數(shù)字信號處理 教案全套 陳天華 第1-9章 數(shù)字信號處理概述 -有限字長效應(yīng)

理工科課程教案教 師 教 案( — 學(xué)年第 學(xué)期)課課程程名編稱：數(shù)字信號處理號： 授課學(xué)時： 48 授課班級： 任課教師： 教學(xué)師職稱： 院： 年 月大學(xué)備課用紙 大學(xué)備課用紙 備 注 課程名稱數(shù)字信號處理授課專業(yè)班級年級課程編號修課人數(shù)課程類型必修課通識基礎(chǔ)課（ ）;專業(yè)基礎(chǔ)課(√);專業(yè)方向課( );實(shí)踐、素質(zhì)教育專項(xiàng)課（ ）選修課專業(yè)選修課（；通識選修課（）授課方式理論課(√)實(shí)踐課( )考核方式考試(√)是否采用多媒體是是否采用雙語否學(xué)時分配課堂講授36學(xué)時；實(shí)踐課12學(xué)時。名稱作者出版社及出版時間教材數(shù)字信號處理陳天華清華大學(xué)出版社2024.10參考書目數(shù)字信號處理授課時間說明此教案配合數(shù)字信號處理課件使用。第2頁 共208頁第第39頁 共208頁數(shù)字信號處理第1章數(shù)字信號處理概述（緒論）二、緒論教學(xué)重點(diǎn)三、緒論教學(xué)難點(diǎn)四、教學(xué)方法和手段板書、講授、演示和多媒體相結(jié)合的教學(xué)方法；觀看一個數(shù)字信號處理的應(yīng)用系統(tǒng)，了解數(shù)字信號處理應(yīng)用的前沿領(lǐng)域。五、緒論教學(xué)內(nèi)容1.1數(shù)字信號處理基本概念信號——帶有信息的隨時間和空間變化的物理量或物理現(xiàn)象。信號是信息的物理表現(xiàn)形式，或者說是傳遞信息的函數(shù)，而信息則是信號的具體內(nèi)容。信號及系統(tǒng)1．信號的分類（1）按變量個數(shù)分類（M（M≥2）（M。（2）按信號周期性分類根據(jù)信號的周期特性可以分為周期信號和非周期信號。（3）根據(jù)信號概率特征分類根據(jù)信號的概率特征，信號可以分為確定信號和隨機(jī)信號。（4）根據(jù)能量特性分類EPEP周期信號和隨機(jī)信號屬于功率信號，而非周期的絕對可積（和）信號屬于能量信號。（5）根據(jù)變量的連續(xù)性分類信號可以分為以下四種情況：①模擬信號：時間和幅值均是連續(xù)的信號。②連續(xù)時間信號：自變量時間是連續(xù)的信號。③④數(shù)字信號：時間是離散的，幅值是量化的信號。2．信號的描述信號的描述方法主要包括數(shù)學(xué)描述和圖像（波形）描述兩種。數(shù)學(xué)描述：指將信號表示為一個或若干個自變量的函數(shù)、數(shù)列或表格的形式。圖像描述：指根據(jù)信號隨自變量變化的函數(shù)關(guān)系，將信號的波形繪出。3.系統(tǒng)信號處理中的系統(tǒng)一般指對各種信號進(jìn)行處理或變換的設(shè)備，即對信號進(jìn)行變換以滿足應(yīng)用需求的各種裝置和設(shè)備都可以稱為信號處理系統(tǒng)。（1）模擬系統(tǒng)：全過程所處理的信號均為模擬信號的系統(tǒng)稱為模擬系統(tǒng)。（2）數(shù)字系統(tǒng)：能處理數(shù)字信號的系統(tǒng)稱為數(shù)字系統(tǒng)。信號處理1、信號：信號是傳遞信息的函數(shù)，是獨(dú)立變量的函數(shù)，這個變量可以是時間、空間位置等，也可以是一維變量和多維變量函數(shù)。2、連續(xù)信號：在某個時間區(qū)間，除有限間斷點(diǎn)之外，在全區(qū)間內(nèi)均有確定值。3、模擬信號：信號在時間上和幅度上均連續(xù)。4、離散信號：時間上不連續(xù)，幅度上連續(xù)。5、數(shù)字信號：幅度是量化的，時間和幅度均不連續(xù)。2 數(shù)字信號處理系統(tǒng)數(shù)字信號處理系統(tǒng)的組成典型的數(shù)字信號處理系統(tǒng)如圖1所示，包括前置預(yù)濾波器、A/D轉(zhuǎn)換器、DSP處理器、D/A轉(zhuǎn)換器和模擬濾波器等部分。圖1 字號理統(tǒng)框圖2a所示，用xt置預(yù)濾波器先對信號xtAD0，T2TT對信號xtxT)1-2(b)所示。（a）輸模擬信號 （b）輸信的樣圖2輸信及樣A/DA/DA/D轉(zhuǎn)x(n)，數(shù)字信號x(n)3(a)x(n)y(n)3(b)所示。字號器輸號x(n) (b)數(shù)信處器出號y(n)圖3數(shù)字信號處理器的輸入與輸出y(n)D/Ay(t)4ya(t)。圖4 輸模信號ya(t)數(shù)字信號處理的實(shí)現(xiàn)數(shù)字信號處理器的實(shí)現(xiàn)既可以采用硬件芯片實(shí)現(xiàn)，也可以采用軟件算法實(shí)現(xiàn)。1．軟件實(shí)現(xiàn)2．硬件實(shí)現(xiàn)硬件實(shí)現(xiàn)方法包括采用數(shù)字硬件組成專用處理機(jī)或采用專用數(shù)字信號處理芯片作為數(shù)字信號處理器兩種形式。（1）專用DSP芯片。（2）通用DSP芯片。1.3數(shù)字信號處理學(xué)科數(shù)字信號處理的研究內(nèi)容由于數(shù)字信號處理在許多領(lǐng)域正得到日益廣泛而深入的應(yīng)用，由于應(yīng)用的不斷普1．時不變離散時間系統(tǒng)分析；2A/DD/A3．（DT4．（T5．信號處理的其他算法，如同態(tài)處理、抽取與內(nèi)插、信號重建等；6．?dāng)?shù)字濾波技術(shù)和自適應(yīng)信號處理；7．功率譜估計及相關(guān)函數(shù)估計等信號估計理論，現(xiàn)代譜分析理論；8．語音與圖信號分析、理解與識別，信號的壓縮等理論；9．現(xiàn)代生物醫(yī)學(xué)信號處理及信號重構(gòu)；10．信號的建模，如AR、MA、ARMA、CAPON、PRONY等模型；11．包括并行信號處理、陣列信號處理等在內(nèi)的高速數(shù)字信號處理技術(shù)及應(yīng)用；12．?dāng)?shù)字信號處理與深度學(xué)習(xí)、人工智能的融合以及信號處理的實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用。數(shù)字信號處理的特點(diǎn)提示分析數(shù)字信號處理的特點(diǎn)應(yīng)與數(shù)字信號處理系統(tǒng)的硬件和算法進(jìn)行關(guān)聯(lián)，強(qiáng)調(diào)在理解的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行關(guān)聯(lián)記憶，任何知識均不可死記硬背。提示分析數(shù)字信號處理的特點(diǎn)應(yīng)與數(shù)字信號處理系統(tǒng)的硬件和算法進(jìn)行關(guān)聯(lián)，強(qiáng)調(diào)在理解的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行關(guān)聯(lián)記憶，任何知識均不可死記硬背。精度高模擬系統(tǒng)的精度由元器件決定，模擬元器件的精度很難達(dá)到0.001以上的精度，而數(shù)字系統(tǒng)字長為10bits就可達(dá)到0.001的精度，，若采用17位字長，則精度可以達(dá)到DFT2、靈活性好3、可靠性高14、可實(shí)現(xiàn)多維信號處理5、缺點(diǎn)（1）一定程度上增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性，處理模擬信號時，需要模擬接口以及比較復(fù)雜的數(shù)字系統(tǒng)。（2）由于受A/D轉(zhuǎn)換的抽樣頻率的限制，頻率范圍受到限制。（3）復(fù)雜數(shù)字系統(tǒng)的功耗可能較大。數(shù)字信號處理系統(tǒng)集成了百萬級甚至更龐大的4 數(shù)字信號處理的應(yīng)用與發(fā)展由于信息技術(shù)和計算數(shù)學(xué)的發(fā)展和成熟，數(shù)字信號處理技術(shù)得到快速發(fā)展和廣泛應(yīng)用。數(shù)字信號處理的應(yīng)用領(lǐng)域信號處理技術(shù)已經(jīng)從最初的國防軍工等少數(shù)尖端領(lǐng)域向現(xiàn)代社會經(jīng)濟(jì)生活的各個領(lǐng)域和方向滲透，主要表現(xiàn)在以下幾個方面。1．通信技術(shù)對于現(xiàn)代通信技術(shù)而言，從3G、4G到5G，幾乎所有通信技術(shù)均與數(shù)字信號處理密不可分。2．語音處理3．圖形圖像處理4．科研與國防軍工5．醫(yī)療與消費(fèi)電子XCT6．儀器儀表與工業(yè)在民用設(shè)施領(lǐng)域，儀器儀表是較早采用數(shù)字信號處理技術(shù)的領(lǐng)域之一，主要包括電力儀器儀表、頻譜分析儀、函數(shù)發(fā)生器、地震信號處理器、瞬態(tài)分析儀、高精密儀器、導(dǎo)航儀、校準(zhǔn)儀器、鎖相環(huán)、模式匹配等。數(shù)字信號處理的發(fā)展方向數(shù)字信號處理的發(fā)展既包括數(shù)字信號處理的算法，也包括信號處理的硬件。由于應(yīng)用的需求，硬件在朝更小面積、更低功耗和更高性能的高集成度解決方案上發(fā)展，DSP芯片業(yè)開始從純粹的DSP芯片供應(yīng)商向廣義的DSP解決方案供應(yīng)商轉(zhuǎn)變。（1）智慧信息處理。（2）網(wǎng)絡(luò)融合。（3）個人信息終端。（4）DSP內(nèi)核結(jié)構(gòu)提升。（5）超高速和超微尺寸。（6）DSP和微處理器的融合（7）定點(diǎn)DSP技術(shù)DSPDSP（8）DSP與可編程器件融合FPGADSPDSPDSPDSPDSP本課程課程章節(jié)安排：數(shù)字信號處理及應(yīng)用概述離散時間信號與系統(tǒng)（ch2）Z變換及序列的傅里葉變換（ch3）離散傅立葉變換DFT（ch4）快速傅立葉變換FFT（ch5）數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(ch6)無限長單位抽樣響應(yīng)（IIR）濾波器(ch7)有限長單位抽樣響應(yīng)（FIR）濾波器(ch8)有限字長效應(yīng)(ch9)第2章離散時間信號與系統(tǒng)一、學(xué)習(xí)要求：一、學(xué)習(xí)要求：分析信號抽樣的工程問題。分析信號抽樣的工程問題。二、本章知識體系三、本章教學(xué)重點(diǎn)S四、本章教學(xué)難點(diǎn)◆連續(xù)時間信號抽樣；◆奈奎斯特抽樣定理。五、教學(xué)方法與手段六、本章教學(xué)內(nèi)容

離散時間信號一、主要常用序列（１）單位抽樣序列(n)1,0,（２）單位階躍序列u(n)1,0,

n0n0n0n0

圖2-1.單位抽樣序列要求熟練掌握6種典型離散時間信號（要求熟練掌握6種典型離散時間信號（。（３）矩形序列R(n)1,N

0nN1n0,nN（４）實(shí)指數(shù)序列

圖2-3.矩形序列x(n)anu(n)（5）復(fù)指數(shù)序列

圖2-4.實(shí)指數(shù)序列（0<a<1）復(fù)指數(shù)序列定義如下：或n)en式中，ω0是復(fù)正弦的數(shù)字域頻率。復(fù)指數(shù)序列可用歐拉公式展開為如下復(fù)數(shù)：en(cosnjsinn)en

cosnsinn0 0 0 0（6）正弦序列正弦型序列定義如下：

A)Aω881.序列的移位設(shè)序列為x(m)，當(dāng)m為正時，則x(n-m)表示依次右移m位；x(n+m)表示依次左移m位。圖2-5 列x(n)左移列x(n+1)y(n)=x1(n)+x2(n)是指同序號n的序列值逐項(xiàng)對應(yīng)相加得一新序列?！纠績尚蛄邢嗉尤鐖D2-6所示。序列x1(n) （b）列x2(n)（c）序列y(n)圖2-6 兩列加f(n)=x(n)y(n)是指同序號(n)的序列值逐項(xiàng)對應(yīng)相乘。x(n)x(-n)n=0x(n)x(n)x(-n)2-7ny(n)x(k)nk

（a）序列x(n)的形 （b）列x(-n)的形圖2-7序列x(n)及翻序列x(-n)表示n以前的所有x(n)的和。前向差分：后向差分：

（；（先右移再減）圖2-8.(a)序列x(n)圖2-8.(b)序列x(n)的前向差分 圖2-98(c)序列x(n)的后向差分圖2-8序列x(n)的差分抽取：x(n) x(mn)，m為正整數(shù)插值：x(n) x(n/m)，m為正整數(shù)尺度變換是指序列的時間尺度變換，又稱為序列自變量坐標(biāo)的比例變換，序列x(n)n的時間尺度變換有兩種形式，分別用x（mn）和x（m

）表示，m為正整數(shù)。x（mn）表示下抽樣運(yùn)算，也稱為下抽樣變換，相當(dāng)于自變量時間軸壓縮了m倍，每m個抽樣值中取一個抽樣值；nmm兩點(diǎn)之間補(bǔ)（m-1）個零值點(diǎn)?！纠啃蛄衳(n)及x(2n)的波形分別如圖2-9所示。圖2-9序列x(n)的及其抽取序列x(2n)提示：意線性卷積計算的設(shè)序列x(n)提示：意線性卷積計算的

*

m

m)卷積和計算分四步：折迭(翻褶)，位移，相乘，相加。2-10（1）翻褶分別繪出序列x(m)和h(m)的波形，h(m)以m＝0的縱軸為對稱軸翻褶成h(－m)。（2）移位將h(－m)移n位得h(n－m)。n為正整數(shù)時，右移n位。當(dāng)n為負(fù)整時，左移n位。（3）相乘再將h(n－m)和x(m)的相同m值的對應(yīng)序列值相乘。（4）相加將以上全部對應(yīng)的點(diǎn)乘積進(jìn)行求和，就是卷積序列y(n)的值。【例】序列卷積運(yùn)算。已知序列x(n)和h(n)如下：1n,

1n3x(n)2,

其它n大學(xué)備課用紙大學(xué)備課用紙 備 注 求兩序列的卷積

h(n)1,0,*。

0n2其它n【解】根據(jù)已知條件可得：3y(n)x(n)*h(n)x(m)h(nm)3m1由序列的定義和卷積計算方法，分區(qū)間計算如下：（1）當(dāng)n＜1時x(m)和h(n－m)相乘，每一點(diǎn)均為零，因此，有y(n)=0， n＜1（2）當(dāng)1≤n≤2時卷積公式乘積項(xiàng)中，x(m)和h(n－m)存在交疊相乘的非零項(xiàng)是從m=1至m=n，因此n有n3y(n)3

1m11n(1n)由此可得

1,2

2 2 2y(2)32（3）當(dāng)3≤n≤5時x(m)h(n－m)m時對mm=1，2，3m。

m)1m 233n1m13n1

m12 2

m)1m 5331m2331

m22 2 2

1332 2（4）當(dāng)n≥6時x(m)和h(－m)之乘積不存在非零值的重疊區(qū)域，因此，可得y(n)=0本例卷積的計算過程圖解如圖2-10所示。大學(xué)備課用紙 大學(xué)備課用紙 備 注 序列x(n) (b)列h(m)(c)n=0（列h(m)褶） (d)n=-1列h(m)移1位(e) n=1（序列h(m)右） (f)圖2-10列x(n)列h(n)之卷積提示：準(zhǔn)確理解序列周期性的定義。連續(xù)時域周期信號，經(jīng)抽樣以后不一定是周期序列，須根據(jù)序列的周期性定義進(jìn)行具體分析，并以連續(xù)正弦信號作為例子進(jìn)行推導(dǎo)，使學(xué)生加深理解序列周期性和連續(xù)時間信號周期性的區(qū)別與聯(lián)系。提示：準(zhǔn)確理解序列周期性的定義。連續(xù)時域周期信號，經(jīng)抽樣以后不一定是周期序列，須根據(jù)序列的周期性定義進(jìn)行具體分析，并以連續(xù)正弦信號作為例子進(jìn)行推導(dǎo)，使學(xué)生加深理解序列周期性和連續(xù)時間信號周期性的區(qū)別與聯(lián)系。x(n)為現(xiàn)在討論正弦序列的周期性。由于則有上式中，若

x(n)sin(n)nN)nN])則有

2m，m為整數(shù))nN]即x(n)=x(n+N)若N為整數(shù)，根據(jù)序列周期性的定義，則正弦序列x(n)sin(n)為周期序列。根據(jù)式（2-20）可得，其周期如下：N2mNω（1）若2為整數(shù)若2

m=1N

即為滿足條件的最小正整數(shù)，這時序列的周期為2

。例如，若/5，則

=10，序列的波形如圖2-11所示。（2）

為既約分?jǐn)?shù)

圖2-11周期N=10的正弦序列若2不是整數(shù)，而是既約分?jǐn)?shù)，則既約分?jǐn)?shù)可表示為如下形式N mN由于 為既分即為互整這序列周期于m

的最小整數(shù)N為

N2m（3）2為無理數(shù)若2為無理數(shù)，則m取任何整數(shù)均不能使N為正整數(shù)，因此，根據(jù)序列周期性定義，這時正弦序列不是周期序列。序列周期性的討論說明，正弦型序列的周期性和連續(xù)正弦信號的周期性是有差異2件就是必須是整數(shù)或者既約分?jǐn)?shù)。四、用單位抽樣序列表示任意序列.m

m)

*x(n)x(n)δ(n)五、序列的能量和功率序列能量用E表示，序列x(n)的能量定義為該序列所有抽樣值之平方和，即信號的功率定義如下

E|mNP 1 |N

)|21mN一、線性系統(tǒng)

線性移不變系統(tǒng)系統(tǒng)實(shí)際上表示對輸入信號的一種運(yùn)算，離散時間系統(tǒng)表示對輸入序列的一種運(yùn)算，如圖2-12所示y(n)=T[x(n)]圖2-12離散時間系統(tǒng)線性系統(tǒng)具有均勻性和迭加性：a1y1(n)a1T[x1(n)]T[a1x1(n)]a2y2(n)a2T[x2(n)]T[a2x2(n)]加權(quán)信號和的響應(yīng)=響應(yīng)的加權(quán)和。先運(yùn)算后系統(tǒng)操作=先系統(tǒng)操作后運(yùn)算。提示：提示：（T（S。x(n)y(n)x(n-m)y(n-m)統(tǒng)，若則

T[x(n)]=y(n)T[x(n-m)]=y(n-m)其中，m為任意整數(shù)。三、單位抽樣響應(yīng)與卷積和圖2-13線性移不變系統(tǒng)四.線性移不變系統(tǒng)的性質(zhì)1.交換律卷積運(yùn)算的結(jié)果與序列的先后順序無關(guān)，即y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)h(n)x(n)y(n)2.根據(jù)卷積的定義可知，卷積運(yùn)算滿足結(jié)合律的運(yùn)算規(guī)律，即x(n)*h1(n)*h2(n)=[x(n)*h1(n)]*h2(n)=x(n)*[h1(n)*h2(n)]=[x(n)*h2(n)]h1(n)3.對加法的分配律根據(jù)卷積的運(yùn)算規(guī)律，卷積運(yùn)算也滿足分配律的運(yùn)算規(guī)律：x(n)*[h1(n)]+h2(n)]=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)五.因果系統(tǒng)y(n)=x(-n)是非因果系統(tǒng)，因n<0的輸出決定n>0時的輸入。線性移不變因果系統(tǒng)的充要條件為h(n)=0，n<0。六.穩(wěn)定系統(tǒng)如果系統(tǒng)在有界輸入激勵下，產(chǎn)生的輸出（BIBO）有界，則稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。即若 M則y(n)Ppn常系數(shù)線性差分方程提示：提示：（）（2）一.表示法與解法mm0k0MNky(nk)m(n)常系數(shù)：a0，a1，…，aN;b0，b1，…，bM 是數(shù)（含n）.階數(shù)：y(n)變量n的最大序號與最小序號之差線性：y(n-k)，x(n-m)各項(xiàng)只有一次冪，不含它們的乘積項(xiàng)。2.解法時域：迭代法，卷積和法;變換域：Z變換法.二.用迭代法求解差分方程1.“松弛”系統(tǒng)的輸出起始狀態(tài)為零的系統(tǒng)稱為松弛”系統(tǒng)。這種系統(tǒng)用的輸出為：y(n)x(n)h(n)因此，已知h(n)就可求出y(n)。2.迭代法（以求h(n)為例）【例】已知常系數(shù)線性差分方程如下y(n)-ay(n-1)=bx(n)系統(tǒng)的初始狀態(tài)（邊界條件）為y(0)=0（1）求該系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)；（2）分析系統(tǒng)的因果特性。解：（1）求單位抽樣響應(yīng)h(n)令x(n)=(n)，則y(n)=h(n)，根據(jù)邊界條件y(0)=0，可得n＞0時y(n)=h(n)=0，n≤0y(n即：

1an＞0時

1a

1)]y(n)=h(n)=0n<0時，單位抽樣響應(yīng)h(n)可用遞推法求解如下：h(0)

10a

1a

h(2)

1a

2b因此，可得

a

anb上式也可表示為

hn

0,a

n0nb,n0h(n)=-anbu(-n-1)（2）系統(tǒng)因果性分析根據(jù)系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)可知h(n)≠0，n<0a

1則系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。注意：需根據(jù)初始條件確定。(2)通常情況下，如果沒有特別說明，本課程所討論的假定：常系數(shù)線性差分方程就代表線性移不變系統(tǒng)，且認(rèn)為是因果系統(tǒng)。三.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)/【例】若系統(tǒng)的差分方程如下:試確定該系統(tǒng)的算法結(jié)構(gòu)。解：對差分方程進(jìn)行移項(xiàng)，可得

1)根據(jù)差分方程，表示該系統(tǒng)需要使用乘法器、加法器和延時單元，設(shè)+×12-14一.抽樣器與抽樣(1)抽樣器(2)抽樣

圖2-14 階分程運(yùn)算構(gòu)圖連續(xù)時間信號的抽樣模信號xt) （）擬號xt) （b）等隔樣沖號 （b）沖函數(shù)列（c）實(shí)抽信號 （c）想樣信號圖2-15信的際樣 圖2-16號理抽樣（）；）；2.實(shí)際抽樣與理想抽樣提示：注意實(shí)際抽樣和理想抽樣數(shù)學(xué)模型及意義。分析連續(xù)時間信號抽樣之后信號頻譜的變化。實(shí)際抽樣：p(t)提示：注意實(shí)際抽樣和理想抽樣數(shù)學(xué)模型及意義。分析連續(xù)時間信號抽樣之后信號頻譜的變化。抽樣器可以認(rèn)為由電子開關(guān)完成，開關(guān)每間隔Ｔ秒快速閉合一次，實(shí)現(xiàn)一次抽樣。若開關(guān)閉合時間為τ秒，則抽樣器的輸出是周期為T，寬度為τ的脈沖串，脈沖的Tp(t)xa(t).一般情況下,τ的持續(xù)時間很短，τ越小，抽樣輸出信號值越接近輸入信號在離散時間點(diǎn)上的瞬時值。理想抽樣：

p(t)T(t)（沖激序列）當(dāng)抽樣器的電開關(guān)閉合時間τ→0時，為理想抽樣。理想抽樣信號的數(shù)學(xué)表示：T

Tt)a為a

mmT)x(t)x(t)(t)由此可得

a a TaxmT)aam根據(jù)沖激函數(shù)的性質(zhì)，(tmT)僅在t=mT時刻不為零，因此有aaxaam)說明：τ=0τ→0τ<<T3.抽樣信號的頻譜(1)頻譜延拓問題：理想抽樣信號的頻譜有何特點(diǎn)？它與連續(xù)時間信號的頻譜有何關(guān)系？1/TsaasX?(j)1X(jjk)aasTk其中樣號譜為連信的里變換顯，數(shù)字角頻率果義 并且將 的變量ω示周用ωs表示，則：

ωs=ΩsT=2π即： 的周為2π。ω數(shù)字角頻率，它是擬頻率對抽樣頻率fs的歸一化提示：注意連續(xù)時間信號經(jīng)抽樣之后頻譜的變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生從混疊現(xiàn)象臨界點(diǎn)發(fā)生的頻譜圖形中，得出抽樣定理的有關(guān)結(jié)論。頻率。數(shù)字角提示：注意連續(xù)時間信號經(jīng)抽樣之后頻譜的變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生從混疊現(xiàn)象臨界點(diǎn)發(fā)生的頻譜圖形中，得出抽樣定理的有關(guān)結(jié)論。（a）原信號頻譜（b）Ωs〉2Ωh時抽樣信號頻譜(2)抽樣定理

（c）Ωs<2Ωh樣號譜生疊現(xiàn)象圖2-17 號理抽后頻示圖抽樣定理。對連續(xù)時間信號進(jìn)行抽樣，若抽樣頻率fs大于等于信號譜的最高頻率fh的22h（sh奎斯特抽樣定理。習(xí)慣上，一般將抽樣頻率的一半，即s/2稱為折疊頻率，即/2/T當(dāng)信號頻譜超過s

/2如果信號xa(t)是實(shí)帶限信號，且最高頻譜不超過s/2，即X

0,

||

s2s2s/2實(shí)際工作中，為避免發(fā)生頻譜混淆，抽樣頻率總是選得比兩倍信號最高頻率h更大些，如s>(2.5~3.5)h。(3)抽樣信號的拉氏變換理抽后信的變在S平上虛期延，即在S平面4、信號的頻域恢復(fù)根據(jù)奈奎斯特抽樣定理，若信號譜的最高頻率小于折疊頻率s/2，則連續(xù)時間信號經(jīng)過抽樣后不會產(chǎn)生頻譜混疊，根據(jù)頻譜之間的關(guān)系,可得 1 XT

X)k2-18Xak=0圖2-18 想通波器低通波器的學(xué)達(dá)如下濾波器的輸出為

T,

s2s2XaXxt219圖2-19 抽信的復(fù)5、信號的時域重建抽信示原續(xù)間號抽樣信號通理低濾波H(j)內(nèi)插公式推導(dǎo)1先討論理想低通濾波器H(j)的單位抽樣響應(yīng)，對理想低通濾波器進(jìn)行傅立葉逆1變換，可得令

T2

/2es/2)則有

)x

st

ta 2 T a通過a yt)

t

[nnT

)d

nT

nT)n mx(mT)

an

Sa T上式是信號重建的抽樣內(nèi)插公式。T（1由xt抽樣值xT與內(nèi)插函數(shù)t的乘積重建連續(xù)信號xt。2-20nT0，即xt等于各xTn（3xt2-21圖2-20 插數(shù)內(nèi)插函數(shù)特點(diǎn)：

圖2-21由內(nèi)插函數(shù)的抽樣值重建原信號在抽樣點(diǎn)nT上，函數(shù)值為1，其余抽樣點(diǎn)上為零。內(nèi)插函數(shù)公式表明若滿足抽樣頻率高于兩倍信號最高頻率，整個連續(xù)信號就可以用它的抽樣值完全代表，而不損失任何信息，這就是奈奎斯特定律?？偨Y(jié)：欲使信號經(jīng)抽樣后能不失真的還原出原信號，抽樣頻率必須大于等于兩倍原信號最高頻率分量。即s2h這就是奈奎斯特取樣定理。s.2第3章 z變換及引用Z變換Z逆變換ZZDFT（DTFT）ZZZZZ二、本章知識體系三、本章教學(xué)重點(diǎn)ZZZZ四、本章教學(xué)難點(diǎn)ZZZ◆頻率響應(yīng)幾何確定法及應(yīng)用。五、教學(xué)方法和手段板書和多媒體相結(jié)合的教學(xué)方法，除例題之外，隨堂解析部分典型習(xí)題；實(shí)驗(yàn)演示加深對基本概念和基本原理的理解；上機(jī)實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步提升對本章知識的掌握程度；安排討論課，引導(dǎo)學(xué)生思考三大變換之關(guān)系，掌握和理解三大變換的內(nèi)在邏輯關(guān)系。六、本章教學(xué)內(nèi)容3-1 引言信號與系統(tǒng)的分析方法有時域、變換域兩種。一.時域分析法二.變換域分析法1.連續(xù)時間信號與系統(tǒng)：信號與系統(tǒng)的頻域分析、復(fù)頻域分析。2.離散時間信號與系統(tǒng)：Z變換，DFT(FFT)。Z變換可將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。3-2 Z變換的定義與收斂域.Hurewicz）1947949~952（.Rgazzn（A.Zadeh）在霍爾維茲的基礎(chǔ)上分別提出和完善了Z變換，使序列和離散系統(tǒng)的分析變得更方便，并極大地簡化了運(yùn)算步驟。提示：要求熟練掌握序列Z提示：要求熟練掌握序列ZZZ握DTFTDFTZ直接推導(dǎo)出DTFT和DFT，Z若序列為x(n)，則冪級數(shù)X(z)x(n)znn稱為序列x(n)的z變換，其中z為變量，也可將z變換簡單表示為二．z變換的收斂域

X(z)Z（3-1）znzzX)CRegnofConegence按照級數(shù)理論，式（3-1）的級數(shù)收斂的充分必要條件是冪級數(shù)滿足絕對可加性，即x(n)znn

M(3-3)zx(n)z四種序列的Z變換收斂域（1）有限長序列（nzXzx(n)zn通過典型序列收斂域的求解進(jìn)一步加深對收斂域的理解，熟悉確定不同序列收斂域的原理和方法。nn1通過典型序列收斂域的求解進(jìn)一步加深對收斂域的理解，熟悉確定不同序列收斂域的原理和方法。收斂域?yàn)?<|z|<∞。由于X(z)有項(xiàng)級之和若和每項(xiàng)界限和有界故z變換的收域決于|z|-n<∞， ≤n≤ 。然在整個（0，∞）都滿以條。0n1，n2n1<0，n2≤0時，zzn1<0，n2>0時，收斂域既不包含原點(diǎn)0，也不包含∞。收斂域的具體情況如下所示。大學(xué)備課用紙大學(xué)備課用紙 備 注 n1n1n1

時，0z時，0z時，0zx(nRx(n)zzZRn（2）右邊序列

55n0

zn

1z1-z1

z1右邊序列是指序列的起點(diǎn)序號為某一有限值，終點(diǎn)序號為無窮大的序列，即當(dāng)nn1時，x(n)有值，n<n1時，x(n)=0，其z變換為 X(z)x(n)znx(n)zn

x(n)znnn1

nn1

n0收斂域?yàn)槭諗堪霃絉x-以外的z平面，即收斂域?yàn)椋篟xz10n≥0有值，n〈0時，x(n)=0。z變換的收斂域包括∞點(diǎn)是因果序列的特征。（3）左邊序列n時，x(n)n>n2時，x(n)=0z0 X(z)x(n)znx(n)znx(n)znn n 左邊序列z變換的收斂域?yàn)?zRx【例】證明左邊序列的收斂域?yàn)椋?zRx證明：若X（z）在|z|=R上收斂，即則在0〈|z|〈R上也必收斂，任選一整數(shù)n1≤0，∴因此，整個級數(shù)在|z|〈R上有即收斂域|z|<Rx+。（4）雙邊序列雙邊序列是指序列的起點(diǎn)序號為負(fù)無窮大，終點(diǎn)序號為正無窮大的序列，x(n)皆有數(shù)值的序列。雙邊序列可以視為一個右邊序列和一個左邊序列之和，即 X(z)x(n)znx(n)znx(n)znn其收斂域?yàn)椋篟xzRx

n0

n如果Rx+>Rx-，則存在公共的收斂區(qū)間。如果Rx+<Rx-，無公共收斂區(qū)間，不收斂。z變換收斂域的特點(diǎn)：x(n)=δ（n）zx（z）z變換表示法：(1)級數(shù)形式；(2)（。3-3 Z逆變換已知X(z)及其收斂域，求序列x(n)的變換稱為z逆變換，常用Z-1[X(z)]表示。ZZx(n)

12jc

X(z)zn1dz,c

,Rx)xz逆變換是一個對X（z）zn-1的圍線積分，圍線C是一條在X（z）收斂域（Rx-，xRx+）以內(nèi)繞原點(diǎn)一周的單圍線。證明：1 Xzznz

1[

mzmznc

2j

cmz(nmm cx- x+設(shè)積分路徑C為半徑等于R的圓周，k=n-m，即z=Rejθ，R<R<R，則x- x+1 zk

eke]

1ak1ej(k]c c cak2

e

k0k0,k為整數(shù)上該式就是柯西積分定理。因此有或Zz?留數(shù)定律法?部分分式法?長除法或冪級數(shù)法k kznRe[X(z)n-1，zX(z)zn-1C{zk k如果zk是單階極點(diǎn)，則有：k；Res[Xz)zn-1，z]＝ｚzk)Xz)zn-1=zzkNk；Re

n1]

1 dm1

z

n1]z

zzi

dzm1 i

zzi大學(xué)備課用紙 大學(xué)備課用紙 備 注 3-4z變換的基本性質(zhì)和定理z3-4z變換的基本性質(zhì)和定理z變換的性質(zhì)具有廣泛的應(yīng)用，z變換常用的性質(zhì)如表3.1所示。表3.1 z變的要質(zhì)序號序列Z變換收斂域1x(n)X(z)RxzRx2h(n)H(z)RhzRh3bH(z)RxRh-]zRxRh]4x(nm)zmX(z)RxzRx5xX*)RxzRx6x(n))Rxz R-1x7xX/z*)Rxz R-1x8anX(z)aRxzRxa9初值定理zzRx10初值定理1)X(z)z zzmax[Rx,1]11nm dmz X(z) dzRxzRx12*X(z)H(z),Rh]z,Rh]13Rex(n)1X*2RxzRx14j1X*2RxzRx15x(n)h(n)1XzHv1c vRxRh-zRxRh16n 1XvH*1vc v*RxRh-zRxRhzZ2.18【例】性質(zhì)8）性質(zhì)11）提示：準(zhǔn)確理解和熟練掌ZZ變換的各性質(zhì)，能從工程上和物理意義上理解相關(guān)性質(zhì)。帕塞瓦爾（Parseval）定理——z變換的重要性質(zhì)之一若H(z)

RxzRhz

RxRh且 RxRh

1

RxRh則

1

XvH*1v *c *

1dvn cX(v)和H*1 v*max[Rh

,1Rx

]v

1]Rx如果X(v)、Y(v)在單位圓上收斂，則選取單位圓為圍線積分途徑，這時v=ejωh(n)

h(n)=h*(n)若X(z)，H(z)均在單位圓上收斂，則圍線c可選為單位圓，即：vej于是，式（3-49）可簡化為：1

n若h(n)=x(n)，則可得到： 2

21 2x(n)n

)帕塞瓦爾定理是能量守恒定理在數(shù)字信號處理領(lǐng)域的表現(xiàn)形式，該定理可以由復(fù)卷積定理導(dǎo)出。序列能量的計算：ZZZ變換和傅立葉變換之關(guān)系，逐一解開三大變換之聯(lián)系。在知識的獲取上，讓學(xué)生嘗試自己種樹自己摘桃。由此可見，序列求能量在時域中計算與頻域中計算是一致的。3-5Z變換，拉氏變換與DFT傅里葉變換之關(guān)系大學(xué)備課用紙大學(xué)備課用紙 備 注 zX(z)

即X))znn連續(xù)時間信號的Laplace變換：x(t)X(s)即X(s)

x(t)estdta a

aFourierx(t)X

(j)即X(j)x(t)ejtdta a一.Z變換與拉氏變換的關(guān)系

a a設(shè)at)?atapaceXs)xtXs)]

ast

a(t)

x(t)(tnT)則Xa)at)et 而 a

an-故

(s)[?t]?testdta a a[nTtnTestdt

anx(nT)est(tnT)dtn

ax(nTenTsx(nTesT)nan

an

(s)L[x?(t)]x(nT)(esT)na a ana序列n的z變?yōu)?X(z)zn，于)xT)，然當(dāng)a

zesT時，nx(n)z|zeX(z|ze

)

X?(s)aZ、Z平面映射關(guān)系）aS平面用直角坐標(biāo)表示為：sZ平面用極坐標(biāo)表示為：zesT因此：

zrejzrejejTreT即：Z的模只與S的實(shí)部相對應(yīng)，Z的相角只與S虛部Ω相對應(yīng)。(1).r與σ的關(guān)系σ=0，即S面虛軸 r=1，即Z面位圓；σ<0，即S左平面 r<1，即Z單圓內(nèi)；σ>0，即S右平面 r>1，即Z單圓。zesTsz3-1圖3-1. s面與z平之與r映射系其中，σ>0，為r>1;σ=0，映為r=1;σ<0，映為r<1。(2).ω與Ω的關(guān)系（ω=ΩT）ω與Ω之映射關(guān)系如圖3-1所示，ω與Ω之映射關(guān)系如表3.2所示。表3.2 ω與Ω映射s復(fù)平面z復(fù)平面Ω=0（s平面實(shí)軸）ω=0（正實(shí)軸）Ω=Ω0（平行于實(shí)軸的直線）ω=Ω0T（輻角為ω=Ω0T射線）Ω由-π/T~π/Tω由-π~π根據(jù)ω=ΩT及表2.2可得出，當(dāng)Ω由-π/T變化到π/T，ω由-π變化到π，如圖3-2所示，s平面上高度為2π/T的水平帶狀區(qū)域映射為z平面的一周，覆蓋整個z復(fù)平面。圖3-2.s平面與z平面之多值映射關(guān)系圖大學(xué)備課用紙 大學(xué)備課用紙 備 注 二.Z變換和傅氏變換的關(guān)系連續(xù)信號經(jīng)理想抽樣后，其頻譜產(chǎn)生周期延拓，即： ?

(1a T

k

X(jk)a T由于傅氏變換是拉氏變換在虛軸s=jΩ的特例，因此有X(z)zejT

X(ejT)X?(j)a即抽樣序列在單位圓上的Z變換，就等于理想抽樣信號傅氏變換。aa考慮到T，則aX(z)zej

X(ej)X?(j)又X?

(j)1a Tk

X(jk)a TX(z)

zej

X(ej)1Tk

X(j2k)a T因此，序列在單位圓上的Z變換為序列的傅氏變換。3-6序列的傅里葉變換及性質(zhì)序列的傅立葉變換一個離散時間非周期信號及其頻譜之間的關(guān)系，可用序列的傅里葉變換來表示：正變換：

)逆變換：

n)] 12

Xeen上式右端的積分區(qū)間可以是（0，2）或其他任何一個周期DTFT帳斂條件為n

x(n)e

n也就是說，若序列x(n)絕對可加，則其傅里葉變換一定存在且連續(xù)；反過來說，序列的傅里葉變換存在且連續(xù)，則序列一定是絕對可加的。x(n)X(ej)DTFTXejw)的傅里葉級數(shù)展開式，而x(n)則是傅里葉級數(shù)的系數(shù)，由DTFT逆變換式確定。大家已經(jīng)知道，序列的傅里葉變換就是序列的z變換在單位圓上的值（當(dāng)序列的z)

ej

1

Xzzn

n1

Xeez1

2DTFT的對稱性共軛對稱序列定義:x(n)xe e滿足該定義的序列稱為共軛對稱序列，一般用xe(n)表示。對實(shí)序列，這一條件成為

xe(n)，即xe(n)為偶對稱序列。共軛反對稱序列定義e ex(n)e e提示：由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的原因，對部分同學(xué)而言，傅里葉變換對稱性的一些結(jié)論具有一定的抽象性，要引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)和幾何的角度同時理解對稱特性。x0(n)就成為x0(n)提示：由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的原因，對部分同學(xué)而言，傅里葉變換對稱性的一些結(jié)論具有一定的抽象性，要引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)和幾何的角度同時理解對稱特性。任一序列x(n)總能表示成一個共軛對稱序列與一個共軛反以稱序列之和（對于實(shí)序：x(n)=xe(n)+x0(n)xe(n)x0(n)xe(n)x0(n)1xe(n)=

[x(n)+x*(-n)]2x0(n)=

1[x(n)-x*(-n)]2很容易看出，這樣得到的xe(n)及x0(n)分別滿足共軛對稱的定義式和共軛反對稱的定義式。同樣，一個序列x(n)的傅里葉變換X(ejω)也可分解成共軛對稱分量與共軛反對稱分量之和：其中：

X(ejω)=Xe(ejω)+X0(ejω)Xe(ejω)=1[X(ejω)+X*(e-jω)]2X0(ejω)=

1[X(ejω)-X*(e-jω)]2Xe(ejω)是共軛對稱的，滿足Xe(ejω)=Xe*(e-jω)，X0(ejω)是共軛反稱的，滿足X0(ejω)=-X0*(e-jω)。與序列共軛對稱性類似。X(ejω)X(ejω)=X(e-jω)X(ejω)X(ejω)=-X(e-jω)由上述定義說明，表3-3一些對稱性質(zhì)（性質(zhì)12到性質(zhì)16，這些性質(zhì)可以直接由zz=ejω。12即，DTFT{Re[x(n)]}=Xe(ejω)性質(zhì)13說明序列虛部乘j后的傅里葉變換等于序列傅里葉變換的共軛反對稱分量即，DTFT{jIm[x(n)]}=X0(ejω)性質(zhì)14和性質(zhì)15則反過來說明序列的共軛對稱和共軛反對稱分量的傅里葉變換分別等于序列傅里葉變換的實(shí)部和j乘虛部，即：DTFT[xe(n)]=Re[X(ejω)]DTFT[X0(ejω)]=jIm[X(ejω)]重要的性質(zhì)是當(dāng)x(n)為序列時的情況。性質(zhì)16說明，如果x(n)是實(shí)序列，則其傅里葉變換X(ejω)滿足共軛對稱性，即X(ejω)=X*(e-jω)由此得出：

Re[X(ejω)]=Re[X(e-jω)]Im[X(ejω)]=-Im[X(e-jω)]所以，實(shí)序列的傅里葉變換的實(shí)部是ω的偶函數(shù)，而虛部是ω的奇函數(shù)。同樣，如果表示成極坐標(biāo)形式，則 X(ejω)=)arg= RXx(n)

X(e-j)，幅度是ω的偶函數(shù)arg[X(ejω)]=—arg[X(e-jω)] ω1718x(n)x(n)jDTFT[xe(n)]=Re[X(ejω)]DTFT[X0(ejω)]=jIm[X(ejω)]1718序列傅立葉變換的性質(zhì)z3-31216DFT的計算可起很大作用，接下來加以討論。表3-3 列傅葉換主性質(zhì)序號序列傅里葉變換性質(zhì)12))3x(nm)e)4xX)5x(n))6xX)7anXej( )a8nx(n)d[X(ej)]jd9e0n)))10*XeHe)11x(n)h(n)1XeHe-2-12Re[x(n)]X)1)Xj]e 213jIm[x(n)]X)1)Xj]o 214xe(n)Re[X(ej)]15xo(n)jIm[X(ej)]16R)X)17帕塞瓦爾定理nhn)1XHn 18帕塞瓦爾公式 2 1 2 )n 2 3-7系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)一、系統(tǒng)函數(shù)1.定義大家知道，用單位抽樣響應(yīng)h(n)可以表示線性移不變離散系統(tǒng)，這時y(n)=x(n)*h(n)z變換則

Y(z)=X(z)H(z)H(z)

Y(z)X(z)H(z)zz變z2.幾種常用系統(tǒng)h(n)H(z)：Rx|Z|≤∞穩(wěn)定系統(tǒng)：單位抽樣響應(yīng)h(n)滿足絕對可和n

h(n)因此，穩(wěn)定系統(tǒng)的H(z)必須在單位圓上收斂，即H(ejω)存在。系統(tǒng)函數(shù)H(z)zH(z)3.差分方程與系統(tǒng)函數(shù)眾所周知，線性移不變離散系統(tǒng)也可用差分方程表示，考慮N階差分方程 aky(nk)kn)z因此：

k0azY(z)kkk0Y(z)

k0bbz mkk0bzkkH(z)

k0 NkX(z)Nk

k0

azk系統(tǒng)函數(shù)分子與分母均為z-1的多項(xiàng)式，因而可以對上式分子分母進(jìn)行因式分解，即Mcm

z1)H(z)K

m1 Nkdkk1

z1)式中，cmdkH(z)K以外，4.系統(tǒng)函數(shù)的收斂域用系統(tǒng)函數(shù)H(z)表示一個系統(tǒng)時，H(z)的收斂域?qū)Υ_定系統(tǒng)性質(zhì)很重要。相同的系統(tǒng)函數(shù)，收斂域不同，所代表的系統(tǒng)可能完全不同。【例】已知系統(tǒng)函數(shù)如下：求單位抽樣響應(yīng)并分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。大學(xué)備課用紙 大學(xué)備課用紙 備 注 解：H(z)有兩個極點(diǎn)，z1=0.5，z2=10。收斂域包括∞點(diǎn)，因而系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，由于收斂域不包括單位圓，因此，該系統(tǒng)不穩(wěn)?！纠肯到y(tǒng)函數(shù)與上例系統(tǒng)，但收斂域不同求單位抽樣響應(yīng)并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解: 據(jù)統(tǒng)數(shù)知，斂包單圓但不括點(diǎn)有環(huán)，系穩(wěn)定，且非果統(tǒng)。用留數(shù)定理求H(z)的逆變換:注意到極點(diǎn)z2=10在積分圍線之外，并考慮到n<0時，有一個n階極點(diǎn)z=0，由此可得即h(n)二、系統(tǒng)頻響的幾何確定法頻率響應(yīng)的幾何確定法，涉及的基本概念和原理是頻率響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)，其關(guān)鍵知識點(diǎn)是向量和代數(shù)知識。先補(bǔ)充相關(guān)代數(shù)和向量知識，可以降低學(xué)習(xí)頻率響應(yīng)幾何確定方法的難度。如前所述，可以用極點(diǎn)和零點(diǎn)表示系統(tǒng)函數(shù)，并可以根據(jù)零極點(diǎn)信息采用幾何方法求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。頻率響應(yīng)的幾何確定法，涉及的基本概念和原理是頻率響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)，其關(guān)鍵知識點(diǎn)是向量和代數(shù)知識。先補(bǔ)充相關(guān)代數(shù)和向量知識，可以降低學(xué)習(xí)頻率響應(yīng)幾何確定方法的難度。一個N階的系統(tǒng)函數(shù)可用它的零極點(diǎn)表示為第48頁 共208頁第第49頁 共208頁MMcm

z1)

MM

cm)kH(z)k

m1 N

kzNM

m1 Nk系統(tǒng)的頻響為:k

dk1

z1)

k1

dk)Mmce-j)Mm

MM

cm)N)kN

m1

kej(NM

m1 NdNk1

-je)ke)

k1

dk)mcmdkcmdk表示；ej單位圓上ej點(diǎn)的向量，用Cm

cm

則是由零點(diǎn)cm指向ej

cm

Cmej

dkdkejω點(diǎn)的向量，用Dkej

dk

Dkjm m m設(shè)Cm矢量為Cmemm m mDk矢量為Dk

ek

，其模為k，相角為kk則幅值響應(yīng)可簡化為k于是 |kM

MMmNm1 Nkk1N

k]mm1

kk1

MKarg[K](N-M)ω。ej(NM0~2πejej|)|（1）單位圓附近的零點(diǎn)位置將對幅值響應(yīng)|H(ej)|的谷點(diǎn)（極小值）的深度和位置產(chǎn)生顯著影響，若零點(diǎn)在單位圓上，則|H(ej)|的最小值為零，即為傳輸零點(diǎn)。（2）在單位圓內(nèi)且靠近單位圓的極點(diǎn)對幅值響應(yīng)|H(ej)|峰值的大小和位置具有顯著影響。（3）若系統(tǒng)的極點(diǎn)在單位圓外，則系統(tǒng)不穩(wěn)定；系統(tǒng)的零點(diǎn)可在單位圓外，對系統(tǒng)穩(wěn)定無影響。（4）根據(jù)零極點(diǎn)位置對頻率響應(yīng)產(chǎn)生的影響進(jìn)行分析，適當(dāng)?shù)乜刂葡到y(tǒng)零極點(diǎn)分布，能較好的改善數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，以達(dá)到設(shè)計目標(biāo)?！纠壳笃漕l率響應(yīng)特性。已知系統(tǒng)的差分方程如下：N1

aMN

1)aknk0

k)（1）給出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖；（2）繪出系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖；（3）求系統(tǒng)的單位抽樣h(n)；（4）求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，并根據(jù)頻率響應(yīng)的幾何確定法分析幅值響應(yīng)的峰值和谷點(diǎn)。解：（1）求系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖根據(jù)系統(tǒng)差分方程，可得系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3-3所示。（2）系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖根據(jù)已知條件，對差分方程進(jìn)行z變換，可求得系統(tǒng)函數(shù)為H(z)

N1akzk

1aNzN1

zNN1

aN

z0k0可得系統(tǒng)的零點(diǎn)方程為：

1

z

a)zNaN0可得N個零點(diǎn)分別為：j2iziaeN i1aa>0Nz=aN（N-1）個零點(diǎn)如下：j2iziae

N，i

1,2,,N1根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達(dá)式，該系統(tǒng)在z=0處有（N-1）階級點(diǎn)。由此可得系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布如圖3-4（a）所示。（3）單位抽樣h(n)若輸入為單位抽樣信號，即：x(n)(n)（N-1）h(n)N

an,

0nN10,

其他n（Nh(n)h(n)3-4（b）（4）求頻率響應(yīng)若取N=，0a134（d）所示。根據(jù)系統(tǒng)零極點(diǎn)位置和系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幾何確定方法，該系統(tǒng)的幅值響應(yīng)|)|ω=0|)|3-4（d）所示。圖3-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 （a）系統(tǒng)零級點(diǎn)分布 （b）系統(tǒng)單位抽樣應(yīng)（c）系統(tǒng)幅響應(yīng) （d）系統(tǒng)相位響應(yīng)圖3-4橫向?yàn)V波器的結(jié)構(gòu)與特性第4章離散傅里葉變換DFSDFTDFTDFSDFTDFTDFT二、本章知識體系三、本章教學(xué)重點(diǎn)DFTDT）DS級數(shù)；DFSDFTDFT①理論價值②工程意義(醫(yī)學(xué)CT、核磁共振等)DFT混疊效應(yīng)；頻譜泄露；柵欄效應(yīng)；頻率分辨率四、本章教學(xué)難點(diǎn)（DFT）DFT（DTFT導(dǎo)入法、序列Z變換導(dǎo)入法及兩種方法的內(nèi)在聯(lián)系）DFSDFT五、教學(xué)方法與手段板書和多媒體相結(jié)合的教學(xué)方法，除例題之外，隨堂解析部分典型習(xí)題；本章是建立數(shù)字信號處理基本原理分析方法的重要章節(jié)，適當(dāng)增加習(xí)題課，增加例題習(xí)題與實(shí)驗(yàn)的貫通分析和研討；實(shí)驗(yàn)演示和討論，加深對DFT概念和原理的理解；安排研討課，引導(dǎo)學(xué)生思考Z變換、DTFT和DFT內(nèi)在邏輯關(guān)系。六、本章教學(xué)內(nèi)容4-1引言1、DFT是重要的變換(3)在運(yùn)算方法上起核心作用，譜分析、卷積、相關(guān)都可以通過DFT在計算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。2、DFT是現(xiàn)代信號處理橋梁DFT要解決兩個問題：一是離散與量化。二是快速運(yùn)算。1、連續(xù)傅里葉變換正變換：

4.2傅里葉變換的四種形式1逆變換：1

x(t)

這一變換對的原理示意圖如圖4-1所示，根據(jù)信號與系統(tǒng)的知識可得出：大學(xué)備課用紙 大學(xué)備課用紙 備 注 （1）時域連續(xù)造成頻譜是非周期的；（2）時域的非周期則造成頻域是連續(xù)的譜。圖4-1 連非期號譜2、周期連續(xù)時間、離散頻率的傅里葉變換傅里葉級數(shù)正變換：逆變換：

)1T01T

T0/2/2

tet

etk式中，k為諧波序號，X(jk0

)為非周期離散頻率函數(shù)，0

2，表示離散T0頻譜相鄰兩譜線之間的角頻率間隔。傅立葉級數(shù)變換對的原理示意圖如圖4-2所示，可以得出：（1）時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的頻譜函數(shù)；（2）頻域的離散頻譜則對應(yīng)時域?yàn)橹芷诤瘮?shù)，即頻域抽樣，時域周期延拓。圖4-2連續(xù)周期信號及其頻譜第55頁 共208頁第第100頁 共208頁3逆變換：

)

jnn 12

Xeen式中ω為數(shù)字頻率，它與模擬角頻率Ω的關(guān)系為：1T1由于fs

T，s

2T，故DTFT又可以表示為如下形式：正變換：逆變換：

X(e)x(nT)en1s129)22離散時間信號的傅里葉變換示意圖如圖4-3所示，可以得出：（1）時域離散造成頻域的周期延拓；（2）時域非周期對應(yīng)于頻域的連續(xù)。圖4-3離散非周期信號及其頻譜4、離散時間、離散頻率的傅里葉變換DFT正變換：反變換：

N1X(k) n0

jnkN大學(xué)備課用紙大學(xué)備課用紙 備 注

1N1Nn0

jkN

j2nkNDFT變換形式，其時域和頻域都是離散的和周期的，如圖4-4所示。圖4-4離散周期時域信號及其頻譜圖中，fsf0

s0

T0NT結(jié)論:表4-1四種形式傅里葉變換的時域頻域?qū)?yīng)關(guān)系時間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)、非周期非周期、連續(xù)連續(xù)、周期非周期、離散離散、非周期周期、連續(xù)離散、周期周期、離散DFTDFT列DFS的基本公式；作為鋪路的基礎(chǔ)，先點(diǎn)出時域和頻域離散化處理中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題和方法，然后學(xué)生開始討論和交流，并自己從上一章的DTFTDFTDFSzLSI(DFT)。DFD1.（DFS）用 表示期為N的期序，即，kN大學(xué)備課用紙 大學(xué)備課用紙 備 注 數(shù)本也一期序，為N（數(shù) 的解）說明：Zn=-zzzN周期為N的正弦序列其基頻成分為：K次諧波序列為：N因此k=0到(N-1NNN周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)變換對：DFS（DFS）

N1

j

NN1N

N

逆變換（IDFS）j2

n01N

N1kek0

jN

n01N

N1Nk0其中，WNe

N，又稱為旋轉(zhuǎn)因子。DFS表示離散傅里葉級數(shù)正變換，IDFS表示離散傅里葉級數(shù)逆變換。對于DFS，N以kN1DSW01DS正變N換的N個等式，這個N等式可以表示為如下矩陣形式：~

1 1 1 2

1N1

) X(1)

WN WN WN

) 提示：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)DFS的公式自己寫出矩陣表達(dá)式。提示：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)DFS的公式自己寫出矩陣表達(dá)式。

W2 W4

W(N))

N N N

~

N1

1)

N2N

1)XN

1

WN WN

WN

n

N

1DFS

1 1 1 2

1 1)~ x~(1)

1

WN WN WN

W2 W4 W1) N

N N N

22x~(N

1)

1)

1) ~

WN WN

WN

XN

1)DFS2.DFS的主要特性假設(shè) 都周為N的周期列各的散里葉數(shù)：1)線性特性提示：引導(dǎo)學(xué)生思考DFSzDFSz~n)~n~k)提示：引導(dǎo)學(xué)生思考DFSzDFSz1 2 1 2及N及N【例】移位序列的證明因?yàn)橥瑯涌勺C明：3）周期卷積若

(k)1 則有N1

N1

mnm0

m)

mnm0

m)證明：該式為周期卷積的計算公式，它與非周期序列的線性卷積的不同之處如下：（1）m和nN，故周期卷積的結(jié)果nN（2）周期卷積的求和只在一個周期上進(jìn)行，線性卷積的計算是在整個序列的長度區(qū)間進(jìn)行。DFSIDFS若時域序列n和nNn)則有

nn)大學(xué)備課用紙大學(xué)備課用紙 備 注 N1Y~

1

N1~ ~(k)

n]

n0

nWN

Nm0N

XmXk

m)1N11

m

kmNm0

))4-4離散傅里葉變換（DFT）NNDFS1.離散傅里葉變換周期序列的主值區(qū)間和主值序列。有限長序列x(n)如下

n

0nN10,

其他n設(shè)假周序列 ，是由N點(diǎn)列x(n)周為N拓而，此得：n)

kkN)一般將n=~N1n稱為周期序列n主值序列表示n對N求余數(shù)或求模值，根據(jù)余數(shù)的計算方法可知，x((n))N的數(shù)值是以N為周期重復(fù)出現(xiàn)的。通過引入求余數(shù)的符號，則上式又可以表示為n)nN例】 是周為N=8的序求n=11和n=-2對N余數(shù)因此可得的主值區(qū)間和主值序列：周期列 的散里葉數(shù) 也是個期列可給定一主值區(qū)間0≤k≤N-1和主值序列X(k)。

XkNk)kRNk)有限長序列離散傅里葉變換。DFSIDFSx(n)X(k)NX(k)Nx(n)X(k)x(n)X(k)X(k)也能x(n)。2．DFT的矩陣形式提示：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)DFT的公式結(jié)合線性代數(shù)知識，自己寫出DFT的矩陣形式。與DFS一樣，有限長序列的提示：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)DFT的公式結(jié)合線性代數(shù)知識，自己寫出DFT的矩陣形式。X(0)

1 1 1 2

1N1

X(1)

WN WN WN

X(2)

W2 W4

W1)

N N N

X(N

N1

1)

1) 1

WN WN

WN

同理，IDFT的矩陣形式如下：

1 1 1 2

1 1) x(1)

1

WN WN WN

W2 W4 W1) N

N N N

x(N

(N1)2(N1)

N2XN【例】

1

WN WN

WN 已知N=4的有限長序列x(n)的值如下：求序列x(n)的DFT變換。

R4(n)解：由已知條件可知，序列長度N=4，由此可得j2W4e 4 將N=4代入DFT正變換公式（4-34）可得X(k)

N1n0

34n0

以k=0，1，2，3代入DFT公式，可得：

N14n04N14

33x(n)4n03

n1n04N14

x(n)(j)n0n03

n2n0n34n0

x(n)(j)2n0n033x(n)(j)3n0n04.5散傅里葉變換的性質(zhì)DFSDFTDFTzDFS的概念及性質(zhì)具有密切的聯(lián)系。提示：DFTZDTFT提示：DFTZDTFTDFTDTFTZ變換的性質(zhì)密切DFTX(k)=DFT[x(n)]，Y(k)=DFT[y(n)](1)線性性DFT[ax(n)+by(n)]=aX(k)+bY(k) ，a，b(2)圓周移位序列圓周移位特性是指有限長序列x(n)經(jīng)過周期延拓、移位并取主值序列之后，其DFT的運(yùn)算特性，圓周移位又稱為循環(huán)移位。圓周移位的概念?周期延拓nx()?移位

n)

x((n))Nx()mx((n

m?取主值序列

n

m)

mN對移位以后的周期序列x~(nm)取其主值序列，即：x((nN序列圓周移位后的DFT為：N

mNRNn)DFT[x((n【例】試證明圓周移位特征

RN

WX(k)證：利用周期序列的移位特性：利用同樣，對于頻域有限長序列X(k)的圓周移位，有如下結(jié)論N(3)圓周卷積N

RN

W設(shè)x(n)和h(n)均為N點(diǎn)有限長序列，則

N1m0

m(n

) n)NNRN1xmh

nm nm0

()(

NRN()稱為序列n和n圓周卷積循環(huán)卷積ccuarconouo。圓周卷積的運(yùn)算符號一般用符號表示。

N1m0

m)) (n)NNRN這一卷積過程與周期卷積是一樣的，只是在這里只取主值區(qū)間進(jìn)行計算。頻域圓周卷積若 則有

x(n)h(n)Yk

DFT

n

11XlH

kl k() ()

Nl0

()((

RN()11HlX

kl kNl0

()((

RN()1)H(k)N所以，離散時間序列（或離散傅立葉變換）的圓周卷積與離散傅立葉變換（或離散時間序列）(4)有限長序列的線性卷積與圓周卷積（圓周卷積的應(yīng)用）當(dāng)圓周卷積的點(diǎn)數(shù)不小于線性卷積的點(diǎn)數(shù)時，圓周卷積可以代替線性卷積的結(jié)果。問題：x(n)h(n)，其輸y(n)x(n)*h(n)FFTDFTL≥N+M-1。(5)共軛對稱性圓周共軛對稱性質(zhì)（1）有限長序列共軛對稱特性設(shè)x(n)為N點(diǎn)有限長序列，且有X(k)j則有NNXRNN

X

kNRN

(k)【例】有限長序列共軛對稱特性的證明證：根據(jù)DFT的定義有：N1

N1 * N N

xnWk

nkNn0N

n0 NN1 *NNNXR(k)NNN

(Nk

（W

1）Xk))RN （2）翻轉(zhuǎn)與共軛特性

n0 (k)NNRXNN大學(xué)備課用紙 大學(xué)備課用紙 備 注 （3）實(shí)部特性1))2 N（4）虛部特性

X

kN)X

)DFT1))

-X

k)))X

)2 N【例】實(shí)部特性的證明證：

N N 因?yàn)?因此

1x2

121)X2

kR

N)]1))Xk))

)2 N N NXep(k)epNDFTDFTepNXep

(k)X*(Nk)

RN(k)DFT形式下的Paseval定理顯然，當(dāng)y(n)=x(n)時，即為有限長序列的能量復(fù)序列的實(shí)部與虛部的DFT變換：以xr(n)和xi(n)表示序列x(n)的實(shí)部與虛部，則然， Xe(k)具有共軛偶對稱特性，稱Xe(k)為X(k)的共軛偶對稱分量。分別以xe（n）及x0（n）表示序列x(n)的圓周共軛對稱與圓周共軛反對稱分量：（N0）x（(6)選頻性zNDTet（meT。若0

/Nj2mnx(n）eNDFT

kDFTNNDFTＮDFTZ當(dāng)z=w-k時，N即NzNkX(kzK結(jié)論：DFT【例】時域序列末端補(bǔ)零點(diǎn)，其頻譜影響分析。已知有限長序列x(n)如下：大學(xué)備課用紙大學(xué)備課用紙 備 注 RN（1n的TT，即Xe；（2）在序列末端補(bǔ)不同長度的零值點(diǎn)，計算補(bǔ)零點(diǎn)之后x(n)的DFT，并分析補(bǔ)零值點(diǎn)對頻譜的影響。解：%Matlab程序如下：clc;clearall;closeallx=[ones(1,4)];X4=fft(x,4); x(n)4DFTX8=fft(x,8); %補(bǔ)1的0值，算x(n)的8點(diǎn)DFTX16=fft(x,16); %補(bǔ)3的0值，算x(n)的16點(diǎn)DFTX32=fft(x,32); %補(bǔ)7的0值，算x(n)的32點(diǎn)DFTXk=fft(x,512);W=[0:1:511]*2*pi/512;subplot(2,2,1);plot(W/pi,abs(Xk));title('(a)|X(ejω)|ofx(n)');xlabel('ω/pi');ylabel('|X(ejω)|');subplot(2,2,2);mstem(X4);title('(b)4點(diǎn)DFTofx(n)');xlabel('ω/pi');ylabel('|X(k)|');subplot(2,2,3);mstem(X8);title('(c)8點(diǎn)DFTofx(n)');xlabel('ω/pi');ylabel(‘|X(k)|');subplot(2,2,4);mstem(X32);title('(d)32點(diǎn)DFTofx(n)');xlabel('ω/pi');ylabel('|X(k)|');mstemstemX(k)functionmstem(Xk)N=length(Xk);k=0:N-1;wk=2*k/N; %生N頻值stem(wk,abs(Xk),'.');boxon %制N點(diǎn)DFT的特性圖xlabel('ω/pi');ylabel(''|X(k)');axis([0,2,0,1.2*max(abs(Xk))])45（n的DTT，頻譜Xe（bn的4點(diǎn)DT4（）Xe在001π（n1補(bǔ)4x(n)DFTz，即在Xe大學(xué)備課用紙 大學(xué)備課用紙 備 注 x(n)7x(n)DFTXe78倍。ofx(n)42DFTofx(n)|X(k)|4|X(k)|200 0.5 1 1.5 2ω/piDFTofx(n)|X(k)|4|X(k)|21.52ω/piω/pi01.52ω/piω/pi0 0.5 1 1.5 2

00 0.5 1 1.5 2ω/piDFTofx(n)|X(k)|4|X(k)|200 0.5 1圖4-5 序末補(bǔ)同數(shù)點(diǎn)的譜4-5頻域抽樣X(k)x()X(k)

x()zN設(shè)x(n)為絕對可加的非周期序列，其z變換為X(z)x(n)znn8x(n)zN~ nkzWX(k)X(z) kzW

(Nn~x(n)?X(kx()。x()

~ 1~

nkN IDFSX(k)

X(n)WNNn可得x()1N1NN

nk

()1N1W(mn)kNk0m

NWN

m

N

N k0由于：

1N1N

(mnN

niNWk0W所以

0,其他m(n)

iiN)~X(k)

x()N（1）若x(n)不是有限長序列，則時域周期延拓后，必然造成混疊現(xiàn)象，就會產(chǎn)生誤差。當(dāng)n增加信號衰減得越快，則誤差越小。（2）x(n)MN<M時，x(n)Nx()xn。（3）對于M點(diǎn)的有限長序列，頻域抽樣不失真的條件是頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N不小于M點(diǎn)，即N≥MxN

()xN

(n)RN

(n)x(nrN)RN

，N≥Mr（4）點(diǎn)數(shù)為N（或小于N）的有限長序列，可以利用它的z變換在單位圓上的N個均分點(diǎn)上的抽樣值精確地表示。頻域抽樣定理表明了N個頻域抽樣值X(k)能不失真地表達(dá)N點(diǎn)有限長序列x(n)，因NX(k)X（z）以及頻率響應(yīng)。x(n0≤n≤N-1)zN1X(z) x(n)znn0N由于：()1N1X(kWnkNNk0代入x(n)表達(dá)式中，可得X(z)N11N1X(kWnk

1N1X(k)N1WnkznNNN n0Nk0

Nk0 n0 1N1WNkzN 1zNN

X(k) X(k) N NNNk0NN

1Wkz1

N k01Wkz1這就是由N個頻域抽樣值恢復(fù)X(z)的插值公式。N1X(z) X(k)k(z)k0(z)1

1zN其中， k

NN1Wkz1N

稱為插值函數(shù)。4.7DFT計算連續(xù)信號的工程問題DFT對信DFT應(yīng)用DFT計算連續(xù)時間信號頻譜的過程如表4-4所示，首先，對連續(xù)時間信號x(t)進(jìn)行抽樣，得到離散序列x(n)，抽樣應(yīng)避免混疊現(xiàn)象；然后，對序列x(n)進(jìn)行截斷，即x(n)w(n)x(n)w(n)。nDSN頻域周期序列~knN點(diǎn)有限長序列xNn，NN點(diǎn)頻域序列XN。表4-4DFT計算連續(xù)信號過程圖解表過程時域信號變換與工程問題頻譜信號混疊效應(yīng)頻譜泄露設(shè)信號最高頻率為fh按抽樣定，則抽樣頻率應(yīng)滿足fs2fh即fs=(2.5~3.5)fh

T1fs

1fh如果不滿足fs2fh的要求，就會產(chǎn)生頻率響應(yīng)的周期延拓分量互相重疊現(xiàn)象，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。【例】DFT工程應(yīng)用示例。2頻率分辨率≤5HZ信號最高頻率≤5kHZ試確定該頻譜分析儀的相關(guān)參數(shù)：（1）信號的最小記錄時間T0；（2T；（3）在一次觀測應(yīng)記錄的最少點(diǎn)數(shù)N。解：（1）計算信號的最小記錄長度根據(jù)分辨率的定義計算T01fT01f0

15

0.2(s)T0（2）求最大抽樣間隔T

根據(jù)信號的最高頻率確定最大抽樣間隔T，即最小抽樣頻率fs=1/T，根據(jù)抽樣定理fs因此可得最大抽樣間隔T

2fhT 1

125

（3）求最少記錄點(diǎn)數(shù)N最小記錄點(diǎn)數(shù)N應(yīng)滿足N2fhf0

255

2000因此，最小抽樣點(diǎn)數(shù)N應(yīng)取

N211

2048j設(shè)1)表無長號如圖4（其頻為X1e )如圖4（b采用如圖46）N（46（d將1)N，其頻譜為。（a）列（b）列的譜（c）矩序列 （d）矩序頻譜（e）截序列（f）列的譜圖4-6信號截斷時的頻譜泄漏1X(ej拖尾1這可做如下解釋：因?yàn)槿绻白V是δ(ω)函數(shù)，那么時窗就為無窮寬的均勻函數(shù)，1實(shí)際上等于沒有乘窗函數(shù)，則卷積結(jié)果仍得到X(ej)。當(dāng)窗譜有一定寬度，而不是δ1(ω)的情況下，卷積結(jié)果必然造成頻譜泄漏現(xiàn)象。FIR3.柵欄效應(yīng)DFTF0減小柵欄效應(yīng)的一個方法是讓頻域抽樣更密，即增加頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N，在不改變時域數(shù)據(jù)的情況下，必然是在時域序列末端補(bǔ)適當(dāng)?shù)牧阒迭c(diǎn)，使一個周期內(nèi)序列的點(diǎn)數(shù)“增2加并改原錄于域?yàn)?kN增大使單圓樣點(diǎn)N之間的間隔更小，譜線更密，譜線變密相當(dāng)于觀測點(diǎn)更多，抽樣點(diǎn)少的時候觀察不到的頻譜分量就有可能觀察得到了。4.頻率分辨力DFTf sfN

11第5章快速傅里葉變換（FFT）DFT（DIT）的基-2FFT（DIT）的基-2FFT一、學(xué)習(xí)要求FFT一、學(xué)習(xí)要求FFTFFT二、本章知識體系三、本章教學(xué)重點(diǎn)DFTFFTDIT-2FFTDIT2DIF-2FFTDFTFFTDIT-2DIF2◆卷積與線性相關(guān)的快速算法分析。五、教學(xué)方法和手段板書和多媒體相結(jié)合的教學(xué)方法；教學(xué)中注意啟發(fā)學(xué)生思考FFT算法的思維邏輯，通過研討深刻理解FFT快算算法的對稱性；FFT快速算法思維方法的遷移作用，線性卷積快速算法。六、本章教學(xué)內(nèi)容5-1引言快速傅里葉變換（FFT）是計算DFT的一種快速有效方法。提示：DFTFFT提示：DFTFFT（1FT（2）中接觸的快速算（）維方法，再結(jié)合DFTDFT34數(shù)字信號處理中DFT運(yùn)算的用途：（1）在FIR濾波器設(shè)計中，經(jīng)常要由h(n)求H(k)，或從H(k)求h(n)。（2）DFTDFTDFTDFTDFT1965DFTDFTFFTDFT～DFT5-2直接計算DFT的問題及改進(jìn)的途徑設(shè)x(n)為N點(diǎn)有限長序列，其DFT為X(kX(k)x(n)W ,nkN

kN1

（5-1）n0逆變換（IDFT）為NX(k)1N1X(kWN

nN1

（5-2）Nn0二者的僅僅兩點(diǎn)細(xì)微差別：一是WN的指數(shù)符號不同，二是逆變換多一個常數(shù)乘因N1/NDFT正變換（5-1）（5-2）x(n)和WnkX(k)X(k)NNN(x(n)與Wnk相乘)X(k)N（k0取到N1TN2NN1）51NX(k)N1(WnkN1(]j(Wnk]jWnkn0N1

N N Nn0Re[x(n)]Re[Wnk]Im[x(n)]Im[Wnk]N Nn0

（5-3）j(Re[x(n)]Im[Wnk]Im[x(n)]Re[Wnk]N NX(k)4N2（2N-1）DFT4N2N×2（2N-1）=2（2N-1）N上述分析值與實(shí)際需要的運(yùn)算次數(shù)有些出入，因?yàn)槟承￤nk可能是1或j，這時不N需要相乘，如W01,WN/21,WN/4j等特殊值就無需乘法。為了便于比較不同N N NN算法的運(yùn)算量，一般都不考慮上述特殊情況，而是將Wnk都視為復(fù)數(shù)。此外，當(dāng)N很N大時，特殊值乘法的比例很小。DFTN2NN=8時，DFT64N=1024時，DFT1048576N下面討論減少運(yùn)算量的途徑。分析DFT的運(yùn)算結(jié)構(gòu)就可看出，利用系數(shù)Wnk的特N性，也可以一定程度上減小DFT的運(yùn)算量。NWnkN(Wnk)*WnkN NNWnkNWnkW(nN)kWn(kN)N N NNWnkN提示：FFT24DFT思維方法進(jìn)行教學(xué)。Wnk提示：FFT24DFT思維方法進(jìn)行教學(xué)。由此可得出

N N N

N/mWn(nN)kW(Nn)kWnk,Wn/2(kN/2)kN N N N N NDFT。

?利用這些特性，使DFT運(yùn)算中有些項(xiàng)可以合并；N?利用Wnk的對稱性，周期性和可約性，可以將長序列的DFT分解為短序列的NDFT的運(yùn)算量與N2成正比，因此，N越小越有利于降低運(yùn)算量，因而將序列的點(diǎn)數(shù)降低是減小DFT運(yùn)算量的重要方法。提示：DIT快速算法的推演過程數(shù)學(xué)符號多，相對較抽象，部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)弱的同學(xué)難以理解。為了便于理解，也為了調(diào)動學(xué)生的參與度和提高思維活躍性，可以采取對時域序列第一次分解以