廣東省茂名市化州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省茂名市化州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷說明：本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共6頁.滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必填寫答題卷上的有關(guān)項(xiàng)目.2.選擇題每小題選出答案后，把答案填在答題卷相應(yīng)的位置上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卷的整潔.考試結(jié)束后，將答題卷交回.第一部分選擇題（共58分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，所以.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,,故選:C.3.已知向量，，則與的夾角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，，所以，又，所以.故選：C.4.圓的圓心到直線的距離是（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】由題意可得：圓的一般方程為，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，即圓的圓心坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€方程為，所以圓心到直線的距離為故選：D.5.在空間四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意易知是的中位線，即，所以.故選：C.6.已知為銳角，，角的終邊上有一點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)闉殇J角，，則，所以，，由三角函數(shù)的定義可得，因此，.故選：A.7.過定點(diǎn)A的直線與過定點(diǎn)B的直線交于點(diǎn)與A、B不重合，則面積的最大值為（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】由題意可知，動直線經(jīng)過定點(diǎn)，動直線即，經(jīng)過點(diǎn)定點(diǎn)，過定點(diǎn)A的直線與過定點(diǎn)B的直線始終垂直，P又是兩條直線的交點(diǎn)，有，故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以面積的最大值為故選:8.已知是定義在上的偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí),=，則（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，，可得，即，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，可得，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，可得，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3個(gè)小題，每個(gè)小題6分，共18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，選齊全對的得6分，漏選得對應(yīng)分，錯選和不選得0分.9.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列選項(xiàng)中的兩個(gè)事件為不是互斥事件的是（）A.至多有1個(gè)白球；都是紅球 B.至少有1個(gè)白球；至少有1個(gè)紅球C.恰好有1個(gè)白球；都是紅球 D.至多有1個(gè)白球；全是白球【答案】AB【解析】對于A：“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個(gè)白球”與“都是紅球”不是互斥事件．故A正確；對于B：“至少有1個(gè)白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個(gè)紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”不是互斥事件．故B正確；對于C：“恰好有1個(gè)白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個(gè)白球”與“都是紅球”是互斥事件．故C錯誤；對于D：“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，“全是白球”包含都是白球，所以“至多有1個(gè)白球”與“全是白球”是互斥事件．故D錯誤．故選：AB．10.已知直線的方程，則（）A.恒過定點(diǎn)B.存在實(shí)數(shù)使直線在坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)C.直線的斜率一定存在D.點(diǎn)到直線的距離最大值為【答案】ABD【解析】A.聯(lián)立，得，所以點(diǎn)滿足方程，即直線恒過定點(diǎn)，故A正確；B.當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，得，故B正確；C.直線的方程，當(dāng)，時(shí)，直線的斜率不存在，故C錯誤；D.點(diǎn)到直線距離的最大值為點(diǎn)與定點(diǎn)之間的距離，即，故D正確.故選：ABD11.如圖，已知在長方體中，，點(diǎn)為棱上的一個(gè)動點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)在棱上的移動時(shí)，恒有B.在棱上總存在點(diǎn)，使得平面C.四棱錐的體積為定值D.四邊形的周長的最小值是【答案】ACD【解析】對于A，當(dāng)點(diǎn)為棱上的移動時(shí)，平面，由于平面，故，故A正確；對于B，當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，平面，故B錯誤；對于C，長方體中，平面平面,平面平面,平面平面,故，同理，則四邊形為平行四邊形；故，由于，故，故，故C正確；對于D，如圖，將長方體展開，使四個(gè)側(cè)面在同一個(gè)平面內(nèi)，連接（左側(cè)）交于F點(diǎn)，由于,則F為的中點(diǎn)，同理E為的中點(diǎn)，則四邊形的周長的最小值是,則D正確，故選：ACD.第二部分非選擇題（共92分）三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卷的橫線上.12.已知向量，，且，則______.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，又，所以，?故答案為：.13.若直線與直線平行，則這兩條直線間的距離為______.【答案】【解析】直線為：，顯然時(shí)，兩條直線平行，所以這兩條直線間的距離為.故答案為：.14.設(shè)動點(diǎn)在棱長為的正方體的對角線上，且異于點(diǎn)，記當(dāng)為銳角時(shí)，的取值范圍是__________．【答案】【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則,，由可得，，，由圖可知，不共線，所以當(dāng)為銳角時(shí)，即，解得或，又，所以.所以的取值范圍是.四、解答題：本大題共5個(gè)小題，滿分共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在△OAB中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，，．（1）求AB邊上的高所在直線的方程；（2）求△OAB的外接圓方程解：（1）∵直線AB的斜率，∴AB邊上的高所在直線的斜率，又AB邊上的高所在直線過原點(diǎn)O，∴AB邊上的高所在直線的方程為．（2）設(shè)的外接圓的方程為（），則，解得，∴的外接圓方程為．16.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求角；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，若，且，求的面積．解：（1）由題意得，由正弦定理得，即，在中，因?yàn)?，，，，．?）由（1）知，在中，由余弦定理得，所以①，在中，由余弦定理得②，由①②兩式消去，得，所以，又，解得，．所以的面積.17.如圖，在多面體中，四邊形是邊長為2的正方形，四邊形是直角梯形，其中，，且.（1）證明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.解：（1）連接.因?yàn)槭沁呴L為2的正方形，所以，因?yàn)?，所以，，所以，則.因，所以.因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）由（1）知，，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線，，分別為軸，軸，軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，故，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則.設(shè)平面的法向量為，則，令，則.，記二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，則.18.航天員安全返回，中國航天再創(chuàng)輝煌1去年6月4日，當(dāng)?shù)貢r(shí)間6時(shí)20分許，神舟十五號載人飛船成功著陸，費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸等航天員安全順利地出艙，身體狀況良好．這標(biāo)志著神舟十五號載人飛行任務(wù)取得了圓滿成功．某學(xué)校高一年級利用高考放假期間開展組織1200名學(xué)生參加線上航天知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：（1）若從成績不高于60分同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人成績，求10人中成績不高于50分的人數(shù)；（2）求的值，并以樣本估計(jì)總體，估計(jì)該校學(xué)生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；（3）由首輪競賽成績確定甲、乙、丙三位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，丙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，甲、乙、丙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率．解：（1）因?yàn)槌槿〉?00名學(xué)生中,不高于50分的人數(shù)為（人），50分到60分的人數(shù)為（人），所以從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人的成績，不高于50分的人數(shù)為（人）.（2）由，解得，平均數(shù)，因?yàn)槌煽儾桓哂?0分的頻率為，成績不高于80分的頻率為，所以中位數(shù)位于內(nèi)，則中位數(shù)為.（3）三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，.19.已知函數(shù)與函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)?（1）求的定義域和值域；（2）若存在，使得成立，求的取