數(shù)字信號處理-課件 第3章 Z變換及序列的傅里葉變換

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第3章Z變換及序列的傅里葉變換2024/12/2213:282§3-1引言信號與系統(tǒng)的分析方法有時域、變換域兩種。1.時域分析法

1）連續(xù)時間信號與系統(tǒng)： 信號的時域運算，時域分解，經(jīng)典時域分析法，近代時域分析法，卷積積分。

2）離散時間信號與系統(tǒng)： 序列的變換與運算，卷積和，差分方程的求解。

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2.變換域分析法

1）連續(xù)時間信號與系統(tǒng)： 信號與系統(tǒng)的頻域分析、復頻域分析。

2）離散時間信號與系統(tǒng)：

Z變換，DFT(FFT)。

Z變換可將差分方程轉化為代數(shù)方程。2024/12/2213:284

§3.2Z變換的定義與收斂域概述：Z變換產(chǎn)生

Z變換的基本思想來自拉普拉斯。1947年由W.Hurewicz重新引入作為解決線性常系數(shù)差分方程求解的簡便方法.1952年，哥倫比亞大學Ragazzini和Zadeh冠以“thez-transform”用于采樣分析等.

2024/12/2213:285

§3.2Z變換的定義及收斂域3.2.1z變換的定義與收斂域*將x(n)展為z-1的冪級數(shù)。1.z變換的定義序列Z變換定義如下：2024/12/2213:286

2.Z變換的收斂域(2)收斂條件：X(z)收斂的充要條件是絕對可和。

(1)收斂域的定義:使序列x(n)的z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱作X(z)的收斂域.2024/12/2213:287

那么,滿足0≤|z|<|z+|的z,級數(shù)必絕對收斂。|z+|為最大收斂半徑。

如果級數(shù)，在

收斂;

3.2.2常見序列的收斂域阿貝爾定理2024/12/2213:288

同樣,對于級數(shù)，滿足的z，

級數(shù)必絕對收斂。|z_|為最小收斂半徑。|z_|2024/12/2213:289

0n2n1n(n)...1.有限長序列2024/12/2213:2810

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x(n)n0n1..1...2.右邊序列*第一項為有限長序列*第二項為z的負冪級數(shù)2024/12/2213:2812

收斂域第一項為有限長序列,其收斂域為0≤|z|<∞;第二項為z的負冪次級數(shù)，由阿貝爾定理可知,其收斂域為

Rx-<|z|;兩者都收斂的域亦為Rx-<|z|<∞;

Rx-為最小收斂半徑。2024/12/2213:2813

因果序列它是一種最重要的右邊序列,由阿貝爾定理可知收斂域為：2024/12/2213:2814

3.左邊序列x(n)0n

n22024/12/2213:2815

第二項為有限長序列,其收斂域;

第一項為z的正冪次級數(shù)，根據(jù)阿貝爾定理,其收斂域為;為最大收斂半徑.2024/12/2213:2816雙邊序列指n為任意值時,x(n)皆有值的序列，即左邊序列和右邊序列之和。

4.雙邊序列0nx2024/12/2213:2817

第二項為左邊序列，其收斂域為：第一項為右邊序列(因果)其收斂域為：當Rx-<Rx+時，其收斂域為環(huán)形2024/12/2213:2818

其收斂域應包括即 充滿整個Z平面。求序列

的Z變換及收斂域。解：這相當 時的有限長序列，例12024/12/2213:2819

當 時，這是無窮遞縮等比級數(shù)。求序列

的Z變換及收斂域。解:例22024/12/2213:2820

*收斂域一定在模最大的極點所在的圓外。收斂域：2024/12/2213:2821

求序列

變換及收斂域同樣的，當|b|>|z|時，這是無窮遞縮等比級數(shù)，收斂。收斂域：*收斂域一定在模最小的極點所在的圓內。解:例32024/12/2213:2822

§3-3Z逆變換z逆變換的定義已知X(z)及其收斂域,反過來求序列x(n)的變換稱作Z逆變換。z變換是由已知序列求z變換解析表達式并確定收斂域，而z逆變換與z變換在過程上正好是相逆的，即已知序列z變換的解析表達式X(z)及定義域，求解其序列x(n)，稱為z逆變換或z反變換。23

z變換公式：C為環(huán)形解析域內環(huán)繞原點的一條逆時針閉合單圍線.0c接下來介紹Z反變換的求法24由留數(shù)定理可知：

為c內的第k個極點，Res[]表示極點處的留數(shù)3.3.1圍線積分法(留數(shù)法)

為c外的第m個極點注意上述表達式包括兩個圍線；圍線積分的計算比較麻煩；怎么突破？？采用留數(shù)定理轉繁為簡；難度降低到直接使用代數(shù)式進行計算；2024/12/2213:2825

在復分析中，留數(shù)定理是計算解析函數(shù)沿封閉曲線路徑積分的一個有力工具，在z逆變換的計算中，圍線積分法是求z逆變換的基本方法。2024/12/2213:2826

2、當Zr為l階(多重)極點時的留數(shù)：留數(shù)的求法：

1、當Zr為一階極點時的留數(shù)：2024/12/2213:2827

已知，求z反變換。1）當n≥-1時, 無極點，這時C內只有一個一階極點 因此例42024/12/2213:2828

2）當n≤-2時，X(z)zn-1中的zn+1產(chǎn)生|n+1|階極點.因此C內有極點：z=1/4(一階),z=0為(n+1)階極點；而在C外僅有z=4(一階)這個極點:3.3.2

部分分式展開法

有理式：數(shù)字和字符經(jīng)有限次加、減、乘、除運算所得的式子.

有理分式：含字符的式子與分母的有理式，或兩個

多項式的商。

分子的次數(shù)低于分母時稱為真分式.

30

部分分式展開在求X(z)的逆變換時，一般X(z)的分子與分母均為含有z的有理多項式，可表示為：A(z)，B(z)都是z的實系數(shù)多項式，且為既約分式，因此，可將X(z)分解為如下部分分式的形式：各部分分式Xi(z)均為一階或二級分式，可以根據(jù)教材表3-1所示的常用序列的z變換表求每一個部分分式Xi(z)的z逆變換，然后將各項相加，即：2024/12/2213:2831

其中，M≥N時，才存在Bn；Zk為X(z)的各單極點，Zi為X(z)的一個r階極點。而系數(shù)Ak，Ck分別為：因此，X(z)可以展成以下部分分式形式：2024/12/2213:2832

的z反變換。用部分分式法，求解：

分別求出各部分分式的z反變換（可查表3-1），然后相加即得X(z)的z反變換。例52024/12/2213:2833

2024/12/2213:2834Matlab實現(xiàn)部分分式展開法Matlab提供了可用于部分分式展開的函數(shù)residuez，該函數(shù)的調用格式如下：[r,p,k]=residuez(b,a)b,a分別是X(z)的分子、分母系數(shù)向量，r、p、k用于存儲輸出數(shù)據(jù)，其中，r表示X(z)各部分分式項的留數(shù)，p表示X(z)的部分分式各對應項的極點，k表示常數(shù)項和整式。Matlab部分分式求z逆變換示例。已知X(z)的解析式如下：試采用部分分式法求X(z)的逆變換解：用Matlab進行部分分式展開的Matlab代碼如下：例6clc;clearall;closeall;b=[10.8,1.16,-4,0.6];a=[1,-0.8,0.12];[r,p,k]=residuez(b,a)程序計算結果如下：r=6.60004.2000p=0.60000.2000k=0.00005.0000根據(jù)程序輸出結果，可得X(z)的部分分式如下：逆變換如下373.3.3長除法(冪級數(shù)展開法)

在給定的收斂域內，把X(z)展為冪級數(shù)，其系數(shù)就是序列x(n)。如收斂域為|z|>Rx+，x(n)為因果序列，則X(z)展成Z的負冪級數(shù)。若收斂域|Z|<Rx-,x(n)必為左邊序列，主要展成

Z的正冪級數(shù)。因為x(n)的Z變換為Z-1

的冪級數(shù)，即2024/12/2213:2838

試用長除法求

的z反變換。解:收斂域為環(huán)狀，極點z=1/4對應因果序列，極點z=4對應左邊序列(雙邊序列)*雙邊序列可分解為因果序列和左邊序列。*應先展成部分分式再做除法。例72024/12/2213:2839

2024/12/2213:2840

2024/12/2213:2841

4-Z)

4Z+Z+—Z+—Z+—Z+241311645164...16Z16Z-4Z24

Z4Z-ZZZ-—Z—Z—Z-—Z—Z

2233314141444411655116...2024/12/2213:2842

Z-—)

Z141+—z+—z+—z14-1116-2164-3...Z-—14—14—14-—Z116-1—Z116-1—Z116-1-—Z164-2—Z164-2—Z164-2-——Z1256-3——Z1256-3...Z的冪級數(shù)排列2024/12/2213:2843

44Matlab實現(xiàn)長除法

Matlab提供了多項式除法的函數(shù)deconv，該函數(shù)的調用格式如下：xn=deconv(b,a)b,a分別是X(z)的分子分母系數(shù)向量，xn表示的X(z)分子除以分母的系數(shù)向量，向量從常數(shù)項開始，按z-1的冪級數(shù)依次排列。Matlab實現(xiàn)長除法的示例如下：例8用Matlab長除法求z逆變換（右邊序列）示例已知X(z)的解析表達式及收斂域如下：求X(z)的逆變換。解：根據(jù)收斂域|z|>2可知，x(n)是因果序列。本題既可以直接用長除法解題，也可以用程序實現(xiàn)Matlab實現(xiàn)的代碼如下所示：2024/12/2213:28clc;clearall;closeall;b=[0,2];a=[1,-4,4];k=6;%輸出z-1的系數(shù)的長度，本例輸出6項系數(shù)m=length(a);n=length(b);b=[b,zeros(1,m-n-1+k)]%根據(jù)輸出系數(shù)的長度對b末端補零xn=deconv(b,a)程序運行結果如下：xn=0282464160總結規(guī)律可得：2024/12/2213:2847

§3-4Z變換的性質和定理1.線性特性3.

共軛序列6.序列線性加權4.翻轉序列7.初值定理2.序列的移位8.終值定理12.有限項累加9.時域卷積定理10.序列乘積11.Parseval定理5.Z域尺度變換2024/12/2213:2848

§3-4Z變換的基本性質和定理*即滿足均勻性與疊加性；*收斂域為兩者重疊部分。1.線性特性

如果 則有：2024/12/2213:2849

已知,求其z變換。解：?例92024/12/2213:2850

2.序列的移位如果 則有：求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z變換。例102024/12/2213:2851

3.共軛序列如果，則試證明Z變換的共軛對稱性：證：例112024/12/2213:2852

4.翻褶序列如果，則證明：2024/12/2213:2853

5.Z域尺度變換(乘以指數(shù)序列)如果，則證明：2024/12/2213:2854

6.序列的線性加權(Z域求導數(shù))如果，則2024/12/2213:2855

已知，證明:證：例122024/12/2213:2856

7.初值定理證：試證明初值定理.例132024/12/2213:2857

8.終值定理證明：2024/12/2213:2858

又由于只允許X(z)在z=1處可能有一階極點，故因子（z-1)將抵消這一極點，因此(z-1)X(z)在上收斂。所以可取z1的極限。2024/12/2213:2859

9.序列的卷積和(時域卷積定理)

2024/12/2213:2860

證明時域卷積定理

例14

即：時域卷積

等于頻域乘積2024/12/2213:2861

證明：例142024/12/2213:2862

解：例152024/12/2213:2863

10.序列相乘(Z域卷積定理)其中,C是在變量V平面上，X(z/v),H(v)公共收斂域內環(huán)原點的一條逆時針單封閉圍線。2024/12/2213:2864

解：例162024/12/2213:2865

2024/12/2213:2866

11.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示復共軛，閉合積分圍線C在公共收斂域內。如果則有:2024/12/2213:2867

*幾點說明：2024/12/2213:2868

12.有限項累加特性證：例172024/12/2213:2869

2024/12/2213:2870

已知：X(z)=Z[x(n)]求

：Z[∑m=0nx(m)]

分析：已知條件少、信息量太少；[背景]相對抽象，不知道如何解題；目的：考查綜合運用基本概念、理論、公式的能力

Z[∑m=0nx(m)]

=

Z

[∑m=0nx(m)?1]=

Z

[∑m=0nx(m)u(n-m)]自己構造條件=Z

[∑m=-∞∞x(m)u(n-m)]利用卷積公式=Z

[x(n)*u(n)]=X(z)Z

[u(n)]=[z/(z-1)]X(z)另解：Z變換定義的深入應用2024/12/2213:2871

本題小結解題方法簡單，但不容易想到；解題關鍵點：常數(shù)1的巧用，并和u(t)發(fā)生聯(lián)系；熟練掌握知識，自己構造條件應用卷積和公式；解題所涉及的知識：

Z變換定義

；卷積和公式；

Z變換性質；體會：深刻掌握有關基本概念、公式和理論；綜合運用知識、融會貫通，小知識點解決大問題；2024/12/2213:2872

§2-5Z變換與拉氏變換、傅氏變換的關系

0.導引：Z變換、拉氏變換、傅里葉的相關背景Z變換：來源于Laplace的思想，1952年命名拉氏變換：1812年拉普拉斯在《概率的分析理論》中導入拉普拉斯變換.

拉普拉斯是法國數(shù)學家、天文學家，主要研究天體力學和物理學。他認為數(shù)學只是一種解決問題的工具，但在運用數(shù)學時創(chuàng)造和發(fā)展了許多新的數(shù)學方法.傅里葉變換：歐拉奠定基礎，1807年由傅里葉完善并提出，過程曲折.啟示？2024/12/2213:2873

3.5.1Z變換與拉氏變換的關系1.理想抽樣信號的拉氏變換設為連續(xù)信號，為其理想抽樣信號，則:§2-5Z變換與拉氏變換、傅氏變換的關系

2024/12/2213:2874

序列x(n)的z變換為，考慮到,顯然，當時，序列x(n)的z變換就等于理想抽樣信號的拉氏變換。2024/12/2213:2875

2.Z變換與拉氏變換的關系(S、Z平面映射關系）S平面用直角坐標表示為：Z平面用極坐標表示為：又由于所以有：因此， ;這就是說:Z的模只與S的實部相對應,Z的相角只與S虛部Ω相對應。2024/12/2213:2876

=0,即S平面的虛軸

r=1,即Z平面單位圓；

σ→σσ<0,即S的左半平面r<1,即Z的單位圓內；→>0,即S的右半平面r>1,即Z的單位圓外?！鷍00(1).r與σ的關系S平面Z平面2024/12/2213:2877

Ω=0，S平面的實軸，ω=0，Z平面正實軸；0jIm[Z]Re[Z](2).ω與Ω的關系（ω=ΩT）ωΩ

S:寬 的水平條帶，ω整個z平面Ω=Ω0(常數(shù))，S:平行實軸的直線，ω=Ω0T,

Z:始于原點的射線；2024/12/2213:2878

3.5.2Z變換和傅氏變換的關系連續(xù)信號經(jīng)理想抽樣后,其頻譜產(chǎn)生周期延拓，即:

我們知道,傅氏變換是拉氏變換在虛軸S=jΩ

的特例,因而映射到Z平面上為單位圓。因此,

這就是說,（抽樣）序列在單位圓上的Z變換,就等于理想抽樣信號傅氏變換。

用數(shù)字頻率ω作為Z平面的單位圓的參數(shù)，

ω表示Z平面的輻角，且。2024/12/2213:2879

所以，序列在單位圓上的Z變換即為序列的傅氏變換。2024/12/2213:2880

三大變換關系總結

1.序列在單位圓上的Z變換,等于其傅氏變換

2.當時，序列的z變換等于其拉氏變換3.傅里葉變換是拉氏變換在虛軸S=jΩ

的特例2024/12/2213:28813.6

序列的傅里葉變換及性質離散信號傅氏變換的定義離散信號傅氏變換的性質2024/12/2213:28823.6.1序列的傅氏變換及性質

1.

正變換：序列x(n)的傅氏變換（離散時間傅氏變換DTFT）定義為：序列傅氏變換存在的充分條件

是x(n)滿足絕對可和條件，即:2024/12/2213:28其中,幅度譜又稱為幅值譜2024/12/2213:282.反變換

X(ejω)的傅里葉反變換為：3.6.1序列的傅氏變換及性質2024/12/2213:28853.性質主要性質包括：傅氏變換的周期性

線性特性時移與頻移性質

對稱性時域卷積定理

頻域卷積定理帕斯維爾定理3.6.1序列的傅氏變換及性質2024/12/2213:2886設x(n)=RN(n)，求x(n)的傅氏變換。當N=4時，其幅度與相位隨頻率ω的變化曲線如圖所示：例1887當N=4時，序列x(n)及其幅度、相位譜如下：2024/12/2213:28883.6.2DTFT的性質

設一復序列，如果滿足x(n)=x*(-n)則稱序列為共軛對稱序列。對于實數(shù)序列，則為偶對稱序列(偶函數(shù))ee

(1)共軛對稱序列

1.序列對稱性的概念2024/12/2213:2889

設復數(shù)序列，如果滿足：xo(n)=-xo*(-n)

則稱序列為共軛反對稱序列。特例:如是實序列，共軛反對稱序列就是奇對稱序列。

(2)共軛反對稱序列90結論:共軛對稱序列的實部偶對稱，虛部奇對稱①

共軛對稱序列的實部偶對稱，虛部奇對稱

序列對稱性的結論2024/12/2213:2891結論:共軛反對稱序列:實部奇對稱，虛部偶對稱.②共軛反對稱序列的

實部奇對稱，虛部偶對稱.2024/12/2213:2892(3)任一序列可表示為共軛對稱與共軛反對稱序列之和

如何證明這個結論呢?過去的知識哪些與該結論有關呢?例17證:證明任一序列可表示為共軛對稱與共軛反對稱序列之和

2024/12/2213:2893例192024/12/2213:2894同理(1)序列的傅氏變換可表為共軛對稱分量與共軛反對稱分量之和可以推導嗎?

2.DTFT對稱性的應用2024/12/2213:2895

對進行傅氏變換，得:例20證:即序列的傅氏存在對稱性2024/12/2213:2896結論：序列分成實部與虛部兩部分，實部對應的傅氏變換具有共軛對稱性；虛部和j一起對應的傅氏變換具有共軛反對稱性。2024/12/2213:2897將序列分成共軛對稱部分xe(n)和共軛反對稱部分xo(n)，即

x(n)=xe(n)+xo(n)

則有(2)序列實部的傅里葉變換等于序列傅里葉變換的共軛對稱分量(3)序列虛部乘以復數(shù)j的傅里葉變換等于序列傅里葉變換的共軛反對稱分量2024/12/2213:2898

序列實部的傅氏變換等于其傅氏變換的共軛對稱分量證明：例212024/12/2213:2899

序列虛部的j倍的傅氏變換等于其傅氏變換的共軛反對稱分量證明：例222024/12/2213:28100(4)序列的共軛對稱和共軛反對稱分量的傅里葉變換分別等于序列傅里葉變換的實部和虛部乘以j，即2024/12/2213:28101

序列的共軛對稱分量的傅氏變換等于其傅氏變換的實部證明：例232024/12/2213:28102

序列的共軛反對稱分量的傅氏變換等于其傅氏變換的虛部再乘以j.證明：例242024/12/2213:28103

(5)對于實數(shù)序列有如下結論:例25證明:2024/12/2213:28104

證明：例262024/12/2213:28105

證：根據(jù)Z變換的性質證明例27怎么證明呢?1061.

線性特性3.6.3序列傅里葉變換的性質

序列的傅里葉變換是序列在單位圓上的z變換，因此序列傅立葉變換的相關性質一般都與z變換的性質具有對應關系，或者可由z變換推導得出。

舉例如下:2024/12/2213:281072.時移與頻移性質時移性質：頻移性質：2024/12/2213:281083.時域卷積定理若y(n)=x(n)*h(n),則2024/12/2213:281094.頻域卷積定理

若y(n)=x(n)h(n),則2024/12/2213:281105.帕斯維爾定理定理表明：時域總能量等于頻域總能量序列傅里葉變換的其他相關性質見教材表3-5并可以和z變換相關性質表對照分析2024/12/2213:28111

線性移不變系統(tǒng)h(n)為單位抽樣響應h(n)x(n)(n)

H(z)稱作線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，而且

在單位圓 上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率

響應?！?-7

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 及頻率響應3.7.1系統(tǒng)函數(shù):2024/12/2213:28112

線性移不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:

∑|h(n)|<∞其z變換H(z)的收斂域由∑|h(n)z-n|<∞確定3.7.2因果穩(wěn)定系統(tǒng)若系統(tǒng)單位圓上收斂，則∑|h(n)|<∞因此,系統(tǒng)穩(wěn)定.結論:收斂域包括單位圓的系統(tǒng)是穩(wěn)定的.因果系統(tǒng)的收斂域為:R+<|z|≤∞因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)收斂域為:結論:因果穩(wěn)定系統(tǒng)的全部極點必須在單位圓內.1≤|z|≤∞1133.7.3系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關系線性系統(tǒng)的差分方程：取z變換得：得：對上式因式分解，令1.系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關系2024/12/2213:28114

2.系統(tǒng)函數(shù)的分類(1)IIR系統(tǒng)(無限長單位沖激響應系統(tǒng))如果一個離散時間系統(tǒng)的單位抽樣響應h(n)延伸到無窮長,即n→∞時,h(n)仍有值,這樣的系統(tǒng)稱作IIR系統(tǒng)。2024/12/2213:28115

(2)FIR