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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市越秀區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合,則的子集個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】令,解得或,故,則的子集個(gè)數(shù)是個(gè).故選:D.2.已知,則“”是“”的()A充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由函數(shù)在上為增函數(shù),故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故“”是“”的充要條件.
故選:B.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意,,函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增,,,,,∴零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是.故選:D.4.函數(shù)的部分圖象大致是()A. B.C. D.【答案】D【解析】,又定義域?yàn)?,故函?shù)為偶函數(shù),可排除B、D,當(dāng)時(shí),,故可排除C.故選:D.5.在平面直角坐標(biāo)系中,角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊過(guò)點(diǎn),則()A B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?,,故點(diǎn)在第三象限,故,,AB錯(cuò)誤;,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,所以,故,,所以,C錯(cuò)誤,D正確.故選:D.6.已知,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】,即,即,故或,由,故需舍去,即,又,故,則.
故選:A.7.在當(dāng)今這個(gè)時(shí)代,的研究方興未艾.有消息稱,未來(lái)通訊的速率有望達(dá)到,香農(nóng)公式是通信理論中的重要公式,它表示:在受噪聲干擾的信道中,最大信息傳遞率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S和信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的的大?。渲薪凶鲂旁氡龋舨桓淖儙扺,而將信噪比從3提升到99,則最大信息傳遞率C大約會(huì)提升到原來(lái)的()(參考數(shù)據(jù))A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】B【解析】,,則.故選:B.8.若,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?,所以,即,即,,所?故選:D.二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得2分.9.若集合,則()A. B.C. D.【答案】BCD【解析】解一元二次不等式,得,所以;,由于,結(jié)合補(bǔ)集的定義,顯然,選項(xiàng)A不正確;同時(shí)可得,選項(xiàng)B正確;由于,且,可得,選項(xiàng)C正確;由于,且,可得,選項(xiàng)D正確.故選:BCD.10.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù),使,則下列函數(shù)中符合條件的是()A. B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng),,故A選項(xiàng)符合題意;對(duì)于B選項(xiàng),,當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,故B選項(xiàng)不符合題意;對(duì)于C選項(xiàng),,故C選項(xiàng)符合題意;對(duì)于D選項(xiàng),由題意得,故D選項(xiàng)不符合題意.故選:AC.11.如圖,一個(gè)半徑為的筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)1.5圈,筒車的軸心O距離水面的高度為.設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒P到水面的距離為d(單位:)(在水面下則d為負(fù)數(shù)),若以盛水筒P剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間,則d與時(shí)間:(單位:s)之間的關(guān)系為下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由題意,一個(gè)半徑為的筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)1.5圈,所以振幅且,可得,所以A、B正確;又由筒車的軸心O距離水面的高度為,可得,所以D錯(cuò)誤;根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),,即,可得,所以C正確.故選:ABC.12.已知函數(shù),則()A. B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.的最大值為【答案】BC【解析】由于,所以,即,如圖所示:對(duì)于選項(xiàng)A,,,不滿足,選項(xiàng)A不正確;對(duì)于選項(xiàng)B,,結(jié)合圖象,的最小正周期為,選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,,的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,選項(xiàng)C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減,在區(qū)間和上單調(diào)遞增,由于,,的最大值為,選項(xiàng)D不正確.故選:BC.三、填空題:本題共4小題,每小題5分.共20分.13.命題“”的否定是___________________.【答案】“”【解析】命題“”的否定是“”.故答案為:“”.14.已知,則______________.【答案】【解析】由題意,,∴,.故答案為:.15.函數(shù)的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù),例如,,則函數(shù)的值域是______________.【答案】【解析】由函數(shù)的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù),當(dāng)時(shí),可得,則,可得,因?yàn)?,可得,所以函?shù)的值域是.故答案為:.16.如圖,要在一塊半徑為6.圓心角為的扇形鐵皮POQ中截取兩塊矩形鐵皮ABCD和EFGC,使點(diǎn)A在弧PQ上,點(diǎn)B在半徑OQ上,邊CD與邊GC在半徑OP上,且點(diǎn)F為線段OB的中點(diǎn).設(shè),兩塊矩形鐵皮的面積之和為S,則S的最大值為_________,此時(shí)_________.【答案】【解析】由題意知,一塊半徑為6,圓心角為的扇形鐵皮,可得且,在直角中,,所以,所以,所以矩形的面積為,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,所以矩形的面積為,所以兩塊矩形鐵皮的面積之和為:,其中,且,所以,當(dāng)時(shí),取得最大值,此時(shí),即,所以,因?yàn)?,所以,即,解得或(不合題意,舍去),綜上可得,當(dāng)時(shí),取得最大值.故答案為:9.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最大值;(2)求不等式的解集.解:(1),當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,故函數(shù)的最大值為.(2),,即,解得或,又,故或,即不等式的解集為或.18.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期;(2)若,求的值.解:(1),則,即函數(shù)的最小正周期為.(2),故,又,故,.19.已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并說(shuō)明理由;(2)討論函數(shù)在上的單調(diào)性,并加以證明.解:(1)為奇函數(shù),理由如下:定義域?yàn)镽,又,故為奇函數(shù).(2)當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,,且,則,因?yàn)?,且,所以,?dāng)時(shí),,即,故單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,即,故單調(diào)遞增.20.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.解:(1),令,則,故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,則,當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),即時(shí),有最小值,且最小值為,即在區(qū)間上的最小值為.21.某地建設(shè)了一個(gè)文化館,該文化館對(duì)外開放后第1年參觀人數(shù)為12萬(wàn)人,第2年參觀人數(shù)為14萬(wàn)人.某課外興趣小組綜合各種因素進(jìn)行預(yù)測(cè):①該文化館每年的參觀人數(shù)會(huì)逐年增加;②該文化館每年參觀人數(shù)都不超過(guò)16萬(wàn)人.該興趣小組想找一個(gè)函數(shù)來(lái)擬合該文化館對(duì)外開放后第年與當(dāng)年參觀人數(shù)y(單位:萬(wàn)人)之間的關(guān)系.(1)若選函數(shù),試確定的值,并判斷該函數(shù)是否符合預(yù)測(cè)①與預(yù)測(cè)②;(2)若選函數(shù),要使得該函數(shù)同時(shí)符合預(yù)測(cè)①與預(yù)測(cè)②,試確定的取值范圍.解:(1)由于函數(shù),第1年參觀人數(shù)為12萬(wàn)人,即;第2年參觀人數(shù)為14萬(wàn)人,即;聯(lián)立可得:,所以,設(shè),,且,得,,所以,即,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,符合預(yù)測(cè)①,同時(shí),,符合預(yù)測(cè)②.(2)由于函數(shù),第1年參觀人數(shù)為12萬(wàn)人,即;第2年參觀人數(shù)為14萬(wàn)人,即;聯(lián)立可得:,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增;若符合預(yù)測(cè)①,則或,當(dāng)時(shí),,符合預(yù)測(cè)①,此時(shí),,,,再符合預(yù)測(cè)②,只需即可,由,且,得:;當(dāng)時(shí),,符合預(yù)測(cè)①,此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,同時(shí),,解方程,可得,其中,,,即當(dāng)時(shí),,不符合預(yù)測(cè)②;綜上所述,的取值范圍是:.22.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,,,且在區(qū)間上單調(diào)遞減.(1)求證:;(2)求的值;(3)當(dāng)時(shí),求不等式的解集.解:
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