滬科版七年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)考點(diǎn)清單 專題03 一元一次方程（5個考點(diǎn)清單+12種題型解讀）

專題03一元一次方程（5個考點(diǎn)清單+12種題型解讀）【清單01】一元一次方程的概念1.方程：含有未知數(shù)的等式叫作方程．2.方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解。3.一元一次方程定義：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是一次，且兩邊都是整式的方程叫作一元一次方程。細(xì)節(jié)剖析：判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：①只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù)．4.一元一次方程的解：能使一元一次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根?！厩鍐?2】等式的基本性質(zhì)等式的性質(zhì)1等式的兩邊都加上（或都減去）同一個數(shù)或式，所得結(jié)果仍是等式。字母表達(dá)式為：．等式的性質(zhì)2等式的兩邊都乘或都除以同一個數(shù)或式（除數(shù)不能為零），所得結(jié)果仍是等式。字母表達(dá)式為：．細(xì)節(jié)剖析：等式的傳遞性【清單03】一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)．(2)去括號：依據(jù)乘法分配律和去括號法則，先去小括號，再去中括號，最后去大括號．(3)移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程另一邊．(4)合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解(a≠0)．(6)檢驗(yàn)：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．【清單04】一元一次方程的應(yīng)用首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、列、解、答．一元一次方程應(yīng)用題解題一般步驟：①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關(guān)系②設(shè)：設(shè)未知數(shù)（一般求什么，就設(shè)什么為x） ③找：找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個相等關(guān)系④列：根據(jù)這個相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進(jìn)而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值⑥答：檢驗(yàn)所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）【清單05】用一元一次方程解決實(shí)際問題的常見類型（1）探索規(guī)律型問題；（2）數(shù)字問題；（3）銷售問題（利潤＝售價﹣進(jìn)價，利潤率＝×100%）；（4）工程問題（①工作量＝人均效率×人數(shù)×?xí)r間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和＝工作總量）；（5）行程問題（路程＝速度×?xí)r間）；速度×?xí)r間=路程；相遇問題：S甲＋S乙=S總；追及問題：S快-S慢=S相距；（6）等值變換問題；（7）和，差，倍，分問題；（8）分配問題；（9）比賽積分問題；（10）水流航行問題（順?biāo)俣龋届o水速度+水流速度；逆水速度＝靜水速度﹣水流速度）．【考點(diǎn)題型一】一元一次方程的定義【例1】（23-24六年級下·上海嘉定·期末）下列式子屬于一元一次方程的是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）已知下列方程：①；②；③；④；⑤，其中一元一次方程有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式1-2】（23-24七年級上·湖南長沙·期末）已知是關(guān)于的一元一次方程，則的值為．【變式1-3】（23-24七年級上·天津津南·期末）若方程是關(guān)于x的一元一次方程，則．【變式1-4】（23-24七年級上·江蘇徐州·期末）若關(guān)于x的方程是一元一次方程，則．【考點(diǎn)題型二】等式的基本性質(zhì)【例2】（23-24七年級上·廣西百色·期末）下列等式變形正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式2-1】（23-24七年級上·貴州黔東南·期末）下列變形正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式2-2】（23-24七年級上·湖南長沙·期末）根據(jù)等式的基本性質(zhì)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式2-3】（23-24七年級上·安徽阜陽·期末）下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式2-4】（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）下列說法正確的有（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則；⑤若，則；⑥若，則；⑦若，則．．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點(diǎn)題型三】已知方程的解求字母或代數(shù)式的值【例3】（23-24七年級上·浙江金華·期末）已知是方程的解，則．【變式3-1】（23-24七年級上·河南洛陽·期末）已知是關(guān)于的一元一次方程的解，則．【變式3-2】（23-24七年級上·江蘇徐州·期末）若是關(guān)于x的方程的解，則代數(shù)式．【變式3-3】（22-23七年級上·重慶九龍坡·期末）已知關(guān)于x的一元一次方程的解為，那么的值為．【變式3-4】（23-24七年級上·廣東廣州·期末）已知是關(guān)于x的方程的解，n滿足關(guān)系式，則的值是．【考點(diǎn)題型四】解一元一次方程【例4】（24-25七年級上·全國·期末）解方程：(1)；(2)【變式4-1】（23-24七年級上·貴州遵義·期末）解下列方程：(1)；(2)．【變式4-2】（22-23七年級上·北京西城·期末）解方程：(1)；(2)．【變式4-3】（23-24七年級上·四川達(dá)州·期末）解下列方程：(1)(2)【變式4-4】（24-25七年級上·全國·期末）解下列方程：(1)；(2)．【考點(diǎn)題型五】解一元一次方程錯解復(fù)原【例5】（23-24七年級上·河南鄭州·期末）下面是小穎解方程的過程：解：________，得（第一步）去括號，得

（第二步）移項(xiàng)，得

（第三步）

合并同類項(xiàng)，得

（第四步）方程兩邊同除以，得

（第五步）請認(rèn)真閱讀上面的過程，解答下列問題：(1)以上求解步驟中，第一步進(jìn)行的是_______，這一步的依據(jù)是______；(2)以上求解步驟中，第_____步開始出現(xiàn)錯誤；(3)請寫出正確的解方程過程．【變式5-1】（23-24七年級下·吉林長春·期末）下面是小明同學(xué)解一元一次方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解方程：解：______，得

第一步去括號，得

第二步移項(xiàng)，得

第三步合并同類項(xiàng)，得

第四步方程兩邊同除以2，得

第五步(1)以上求解步驟中，第一步進(jìn)行的是______；(2)以上求解步驟中，第______步開始出現(xiàn)錯誤；(3)請寫出正確解方程的過程．【變式5-2】（23-24七年級上·貴州黔南·期末）下面是小紅解一元一次方程的主要過程，請仔細(xì)閱讀小紅的解題過程，解決下列問題．解：去分母，得：．①去括號，得．②移項(xiàng)，得．③合并同類項(xiàng)，得．④(1)小紅在以上解方程過程中，從第_______步開始出現(xiàn)錯誤，出現(xiàn)的錯誤是_______．(2)請寫出正確的解答過程．【變式5-3】（23-24七年級上·寧夏銀川·期末）下面是小彬同學(xué)解一元一次方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．．，（第一步），（第二步），（第三步），（第四步）．（第五步）(1)任務(wù)一：填空．①以上求解步驟中，第一步的依據(jù)是________________________．②第_________步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是_____________________．(2)任務(wù)二：請直接寫出該方程的解．【變式5-4】（23-24七年級上·河南許昌·期末）本學(xué)期學(xué)了一元一次方程的解法，下面是小亮同學(xué)解方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解方程：．解：去分母，得，……第一步去括號，得，……第二步移項(xiàng)，得，……第三步合并同類項(xiàng)，得，……第四步系數(shù)化為1，得．……第五步(1)以上解題過程中，第一步是依據(jù)進(jìn)行變形的；(2)第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是；(3)請直接寫出該方程正確的解是；(4)除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解一元一次方程時還需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議．【考點(diǎn)題型六】一元一次方程中新定義型問題【例6】（23-24七年級下·福建泉州·期末）定義：若關(guān)于的一元一次方程（的常數(shù)）的解滿足，則稱該方程為“差解方程”，例如：方程的解為，而，，則方程為“差解方程”，根據(jù)題意，解決下面問題：(1)方程________（填“是”或“不是”）“差解方程”；(2)關(guān)于的一元一次方程是“差解方程”，求的值；(3)若是“差解方程”，試求k的值．【變式6-1】（23-24七年級上·河南安陽·期末）閱讀與理解：定義：如果兩個一元一次方程的解之和為1，就稱這兩個方程互為“美好方程”．例如：方程的解為，方程的解為，兩個方程的解之和為1，所以這兩個方程互為“美好方程”．(1)請判斷方程與方程是否互為“美好方程”；(2)若關(guān)于的方程與方程是互為“美好方程”，求的值．【變式6-2】（23-24七年級上·山西呂梁·期末）閱讀材料題定義：關(guān)于的方程與方程（，均為不等于0的常數(shù)）稱互為“反對方程”，例如：方程與方程互為“反對方程”．(1)若關(guān)于的方程與方程互為“反對方程”，則__________；(2)若關(guān)于的方程與方程互為“反對方程”，求，的值；(3)若關(guān)于的方程與其“反對方程”的解都是整數(shù)，求整數(shù)的值．【變式6-3】（23-24七年級上·江蘇揚(yáng)州·期末）定義：如果兩個一元一次方程的解的和為10，我們就稱這兩個方程為“美滿方程”．例如：方程和為“美滿方程”．(1)若關(guān)于的方程與方程是“美滿方程”，則__________；(2)已知一對“美滿方程”的兩個解的差為，若其中一個解為，求的值；(3)已知無論取任何有理數(shù)，關(guān)于的方程（、為常數(shù)）與方程都是“美滿方程”，求的值．【變式6-4】（23-24七年級上·江蘇揚(yáng)州·期末）定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數(shù)，我們就稱這兩個方程為“和諧方程”．例如：方程和為“和諧方程”．(1)若關(guān)于的方程與方程是“和諧方程”，求的值；(2)若“和諧方程”的兩個解的差為4，其中一個解為，求的值；(3)若無論取任何有理數(shù)，關(guān)于的方程（，為常數(shù)）與關(guān)于的方程都是“和諧方程”，求與的值．【變式6-5】（23-24七年級上·湖南岳陽·期末）我們定義：如果兩個一元一次方程的解相加之和為1，我們就稱這兩個方程為“和一方程”．如：方程和為“和一方程”．(1)已知關(guān)于x的方程的解是最小的正整數(shù)，這個方程和以下的__________是“和一方程”（填序號）①

②

③(2)若關(guān)于x的方程與方程是“和一方程”，求m的值；(3)若關(guān)于x的一元一次方程和是“和一方程”，求關(guān)于y的一元一次方程的解．【考點(diǎn)題型七】一元一次方程的應(yīng)用之配套問題【例7】（22-23七年級上·四川綿陽·期末）糕點(diǎn)店中秋節(jié)前要制作一批盒裝月餅，每盒裝2塊大月餅和6塊小月餅，制作1塊大月餅要用面粉，1塊小月餅要用面粉．(1)若制作若干盒月餅共用了面粉，則制作了多少盒月餅？(2)公司決定向該糕點(diǎn)廠定制月餅禮盒，該糕點(diǎn)廠給出的團(tuán)購價格如下：購買的數(shù)量（盒）不超過60或剛好60超過60每盒單價（元）200180若公司決定給45名員工和名客戶各訂購一盒月餅作為福利，用含的式子表示購買月餅的費(fèi)用．【變式7-1】（23-24七年級上·云南昭通·期末）用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵片可制盒身15個或制盒底40個，一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒．現(xiàn)有140張白鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底，可以正好制成整套罐頭盒？【變式7-2】（23-24七年級上·安徽·期末）某工廠一車間有名工人，其中男生人數(shù)比女生人數(shù)的倍少人，某月接到加工甲、乙兩種零件的工作任務(wù)，每個工人每天能加工個甲種零件或個乙種零件.已知，個甲種零件和個乙種零件可以組裝成一個丙種零件．(1)該車間男、女生各有多少人？(2)該車間分別安排多少工人加工甲種零件和乙種零件，能使得每天加工的甲、乙兩種零件恰好能全部組裝成丙種零件？【變式7-3】（23-24七年級上·四川成都·期末）列方程解應(yīng)用題：某工廠現(xiàn)有木料，準(zhǔn)備制作各種尺寸的方桌與凳子．如果木料可制作40個方桌或制作80個凳子．A類型套桌由一個方桌和四個凳子組成，每套售價2000元，B類型套桌由一個方桌和八個凳子組成，每套售價3500元．(1)若用全部木料生產(chǎn)A類型套桌，且桌子、凳子恰好配套，問全部賣出可以賣多少錢？(2)若用全部木料生產(chǎn)A、B兩種類型套桌，且桌子、凳子恰好配套，全部賣出，賣了824000元．問制作了多少套A類型套桌？【變式7-4】（23-24六年級上·山東泰安·期末）第19屆亞洲夏季運(yùn)動會于2023年9月23日在杭州舉行，象征杭州三大世界文化遺產(chǎn)的吉祥物“宸宸”“琮琮”“蓮蓮”通過不同色彩、不同紋飾向世界講述“江南憶”的美麗故事．現(xiàn)有工廠生產(chǎn)吉祥物的盲盒，分為A、B兩種包裝，該工廠共有800名工人．(1)若該工廠生產(chǎn)盲盒A的人數(shù)比生產(chǎn)盲盒B的人數(shù)的2倍少100人，請求出生產(chǎn)盲盒A的工人人數(shù)；(2)為了促銷，工廠按商家要求生產(chǎn)盲盒大禮包，該大禮包由4個盲盒A和9個盲盒B組成．已知每個工人平均每天可以生產(chǎn)20個盲盒A或15個盲盒B，且每天只能生產(chǎn)一種包裝的盲盒．該工廠應(yīng)該安排多少名工人生產(chǎn)盲盒A，多少名工人生產(chǎn)盲盒B才能使每天生產(chǎn)的盲盒正好配套？【考點(diǎn)題型八】一元一次方程的應(yīng)用之工程問題【例8】（23-24七年級上·云南紅河·期末）勞動教育課程已經(jīng)成為中小學(xué)生的必修課，被納入人才培養(yǎng)的全過程．云南某中學(xué)整理學(xué)生的勞技作品，由一名老師整理要完成．現(xiàn)計(jì)劃由一部分老師先做，然后再增加3名老師與他們一起做，可完成這項(xiàng)整理工作．假設(shè)每位老師的工作效率相同，應(yīng)先安排多少名老師整理？【變式8-1】（23-24六年級上·山東青島·期末）已知某水池有進(jìn)水管與出水管一根，進(jìn)水管工作15小時可以將空水池放滿，出水管工作24小時可以將滿池的水放完；對于空的水池，如果進(jìn)水管先打開2小時，再同時打開兩管，問注滿水池還需要多少時間？【變式8-2】（23-24七年級上·甘肅定西·期末）修筑一條公路，甲工程隊(duì)單獨(dú)承包要80天完成，乙工程隊(duì)單獨(dú)承包要120天完成．如果甲、乙兩工程隊(duì)合作了30天后，因甲工程隊(duì)另有任務(wù)，剩下的工作由乙工程隊(duì)完成，則修好這條公路共需要多少天完成？【變式8-3】（23-24七年級上·河南周口·期末）整理一批圖書，若由一個人獨(dú)做需要80個小時完成，假設(shè)每人的工作效率相同．(1)若限定32小時完成，一個人先做8小時，再需增加多少人幫忙才能在規(guī)定的時間內(nèi)完成？(2)計(jì)劃由一部分人先做4小時，然后增加3人與他們一起做4小時，正好完成這項(xiàng)工作的，應(yīng)該安排多少人先工作？【變式8-4】（23-24六年級上·山東煙臺·期末）為打造安全環(huán)保的某河流公園，某市設(shè)立若干河流排污治理點(diǎn)（每個治理點(diǎn)需安裝相同長度的排污治理管道）．一天，甲隊(duì)3名工人去完成5個治理點(diǎn)的管道鋪設(shè)，但還有60米管道沒有完成；同一天，乙隊(duì)4名工人完成5個治理點(diǎn)的管道鋪設(shè)后，仍多鋪設(shè)了40米管道．已知每名甲隊(duì)工人比每名乙隊(duì)工人每天多鋪設(shè)20米管道．(1)求每個排污治理點(diǎn)需鋪設(shè)的管道長度；(2)已知每名甲隊(duì)工人每天需支付費(fèi)用500元，每名乙隊(duì)工人每天需支付400元，該市某處共設(shè)立27個排污治理點(diǎn)，現(xiàn)有甲隊(duì)3名工人，乙隊(duì)4名工人來安裝管道，方案一：全部由甲隊(duì)安裝；方案二：全部由乙隊(duì)安裝；（不到一天需按一天費(fèi)用算）．請通過計(jì)算說明選擇哪種方案可使總費(fèi)用最少？【考點(diǎn)題型九】一元一次方程的應(yīng)用之銷售問題【例9】（23-24七年級上·四川達(dá)州·期末）某商家用54000元購進(jìn)A、B兩種商品共1000件，A、B兩種商品的成本價分別為45元/件和60元/件．(1)求購進(jìn)的A、B兩種商品的數(shù)量；(2)已知A、B商品的售價為50元/件和90元/件，售出x件A商品和件B商品以后，剩余的商品打5折售完，若不論x為何值，總有B商品銷售額比A商品銷售額的2倍還多m元，求k和m的值．【變式9-1】（23-24七年級上·河南鄭州·期末）元旦期間，某運(yùn)動品牌服裝店推出兩種優(yōu)惠活動，并規(guī)定一次結(jié)賬只能選擇其中一種．活動一：所購商品按原價打八折；活動二：所購商品按原價每滿200元減60元．（如：所購商品原價為200元，可減60元，需付款140元；所購商品原價為450元，可減120元，需付款330元）(1)購買一件原價為350元的服裝時，選擇哪種活動更合算？請說明理由；(2)購買一件原價在400元以下的服裝時，若選擇活動一和選擇活動二的付款金額相等，求這件服裝的原價；(3)小王準(zhǔn)備買一件標(biāo)價460元的上衣和標(biāo)價320元的運(yùn)動鞋，請你設(shè)計(jì)最優(yōu)惠的付款方法，并求出最優(yōu)惠的付款金額．【變式9-2】（23-24七年級上·廣東佛山·期末）某超市為了吸引消費(fèi)者，將甲種商品降價，乙種商品降價開展優(yōu)惠促銷活動，已知甲、乙兩種商品的原銷售單價之和為2000元，某顧客參加活動購買甲、乙兩種商品各一件，共付1520元．(1)甲、乙兩種商品的原銷售單價各是多少元？(2)若在這次促銷活動中乙種商品仍可獲利，求乙種商品每件的進(jìn)價是多少？【變式9-3】（23-24七年級上·貴州遵義·期末）近年來，隨著人們對健康生活的追求，體育健身越來越受到人們的喜愛和追捧，某體育器材專賣店的、兩款體育器材非常暢銷，進(jìn)貨價和銷售價如下表：款器材款器材進(jìn)貨價/（元/個）銷售價/（元/個）(1)該專賣店用元購進(jìn)了，兩款器材共個，求兩款器材分別購進(jìn)多少個？(2)該專賣店進(jìn)貨時，A款器材的進(jìn)貨量是款器材的一半，將進(jìn)貨的體育器材全部售出，共獲利潤元．求兩款器材分別購進(jìn)多少個？【變式9-4】（23-24七年級上·遼寧沈陽·期末）平價商場經(jīng)銷甲、乙兩種商品，甲種商品每件售價80元，利潤率為；乙種商品每件進(jìn)價40元，售價60元．(1)甲種商品每件的進(jìn)價為_______元，乙種商品每件的利潤率為_______．(2)若該商場同時購進(jìn)甲、乙兩種商品共50件，恰好總進(jìn)價用去2100元，求購進(jìn)甲種商品多少件？(3)在“元旦”期間，該商場對甲、乙兩種商品進(jìn)行如下的優(yōu)惠促銷活動：打折前一次性購物總金額優(yōu)惠措施不超過380元不優(yōu)惠超過380元，但不超過500元售價打九折超過500元售價打八折按上述優(yōu)惠條件，若小明第一天只購買了甲種商品，實(shí)際付款432元，第二天只購買了乙種商品，實(shí)際付款378元，求小明這兩天在該商場購買甲、乙兩種商品一共多少件？【考點(diǎn)題型十】一元一次方程的應(yīng)用之方案問題【例10】（23-24七年級上·云南紅河·期末）七年級某班因參加校園運(yùn)動會為學(xué)生購置運(yùn)動裝．經(jīng)了解，某服裝店男款運(yùn)動裝每套100元，女款運(yùn)動裝每套120元，原價購買50套運(yùn)動裝共需5520元．為吸引顧客，該店推出兩種優(yōu)惠方案：方案一：全部運(yùn)動裝八五折銷售；方案二：一次性購買40套運(yùn)動裝（男女運(yùn)動裝均可）及以上免費(fèi)贈送10套男款運(yùn)動裝，其余的按原價銷售．(1)該班購買的男款運(yùn)動裝和女款運(yùn)動裝各多少套？(2)請通過計(jì)算說明該班購買50套運(yùn)動裝應(yīng)選擇哪種優(yōu)惠方案更合算？【變式10-1】（23-24七年級上·浙江金華·期末）中國移動全球通有兩種通話計(jì)費(fèi)方法（接聽全免，接聽時間不計(jì)入通話時間）：計(jì)費(fèi)方法A是每月收月租費(fèi)48元，通話時間不超過50分鐘的部分免費(fèi)，超過50分鐘的按每分鐘0.25元加收通話費(fèi)；計(jì)費(fèi)方法B是每月收取月租費(fèi)88元，通話時間不超過200分鐘的部分免費(fèi)，超過200分鐘的按每分鐘0.19元加收通話費(fèi)．(1)某使用計(jì)費(fèi)方法A的用戶一個月通話時間為100分鐘，應(yīng)付費(fèi)用多少元？(2)用計(jì)費(fèi)方法B的用戶某個月累計(jì)費(fèi)用107元，通話時間是多少分鐘？(3)用計(jì)費(fèi)方法B的用戶某個月累計(jì)費(fèi)用126元，若改用計(jì)費(fèi)方法A的方式，費(fèi)用是增加還是減少？相差多少？【變式10-2】（22-23七年級上·重慶·期末）青山中學(xué)準(zhǔn)備在網(wǎng)上訂購一批某品牌籃球和跳繩，在查閱天貓網(wǎng)店后發(fā)現(xiàn)籃球每個定價120元，跳繩每條定價25元．現(xiàn)有甲、乙兩家網(wǎng)店均提供包郵服務(wù)，并提出了各自的優(yōu)惠方案：甲網(wǎng)店：買一個籃球送一條跳繩；乙網(wǎng)店：籃球和跳繩都按定價的付款．已知要購買籃球20個，跳繩x條．(1)若在甲網(wǎng)店購買，需付款①元；若在乙網(wǎng)店購買，需付款②元；（用含x的代數(shù)式表示）(2)若時，請你通過計(jì)算，說明此時在哪家網(wǎng)店購買較為合算？(3)當(dāng)購買跳繩為多少條時，兩家網(wǎng)店付款相同？【變式10-3】（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）某校為紀(jì)念“一二·九運(yùn)動”八十七周年，豐富校園文化生活，增強(qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì)，培養(yǎng)同學(xué)們的集體榮譽(yù)感和團(tuán)結(jié)協(xié)作精神，特舉辦一場文體活動，全校各班都積極參與本次活動，為表彰在本次活動中表現(xiàn)出色的班級，學(xué)校將購買一些乒乓球和乒乓球拍作為活動獎勵，經(jīng)向兩家商店進(jìn)行價格咨詢，了解情況如下：若該校需購買乒乓球拍10副，乒乓球若干盒（不小于10盒）(1)當(dāng)購買乒乓球多少盒時，甲、乙兩家商店收費(fèi)金額一樣多？(2)當(dāng)購買30盒乒乓球時，從節(jié)約角度考慮，學(xué)校應(yīng)該去哪家商店購買？為什么？【變式10-4】（23-24六年級下·吉林長春·期末）某網(wǎng)店銷售一種羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定價150元，羽毛球每筒定價15元．“雙11”期間，該網(wǎng)店決定開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案．方案一：買一副球拍送兩筒球；方案二：球拍和球都打九折銷售．現(xiàn)某客戶要在該網(wǎng)店購買球拍10副，球筒．(1)若該客戶按方案一購買，需付款元；（用含的代數(shù)式表示）若該客戶按方案二購買，需付款元；（用含的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)取何值時，兩種方案價錢一樣多？(3)當(dāng)時，你能給出一種最為省錢的購買方案嗎？通過計(jì)算說明理由．【考點(diǎn)題型十一】一元一次方程的應(yīng)用之電費(fèi)和水費(fèi)問題【例11】（23-24七年級上·云南昭通·期末）某通信公司為迎接元旦推出了“親情卡”和“校園卡”．兩種電話卡的收費(fèi)方式如下表：種類月租費(fèi)本地通話費(fèi)親情卡18元/月0.1元/分鐘校園卡0元/月0.3元/分鐘(1)若一個月本地通話時間為x分鐘，則用“親情卡”要收費(fèi)______元，用“校園卡”要收費(fèi)____元（用含x的式子表示）；(2)當(dāng)一個月本地通話時間為多少分鐘時，兩種收費(fèi)方式的收費(fèi)一樣？【變式11-1】（23-24七年級上·甘肅定西·期末）某縣政府今年對居民用水實(shí)行分層收費(fèi)如下表：每戶每月用水量水費(fèi)/（元/立方米）不超過22立方米2.3超過22立方米且不超過30立方米的部分a超過30立方米的部分4.6(1)若小華家今年1月份用水量是20立方米，則他家應(yīng)繳費(fèi)______元．（直接填寫答案即可）(2)若小華家今年2月份用水量是26立方米，繳費(fèi)62.6元，請求出用水量在22~30立方米之間的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)a元/立方米．(3)在（2）的條件下，若小華家今年8月份用水量增大，共繳費(fèi)97.6元，則他家8月份用水量是多少立方米？【變式11-2】（23-24七年級下·廣東梅州·期末）某城市為了加強(qiáng)公民的節(jié)氣和用氣意識，按以下規(guī)定收取每個季度煤氣費(fèi)：所用煤氣如果不超過50立方米，按每立方米4元收費(fèi)；如果超過50立方米，超過部分按每立方米4.5元收費(fèi)．設(shè)小麗家某季度用氣量為立方米，應(yīng)交煤氣費(fèi)為元．(1)若小麗家某季度用煤氣量為60立方米，則小麗家該季度應(yīng)交煤氣費(fèi)多少元？(2)寫出當(dāng)時與之間的表達(dá)式；(3)若小麗家第一季度的煤氣費(fèi)為380元，那么她家第一季度所用煤氣為多少立方米？【變式11-3】（23-24七年級上·江蘇鹽城·期末）目前，某市市區(qū)居民用管道天然氣繼續(xù)執(zhí)行階梯價格制度．各階梯價格水平如下：一戶居民一年用氣量（單位：立方米）電價（單位：元/立方米）第檔不超過立方米的部分第檔立方米以上至立方米（含）部分第檔立方米以上的部分(1)小明家年用氣立方米，小明家年應(yīng)繳費(fèi)___________元．(2)若某戶年用氣量為立方米，當(dāng)時，則應(yīng)繳費(fèi)___________元（用含的代數(shù)式表示）．(3)按照此方案結(jié)算，某戶年實(shí)際繳納燃?xì)赓M(fèi)元，求該戶年實(shí)際用氣量為多少立方米？【變式11-4】（23-24七年級下·江蘇南京·期末）某地天然氣收費(fèi)方案如下：階梯年用氣量價格補(bǔ)充說明第一階梯（含400）的部分3元/當(dāng)家庭人口超過3人時，每增加1人，第一、二階梯年用氣量上限將分別增加，同時，第二、三階梯年用氣量下限隨之調(diào)整，每一階梯的價格保持不變．第二階梯（含800）的部分4元/第三階梯以上的部分5元/(1)某家庭當(dāng)年用氣量為．若該家庭人口為3人，則需繳納燃?xì)赓M(fèi)用______元；若該家庭人口為4人，則需繳納燃?xì)赓M(fèi)用______元．(2)甲戶家庭人口為3人，乙戶家庭人口為4人．某年甲、乙兩戶年用氣量之和為，甲戶年用氣量大于乙戶年用氣量．已知甲、乙兩戶一共繳納燃?xì)赓M(fèi)用3200元，求甲、乙兩戶年用氣量分別是多少？(3)某公司共有22名員工，員工宿舍有3人間和4人間兩種類型的房間可供選擇，且員工所選擇的房間必須住滿．結(jié)算天然氣費(fèi)用時，將每間宿舍視作一戶家庭，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)按上表進(jìn)行收費(fèi)．假定每位員工的年用氣量為，要使該公司員工宿舍當(dāng)年總天然氣費(fèi)最低，則3人間的房間數(shù)為______間．【考點(diǎn)題型十二】一元一次方程的應(yīng)用之幾何問題【例12】（23-24七年級上·吉林延邊·期末）如圖所示，數(shù)軸上點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別為2，．(1)A，B兩點(diǎn)之間的距離是；A，B兩點(diǎn)的中點(diǎn)所表示的數(shù)是；(2)有一動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線運(yùn)動，點(diǎn)M為中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t，則點(diǎn)P表示的數(shù)為；點(diǎn)M表示的數(shù)為．①當(dāng)t為何值的時候，滿足？②若點(diǎn)N是的中點(diǎn)，在P點(diǎn)運(yùn)動的過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若不變，請求出具體的數(shù)值；若變化，請說明理由．【變式12-1】（23-24七年級上·云南昭通·期末）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為8，是數(shù)軸上一點(diǎn)，且．(1)若點(diǎn)M，N分別是線段的中點(diǎn)，求線段的長；(2)若動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動．若點(diǎn)同時出發(fā)，問點(diǎn)運(yùn)動多少秒時，與相距5個單位長度？【變式12-2】（23-24六年級上·山東淄博·期末）【知識回顧】我們知道：數(shù)軸上某點(diǎn)表示的數(shù)是5，此點(diǎn)向右平移2個單位長度，表示的數(shù)是7；此點(diǎn)向左平移2個單位長度，表示的數(shù)是3．(1)若數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是，則在數(shù)軸上距離A點(diǎn)5個單位長度的點(diǎn)表示的數(shù)是__________．(2)若數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)A向右平移5個單位后的對應(yīng)點(diǎn)表示的數(shù)就是__________，A點(diǎn)向左平移2個單位后的對應(yīng)點(diǎn)表示的數(shù)是___________．（用字母表示）(3)假如在數(shù)軸上有兩個點(diǎn)M，N，兩點(diǎn)表示的數(shù)是，6，這二點(diǎn)同時出發(fā)，M以每秒2個單位向左平移，N以每秒4個單位向左平移，平移后，經(jīng)過t秒后，M和N兩點(diǎn)表示的數(shù)是____________和____________．（用字母t表示）(4)在（3）條件下，當(dāng)t為何值時，N點(diǎn)追上M點(diǎn)．【變式12-3】（23-24七年級下·山東濟(jì)寧·期末）如圖1，P點(diǎn)從點(diǎn)開始以2厘米/秒的速度沿的方向移動，點(diǎn)從點(diǎn)開始以1厘米/秒的速度沿的方向移動，在直角三角形中，，若厘米，厘米，厘米，如果P、Q同時出發(fā)，用(秒)表示移動時間．(1)如圖1，若在線段上運(yùn)動，在線段上運(yùn)動，當(dāng)________秒時，；(2)如圖2，點(diǎn)在上運(yùn)動，試求出為何值時，三角形的面積等于三角形面積的；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，試求當(dāng)為何值時，線段的長度等于線段的長的．【變式12-4】（23-24七年級下·浙江麗水·期末）如圖，在長方形中，厘米，厘米，為的中點(diǎn)，動點(diǎn)從點(diǎn)開始，按的路徑運(yùn)動，速度為厘米/秒，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為秒．(1)當(dāng)點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動時，請用含，的代數(shù)式表示的長；(2)若，，則為何值時，直線把長方形的周長分成：兩部分；(3)連結(jié)，，DE，若時，三角形的面積恰好為長方形面積的五分之一，試探求，之間的關(guān)系式．【變式12-5】（23-24七年級上·湖北孝感·期末）將10個同樣的小長方形紙片按如圖1所示的方式不重疊地放在大長方形內(nèi)，未被覆蓋的部分也恰被分割為兩個長方形，分別記為陰影部分P和陰影部分．已知，．10個小長方形紙片中每個小長方形較短一邊的長度為．(1)每個小長方形紙片較長一邊的長度是______（用含a的式子表示）；(2)若圖中陰影部分P和陰影部分的周長相等．①試求a的值；②若將的長增加，如圖2，此時陰影部分P增加的面積為，陰影部分增加的面積為，求的值．

專題03一元一次方程（5個考點(diǎn)清單+12種題型解讀）【清單01】一元一次方程的概念1.方程：含有未知數(shù)的等式叫作方程．2.方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解。3.一元一次方程定義：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是一次，且兩邊都是整式的方程叫作一元一次方程。細(xì)節(jié)剖析：判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：①只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù)．4.一元一次方程的解：能使一元一次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根?！厩鍐?2】等式的基本性質(zhì)等式的性質(zhì)1等式的兩邊都加上（或都減去）同一個數(shù)或式，所得結(jié)果仍是等式。字母表達(dá)式為：．等式的性質(zhì)2等式的兩邊都乘或都除以同一個數(shù)或式（除數(shù)不能為零），所得結(jié)果仍是等式。字母表達(dá)式為：．細(xì)節(jié)剖析：等式的傳遞性【清單03】一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)．(2)去括號：依據(jù)乘法分配律和去括號法則，先去小括號，再去中括號，最后去大括號．(3)移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程另一邊．(4)合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解(a≠0)．(6)檢驗(yàn)：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．【清單04】一元一次方程的應(yīng)用首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、列、解、答．一元一次方程應(yīng)用題解題一般步驟：①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關(guān)系②設(shè)：設(shè)未知數(shù)（一般求什么，就設(shè)什么為x） ③找：找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個相等關(guān)系④列：根據(jù)這個相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進(jìn)而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值⑥答：檢驗(yàn)所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）【清單05】用一元一次方程解決實(shí)際問題的常見類型（1）探索規(guī)律型問題；（2）數(shù)字問題；（3）銷售問題（利潤＝售價﹣進(jìn)價，利潤率＝×100%）；（4）工程問題（①工作量＝人均效率×人數(shù)×?xí)r間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和＝工作總量）；（5）行程問題（路程＝速度×?xí)r間）；速度×?xí)r間=路程；相遇問題：S甲＋S乙=S總；追及問題：S快-S慢=S相距；（6）等值變換問題；（7）和，差，倍，分問題；（8）分配問題；（9）比賽積分問題；（10）水流航行問題（順?biāo)俣龋届o水速度+水流速度；逆水速度＝靜水速度﹣水流速度）．【考點(diǎn)題型一】一元一次方程的定義【例1】（23-24六年級下·上海嘉定·期末）下列式子屬于一元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】一元一次方程的定義【分析】本題主要考查了一元一次方程的定義，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程叫做一元一次方程，據(jù)此求解即可．【詳解】解：A、是一元一次方程，符合題意；B、含有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程，不符合題意；C、未知數(shù)的次數(shù)不是1，不是一元一次方程，不符合題意；D、不是方程，不是一元一次方程，不符合題意；故選：A．【變式1-1】（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）已知下列方程：①；②；③；④；⑤，其中一元一次方程有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【知識點(diǎn)】一元一次方程的定義【分析】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點(diǎn)．只含有一個未知數(shù)（元，并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常數(shù)且．【詳解】解：①不是整式方程，不是一元一次方程；②是一元一次方程；③是一元一次方程；④，函數(shù)2個未知數(shù)，不是一元一次方程；⑤是一元一次方程．一元一次方程有：②③⑤共3個．故選：B【變式1-2】（23-24七年級上·湖南長沙·期末）已知是關(guān)于的一元一次方程，則的值為．【答案】【知識點(diǎn)】一元一次方程的定義【分析】本題主要考查了一元一次方程的定義，根據(jù)一元一次方程的定義列出關(guān)于m的方程求解即可得出答案．【詳解】解：∵是關(guān)于的一元一次方程，∴且，解得：，故答案為：．【變式1-3】（23-24七年級上·天津津南·期末）若方程是關(guān)于x的一元一次方程，則．【答案】3【知識點(diǎn)】一元一次方程的定義【分析】本題考查一元一次方程的定義：只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為1的整式方程叫做一元一次方程，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵方程是關(guān)于x的一元一次方程，∴且，解得，故答案為：3．【變式1-4】（23-24七年級上·江蘇徐州·期末）若關(guān)于x的方程是一元一次方程，則．【答案】0【知識點(diǎn)】一元一次方程的定義【分析】本題主要考查了一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵在于熟知只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程叫做一元一次方程．【詳解】解：∵若關(guān)于x的方程是一元一次方程，∴，∴，故答案為：0．【考點(diǎn)題型二】等式的基本性質(zhì)【例2】（23-24七年級上·廣西百色·期末）下列等式變形正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【知識點(diǎn)】等式的性質(zhì)【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等式的基本性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：A．若，則，故A不符合題意；B．若，則，故B不符合題意；C．若，則，故C符合題意；D．若，且，則，故D不符合題意；故選：C【變式2-1】（23-24七年級上·貴州黔東南·期末）下列變形正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【知識點(diǎn)】等式的性質(zhì)【分析】本題考查等式的基本性質(zhì)，利用等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、若，則，選項(xiàng)中的變形錯誤，不符合題意；B、若，則，選項(xiàng)中的變形錯誤，不符合題意；C、若，則，選項(xiàng)中的變形錯誤，不符合題意；D、若，則，選項(xiàng)中的變形正確，符合題意；故選：D．【變式2-2】（23-24七年級上·湖南長沙·期末）根據(jù)等式的基本性質(zhì)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【知識點(diǎn)】等式的性質(zhì)【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，掌握性質(zhì)1、等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；性質(zhì)2、等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等式的性質(zhì)解答．【詳解】解：A、當(dāng)時，等式不成立，故本選項(xiàng)錯誤．B、的兩邊同時乘以3，等式才成立，即，故本選項(xiàng)錯誤．C、的兩邊同時除以m，只有時等式才成立，即，故本選項(xiàng)錯誤．D、的兩邊同時減去m，等式仍成立，即，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【變式2-3】（23-24七年級上·安徽阜陽·期末）下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【知識點(diǎn)】等式的性質(zhì)【分析】本題考查等式的性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、若，則或，原說法錯誤，不符合題意；B、若，則，原說法錯誤，不符合題意；C、若，因?yàn)椋瑒t，原說法正確，符合題意；D、若，且，則，原說法錯誤，不符合題意；故選C．【變式2-4】（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）下列說法正確的有（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則；⑤若，則；⑥若，則；⑦若，則．．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【知識點(diǎn)】等式的性質(zhì)【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，能熟記等式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：等式的性質(zhì)1：等式的兩邊都加或減同一個數(shù)或式子，等式仍成立，等式的性質(zhì)2：等式兩邊都乘同一個數(shù)或式子，等式仍成立，等式的兩邊都除以同一個不等于0的數(shù)或式子，等式仍成立．根據(jù)等式的性質(zhì)逐個判斷即可．【詳解】解：，等式兩邊都乘，得，故①正確；當(dāng)時，由不能推出，故②錯誤；，等式兩邊都乘，得，故③正確；當(dāng)時，由不能推出，故④錯誤；不論為何值，，由能推出，故⑤正確；當(dāng)時，由不能推出，故⑥錯誤；當(dāng)，時，但，故⑦錯誤；即正確的個數(shù)是3，故選：B【考點(diǎn)題型三】已知方程的解求字母或代數(shù)式的值【例3】（23-24七年級上·浙江金華·期末）已知是方程的解，則．【答案】2【知識點(diǎn)】方程的解【分析】本題考查了方程解的定義，使方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解．將代入原方程，可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．【詳解】解：將代入原方程得，解得：，∴a的值為2．故答案為：2．【變式3-1】（23-24七年級上·河南洛陽·期末）已知是關(guān)于的一元一次方程的解，則．【答案】【知識點(diǎn)】方程的解、已知字母的值，求代數(shù)式的值【分析】本題考查了一元一次方程的解，先把代入，解得的值，即可作答．【詳解】解：∵是關(guān)于的一元一次方程的解，∴把代入得解得∴故答案為：【變式3-2】（23-24七年級上·江蘇徐州·期末）若是關(guān)于x的方程的解，則代數(shù)式．【答案】5【知識點(diǎn)】已知式子的值，求代數(shù)式的值、方程的解【分析】本題考查一元一次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解一元一次方程的解的概念，本題屬于基礎(chǔ)題型．將代入原方程即可求出，然后將其整體代入求值．【詳解】解：將代入原方程可得：，∴，故答案為：5【變式3-3】（22-23七年級上·重慶九龍坡·期末）已知關(guān)于x的一元一次方程的解為，那么的值為．【答案】【知識點(diǎn)】已知字母的值，求代數(shù)式的值、方程的解【分析】本題考查一元一次方程的解，把代入方程求出的值，進(jìn)而求出代數(shù)式的值即可．【詳解】解：把代入，得：，解得：，∴；故答案為：．【變式3-4】（23-24七年級上·廣東廣州·期末）已知是關(guān)于x的方程的解，n滿足關(guān)系式，則的值是．【答案】或1【知識點(diǎn)】方程的解【分析】此題考查了一元一次方程的解，本題求、的思路是根據(jù)某數(shù)是方程的解，把代入方程，求出的值，把的值代入關(guān)系式，求出的值，進(jìn)而求出的值．【詳解】解：將代入方程中，得．解得．將代入關(guān)系式中，得．解得或．所以的值為或1．【考點(diǎn)題型四】解一元一次方程【例4】（24-25七年級上·全國·期末）解方程：(1)；(2)【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】解一元一次方程（二）——去括號、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)解一元一次方程的步驟：去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，即可求出答案；（2）根據(jù)解一元一次方程的步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，即可求出答案．【詳解】（1）解：去括號，得，移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得；（2）去分母，得，去括號，得，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得．【變式4-1】（23-24七年級上·貴州遵義·期末）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)【分析】本題主要考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的基本步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1．（1）方程移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（2）方程去分母，去括號，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；【詳解】（1）解：移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，系數(shù)化為1得，；（2）解：去分母得，去括號得，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，系數(shù)化為1得，．【變式4-2】（22-23七年級上·北京西城·期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】解一元一次方程（二）——去括號、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解此題的關(guān)鍵．（1）先去括號，再移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，最后系數(shù)化為1即可得出答案；（2）先去分母，再去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，最后系數(shù)化為1即可得出答案．【詳解】（1）解：去括號得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：；（2）解：去分母得：，去括號得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：．【變式4-3】（23-24七年級上·四川達(dá)州·期末）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】解一元一次方程（一）——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)、解一元一次方程（二）——去括號、解一元一次方程（三）——去分母【分析】本題考查解一元一次方程，解一元一次方程的方法步驟有去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，熟練掌握一元一次方程的解法步驟是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)一元一次方程的解法，去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1即可得到答案；（2）根據(jù)一元一次方程的解法，去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1即可得到答案．【詳解】（1）解：，，則，解得；（2）解：，，則，，解得．【變式4-4】（24-25七年級上·全國·期末）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（二）——去括號【分析】本題主要考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的基本步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1．（1）方程去括號，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（2）方程去分母，去括號，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．【詳解】（1）解：，去括號得，，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，，系數(shù)化為1得，；（2）解：，去分母得，，去括號得，，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，，系數(shù)化為1得，．【考點(diǎn)題型五】解一元一次方程錯解復(fù)原【例5】（23-24七年級上·河南鄭州·期末）下面是小穎解方程的過程：解：________，得（第一步）去括號，得

（第二步）移項(xiàng)，得

（第三步）

合并同類項(xiàng)，得

（第四步）方程兩邊同除以，得

（第五步）請認(rèn)真閱讀上面的過程，解答下列問題：(1)以上求解步驟中，第一步進(jìn)行的是_______，這一步的依據(jù)是______；(2)以上求解步驟中，第_____步開始出現(xiàn)錯誤；(3)請寫出正確的解方程過程．【答案】(1)去分母；等式兩邊同時乘同一個數(shù)，所得結(jié)果仍是等式(2)三(3)，過程見解析【知識點(diǎn)】解一元一次方程（三）——去分母【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟，等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等式的基本性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)解一元一次方程的步驟解答即可；（3）按照解一元一次方程的步驟進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：以上求解步驟中，第一步進(jìn)行的是去分母，這一步的依據(jù)是等式兩邊同時乘同一個數(shù)，所得結(jié)果仍是等式故答案為：去分母；等式兩邊同時乘同一個數(shù)，所得結(jié)果仍是等式；（2）解：以上求解步驟中，第三步開始出現(xiàn)錯誤；故答案為：三；（3）解：去分母，得，去括號，得，移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得．【變式5-1】（23-24七年級下·吉林長春·期末）下面是小明同學(xué)解一元一次方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解方程：解：______，得

第一步去括號，得

第二步移項(xiàng)，得

第三步合并同類項(xiàng)，得

第四步方程兩邊同除以2，得

第五步(1)以上求解步驟中，第一步進(jìn)行的是______；(2)以上求解步驟中，第______步開始出現(xiàn)錯誤；(3)請寫出正確解方程的過程．【答案】(1)去分母(2)三(3)見解析【知識點(diǎn)】解一元一次方程（三）——去分母【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟，等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)解一元一次方程的步驟解答即可；（2）根據(jù)解一元一次方程的步驟解答即可；（3）按照解一元一次方程的步驟進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：以上求解步驟中，第一步進(jìn)行的是去分母，故答案為：去分母；（2）解：以上求解步驟中，第三步開始出現(xiàn)錯誤，具體的錯誤是移項(xiàng)時沒有變號，故答案為：三；（3）解：兩邊同乘6得：，去括號得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，兩邊同除以2，得．【變式5-2】（23-24七年級上·貴州黔南·期末）下面是小紅解一元一次方程的主要過程，請仔細(xì)閱讀小紅的解題過程，解決下列問題．解：去分母，得：．①去括號，得．②移項(xiàng)，得．③合并同類項(xiàng)，得．④(1)小紅在以上解方程過程中，從第_______步開始出現(xiàn)錯誤，出現(xiàn)的錯誤是_______．(2)請寫出正確的解答過程．【答案】(1)①；漏乘常數(shù)項(xiàng)(2)見解析【知識點(diǎn)】解一元一次方程（三）——去分母【分析】本題考查了去分母解一元一次方程（1）根據(jù)解方程的基本步驟，觀察解答即可．（2）利用去分母法解方程即可．【詳解】（1）根據(jù)解題步驟，得到第①步錯誤；主要錯誤是漏乘常數(shù)項(xiàng)，故答案為：①；漏乘常數(shù)項(xiàng)．（2）去分母，得，去括號，得，移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得．【變式5-3】（23-24七年級上·寧夏銀川·期末）下面是小彬同學(xué)解一元一次方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．．，（第一步），（第二步），（第三步），（第四步）．（第五步）(1)任務(wù)一：填空．①以上求解步驟中，第一步的依據(jù)是________________________．②第_________步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是_____________________．(2)任務(wù)二：請直接寫出該方程的解．【答案】(1)①等式的基本性質(zhì)（等式兩邊同時乘以一個不為0的數(shù)，等式仍然成立）；②二；括號前是負(fù)號，去掉括號后，括號里的第二項(xiàng)沒有變號(2)【知識點(diǎn)】解一元一次方程（三）——去分母【分析】本題考查的是解方程，熟練掌握解方程的步驟是解題關(guān)鍵．（1）①根據(jù)去分母的步驟進(jìn)行分析，即可得到答案；②根據(jù)解方程的步驟進(jìn)行分析，即可得到答案；（2）依次去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化1，即可解方程．【詳解】（1）解：①第一步為去分母，依據(jù)是等式兩邊同時乘以一個不為0的數(shù)，等式仍然成立，故答案為：等式兩邊同時乘以一個不為0的數(shù)，等式仍然成立；②第二步開始出現(xiàn)錯誤，原因是：括號前是負(fù)號，去掉括號后，括號里的第二項(xiàng)沒有變號，故答案為：二；括號前是負(fù)號，去掉括號后，括號里的第二項(xiàng)沒有變號；（2）解：去分母，得：，去括號，得：，移項(xiàng)，得：，合并同類項(xiàng)，得：，系數(shù)化1，得：．【變式5-4】（23-24七年級上·河南許昌·期末）本學(xué)期學(xué)了一元一次方程的解法，下面是小亮同學(xué)解方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解方程：．解：去分母，得，……第一步去括號，得，……第二步移項(xiàng)，得，……第三步合并同類項(xiàng)，得，……第四步系數(shù)化為1，得．……第五步(1)以上解題過程中，第一步是依據(jù)進(jìn)行變形的；(2)第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是；(3)請直接寫出該方程正確的解是；(4)除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解一元一次方程時還需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議．【答案】(1)等式的基本性質(zhì)(2)一；去分母時常數(shù)項(xiàng)沒有乘最簡公分母12(3)(4)見解析【知識點(diǎn)】解一元一次方程（三）——去分母【分析】本題主要考查了解一元一次方程．（1）根據(jù)等式的基本性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)去分母的方法解答即可；（3）根據(jù)解一元一次方程的基本步驟即可解答；（4）結(jié)合解一元一次方程的經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)注意事項(xiàng)即可．【詳解】（1）解：以上解題過程中，第一步的變形的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)；故答案為：等式的基本性質(zhì)；（2）解：以上解題過程中從第一步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是去分母時常數(shù)項(xiàng)沒有乘最簡公分母；故答案為：一；去分母時常數(shù)項(xiàng)沒有乘最簡公分母；（3）解：去分母，得，去括號，得，移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得；故答案為：；（4）解：解一元一次方程需要注意以下事項(xiàng)：①去分母時要給每一項(xiàng)乘以分母的最小公倍數(shù)數(shù)，特別是常數(shù)項(xiàng)是易錯點(diǎn)；②去括號時，如果括號外是“”號，括號內(nèi)每一項(xiàng)都要變號；③移項(xiàng)時，注意移動項(xiàng)的符號的變化．【考點(diǎn)題型六】一元一次方程中新定義型問題【例6】（23-24七年級下·福建泉州·期末）定義：若關(guān)于的一元一次方程（的常數(shù)）的解滿足，則稱該方程為“差解方程”，例如：方程的解為，而，，則方程為“差解方程”，根據(jù)題意，解決下面問題：(1)方程________（填“是”或“不是”）“差解方程”；(2)關(guān)于的一元一次方程是“差解方程”，求的值；(3)若是“差解方程”，試求k的值．【答案】(1)不是(2)(3)【知識點(diǎn)】解一元一次方程（一）——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)【分析】本題考查了解一元一次方程，理解“差解方程”的定義是解此題的關(guān)鍵．（1）求出方程的解，根據(jù)“差解方程”的定義判斷即可得出答案；（2）根據(jù)“差解方程”的定義得出關(guān)于的方程，解方程即可得出答案；（3）由題意得出是方程的一個解，由定義得，從而得出，即，再分情況求解即可得出答案．【詳解】（1）解：解得：，∵，∴方程不是“差解方程”；（2）解：∵一元一次方程是“差解方程”，∴由題意，得，∵，∴，∴；（3）解：∵，∴是方程的一個解，∴，由定義得：，∴，∴，當(dāng)，即時，由得出此時方程無解，則不存在，當(dāng)，即時，，綜上所述，．【變式6-1】（23-24七年級上·河南安陽·期末）閱讀與理解：定義：如果兩個一元一次方程的解之和為1，就稱這兩個方程互為“美好方程”．例如：方程的解為，方程的解為，兩個方程的解之和為1，所以這兩個方程互為“美好方程”．(1)請判斷方程與方程是否互為“美好方程”；(2)若關(guān)于的方程與方程是互為“美好方程”，求的值．【答案】(1)方程與方程互為“美好方程”，理由見解析；(2)【知識點(diǎn)】解一元一次方程（一）——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)【分析】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程的方法，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）根據(jù)“美好方程”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）先求出兩個方程的解分別為：，，再根據(jù)關(guān)于的方程與方程是互為“美好方程”得出解關(guān)于的方程即可．【詳解】（1）解：解方程的解為，解方程的解為，，方程與方程互為“美好方程”；（2）解：解方程的解為，解方程的解為，關(guān)于的方程與方程是互為“美好方程”，，．【變式6-2】（23-24七年級上·山西呂梁·期末）閱讀材料題定義：關(guān)于的方程與方程（，均為不等于0的常數(shù)）稱互為“反對方程”，例如：方程與方程互為“反對方程”．(1)若關(guān)于的方程與方程互為“反對方程”，則__________；(2)若關(guān)于的方程與方程互為“反對方程”，求，的值；(3)若關(guān)于的方程與其“反對方程”的解都是整數(shù)，求整數(shù)的值．【答案】(1)3；(2)，；(3)．【知識點(diǎn)】方程的解、一元一次方程解的綜合應(yīng)用【分析】此題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，能夠正確理解“反對方程”的概念是解決此題關(guān)鍵．（1）根據(jù)“反對方程”的定義直接可得答案；（2）將“反對方程”組成方程組求解可得答案；（3）根據(jù)“反對方程”與的解均為整數(shù)，可得與都為整數(shù)，由此可得答案．【詳解】（1）解：由題意得，故答案為：3．（2）解：與互為“反對方程”，，，解得，；（3）解：的“反對方程”為，由得，，由，得，與的解均為整數(shù)，與都為整數(shù)．也為整數(shù)，當(dāng)時，，，都為整數(shù)；當(dāng)時，，，都為整數(shù)，的值為．【變式6-3】（23-24七年級上·江蘇揚(yáng)州·期末）定義：如果兩個一元一次方程的解的和為10，我們就稱這兩個方程為“美滿方程”．例如：方程和為“美滿方程”．(1)若關(guān)于的方程與方程是“美滿方程”，則__________；(2)已知一對“美滿方程”的兩個解的差為，若其中一個解為，求的值；(3)已知無論取任何有理數(shù)，關(guān)于的方程（、為常數(shù)）與方程都是“美滿方程”，求的值．【答案】(1)12(2)6，4(3)1【知識點(diǎn)】解一元一次方程（二）——去括號、解一元一次方程（三）——去分母、一元一次方程解的綜合應(yīng)用【分析】本題考查一元一次方程的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“美滿方程”的定義，一元一次方程的解，進(jìn)行解答，即可．（1）解出和的解，再根據(jù)“美滿方程”的定義，即可；（2）根據(jù)“美滿方程”的定義，則一個方程的解為：；另一個方程的解為：，即可；（3）先解出的解，再根據(jù)“美滿方程”的定義得出另一個方程的解，再代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，解得：，∵，∴，∵關(guān)于的方程與方程是“美滿方程”，∴，∴．（2）∵“美滿方程”的兩個解的和為10，其中一個解為，∴另一個方程的解為：，∵一對“美滿方程”的兩個解的差為，∴，或，解得：，∴或．（3）∵，∴，∴方程的解為：，∴，∴，∴，∵取任何有理數(shù)上式都成立，∴，\解得：，∴．【變式6-4】（23-24七年級上·江蘇揚(yáng)州·期末）定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數(shù)，我們就稱這兩個方程為“和諧方程”．例如：方程和為“和諧方程”．(1)若關(guān)于的方程與方程是“和諧方程”，求的值；(2)若“和諧方程”的兩個解的差為4，其中一個解為，求的值；(3)若無論取任何有理數(shù)，關(guān)于的方程（，為常數(shù)）與關(guān)于的方程都是“和諧方程”，求與的值．【答案】(1)(2)或(3)，【知識點(diǎn)】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)、一元一次方程解的綜合應(yīng)用【分析】本題考查一元一次方程的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“和諧方程”的定義，一元一次方程的解，進(jìn)行解答，即可．（1）解出和的解，再根據(jù)“和諧方程”的定義，即可；（2）根據(jù)“和諧方程”的定義，則一個方程的解為：；另一個方程的解為：，即可；（3）先解出的解，再根據(jù)“和諧方程”的定義，即可．【詳解】（1）∵，解得：，∵，∴，∵方程與方程是“和諧方程”，∴，∴．（2）∵“和諧方程”的兩個解的差為，其中一個解為，∴另一個方程的解為：，∴，解得：，∴或．（3）∵，∴，∴方程的解為：，∴，∴，∴，∵取任何有理數(shù)上式都成立，∴，\解得：，∴，．【變式6-5】（23-24七年級上·湖南岳陽·期末）我們定義：如果兩個一元一次方程的解相加之和為1，我們就稱這兩個方程為“和一方程”．如：方程和為“和一方程”．(1)已知關(guān)于x的方程的解是最小的正整數(shù)，這個方程和以下的__________是“和一方程”（填序號）①

②

③(2)若關(guān)于x的方程與方程是“和一方程”，求m的值；(3)若關(guān)于x的一元一次方程和是“和一方程”，求關(guān)于y的一元一次方程的解．【答案】(1)③(2)(3)【知識點(diǎn)】解一元一次方程（一）——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)、方程的解【分析】本題考查一元一次方程的解，一元一次方程的求解方法（1）根據(jù)“和一方程”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）求出這兩個方程的解，再根據(jù)“和一方程”的定義列出關(guān)于m的方程求解即可；（3）根據(jù)“和一方程”的定義求出k的值，再求解即可．【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的方程的解是最小的正整數(shù)，即為1；則它的“和一方程”的解為0；而方程①的解為，故①不符合題意；方程②的解為，故②不符合題意；方程③的解為，故③符合題意故答案為：③；（2）解：方程得，由題意可得是關(guān)于的方程的解，所以，所以；（3）解：解方程得，由題意可得是關(guān)于的方程的解，因?yàn)殛P(guān)于的一元一次方程，可變形為，所以，所以，【考點(diǎn)題型七】一元一次方程的應(yīng)用之配套問題【例7】（22-23七年級上·四川綿陽·期末）糕點(diǎn)店中秋節(jié)前要制作一批盒裝月餅，每盒裝2塊大月餅和6塊小月餅，制作1塊大月餅要用面粉，1塊小月餅要用面粉．(1)若制作若干盒月餅共用了面粉，則制作了多少盒月餅？(2)公司決定向該糕點(diǎn)廠定制月餅禮盒，該糕點(diǎn)廠給出的團(tuán)購價格如下：購買的數(shù)量（盒）不超過60或剛好60超過60每盒單價（元）200180若公司決定給45名員工和名客戶各訂購一盒月餅作為福利，用含的式子表示購買月餅的費(fèi)用．【答案】(1)制作了1200盒月餅．(2)當(dāng)時，則購買月餅的費(fèi)用為元：當(dāng)時，則購買月餅的費(fèi)用為元．【知識點(diǎn)】列代數(shù)式、配套問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式，理解題意，正確列出代數(shù)式與方程是解此題的關(guān)鍵．（1）設(shè)制作了盒月餅，根據(jù)“制作若干盒月餅共用了面粉”列出一元一次方程，解方程即可得出答案；（2）分兩種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，分別列出代數(shù)式即可．【詳解】（1）解：設(shè)制作了盒月餅．根據(jù)題意得，解得．答：制作了1200盒月餅．（2）解：當(dāng)時，則購買月餅的費(fèi)用為元：當(dāng)時，則購買月餅的費(fèi)用為元．【變式7-1】（23-24七年級上·云南昭通·期末）用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵片可制盒身15個或制盒底40個，一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒．現(xiàn)有140張白鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底，可以正好制成整套罐頭盒？【答案】用80張制盒身，60張制盒底，可以正好制成整套罐頭盒【知識點(diǎn)】配套問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】題目主要考查一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)用張制盒身，根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)用張制盒身．（張）答：用80張制盒身，60張制盒底，可以正好制成整套罐頭盒．【變式7-2】（23-24七年級上·安徽·期末）某工廠一車間有名工人，其中男生人數(shù)比女生人數(shù)的倍少人，某月接到加工甲、乙兩種零件的工作任務(wù)，每個工人每天能加工個甲種零件或個乙種零件.已知，個甲種零件和個乙種零件可以組裝成一個丙種零件．(1)該車間男、女生各有多少人？(2)該車間分別安排多少工人加工甲種零件和乙種零件，能使得每天加工的甲、乙兩種零件恰好能全部組裝成丙種零件？【答案】(1)男生有，女生有人(2)安排名工人加工甲種零件，安排名工人加工乙種零件【知識點(diǎn)】配套問題(一元一次方程的應(yīng)用)、其他問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程；（1）根據(jù)題意設(shè)該車間有女生人，則男生有人，列方程求解即可；（2）設(shè)該車間安排名工人加工甲種零件，則安排名工人加工乙種零件，根據(jù)等量關(guān)系建立方程即可求解；【詳解】（1）解：設(shè)該車間有女生人，則男生有人，根據(jù)題意得：，解得：，則人，答：該車間男生有，女生有人；（2）設(shè)該車間安排名工人加工甲種零件，則安排名工人加工乙種零件，根據(jù)題意得：，解得：，則，答：該車間安排名工人加工甲種零件，安排名工人加工乙種零件，能使得每天加工的甲、乙兩種零件恰好能全部組裝成丙種零件；【變式7-3】（23-24七年級上·四川成都·期末）列方程解應(yīng)用題：某工廠現(xiàn)有木料，準(zhǔn)備制作各種尺寸的方桌與凳子．如果木料可制作40個方桌或制作80個凳子．A類型套桌由一個方桌和四個凳子組成，每套售價2000元，B類型套桌由一個方桌和八個凳子組成，每套售價3500元．(1)若用全部木料生產(chǎn)A類型套桌，且桌子、凳子恰好配套，問全部賣出可以賣多少錢？(2)若用全部木料生產(chǎn)A、B兩種類型套桌，且桌子、凳子恰好配套，全部賣出，賣了824000元．問制作了多少套A類型套桌？【答案】(1)全部賣出可以賣800000元(2)制作了160套A類型套桌【知識點(diǎn)】配套問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)用的木料制作方桌，根據(jù)工廠現(xiàn)有木料，A類型套桌由一個方桌和四個凳子組成，列出方程求出的值，進(jìn)而求出A類型套桌的套數(shù)，再乘以售價進(jìn)行計(jì)算即可；（2）設(shè)制作了套A類型套桌，則制作了套B類型套桌，根據(jù)題意，列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)用的木料制作方桌，則用的木料制作凳子，由題意，得：，解得：，∴可制作方桌：（個），∴制作套類型套桌，全部賣出可以賣：（元）；答：全部賣出可以賣800000元；（2）設(shè)制作了套A類型套桌，則制作了套B類型套桌，由題意，得：，解得：；答：制作了160套A類型套桌．【變式7-4】（23-24六年級上·山東泰安·期末）第19屆亞洲夏季運(yùn)動會于2023年9月23日在杭州舉行，象征杭州三大世界文化遺產(chǎn)的吉祥物“宸宸”“琮琮”“蓮蓮”通過不同色彩、不同紋飾向世界講述“江南憶”的美麗故事．現(xiàn)有工廠生產(chǎn)吉祥物的盲盒，分為A、B兩種包裝，該工廠共有800名工人．(1)若該工廠生產(chǎn)盲盒A的人數(shù)比生產(chǎn)盲盒B的人數(shù)的2倍少100人，請求出生產(chǎn)盲盒A的工人人數(shù)；(2)為了促銷，工廠按商家要求生產(chǎn)盲盒大禮包，該大禮包由4個盲盒A和9個盲盒B組成．已知每個工人平均每天可以生產(chǎn)20個盲盒A或15個盲盒B，且每天只能生產(chǎn)一種包裝的盲盒．該工廠應(yīng)該安排多少名工人生產(chǎn)盲盒A，多少名工人生產(chǎn)盲盒B才能使每天生產(chǎn)的盲盒正好配套？【答案】(1)生產(chǎn)盲盒A的工人人數(shù)為500人(2)該工廠應(yīng)該安排200名工人生產(chǎn)A，600名工人生產(chǎn)B才能使每天生產(chǎn)的盲盒正好配套【知識點(diǎn)】配套問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)生產(chǎn)B的人數(shù)為x人，則生產(chǎn)A的人數(shù)為人，根據(jù)生產(chǎn)盲盒A的人數(shù)比生產(chǎn)盲盒B的人數(shù)的2倍少100人，可列出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)安排m人生產(chǎn)A，則安排人生產(chǎn)B，根據(jù)大禮包由4個盲盒A和9個盲盒B組成且每天生產(chǎn)的盲盒正好配套，可列出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)生產(chǎn)B的人數(shù)為x人，則生產(chǎn)A的人數(shù)為人，于是，解得：．（人），答：生產(chǎn)盲盒A的工人人數(shù)為500人．（2）解：設(shè)安排m人生產(chǎn)A，則安排人生產(chǎn)B，于是，解得：，（人），答：該工廠應(yīng)該安排200名工人生產(chǎn)A，600名工人生產(chǎn)B才能使每天生產(chǎn)的盲盒正好配套．【考點(diǎn)題型八】一元一次方程的應(yīng)用之工程問題【例8】（23-24七年級上·云南紅河·期末）勞動教育課程已經(jīng)成為中小學(xué)生的必修課，被納入人才培養(yǎng)的全過程．云南某中學(xué)整理學(xué)生的勞技作品，由一名老師整理要完成．現(xiàn)計(jì)劃由一部分老師先做，然后再增加3名老師與他們一起做，可完成這項(xiàng)整理工作．假設(shè)每位老師的工作效率相同，應(yīng)先安排多少名老師整理？【答案】應(yīng)先安排5人工作【知識點(diǎn)】工程問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程，利用方程的知識解答．根據(jù)題意，設(shè)應(yīng)先安排x人工作，則x人先做完成這項(xiàng)工作的，增加3人與他們一起做，完成這項(xiàng)工作的，由相等關(guān)系：x人先做完成的工作增加3人與他們一起做，完成的工作，可以列出相應(yīng)的方程，從而可以解答本題．【詳解】解：設(shè)應(yīng)先安排x老師整理，，解得，，答：應(yīng)先安排5人工作．【變式8-1】（23-24六年級上·山東青島·期末）已知某水池有進(jìn)水管與出水管一根，進(jìn)水管工作15小時可以將空水池放滿，出水管工作24小時可以將滿池的水放完；對于空的水池，如果進(jìn)水管先打開2小時，再同時打開兩管，問注滿水池還需要多少時間？【答案】小時【知識點(diǎn)】工程問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查一元一次方程解決實(shí)際問題．把水池的蓄水量看作單位“1”，計(jì)算出每小時的進(jìn)水量、出水量，設(shè)注滿水還需要x小時，根據(jù)“進(jìn)水管先打開2小時，再同時打開兩管至注滿水”即可列出方程，求解即可解答．【詳解】解：進(jìn)水管每小時的進(jìn)水量為，出水管每小時的出水量為，設(shè)注滿水還需要x小時，根據(jù)題意，得，解得，答：注滿水池還需要小時．【變式8-2】（23-24七年級上·甘肅定西·期末）修筑一條公路，甲工程隊(duì)單獨(dú)承包要80天完成，乙工程隊(duì)單獨(dú)承包要120天完成．如果甲、乙兩工程隊(duì)合作了30天后，因甲工程隊(duì)另有任務(wù)，剩下的工作由乙工程隊(duì)完成，則修好這條公路共需要多少天完成？【答案】修好這條公路一共需要75天完成．【知識點(diǎn)】工程問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，審清題意、找準(zhǔn)等量關(guān)系、正確列出方程成為解題的關(guān)鍵．由題意可知甲、乙兩工程隊(duì)的工作效率分別為，設(shè)修好這條公路共需要y天，根據(jù)工作總量是單位“1”列出方程即可求解．【詳解】解：設(shè)修好這條公路共需要y天，由題意可得：，解得：．答：修好這條公路一共需要75天完成．【變式8-3】（23-24七年級上·河南周口·期末）整理一批圖書，若由一個人獨(dú)做需要80個小時完成，假設(shè)每人的工作效率相同．(1)若限定32小時完成，一個人先做8小時，再需增加多少人幫忙才能在規(guī)定的時間內(nèi)完成？(2)計(jì)劃由一部分人先做4小時，然后增加3人與他們一起做4小時，正好完成這項(xiàng)工作的，應(yīng)該安排多少人先工作？【答案】(1)再需增加2人幫忙才能在規(guī)定的時間內(nèi)完成(2)應(yīng)該安排6人先工作【知識點(diǎn)】工程問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵；（1）設(shè)再需增加x人幫忙才能在規(guī)定的時間內(nèi)完成，根據(jù)各部分的工作量之和等于1，再建立方程求解即可；（2）設(shè)應(yīng)該安排x人先工作，根據(jù)各部分的工作量之和等于，再