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為9,故D對(duì)；

故選：BD

11.BD

【分析】將方程化為卜2-1『-k2_1卜_后，然后采用換元法變形為「-『=-左，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為y=/-\t\,y=-k的函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)左分類討論從而判斷出正確選項(xiàng).

【詳解】將產(chǎn)_1_k2_1卜左=0化為（一一1）2T尤2一"=

令貝!]廠-1|=-左，

在同一平面直角坐標(biāo)系中作出了=r-//=-后的函數(shù)圖象，如下圖所示：

（1）當(dāng)左=0時(shí)，即/一/=0,解得/=一1,0,1,

令=解得尤=0；令——i=o,解得工=±1；令=解得x=±也,

答案第4頁(yè)，共12頁(yè)

所以此時(shí)有5個(gè)不同實(shí)根;

(2)當(dāng)-左>0時(shí)，即左<0,此時(shí)圖象有2個(gè)不同交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為/1冉,>1冉<-1)，

令x2-l=f],解得x=±"^；因?yàn)椋?<-1,所以，-1=%無(wú)解，

所以此時(shí)共有2個(gè)不同實(shí)根；

(3)當(dāng)-％=-；時(shí)，即后=；,此時(shí)圖象有2個(gè)不同交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為

Z3,^4(-1<Z3<0,0<?4<1),

令X?-1=/,解得X=土J1+);令X?—1=乙，解得X=±Jl+4，

所以此時(shí)有4個(gè)不同實(shí)根；

(4)當(dāng)〈-左<0時(shí)，即0(左<!，此時(shí)圖象有4個(gè)不同交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為小4，，7，%且

44

^,^e(-l,0),Z7,/8e(O,l),

令解得X=±J1+G；令》2一1=3解得X=±J1+%；

令/一1=/7，解得X=±Jl+f7；令》2-1=4，解得X=±J1+W，

所以此時(shí)有8個(gè)不同實(shí)根；

(5)當(dāng)-％<-!時(shí)，即人>：此時(shí)兩圖象無(wú)交點(diǎn)，所以方程無(wú)解；

44

綜上可知，BD選項(xiàng)正確，

故選：BD.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解方程根的數(shù)目問(wèn)題，采用數(shù)形結(jié)合思想能高效解答問(wèn)題，通過(guò)數(shù)與

形的相互轉(zhuǎn)化能使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的問(wèn)題，常見(jiàn)的圖象應(yīng)用的命題角度有：

(1)確定方程根的個(gè)數(shù)；

(2)求參數(shù)范圍；

(3)求不等式解集；

(4)研究函數(shù)性質(zhì).

12.2

【分析】先解方程2x-4=0,由函數(shù)零點(diǎn)定義可知方程的根即為函數(shù)零點(diǎn).

【詳解】解方程2x-4=0得x=2,

所以函數(shù)y=2x-4的零點(diǎn)為2.

答案第5頁(yè)，共12頁(yè)

故答案為：2.

13.（；」）

【分析】利用一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得.

【詳解】?.?方程f-3辦+2/=0的一個(gè)根小于1,另一個(gè)根大于1,

4/(x)=x2-3ax+2a2,貝lj〃l)=F-3〃+2a2c0,

解得所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故答案為：（萬(wàn)/）,

14.

【分析】由函數(shù)解析式可得函數(shù)在［0,+8）上單調(diào)遞增，依題意可得<

到赤,〃為方程Y-3xT=0的兩不相等的非負(fù)實(shí)數(shù)根，利用根的判別式及韋達(dá)定理計(jì)算

可得;

【詳解】因?yàn)椤▁）=--人所以/（x）=--左在［0,+功上單調(diào)遞增,

要使得函數(shù)/（尤）在區(qū)間［赤，6］上的值域?yàn)?/p>

=3y/mm-k=3yjm,—,

所以(廠，即’廠，所以為方程--3x-左=0的兩不相等的非

fyjn)=31nn-k=37n

負(fù)實(shí)數(shù)根,

△=(-3)-4x(-左)>0,解得_2<左《0,即0

所以

x{x2=—k>04

故答案為:

15.

⑵[T斗

2m+5>3

【分析】（1）依題意可得，即可求出參數(shù)的取值范圍;

m-1<3

2m+5>3

（2）依題意可得/=3,從而得到，解得即可.

m-1<2

答案第6頁(yè)，共12頁(yè)

【詳解】(1)因?yàn)?gt;5={x|m-l<x<2m+5},

2m+5>3

所以解得-IV冽44,

m-1<3

即實(shí)數(shù)機(jī)的范圍為[-1,4].

（2）因?yàn)椤＃簒eA；q：xeB,且0是4的充分條件,

所以4=8,

2m+5>3

所以加—”2,解得—1W加W3,

m-\<2m+5

即實(shí)數(shù)%的范圍為[T，3].

(2)0

【分析】（1）將式子因式分解為（2，-1於2一3）=0,即可求出方程的解，從而得到解集;

（2）求出方程組的解，即可得到解集.

【詳解】⑴由2--7/+3=0,可得（2/-1於2-3）=0,

所以2/—1=0或——3=0,

解得占=孝，％=一~~~，WG，&=-6，

所以方程2x4-7/+3=0的解集為爵廠亨，亞-6.

=

（2）由2：一二°,消去」整理得八2（2.1”？,解得占=1,x2=-^,

[x+2）=3'J9

IX=19

所以方程組的解為I或

b=i11J

~9

所以方程組的解集為

答案第7頁(yè)，共12頁(yè)

x2-2x-3,x>0

17.⑴/(x)=<O,x=O

一x~-2x+3,尤<0

(2)圖象見(jiàn)解析，/(x)的單調(diào)增區(qū)間為和(1,+s)

⑶{加卜4<加<-3或3<〃7<4}

【分析】(1)先求得/(0)=0,然后再根據(jù)奇偶性求解出x<0時(shí)的解析式，則/(x)的解析

式可知；

(2)根據(jù)分段函數(shù)解析式作出函數(shù)圖象，然后根據(jù)圖象結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸確定出單調(diào)

遞增區(qū)間；

(3)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=[(x)/="z的圖象有3個(gè)不同交點(diǎn)，然后根據(jù)圖象分析出加的取值

集合.

【詳解】(1)當(dāng)x=0時(shí)，因?yàn)?'(x)為奇函數(shù)，所以-/(0)=/(-0),所以/(0)=0；

當(dāng)x<0時(shí)，一x>0,所以/(-x)=(-尤)一一2(-x)-3=x?+2x-3,

因?yàn)?'(x)為奇函數(shù)，所以/(-X)=-/(X)=X2+2X-3,所以/(X)=-X2-2尤+3；

x2-2x-3,x>0

所以/(x)=，0,x=0.

—尤2—2,x+3,尤<0

(2)函數(shù)/(x)的圖象如下圖所示：

由圖象可知，/(X)的單調(diào)增區(qū)間為和(1,+8).

(3)因?yàn)榉匠?(X)-切=0有3個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，所以v=/(x)j=機(jī)的圖象有3個(gè)不同交

點(diǎn)，

答案第8頁(yè)，共12頁(yè)

由圖象可知，m的取值集合為{加卜4<皿<-3或3<加<4}.

18.⑴奇函數(shù)

(2)證明見(jiàn)解析

⑶(-8,-4]3-2,2卜[4,+8)

【分析】(1)根據(jù)所給關(guān)系式令x=y=o,即可求出/(O),再令x=0,即可得到/(-尤)與

/(X)的關(guān)系，即可判斷；

(2)利用定義法證明，結(jié)合x(chóng)>0時(shí)/(x)<0,即可證明；

(3)求出/卜)的值域，從而得到\/。4-1,1],才+6血_94-1恒成立，設(shè)

g(?)-6ta-Z2-8,ae[-l,l],即可得到「；，解得即可.

【詳解】(1)f(x)為奇函數(shù)，

證明：因?yàn)?(X)的定義域?yàn)镽,且對(duì)Vx,"R,f(x-y)=f(x)-f(y),

令x=y=O,則〃o)=〃o)-/(o),則〃0)=0；

令x=o,則/(-y)=/(o)-/(y),貝U/(-y)=-/(y),即/'(—%)=—/(%)，

所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù).

(2)設(shè)任意的再,％eR且再>電,由/'(X-力=

則/(占)-/(幻=/(%-工2).

又當(dāng)尤>0時(shí)，/(x)<o,所以當(dāng)玉-尤2>0時(shí)，有/(占-尤2)<0，

所以/'(演)-/(無(wú)2)<0,即/(W)</(無(wú)2)，

答案第9頁(yè)，共12頁(yè)

所以函數(shù)/（X）在R上是減函數(shù).

（3）因?yàn)?=所以，￡|=一，一,=一1,

又/⑺在一生上單調(diào)遞減，所以-1,|

所以Vxe--,Vae［-1,1］J（x）2-〃+6a/-9恒成立，

等價(jià)于：\/。4-1』,-/+6血-94-1恒成立，

即V。e[-1,1],6ta—f2-8W0恒成立,

設(shè)g（a）=6S-8,。e,是關(guān)于a的一次函數(shù),

g(-i)<o-t1-6Z-8<0

所以則

g⑴40-t2+6Z-8<0t<2或/>4

所以4M-2,2M4,+e).

19.(1)不是，理由見(jiàn)解析

理

(3)[-1,2-V3]U[V3,3]

【分析】（1）根據(jù)定義，取玉=2,然后判斷出馬不存在，由此可作出判斷；

-3"

（2）根據(jù)定義，當(dāng)國(guó)€-,b時(shí)，用X］表示出9,判斷出對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性并求解出值域，

「31

根據(jù)值域與~,b的包含關(guān)系求解出結(jié)果；

［4_

（3）根據(jù)定義，先分析出g@）在［0,2］上值域的情況，然后結(jié)合區(qū)間與對(duì)稱軸對(duì)。進(jìn)行分類

討論，從而求解出。的取值范圍.

【詳解】（1）假設(shè)是區(qū)間［0,3］上的“2階自伴函數(shù)”,

不妨取玉=2,則/■&)=/■⑵=5,由/'(xj/(x2)=2可得5(尤+1)=2,

此時(shí)馬無(wú)解，所以假設(shè)不成立,

所以/（x）=無(wú)2+1不是區(qū)間［0,3］上的“2階自伴函數(shù)”.

答案第10頁(yè)，共12頁(yè)

33

(2)由題意可知，對(duì)任意的改€~,b，總存在唯一的％2G~,b,使(2為-1)(2%2-1)=1成

立,

3j,6,使迎=

即對(duì)任意的王€-,b，總存在唯一的工2?成立,

因?yàn)?在3

p上單調(diào)遞減,

4x—22

33

當(dāng)國(guó)=［時(shí)'"2=］，當(dāng)X］=6時(shí)，x=———+—,

24b—22

3113_