數(shù)字信號處理-課件 第6章 數(shù)字濾波器的基本結構

第6章數(shù)字濾波器的基本結構*本章目錄數(shù)字濾波器結構的表示方法IIR系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡結構FIR系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡結構*6-1數(shù)字濾波器結構的表示方法離散系統(tǒng)(網(wǎng)絡)可用差分方程或系統(tǒng)函數(shù)進行描述。系統(tǒng)的N階差分方程：系統(tǒng)函數(shù)H(z)為*知識回顧*從上述描述可以看出，數(shù)字濾波器的功能是將輸入序列x(n)經(jīng)過某種適當?shù)倪\算變換為輸出序列y(n)。也就是說，數(shù)字濾波器是按照一定的運算關系將輸入序列轉(zhuǎn)換為輸出序列的數(shù)字系統(tǒng)。這一運算系統(tǒng)既可以用軟件來實現(xiàn)，也可以用硬件來實現(xiàn)，還可以采用不同的運算結構來表示。網(wǎng)絡結構對數(shù)字濾波器的運算速度、誤差和復雜程度有直接影響。每種網(wǎng)絡結構均表示一種具體算法H1(z)=H2(z)=H3(z)，但它們具有不同的算法不同算法會影響系統(tǒng)的運算誤差、速度、復雜程度和成本等網(wǎng)絡結構表示具體的算法，因此網(wǎng)絡結構實際表示的是一種運算結構。*1.基本結構的表示方法方框圖法

根據(jù)濾波器的差分方程可知，實現(xiàn)數(shù)字濾波器的運算功能需要加法器、乘法器和單位延時器3種基本運算單元?；镜膯卧獌煞N表示法

信號流圖法方框圖法

根據(jù)濾波器的差分方程可知，實現(xiàn)數(shù)字濾波器的運算功能需要加法器、乘法器和單位延時器3種基本運算單元?；镜膯卧獌煞N表示法

信號流圖法1.基本結構的表示方法基本運算單元的表示圖中圓點稱為節(jié)點，輸入x(n)稱源節(jié)點或輸入節(jié)點，y(n)稱吸收節(jié)點或輸出節(jié)點。每個節(jié)點處的信號稱節(jié)點變量.信號流圖實際上是由連接節(jié)點的一些有方向性的支路構成。和節(jié)點連接的有輸入支路和輸出支路，節(jié)點變量等于所有輸入支路的輸出之和。*濾波器的功能與實現(xiàn)

2.數(shù)字濾波器結構的表示為了表示更簡便，數(shù)字濾波器結構一般采用信號流圖來表示其運算結構?，F(xiàn)在以一個二階數(shù)字濾波器系統(tǒng)為例介紹如何用加法器、乘法器和延遲單元表示數(shù)字濾波器的結構。*例1已知數(shù)字濾波器差分方程如下:設計數(shù)字濾波器的結構。2.數(shù)字濾波器結構的表示*解:信號流圖實現(xiàn)數(shù)字濾波器的結構如下:*陳天華·北京工商大學·人工智能學院

濾波器結構相關基本概念：

1）輸入節(jié)點或源節(jié)點，如圖中的節(jié)點x(n)2）輸出節(jié)點或阱節(jié)點，如圖中的節(jié)點y(n)3）分支節(jié)點：一個輸入，一個或一個以上輸出的節(jié)點；將值分配到每一支路;如圖中的節(jié)點3和44）求和節(jié)點：有兩個或兩個以上輸入的節(jié)點。如圖中的節(jié)點2和7支路不標傳輸系數(shù)時，就認為其傳輸系數(shù)為1；任何一節(jié)點值等于所有輸入支路的信號之和。3.信號流圖的轉(zhuǎn)置定理對于單輸入、單輸出的LSI系統(tǒng)，將網(wǎng)絡中全部支路的方向進行反轉(zhuǎn)，并將其輸入和輸出互換，稱為信號流圖轉(zhuǎn)置。轉(zhuǎn)置定理：信號流圖轉(zhuǎn)置后，流圖的系統(tǒng)函數(shù)與原流圖的系統(tǒng)函數(shù)H(z)完全一致。根據(jù)轉(zhuǎn)置定理，對于例1所示系統(tǒng)，其轉(zhuǎn)置結構如下圖所示。例1的轉(zhuǎn)置結構圖*信號流圖轉(zhuǎn)置的作用：

（1）轉(zhuǎn)變運算結構；

（2）驗證由流圖計算的系統(tǒng)函數(shù)正確與否。數(shù)字濾波器的運算結構對濾波器的實現(xiàn)具有非常重要的意義，尤其是對于一些定點運算的處理器，網(wǎng)絡結構的不同將會影響濾波器系統(tǒng)的精度、誤差、穩(wěn)定性、經(jīng)濟性以及運算速度等重要性能。對于無限長單位沖激響應(IIR)數(shù)字濾波器和有限長單位沖激響應(FIR)數(shù)字濾波器，它們在結構上各有特點，下面將分別加以討論。*§6-2IIR濾波器的結構IIR濾波器的特點

1、單位沖激響應h(n)是無限長的。

2、系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限Z平面0<|z|<∞

上有極點存在。

3、結構上是遞歸型的，即存在輸出到輸入的反饋。*

（2）差分方程（N階）

（1）系統(tǒng)函數(shù)6.2.1.直接I型先看一個2階系統(tǒng)的結構*二階濾波器系統(tǒng)的結構例2設差分方程為：試設計直接I型濾波器。解：*該網(wǎng)絡結構的特點第一部分(綠框)實現(xiàn)零點，即實現(xiàn)x(n)加權延時:第二個部分(黃框)實現(xiàn)極點，即實現(xiàn)y(n)加權延時:可見，第二部分是輸出延時，即反饋網(wǎng)絡。*共需2+2=4個存儲延時單元。*陳天華·北京工商大學·人工智能學院解：按差分方程可以得出結構如下：例3設計直接I型濾波器。*該網(wǎng)絡運算特點左邊網(wǎng)絡實現(xiàn)零點，即實現(xiàn)x(n)加權延時:右邊網(wǎng)絡實現(xiàn)極點，即實現(xiàn)y(n)加權延時:可見，左邊網(wǎng)絡是輸出延時，即反饋網(wǎng)絡。*濾波器共需M+N個存儲延時單元。*(1)濾波器共需M+N個存儲延時單元。直接I型結構特點(2)系數(shù)ai、bi對濾波器性能的影響不直接，調(diào)整不方便，對極點和零點進行精確控制的難度大，任一ai、bi的改變將影響系統(tǒng)函數(shù)全部零點或極點的分布。（3）對字長變化敏感，即對ai、bi的準確度要求嚴格。（4）若系統(tǒng)有靠近單位圓附近的極點，系數(shù)ai的波動容易造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。若濾波器的階數(shù)越高，則對上述各項的影響越大。例4再回顧例2：對系統(tǒng)結構進行調(diào)整.兩部分調(diào)換位置關系紅色框部分和綠框部分交換位置又是一種新的結構,這就是直接II型結構*6.2.2直接II型直接I型*又稱為正準型直接II型*(1)僅需N個存儲延時單元，節(jié)約了M個延時單元。直接II型結構特點(2)與直接I型類似，零點和極點的控制難度大。即使單一系數(shù)ai誤差，將影響所有極點分布；同理，任一系數(shù)bi的改變將影響系統(tǒng)函數(shù)全部零點的分布。（3）對字長變化敏感，即對ai、bi的準確度要求嚴格。（4）若系統(tǒng)有靠近單位圓附近的極點，系數(shù)ai的波動易造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。而且濾波器的階數(shù)越高，上述影響越大。避免缺點的方法：IIR濾波器很少采用上述兩種結構實現(xiàn)高階系統(tǒng)，而是將高階濾波器系統(tǒng)分解為一系列低階系統(tǒng)（一階或二階）的級聯(lián)或并聯(lián)來實現(xiàn)。*6.2.3級聯(lián)型結構什么是級聯(lián)？級聯(lián)型結構：高階數(shù)字濾波器以二級和一階子系統(tǒng)的方式串聯(lián)為大系統(tǒng).級聯(lián)實質(zhì)上就是電路系統(tǒng)的串聯(lián).數(shù)字濾波器的級聯(lián)型結構是指將系統(tǒng)函數(shù)分解為乘積形式，每一個乘積項成為一個獨立子系統(tǒng)，全部子系統(tǒng)以串聯(lián)形式連接，因此，級聯(lián)型結構又稱為串聯(lián)型結構。*陳天華·北京工商大學·人工智能學院先分析一個典型的2階系統(tǒng)例5b0=1b1=3b2=2a1=1.6b2=-0.64解：6.2.3級聯(lián)型結構*陳天華·北京工商大學·人工智能學院二階基本節(jié)1.級聯(lián)型結構的二階基本節(jié)2.什么是一階基本節(jié)？一階基本節(jié)二次系數(shù)為06.2.3級聯(lián)型結構*高階數(shù)字系統(tǒng)例6如何級聯(lián)？解：6.2.3級聯(lián)型結構*例題6回顧總結例63階系統(tǒng)分解為：2階系統(tǒng)與1階系統(tǒng)級聯(lián)高階系統(tǒng)級聯(lián)總結：4階系統(tǒng)分解為：2階系統(tǒng)與2階系統(tǒng)級聯(lián)……以此類推6.2.3級聯(lián)型結構*對于高階系統(tǒng),先將系統(tǒng)函數(shù)按零、極點進行因式分解pi,，gi為實數(shù)；hi，hi*，qi，qi*共軛復數(shù)M=M1+2M2，N=N1+2N2

*

再將共軛因子展開，構成實系數(shù)二階因子，則得

將兩個一階因子組合成二階因子，則有：H(z)級聯(lián)的各二階子網(wǎng)絡稱為二階基本節(jié).當N或M為奇數(shù)時，則有一個子網(wǎng)絡的二次項系數(shù)為0，這時二階基本節(jié)簡化為一階基本節(jié).二階基本節(jié)的網(wǎng)絡結構見下頁例題當M=N=2，二階系統(tǒng)通式例7分子分母均為二階時,系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構即為二階基本節(jié),結構圖如下:解:當分子分母均為一階時,二階基本節(jié)演變?yōu)橐浑A基本節(jié),結構圖如右下.IIR系統(tǒng)二階基本節(jié)IIR系統(tǒng)一階基本節(jié)

設系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下試畫出級聯(lián)型網(wǎng)絡結構解:

將H(z)的分子、分母進行因式分解，得到：例8*當（M=N=4）時,四階系統(tǒng)例9*當（M=N=6）時,六階系統(tǒng)系統(tǒng)結構圖由三部分級聯(lián)組成例10級聯(lián)型結構的優(yōu)點：(2)β1k，β2k僅影響第k對零點。α1k，α2k僅影響第k對極點，便于調(diào)節(jié)濾波器的頻率特性。（1）濾波器系統(tǒng)的零、極點調(diào)整方便，可對每一個二階基本節(jié)進行單獨調(diào)整，若調(diào)整（3）各二階基本節(jié)的搭配可根據(jù)零極點調(diào)整的需要調(diào)整位置，合理的組合可以降低運算誤差；（3）系統(tǒng)實現(xiàn)簡單，采用一個二階基本節(jié)，通過調(diào)整其系數(shù)就可實現(xiàn)整個系統(tǒng)；**如果有奇數(shù)個實零點，則有一個β2k=0如果有奇數(shù)個實極點，則有一個α2k=0注意：N=M=5時IIR數(shù)字濾波器的級聯(lián)型結構*將H(z)展開為部分分式形式:H(z)=H1(z)+H2(z)+H3(z)+…+Hk(z)6.2.4并聯(lián)型結構*將H(z)展為部分分式M≥N時，才會出現(xiàn)最后一項。6.2.4并聯(lián)型結構*

當M=N時，將兩個一階實極點合為一項，將共軛極點化成實系數(shù)二階多項式，H(z)可表為當N為奇數(shù)時，包含一個一階節(jié)，即α2k=0β1k=0*組成并聯(lián)型系統(tǒng)的子系統(tǒng)為：并聯(lián)型結構的二階基本節(jié)分母為一階時：一階基本節(jié)*分子分母均為3階的系統(tǒng)結構形式3階系統(tǒng)函數(shù)的部分分式如下例11=H1(z)+H2(z)+H3(z)*結構圖如下：解:*H1H3H2

求例題8的并聯(lián)型結構.解

將例8中H(z)展成求和(部分分式)形式：于是，可得其并聯(lián)型網(wǎng)絡結構如下：例12*M=N=3，三階一般系統(tǒng)的并聯(lián)結構形式例13=H1(z)+H2(z)+H3(z)*其結構圖如下：請大家根據(jù)IIR級聯(lián)型的子系統(tǒng)給出一階基本節(jié)和二階基本節(jié)的系數(shù)并聯(lián)型結構的優(yōu)點：1)可單獨調(diào)整濾波器極點的位置；2)實現(xiàn)簡單，僅需一個通用二階基本節(jié)，通過改變基本節(jié)的系數(shù)即可完成濾波器結構設計；3)并聯(lián)型結構可同時對輸入進行運算，因而比直接型和級聯(lián)型運算速度快；4)各子系統(tǒng)的誤差互不影響，濾波器總的誤差最小，對字長要求低。并聯(lián)型結構的缺點：二階子系統(tǒng)的零點并不是整個系統(tǒng)函數(shù)的零點，因此，并聯(lián)型結構不能直接調(diào)整濾波器系統(tǒng)的零點。當需要準確的傳輸零點時，一般不采用并聯(lián)型結構而采用級聯(lián)型結構。*6-3FIR濾波器的網(wǎng)絡結構(3)非遞歸結構。h(n)為一個N點序列，Z=0處為（N-1）階極點，Z→∞，有（N-1）階零點。FIR數(shù)字濾波器的特點：(1)h(n)僅有限個N值不為零。(2)H(z)在|z>0處收斂，極點全部在Z=0處。*6.3.1直接型（卷積型、橫截型）LSI系統(tǒng)卷積和h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)6-3FIR濾波器的網(wǎng)絡結構*將分解為實系數(shù)二階因子的乘積形式回顧：上一節(jié)學習IIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為:若H(z)分母為常數(shù),則該系統(tǒng)為FIR濾波器6.3.2級聯(lián)型結構

如何將將H(z)分解為實系數(shù)二階因子的乘積呢?注：[N/2]表示取N/2的整數(shù)部分6.3.2級聯(lián)型結構FIR濾波器的級聯(lián)型結構與IIR濾波器的級聯(lián)型結構類似，將系統(tǒng)函數(shù)H(z)分解為若干二階子系統(tǒng)乘積的形式，就實現(xiàn)了級聯(lián)型結構。*1）N為偶數(shù)時，N-1為奇數(shù)，這時因為有奇數(shù)個根，所以α0i各系數(shù)中，有一項的二次項系數(shù)為0。2）N為奇數(shù)時，結構如下：即：類似于IIR系統(tǒng)上述二階系統(tǒng)的具體結構就是FIR系統(tǒng)的二階基本節(jié)。因此，F(xiàn)IR濾波器可用二階基本節(jié)級聯(lián)構成網(wǎng)絡結構，每一個二階基本節(jié)控制系統(tǒng)的一對零點。（1）當N為奇數(shù)時，F(xiàn)IR濾波器的級聯(lián)型結構全部由二階基本節(jié)組成，如下圖所示。（2）當N為偶數(shù)時，F(xiàn)IR濾波器的級聯(lián)型結構中存在一個一階基本節(jié)，此時FIR濾波器的級聯(lián)型結構由若干二階基本節(jié)和一個一階基本節(jié)級聯(lián)而成，如下圖所示。二階基本節(jié)*N為偶數(shù)時(如N=4)系統(tǒng)如下：例14解：設計FIR級聯(lián)系統(tǒng)N為奇數(shù)時(如N=3)，結構如下：例15*對于更一般的情況，系統(tǒng)結構如下：特點：每一節(jié)控制一對零點。所需系數(shù)多，乘法次數(shù)也多。

已知系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下：解（1）將H(z)進行因式分解，級聯(lián)型結構如下：設計H(z)的直接型結構和級聯(lián)型結構。例16*

已知系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下：解（2）數(shù)字濾波器的直接型結構如下：設計H(z)的直接型結構和級聯(lián)型結構。例16*6.3.3線性相位結構稱為：線性相位濾波器條件h(n)=h(N-1-n)偶對稱h(n)=-h(N-1-n)奇對稱線性相位數(shù)字濾波器的應用非常廣泛，在數(shù)據(jù)傳輸和圖像處理系統(tǒng)中，通常要求系統(tǒng)具有嚴格的線性相位。與IIR濾波器相比，F(xiàn)IR濾波器的重要特點之一是可設計具有嚴格線性相位的濾波器，但FIR數(shù)字濾波器實現(xiàn)嚴格的線性相位是有條件的,即h(n)滿足偶對稱或奇對稱條件.*解：例17設計線性相位數(shù)字濾波器結構**解：例18設計線性相位數(shù)字濾波器結構*6.3.4頻率抽樣型結構令：1.濾波器結構*頻率抽樣型宏觀結構：由兩部分級聯(lián)組成H1(z):梳狀濾波器；H2(z):并聯(lián)型結構濾波器x(n)y(n)H1(z)H2(z)y1(n)H1(z)x(n)y1(n)*Z-Nx(n)y1(n)y1(n)y(n)H2(z)H1(z):梳狀濾波器H2(z)的具體結構?設計頻率抽樣型結構中的H2(z)的具體結構求和項中的第k項例19H2(z)的表達式如下解:K=0K=1K=N-1例19*2.頻率抽樣型結構的特點優(yōu)點：

（1）頻率抽樣型結構的優(yōu)點是系數(shù)H(k)直接就是濾波器在2kπ/N處的響應，因此，頻率特性的調(diào)整很方便，通過調(diào)整一階網(wǎng)絡的支路增益H(k)就可以有效的調(diào)整頻率特性。（2）濾波器設計易于標準化和模塊化,若不同濾波器h(n)的長度N相同，對于任何頻率響應，其梳狀濾波器部分完全相同，僅各一階子系統(tǒng)的支路系數(shù)H(k)不同。*頻率抽樣型結構的特點

缺點：(1)N個并聯(lián)的一階子系統(tǒng)，其系數(shù)和H(k)都是復數(shù)，計算相對較復雜；（2）系統(tǒng)的穩(wěn)定性差，頻率抽樣型結構的穩(wěn)定性取決于單位圓上的N個零極點對消情況，由于系數(shù)存在量化誤差，可能存在某些諧振器的極點不能與梳狀濾波器的零點相抵消，從而影響濾波器的穩(wěn)定性。*3．頻率抽樣型結構的改進為了改進FIR頻率抽樣型結構在穩(wěn)定性方面存在的缺點，可以對頻率抽樣型結構進行適當?shù)母倪M，主要體現(xiàn)在如下兩點。(1）系統(tǒng)的零極點向單位圓內(nèi)收縮將單位圓上的零極點向單位圓內(nèi)收縮,將極點、零點進行適當?shù)淖儎?，使零極點位于半徑為r<1，但r≈1的圓上，頻率采樣點也修正到半徑為r的圓上，從而解決濾波器系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。經(jīng)過零極點收縮之后，濾波器系統(tǒng)函數(shù)如下：*由于r≈1，因此有代入上式可得：經(jīng)過修正之后，系統(tǒng)函數(shù)的零點為由于零極點收縮之后，全部零極點均在單位圓內(nèi)，即使出現(xiàn)零