廣東省東莞市2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省東莞市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】.故選：A.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，所?故選：C.3.已知由小到大排列的個(gè)數(shù)據(jù)、、、，若這個(gè)數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的倍，則這個(gè)數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由小到大排列的個(gè)數(shù)據(jù)、、、，則，這四個(gè)數(shù)為極差為，中位數(shù)為，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)據(jù)極差是它們中位數(shù)的倍，則，解得，所以，這四個(gè)數(shù)由小到大依次為、、、，因?yàn)?，故這個(gè)數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是.故選：B.4.函數(shù)的圖象不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)A選項(xiàng)符合；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是減函數(shù)，所以函數(shù)在在上是減函數(shù)，如圖，作出函數(shù)在上的圖象，由圖可知，函數(shù)的圖象在上有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，由，得，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故B選項(xiàng)符合；③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是減函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，如圖，作出函數(shù)在上的圖象，由圖可知，函數(shù)的圖象在上有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，由，得，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故C選項(xiàng)符合，D選項(xiàng)不可能.故選：D.5.在等比數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)首項(xiàng)為，公比為，易知，，可得，解得，而，故選：C6.已知，則的值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，即，由，故選：A.7.以拋物線C的頂點(diǎn)O為圓心的單位圓與C的一個(gè)交點(diǎn)記為點(diǎn)A，與C的準(zhǔn)線的一個(gè)交點(diǎn)記為點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)A，B在拋物線C的對(duì)稱軸的同側(cè)時(shí)，OA⊥OB，則拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)拋物線方程為，由題意得，，過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，因?yàn)镺A⊥OB，所以，又，所以，則≌，故，令得，，解得，故，由勾股定理得，解得，故拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故選：D.8.如圖，將正四棱臺(tái)切割成九個(gè)部分，其中一個(gè)部分為長方體，四個(gè)部分為直三棱柱，四個(gè)部分為四棱錐．已知每個(gè)直三棱柱的體積為，每個(gè)四棱錐的體積為，則該正四棱臺(tái)的體積為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)每個(gè)直三棱柱高為，每個(gè)四棱錐的底面都是正方形，設(shè)每個(gè)四棱錐的底面邊長為，設(shè)正四棱臺(tái)的高為，因?yàn)槊總€(gè)直三棱柱的體積為，每個(gè)四棱錐的體積為，則，可得，可得，所以，該正四棱臺(tái)的體積為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題9.已知函數(shù)，，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.與對(duì)稱軸相同 B.與周期相同C.的最大值是 D.不可能是奇函數(shù)【答案】BC【解析】由題意知，所以，對(duì)A：的對(duì)稱軸為，，解得，；的對(duì)稱軸為，，解得，，所以與的對(duì)稱軸不相同，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：的周期為，的周期為，所以與的周期相同，故B正確；對(duì)C：，因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)D：當(dāng)，，，所以，此時(shí)為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10.已知圓：，圓：，P，Q分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，四邊形的面積可能為7B.當(dāng)時(shí)，四邊形的面積可能為8C.當(dāng)直線PQ與和都相切時(shí)，的長可能為D.當(dāng)直線PQ與和都相切時(shí)，的長可能為4【答案】ACD【解析】圓：的圓心，半徑；圓：的圓心，半徑；可知，可知兩圓外離，對(duì)于選項(xiàng)AB：設(shè)，因?yàn)?，可知梯形的高為，所以四邊形的面積為，可知四邊形的面積可能為7，不可能為8，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)CD：設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為，根據(jù)對(duì)稱性可知：如圖，因?yàn)?，可知，則，可知，所以；如圖，因?yàn)?，可知，則，可知，所以；故CD正確；故選：ACD.11.已知函數(shù)，的定義域均為R，且，．若是的對(duì)稱軸，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.是奇函數(shù) B.是的對(duì)稱中心C.2是的周期 D.【答案】BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)槭堑膶?duì)稱軸，所以，又因?yàn)?，所以，故，即為偶函?shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，?lián)立得，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，則，即；因?yàn)?，則，即，則；顯然，所以2不是的周期，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槭堑膶?duì)稱軸，所以，又因?yàn)?，即，則，所以，所以，即，所以周期為4，因?yàn)橹芷跒?，對(duì)稱中心為，所以，當(dāng)時(shí)，代入，即，所以，所以，又是的對(duì)稱軸，所以，所以，故D正確，故選：BD.12.如圖幾何體是由正方形沿直線旋轉(zhuǎn)得到的，已知點(diǎn)是圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得平面B.不存在點(diǎn)，使得平面平面C.存在點(diǎn)，使得直線與平面的所成角的余弦值為D.不存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為【答案】ACD【解析】由題意可將圖形補(bǔ)全為一個(gè)正方體，如圖所示：不妨設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，，設(shè)點(diǎn)，其中，對(duì)于A選項(xiàng)，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，，，，則，可得，因，則，即當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，平面的一個(gè)法向量為，假設(shè)存點(diǎn)，使得平面平面，則，，則，可得，又因?yàn)?，解得，即?dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，面平面，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若存在點(diǎn)，使得直線與平面的所成角的余弦值為，則直線與平面的所成角的正弦值為，且，所以，，整理可得，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)的圖象是連續(xù)的，且，，所以，存在，使得，所以，存在點(diǎn)，使得直線與平面的所成角的余弦值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，則，可得，即，可得或，因?yàn)?，則，則，所以，，故當(dāng)時(shí)，方程和均無解，綜上所述，不存在點(diǎn)，平面與平面的夾角的余弦值為，D對(duì).故選：ACD.三、填空題13.雙曲線C：（，）的漸近線方程為，則其離心率______________．【答案】【解析】由題意可得，則.故答案為：.14.已知向量，，則使成立的一個(gè)充分不必要條件是______________．【答案】（答案不唯一）【解析】因?yàn)?，，所以，，所以，解得，所以使成立的一個(gè)充分不必要條件是.故答案為：（答案不唯一）15.用試劑檢驗(yàn)并診斷疾病，表示被檢驗(yàn)者患疾病，表示判斷被檢驗(yàn)者患疾?。迷噭z驗(yàn)并診斷疾病的結(jié)論有誤差，已知，，且人群中患疾病的概率．若有一人被此法診斷為患疾病，則此人確實(shí)患疾病的概率______________．【答案】【解析】由條件概率公式可得，，由條件概率公式可得，所以，，所以，.故答案為：.16.若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則__________，的最小值為______________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，令，可得，可得或，由對(duì)稱性可知，方程的兩根分別為、，由韋達(dá)定理可得，可得，所以，，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，因?yàn)?，令，令，所以?故答案為：；.四、解答題17.數(shù)列前n項(xiàng)積為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，若，則；若，則，且符合，綜上所述：數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）可知：，可得，所以.18.如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，．（1）證明：平面平面；（2）若，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到平面ACF的距離．（1）證明：連接，與相交于點(diǎn)，連接，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，則，為和的中點(diǎn)，，則，平面，，平面，平面，所以平面平面（2）解：四邊形ABCD是邊長為2的正方形，，，，，則有，，以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，得，即.，點(diǎn)E到平面的距離.19.中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）若，且D為△ABC外接圓劣弧上一點(diǎn)，求的取值范圍．（1）解：因?yàn)?，由余弦定理得，整理得，可得，又因?yàn)?，可?（2）解：由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，可得，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，所以，所以，因?yàn)椋傻?，可得，所以的取值范圍?20.已知橢圓：（），連接C的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為，且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，試問軸上是否存在定點(diǎn)，使得的內(nèi)心也在軸上？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)橹本€過右焦點(diǎn)且斜率不為零，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，恒成立，所以，，設(shè)軸上存在定點(diǎn)使得的內(nèi)心在軸上，則直線和關(guān)于軸對(duì)稱，所以直線和的傾斜角互補(bǔ)，所以，即，所以，即，整理得，即，即對(duì)所有恒成立，所以，所以存在定點(diǎn)符合題意.21.某區(qū)域中的物種C有A種和B種兩個(gè)亞種．為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個(gè)亞種的數(shù)目比例（A種數(shù)目比B種數(shù)目少），某生物研究小組設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)方案：①在該區(qū)域中有放回的捕捉50個(gè)物種C，統(tǒng)計(jì)其中A種數(shù)目，以此作為一次試驗(yàn)的結(jié)果；②重復(fù)進(jìn)行這個(gè)試驗(yàn)n次（其中），記第i次試驗(yàn)中的A種數(shù)目為隨機(jī)變量（）；③記隨機(jī)變量，利用的期望和方差進(jìn)行估算．設(shè)該區(qū)域中A種數(shù)目為M，B種數(shù)目為N，每一次試驗(yàn)都相互獨(dú)立．（1）已知，，證明：，；（2）該小組完成所有試驗(yàn)后，得到的實(shí)際取值分別為（），并計(jì)算了數(shù)據(jù)（）的平均值和方差，然后部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，僅剩方差的數(shù)據(jù)．（?。┱?qǐng)用和分別代替和，估算和；（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，求的分布列中概率值最大的隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的取值．解：（1）由題可知（，2，…，n）均近似服從完全相同的二項(xiàng)分布，則，，，，所以，.（2）（ⅰ）由（1）可知，則的均值，的方差，所以，解得或，由題意可知：，則，所以，；（ⅱ）由（ⅰ）可知：，則，則，由題意可知：，解得，且，則，所以的分布列中概率值最大的隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的取值為15.22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若方程有、兩個(gè)根，且，求實(shí)數(shù)的值．（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）解：由，則方程的兩根分別為、，等價(jià)于方程的兩根分別為、，所以，，①，，②，因?yàn)椋瑢⒋擘谑娇傻?。即，③，由①式可得，④，由③④可得，易知，不是方程根，故，所以，，所以，，下面?yàn)