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第22講平面向量的數(shù)量積

（6類核心考點(diǎn)精講精練）

IN.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積的運(yùn)算

2024年天津卷，第14題,5分

律數(shù)量積的坐標(biāo)表示

余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式

2023年天津卷，第14題,5分

求積的最大值

2022年天津卷，第14題,5分用基底表示向量向量夾角的計(jì)算

2021年天津卷，第15題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律

2020年天津卷，第15題,5分已知向量共線（平行）求參數(shù)用定義求向量的數(shù)量積數(shù)量積的坐標(biāo)表示

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較高，分值為5分

【備考策略】L理解、掌握向量的數(shù)量積公式

2.能掌握向量的模長(zhǎng)，垂直于投影公式

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助直角坐標(biāo)系，求解向量的數(shù)量積與夾角模長(zhǎng)等問題

4.會(huì)解借助點(diǎn)坐標(biāo)解決最值與取值范圍問題

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出圖形，要求線性表示與數(shù)量積，模長(zhǎng)與角度問

題。

1A.考點(diǎn)梳理?

1

r知識(shí)點(diǎn)一.向量的夾角考點(diǎn)三、角度問題

知識(shí)點(diǎn)二.平面向量的數(shù)量積考點(diǎn)一、平面向量數(shù)量積的計(jì)算

知識(shí)點(diǎn)三.平面向量數(shù)量積的幾何意義考點(diǎn)二、模長(zhǎng)問題

平面向量的數(shù)量積

知識(shí)點(diǎn)四.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

考點(diǎn)四、向量垂直的應(yīng)用

者占不將影問題

知識(shí)點(diǎn)五.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論考請(qǐng)六【數(shù)量積求最值取值范圍問題

知識(shí)點(diǎn)六.常用結(jié)論

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.向量的夾角

已知兩個(gè)非零向量mb,O是平面上的任意一點(diǎn)，作a=，，oh=b,則NN0B=6>(0<火兀)叫做向量a與b

的夾角.

知識(shí)點(diǎn)二.平面向量的數(shù)量積

已知兩個(gè)非零向量。與b,它們的夾角為仇我們把數(shù)量⑷的cos"叫做向量a與b的數(shù)量積,記作《也

知識(shí)點(diǎn)三.平面向量數(shù)量積的幾何意義

設(shè)。，力是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是。，e是與A方向相同的單位向量，或=a,ct)=b,過彳&的起點(diǎn)/

和終點(diǎn)3,分別作劭所在直線的垂線，垂足分別為4,Bi，得到W方，我們稱上述變換為向量a向向量6

投影,W方叫做向量。在向量6上的投影向量.記為⑷cos6>e.

知識(shí)點(diǎn)四.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(Uab=ba.

(2)(孫b

(3)(。+A)c=ac~\~bc.

知識(shí)點(diǎn)五.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量a=(xi，刈)，*=(%2,㈤，a與分的夾角為0.

2

幾何表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a*b=\a\\b\cos0a'b—x\X2-\-y\V2

模\a\=\]a'a\a\=\lx^+yl

八xixi+yiyi

夾角cosCOS“一/-----/-----

\/xi+yl

a±b的充要條件ab=GX1X2+_”LV2=O

〃?〃與回回的關(guān)系\a'b\<\a\\b\xi%2+y必sY（x彳+及）

知識(shí)點(diǎn)六.常用結(jié)論

1.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式

(l)(?+*)(a-*)=a*2-62；

(2)(a±6)2=fl2±2fl/?+62.

2.有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論

(1)若"與b的夾角為銳角，則“力>0；若“山>0,則a與分的夾角為銳角或0.

⑵若a與b的夾角為鈍角，則a-b<0；若a-b<0,則a與Z>的夾角為鈍角或兀.

考點(diǎn)一、平面向量數(shù)量積的計(jì)算

典例引領(lǐng)

1.(2024?河南濮陽?模擬預(yù)測(cè))已知向量同=2,1在N方向上的投影向量為-34則無刃=()

A.12B.-12C.6D.-6

【答案】B

【分析】由題意得同cos值㈤=-6,結(jié)合數(shù)量積的公式即可求解.

【詳解】因?yàn)榱嗽诜椒较蛏系耐队跋蛄繛?34

所以(同cos低初編=-3a,

而同=2,a0,所以同cos值b)=—6,

所以萬-b—[a\同cos值另)=—12.

故選：B.

2222

2.(2024?海南?模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C毛+3=l(a〉b>0),點(diǎn)叭亍,根)，N(?n),

若以MN為直徑的圓過橢圓C的右焦點(diǎn)尸(c,0),-V2OF)-(0M+V2OF)^OM-NM,則橢圓C的離心

率為()

3

【答案】c

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合圓的性質(zhì)及數(shù)量積的運(yùn)算律列式，化簡(jiǎn)可得2a2=3C2,進(jìn)而求出離心率.

【詳解】由以MN為直徑的圓過橢圓C的右焦點(diǎn)F(c,O),得前，麗，即前?前=0,

貝!1(亍)2+血？-2c2=ni(ni—71),即合一2c2=—nm,因此2c?=^-

整理得2a2=3C2,解得￡=￡所以橢圓C的離心率為自

故選：C

即時(shí)校L

1.(2024?山西太原一模)在△4BC中，BC=6,48=4,“84=泉設(shè)點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，E在BC上，且版?麗=

0,則就.版=()

A.16B.12C.8D.-4

【答案】A

【分析】以B為原點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可.

【詳解】因?yàn)樵凇髁C中，BC=6,AB=4,/-CBA-p以B為原點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)系，

則力(4,0),B(0,0),C(0,6),0(2,3),設(shè)E(0,b),則荏=(一4,b),麗=(2,3),BC=(0,6)

由題意可知荏?麗=0.即(一4,6)?(2,3)=0,即一8+36=0,所以％=(

所以￡(0,§,；.版=(—4,。所以版.近=1(5.

故選：A.

2.(2024?湖北?模擬預(yù)測(cè))直線y=/o:與圓l)2+(y-1)2=1交于M、N兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則麗?

4

ON=()

1k2

A、B..C.1D.2

【答案】C

【分析】先聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求出的“2,y42,根據(jù)向量數(shù)量積可求答案.

【詳解】聯(lián)立｛(尤_1)2=1,得(1+H)/-2也+1>+1=0,

則△>(),即4(k+1產(chǎn)-4(〃+1)>0,所以k>0,

設(shè)M(Xi，yi),N(%2，y2)，則：/町=備，乃乃==餐，

:__?]

2

麗?麗=久62+乃丫2=(1+fc)-2=1.

抬+1

故選：C

3.(2024?河南周口?模擬預(yù)測(cè))已知△ABC中，力C=2a，NC=，AD為BC上的高，垂足為。，點(diǎn)E為

AB上一點(diǎn)，且力E=2EB,則而?而=()

4488

---C---

A.333D.3

【答案】A

[分析】利用向量的線性關(guān)系及數(shù)量積的運(yùn)算律得CE?4。=1C4?4D+1CB?可得答案.

【詳解】如圖所示，

由題意可知，AC=20,^ADC=p^ACD=故力D=2,

因?yàn)锳E=2EB,

所以麗^CA+AE^CA+^AB=CX+|(CB-CX)=~CA+^CB,

則麗?AD=(|CA+|CB)-AD=^CA-AD+|CB-AD

=3|C4H4nleos/=-g.

故選：A.

4.(2024?四川涼山?三模)在△力BC中，已知4B=1,4C=3,點(diǎn)G為△ABC的外心，點(diǎn)。為△ABC重心,

貝！W-BC=.

【答案】g

5

【分析】設(shè)BC的中點(diǎn)為。，根據(jù)三角形外心性質(zhì)，得GDLBC,由重心性質(zhì)得礪=：（前+而），再根據(jù)數(shù)

O

量積運(yùn)算即可求解.

【詳解】設(shè)BC的中點(diǎn)為D,連接4D,GD,

由點(diǎn)G為△ABC的外心，可得GD1BC,

由點(diǎn)0為△力BC重心，可得而=2同=-四+前），

36

故而-BC=（OD+DG）-BC

=OD-BC+0

]

=-（AB+AC）-（AC-AB）

6

=[談一研=29_1）=*

故答案為：

5.（2024?天津河西，二模）在四邊形力BCD中，AB1AD,CB1CD,^ABC=60°,AB=2,AD=V3,E、F

分別為線段力B、CD的中點(diǎn)，若設(shè)而=落說=豆則而可用優(yōu)石表示為；麗?而=.

【答案】+~b一,

【分析】利用向量的加法可以求出第一個(gè)空；通過轉(zhuǎn)化確定|而|及而與而，前的夾角，代入數(shù)量積的計(jì)算

公式即可求出第二個(gè)空.

【詳解】

由題意得，~EF^EA+AD+DF^F^EB+BC+CF,

由E、F分別為線段ZB、CD的中點(diǎn)，知瓦？+麗=6,DF+CF^O,

因止匕，2EF^EA+AD+DF+EB+BC+CF^AD+BC

EF=-a+-fe；

22

延長(zhǎng)4D、BC交一點(diǎn)G,由ZB1AD,/.ABC=60°,AB=2,:.AG=2矚且/DGC=30°.

???AD=V3,.-.DG=陋

6

又“CB1CD,乙GCD=90°,，CD=與乙GDC=60°,貝Ij/CIM=120"

.：EF-W=l(AD+BCyCD=^AD-CD+lBC.CD=^AD.W=i|AD|-|CD|cosl20"=1xV3XyX

3

H)=-8

故答案為：1a+|

LLO

考點(diǎn)二、模長(zhǎng)問題

中典例引領(lǐng)

1.(2020?全國(guó)?高考真題)設(shè)蒼方為單位向量，且恒+石|=1,則忻一向=.

【答案】V3

【分析】整理已知可得：怔+研=J值+萬仁再利用乙石為單位向量即可求得2無萬=-1,對(duì)忖-用變形

可得：W-磯=[同2一2J5+區(qū)『，問題得解.

【詳解】因?yàn)橐沂癁閱挝幌蛄?，所以?間=1

所以怔+石|=J(a+b)2=J同2+2H?萬+同2=V2+2a-h=1

解得：2H不=一1

所以怔一同=J(a—fo)2=J同2一2H.萬+同之=四

故答案為：V3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的計(jì)算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

2.(2024?河南?二模)若向量方石滿足歷|=1,0+司150+2為‘2,則同=()

A.V2B.V3C.2D.3

【答案】A

【分析】由己知結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)橄蛄柯淞藵M足的=1,(a+b-)lb,(a+26)1a,

所以0+E)4=五4+|即=H-h+1=0,即小了=一1,

所以0+2石)q=|由2+2萬?萬=0,則同=魚.

故選：A.

[______即___時(shí)__檢___測(cè)____

1.(2024?河南濮陽?模擬預(yù)測(cè))已知4(1,0)，C(cosa,sina),a￡(0,7t),^\AC\=\BC\,則a的值為

7

B.-C-D.7C

2.46

【答案】c

【分析】根據(jù)向量模長(zhǎng)公式結(jié)合同角三角關(guān)系可得tana=1,即可得結(jié)果.

【詳解】由題意可得：=(cosa—1,sina),BC=(cosa,sina—1),

若［4C|=\BC\,則J(cosa—1)2+sin2a=Jcos2a+(sincr—I)2,

可得2—2cosa=2—2sina,則tana=1,

且aG(0,71)，所以a=7.

故選：c.

2.(2024?河北?三模)已知非零向量落石的夾角為呈a=(-y,0,\a-b\=1,則忖+同=()

A.1B.yC.V2D.V3

【答案】D

【分析】分析可知同=1,向量0方-石的夾角為會(huì)根據(jù)方+石=2N-0-可結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)橐?(_苧，5,則畫=1,

且非零向量方，1的夾角為京怔一同=1,可知向量0方—了的夾角為京

b

則小@一司=lXlx|=p

所以忖+同=|2a-(a-fe)|=J4a2-4a-(a-d)+(a-h)2=V3.

故選：D.

3.(2024?陜西西安?三模)已知向量N=(2,m),b=(1,1),|a+h|=|a|,則m=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【分析】結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可求解.

22

【詳解】因?yàn)橄蛄糠?(2fm),~b=(1,1),由［3+同=|a|,可得出+2a-fa+&=a,所以2(2+m)+2=0,

解得TH=-3.

故選：A

8

4.（2018?遼寧朝陽?三模）已知向量3與石的夾角為60。，同=2,|同=3,貝U肉一2同=.

【答案】6

【分析】根據(jù)模長(zhǎng)公式結(jié)合數(shù)量積的定義和運(yùn)算律即可求解.

【詳解】由題意，向量方與石的夾角為60。，同=2,|同=3,

2

所以（3工-2b）=9a2-12a-fa+4b2=9x22-12x2X3cos60°+4x32=36,

所以|3五一2同=6,

故答案為：6

5.（2024?四川資陽?二模）已知向量卷了的夾角為150。，且@=2,同=2,則忖一府|=（）

A.1B.2-V3C.2+V3D.2小

【答案】D

【分析】借助向量模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系與數(shù)量積的計(jì)算公式計(jì)算即可得.

=4-2g義2x2x(-/)+3X4=28,

所以怔—何|=2V7.

故選：D

6.（24-25高三上?廣東?開學(xué)考試）已知力=（sin久,-1）,q=^cosx,0,若1不則歷一］|=.

【答案】|

【分析】借助向量垂直可得其數(shù)量積為0,利用向量數(shù)量積公式與模長(zhǎng)公式計(jì)算后結(jié)合三角函數(shù)基本關(guān)系即

可得解.

【詳解】由萬1不則有萬?力=sinxcosx—1=0,即sin久cosx=（

又萬—q=（sin久—cosx,—|）,

222

則|萬一司2=（sinx—cos%）+2=sin%+cos%—2sinxcosx+-=1—1+-=",

4444

故舊一罰=1

故答案為：I

7.（24-25高三上?湖北?階段練習(xí)）若平面內(nèi)不共線的向量方石兄兩兩夾角相等，且同=1,同=2,團(tuán)=3,

則忖+了+石=1

【答案】V3

【分析】把向量的模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，再應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算求解.

【詳解】因?yàn)槠矫鎯?nèi)不共線平面向量反了1兩兩的夾角相等，

即位我2兩兩的夾角為120。,

9

—TT—>->—>-->—>—>—>—>—>—>—>

a+b+c(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a?b+2a?c+2b?c

J|a|2+|h|2+|c|2+2a-h+2a-c+2h-c

；)+2xlx3x；)+2x2x3x1

12+22+32+2X1X2X

2

故答案為：V3.

考點(diǎn)三、角度問題

典例引領(lǐng)

1.（2020?浙江?高考真題）設(shè)萬，五為單位向量，滿足|2萬一森a=e^+e^,5=3無+五，設(shè)N,b

的夾角為仇貝！Ros?。的最小值為.

【答案】n

【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化簡(jiǎn)條件得瓦?否再根據(jù)向量夾角公式求cos?。函數(shù)關(guān)系式,

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值.

【詳解】［2萬—司＜V2,

...4—4萬?五+1W2,

???萬?皈號(hào),

2①?萬尸（4+4萬?豉）24（1+五?雷）

/.COSa=-------——=--------------------------------------------------------=---------------------------

a2-b2（2+2萬?五）（10+6萬?無）5+3萬?逵

_4C2、＞4r228

/牛a一?。┮凰?/p>

4

故答案為：||.

【點(diǎn)睛】本題考查利用模求向量數(shù)量積、利用向量數(shù)量積求向量夾角、利用函數(shù)單調(diào)性求最值，考查綜合

分析求解能力，屬中檔題.

2.（24-25高三上?貴州?開學(xué)考試）若向量社=（—2,2）,E=（—1,3）的夾角為州則cos。=（）

2V5?V5?2V5~V5

AA.———B.yC.—D.-y

【答案】C

【分析】由向量夾角公式，數(shù)量積及模的坐標(biāo)計(jì)算公式求解即可.

【詳解】由題可知，cose=H=」±%=竽，

|a|-p|2V2XV105

故選：C.

10

即時(shí)檢測(cè)

I___________________

1.(2024?山西太原?二模)已知同=同=1,|c|=V3,a+b+c=0,則N與方的夾角為()

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【分析】依題意可得2=-0+為，將兩邊平方，由數(shù)量積的運(yùn)算求出方大，再由夾角公式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)锧=|同=1,|c|-V3,a+h+c=0,

所以？=一@+可，則存=/+2衣了+京，gp(V3)2=l2+2a-b+l2,

解得王.石=?

設(shè),與了的夾角為仇則cos0=蓋=1,又0。W8W180°,

\a\-\b\2

所以8=60。，即益與石的夾角為60。.

故選：C

2.(2024?甘肅蘭州?三模)已知向量,=(1,—2)1=(—1,—2),設(shè)方與石的夾角為仇則sin8=()

3344

A.二B,-C,--D.-

【答案】D

【分析】用夾角公式計(jì)算出余弦值后，再根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系即可算出正弦值.

【詳解】因?yàn)镹=(1,-2)5=(-1,-2),

所以a?b=3,|同=遮』b|=遙，

所以cos6?=

HH

因?yàn)?為五與了的夾角，所以sin?=Vl-cos20=:

故選：D

_>tTT_>

3.(23-24高三上?湖北十堰?開學(xué)考試)已知平面向量a,b滿足本0+b)=3,且|a|=2,b=1,則向量a

—>

與b夾角的正弦值為()

A.-iB.-坦C.iD.農(nóng)

2222

【答案】D

【分析】運(yùn)用數(shù)量積性質(zhì)和定義計(jì)算夾角，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系可解.

【詳解】a-(a+b)=3=>a2+a-b=3=>a-b=—1=|a||b|cos(a,h)=>cos(a,b)=—1.

因?yàn)閟in(a,b)=Jl-cos?值b}=Jl—(一=y-.

11

故選：D.

4.(24-25高三上?貴州貴陽?開學(xué)考試)已知向量反刃滿足同=4,間=10,且溫立上的投影向量為-鈍，則

向量N與向量了的夾角為()

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】c

【分析】先利用投影向量求出數(shù)量積，利用夾角公式可得答案.

【詳解】依題意，方在了上的投影向量為患了=—(無則/彳=一(的2=—20,

于是cos位,宓=瑞^=瞪=一T，而值初6[0,兀],則位,石〉=學(xué)

所以向量方與向量了的夾角為與

故選：C

5.(24-25高三上?浙江?開學(xué)考試)已知向量訝=(1,2)花=(2-無刃，若方與石的夾角為銳角，貝奴的取值范圍

是.

【答案】(-2,§uG，+8)

【分析】根據(jù)題意列出不等式即可.

【詳解】因?yàn)閍力的夾角為銳角，

TTTT

所以>0且a,b不能同向共線，

所以.2X(2T)，

解得4>—2且2g

故答案為：(-2,§UG，+8).

考點(diǎn)四、向量垂直的應(yīng)用

中典例引領(lǐng)

1.(2021?全國(guó)?高考真題)已知向量(1,3),1=(3,4),若①―篇)，反則2=.

【答案】I

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出.

【詳解】因?yàn)槠?(1,3)-4(3,4)=(1—34,3-44),所以由伍-;1萬)_L石可得,

3(1-3A)+4(3-4X)=0,解得4=

故答案為：

12

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)H=（Xi，yD，下=（%2，丫2），

alb<=>a-b=O<=>xrx2+為乃=。，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分.

2.（23-24高三下?山東青島?開學(xué)考試）已知向量方=（log43,sing）,~b=（log38,m）,若NJLI,則zn=（）

A.-2V3B.-V3C.V3D.2V3

【答案】C

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可求解.

【詳解】由五_16,可知log43,log38+msinF=。，

即log48一個(gè)爪=|一=0,解得zn=百.

故選：C

即時(shí)校L

1.（22-23高三下?安徽池州?階段練習(xí)）已知點(diǎn)M（l,-1）和拋物線C:y=；/,過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與

4

C交于4B兩點(diǎn).若AM，BM,則k=（）

A.-B.--C.-D.--

171722

【答案】c

【分析】設(shè)401/1）,8（X2,、2），直線4B方程y=kx+L然后由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y,利

用根與系數(shù)關(guān)系，表示出從而可表示出為+y2，Viy2，進(jìn)而由前?萬羽=。求出k的值.

【詳解】拋物線標(biāo)準(zhǔn)形式/=4y,焦點(diǎn)坐標(biāo)（0,1）,設(shè)4（%1，為），B[X2,y2）>

直線4B方程y=kx+1,代入拋物線方程得/一4kx-4=0,

所以△=16k2+16>0,+町=4k,久1冷=—4,

乃+g=3久1+犯）+2=4/+2,yxy2=上/始=1，

所以福?麗=（1-％1，-1一為）?（1一乂2,一1一丫2）=（1-勺）（1-久2）+（-1-yi）（-l-為）=2+

久1久2+7172-（巧+及）+（71+%）=°，

得4k2—4fc+l=0=>/c=1.

故選：C.

2.（2023?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知向量方=（2cos75°,2sin75°）,刃=（cos15",—sin15"）,且（23+/），@—花）,

則實(shí)數(shù)4的值為（）

A.8B.-8C.4D.-4

【答案】A

【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示，結(jié)合數(shù)量積公式，即可求解.

【詳解】因?yàn)樾氖?2cos75"cosl5--2sin75°sinl5°=2cos（15°+75°）=0,

|a|=2,也|=1.

13

所以（22+司.0-石）=2a2-Ab2=8-A=0.

所以a=8.

故選：A

3.（2024,西藏,模擬預(yù)測(cè)）已知向量N+Jsin（a+§）,了=（cos（a+高,sin（a+誓））.若（2工+

fo）l（a+xfa）,則實(shí)數(shù)%的值是（）

11

A.-2B.—C.—D.2

22

【答案】A

【分析】利用三角函數(shù)的和差公式和同角三角函數(shù)的平方公式得到同=|同=1,a-b^0,

再依據(jù)向量垂直的條件建立方程求解即可.

【詳解】由題意得同=|同=1,27=cos（a+§Xcos（a+引+sin（a+弓）xsin（a+J

=cos（a+g-a—弓）=cos（—=0,因?yàn)椋?方+b）1（a+xh）,

_>_>_?2

所以（2近+b）?@+=0,所以2|五『+'也|=o,所以2+%=0,解得％=-2.

故選：A.

4.（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測(cè)）已知向量訪=+元=（cos（7r+a）,?,其中aE（0,g,若隹1兀

則cosa的值為（）

A.—B.-C.—D.-

2244

【答案】B

【分析】由記_L冗所以訪?元=0,代入條件化簡(jiǎn)得cos2a=$結(jié)合已知a€（0,彳）得解.

【詳解】由沅_1_元，所以記■元=0,即sin（a+］）COS（TT+a）+3=0,

化簡(jiǎn)得cos2a=（,由ae（0,9得cosa=（

故選：B.

5.（2024?江西新余?模擬預(yù)測(cè)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為Fi、尸2,經(jīng)過吃的直線I與C交于

4B兩點(diǎn)，若用?用=16,AF\-AB=9,西?瓦？=0,貝!|C的方程為：（）.

A.日+丈=1B.日+旺=1C.日+9=1D.^+y2=l

9432983y

【答案】A

【分析】由題意可知：B41BF1，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可得|用|=4,|四|=3,進(jìn)而結(jié)合橢圓的定義

求a,6,c,即可得方程.

【詳解】因?yàn)槲?瓦？=0,可知8418%,

14

則無5?用=用2=16,而?祈=橋=9,

可得|用|=4,|荏|=3,即|%B|=4,\AB\=3,則MF/=國(guó)可不而=5,

由橢圓定義可得4a=\AFX\+\FrB\+\AB\=12,即a=3,

且|尸2a=2a-|%B|=2,則IF1F2I=,尸中|2+|&B|2=2遍，

即2c=2V5,可得c-V5,b—Vet2—c2=2,

所以橢圓C的方程為1+4=1.

94

故選：A.

考點(diǎn)五、投影問題

典例引領(lǐng)

1.（24-25高三上?湖北武漢?開學(xué)考試）已知同=1,同=2,忖-司=百，則3在石上的投影向量為（）

1—111—1、

A.—bB.—CLC.—bD.—CL

2244

【答案】c

【分析】先根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出方不，再根據(jù)投影向量的定義即可得解.

【詳解】由忖一同=百，得@一萬）=a2+fa2-2a-b=5-2a-h=3,

所以"26=1,

所以溫I不上的投影向量為曹?5=蹲

問問4

故選：C.

2.（2023?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）已知向量工花滿足同=2,b=（3,0）,忖-同=V10,則向量方在向量1方向

上的投影向量為（）

A.Q,0）B.g,0）C.（|,0）D.（1,0）

【答案】C

【分析】將忖-同=同兩邊平方求出五?石，然后由投影向量公式可得.

【詳解】因?yàn)橥?2,同=3,「一同=國(guó),

所以怔一司2=方2_2無石+京=22—2萬?石+32=10,得，.石=,,

15

___>—>D

所以向量方在向量了方向上的投影向量為當(dāng)?萬=1■刃=；(3,0)=償,0).

\b\"6\Z/

故選：C

即時(shí)壁L

1.(2024?浙江紹興?三模)若非零向量?jī)?yōu)1滿足同=\b\=\a+b\,則方+2不在E方向上的投影向量為()

->Q->—>1—>

A.2bB.-bC.bD.-b

22

【答案】B

【分析】利用向量的模長(zhǎng)關(guān)系可得T歷『，再由投影向量的定義即可求出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意根=\b\=口+同可得同2=同=\a+b\,

所以，則

所以N.b=_［同2=_：也|,

則工+2刃在石方向上的投影向量為世比另=亞里石=(一電回Z=l~b.

對(duì)同間2

故選：B

2.(2024?湖北?模擬預(yù)測(cè))已知向量方=(1,0)花=(0,1),37=石7=1,則向量方在向量?上的投影向量為()

【答案】A

【分析】設(shè)出下的坐標(biāo)，利用給定條件得至再，再利用投影向量公式求解即可.

【詳解】設(shè)？=(m),因?yàn)榉?(1,0),石=(0,1),27=57=1,

所以卷雷箸二；，解瞰:；，八(1，1)，

即向量方在向量?上的投影向量為言.1=今等=(").

|c||c|V2V222

故選：A.

3.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知平面向量方=(2,m),1=(弭1),c=(m+1,-1),若方，了，b/fc,則

方在方+正方向上的投影數(shù)量為()

A.-2V2B.一誓C.?D.2V2

【答案】B

【分析】根據(jù)垂直和平行向量的坐標(biāo)表示求出小，n,得到了和五+Z的坐標(biāo)，即可利用向量投影的公式進(jìn)行

求解.

【詳解】由五1b得血+2九=0.

由b//3得m+幾+1=0,所以血=-2,n=1.

16

所以b=(1,1),a-(2,-2),c=(—1,-1),Q+~c-(1,—3),

所以石在N+下方向上的投影數(shù)量為塔孚==-^

\a+c\"2+(_3)25

故選：B.

4.(23-24高三下?湖南婁底?階段練習(xí))在三角形2BC中，若荏?就=0,說=2前，則向量方在向量方上

的投影向量為.

【答案嗎屈

【分析】由題意可得。為線段BC的中點(diǎn)，/.BAC-90°,則△AOB為等腰三角形，然后根據(jù)投影向量的定義

求解即可.

【詳解】因?yàn)榕?2詬，所以。為線段BC的中點(diǎn)，

因?yàn)槿f?芯=0,所以四_L前，所以NB4C=90。，

所以。A=OB=OC,

所以△力。B為等腰三角形，

所以向量而在向量四上的投影向量為

AO-ABAB\AO\■畫cosNB40AB

|AB||AB|-|XB||AB|

一畫網(wǎng)片荏「荏

--R-,雨-浮，

故答案為：|AB.

5.(2023?天津和平?三模)已知△ABC中，點(diǎn)。是力C中點(diǎn)，點(diǎn)M滿足前=2標(biāo)，記瓦I=落BD^b,請(qǐng)用

石表示前=；若瓦？-BD=-5,向量前在向量麗上的投影向量的模的最小值為.

【答案】費(fèi)-軟y

【分析】由題意可得前=|左-瓦I,BC=2BD-~BA,可求得病=1另一^方；向量前在向量麗上的投

影向量的模為嚅口=凈?”,計(jì)算可求得最小值.

【詳解】根據(jù)題意，可得前=前一瓦5近一瓦?，

17

A

由點(diǎn)。是力C中點(diǎn)，可得說=2前一瓦5,

所以贏=BM-~BA=|FC-BA=|（2RD-BA）-BA=^BD-=|&-|a,

向量宿在向量而上的投影向量嘿土黑;，

I叫\(zhòng)bU\

因?yàn)橥??麗=一5,所以工工=一5,

所以向量而在向量而上的投影向量的模為：

麗的」（事等）畫_4125麻且—江

\BD\~\b\一3的+3歷產(chǎn)（3回3?一3'

當(dāng)且僅當(dāng)（麗=簫，即的=|時(shí)取等號(hào)，

所以向量前在向量而上的投影向量的模的最小值為當(dāng)

故答案為：②與

考點(diǎn)六、數(shù)量積求最值取值范圍問

典例引領(lǐng)

1.（2023?天津?高考真題）在△4BC中，BC=1,乙4=60。，ATD=^1ATB,CTE=^1CTD,記4___B_?=H,4___C_?=—b>,用—a>,T6

表示力E=；若前=［近，則荏?衣的最大值為

【答案】"N+gb

【分析】空1：根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合E為CD的中點(diǎn)進(jìn)行求解；空2：用荔了表示出而，結(jié)合上一空答

案，于是荏?都可由方是表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算和基本不等式求解.

【詳解】空1：因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，則前+前=6,可得［竺+吧=竺，

兩式相加，可得到2族=而+而，

即2版=［方+反則版=［方+衿

空2：因?yàn)橥?工近，則2或+所=6,可得［竺+￡￡=”，

3MF+FB^AB

得到赤+FC+2（AF+FB）=AC+2AB,

18

即3AF=Za+b,即ZF=|a+|h.

于是族?AF=Qa+])?Qa+笆)=1(2a2+5a-b+2fo2).

記ZB=x,AC=y,

則荏?~AF=卷(2a2+5a-+2&2)=卷(2x2+5xycos60°+2y2)=.(2x2+等+2y2),

在aZBC中，根據(jù)余弦定理：BC2=x2+y2-2xycos60°=%2+y2—xy=1,

于是族.衣=.2xy+哭+2)=*(嬰+2),

由％2+y2—%y=1和基本不等式，%2+y2—xy=1>2xy—xy=xy,

故%yWl,當(dāng)且僅當(dāng)％=y=1取得等號(hào)，

則*=y=1時(shí)，AE-初有最大值

故答案為：：方+1戾

2.(2022?天津?高考真題)在△ABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足麗=2麗.記方=乙方=方，用4石

表示屁=,若4B_LDE,則乙4cB的最大值為

【答案】能十(

【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出爐，以包,萬｝為基底，表示出荏，金，由ABIDE

可得3萬2+互2=4萬.編再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以點(diǎn)E為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(0,0),B(l,0)((3,0),48y),由力B1DE可得點(diǎn)力的軌跡為以

M(—1,0)為圓心，以r=2為半徑的圓，方程為(x+l)2+y2=*即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)C4

與OM