滬科版八年級數(shù)學上冊期末復習考點清單 專題03 三角形中的邊角關系、命題與證明（8個考點清單+12種題型解讀）

專題03三角形中的邊角關系、命題與證明（8個考點清單+12種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點題型一】判斷是否是命題 2【考點題型二】判斷是否是真命題 4【考點題型三】寫出某命題的逆命題 6【考點題型四】三角形的穩(wěn)定性及應用 7【考點題型五】判定三條線段能否構成三角形 9【考點題型六】確定第三邊的取值范圍 10【考點題型七】畫三角形的高 13【考點題型八】與三角形的高有關的計算問題 15【考點題型九】與三角形的中線有關的計算問題 18【考點題型十】與三角形的角平分線有關的計算問題 21【考點題型十一】利用三角形內角和求角問題 25【考點題型十二】三角形三線的綜合問題 27【知識點01】三角形三邊的關系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.【知識點02】三角形的分類【知識點03】三角形的重要線段（1）三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．【要點】三角形的三條高所在的直線相交于一點的位置情況有三種：銳角三角形交點在三角形內；直角三角形交點在直角頂點；鈍角三角形交點在三角形外.（2）三角形的中線：三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線，【要點】一個三角形有三條中線，它們交于三角形內一點，叫做三角形的重心．中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.（3）三角形的角平分線：三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線.【要點】一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內一點，這一點叫做三角形的內心.【知識點04】三角形的穩(wěn)定性

如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性．【知識點05】三角形的內角三角形內角和定理：三角形的內角和為180°．推論：（1）直角三角形的兩個銳角互余（2）有兩個角互余的三角形是直角三角形【知識點06】三角形的外角三角形外角性質：（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．（2）三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內角．三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.【知識點07】定義與命題1.定義：一般地，用來說明一個名詞或者一個術語的意義的句子叫做定義.2.命題：判斷一件事情的句子叫做命題.真命題：正確的命題叫做真命題.假命題：不正確的命題叫做假命題.【知識點08】證明的必要性要判斷一個命題是不是真命題，僅僅依靠經驗、觀察、實驗和猜想是不夠的，必須一步一步、有根有據(jù)地進行推理.推理的過程叫做證明.【考點題型一】判斷是否是命題【例1】（23-24八年級上·山東聊城·期末）下列語句中，屬于命題的是（

）A．作線段的垂直平分線B．等角的補角相等嗎C．三角形是軸對稱圖形D．用三條線段去拼成一個三角形【變式1-1】（23-24七年級下·湖南湘西·期末）下列語句，不是命題的是（

）A．兩點之間線段最短 B．在同一個平面內兩直線不平行就相交C．連接A，B兩點 D．對頂角相等【變式1-2】（23-24八年級上·貴州畢節(jié)·期末）下列語句中是命題的是（

）A．作的平分線 B．美麗的大自然C．同位角相等 D．你吃飯了嗎【變式1-3】（23-24八年級上·河南鄭州·期末）下列語句中，是命題的是（）A．你喜歡數(shù)學嗎？ B．取線段的中點C．美麗的天空 D．兩直線平行，內錯角相等【考點題型二】判斷是否是真命題【例2】（24-25八年級上·全國·期末）下列各命題的逆命題是真命題的是（

）A．全等三角形的對應角相等 B．兩直線平行，同位角相等C．如果兩個數(shù)相等，那么它們的絕對值相等 D．如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等【變式2-1】（24-25八年級上·全國·期末）下列命題中為假命題的是（）A．同位角不相等，兩直線不平行 B．一個角的余角一定大于這個角C．一個鈍角的補角必是銳角 D．過兩點有且只有一條直線【變式2-2】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）下列命題中是真命題的是（

）A．直線外一點到這條直線的垂線段叫做點到直線的距離；B．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；C．無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；D．過一點有且只有一條直線與這條直線平行．【變式2-3】（23-24八年級上·四川達州·期末）下列四個命題中，是真命題的是（

）A．三角形的一個外角大于任何一個內角 B．有理數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的C．兩條直線被第三條直線所截，內錯角相等 D．平面內點與點關于x軸對稱【考點題型三】寫出某命題的逆命題【例3】（23-24八年級下·福建廈門·期末）命題“如果一個四邊形是菱形，那么它的對角線互相垂直”的逆命題是，該逆命題是．（填“真命題”或“假命題”）【變式3-1】（23-24七年級下·山東煙臺·期末）命題“等邊三角形的各個內角都等于”，其逆命題是．【變式3-2】（23-24七年級下·江蘇泰州·期末）命題“如果，那么”的逆命題是命題．（選填“真”或“假”）【變式3-3】（23-24八年級上·河南洛陽·期末）命題：“如果兩個圖形成軸對稱，那么這兩個圖形全等”的逆命題是，這個逆命題是（填“真”或“假”）命題．【考點題型四】三角形的穩(wěn)定性及應用【例4】（23-24七年級下·河南周口·期末）如圖所示的斜拉橋是將主梁用許多拉索直接拉在橋塔上的一種橋梁，這樣做的依據(jù)是．【變式4-1】（23-24七年級下·陜西渭南·期末）如圖，王師傅在院子的門板上釘了一個加固板（陰影），這樣做的數(shù)學依據(jù)是三角形的．【變式4-2】（23-24七年級下·河南鄭州·期末）下面是跪姿射擊的情形，要使射擊者在射擊過程中保持槍的穩(wěn)定性，可以選擇①右腳尖，②右膝，③左腳，④左手，⑤左肘，⑥左肩，⑦右肩哪三個支點（填序號）．【變式4-3】（23-24八年級上·河南駐馬店·期末）如圖，五根木條釘成一個五邊形框架，要使框架穩(wěn)固且不活動，至少還需要添根木條．【考點題型五】判定三條線段能否構成三角形【例5】（23-24七年級下·全國·期末）下列長度的各組線段，能構成三角形的是（

）A．，， B．，，10 C．，， D．，，【變式5-1】（23-24八年級下·云南紅河·期末）下列長度的三條線段能組成三角形的是（

）A．3，3，6 B．2，4，6 C．5，6，12 D．6，8，10【變式5-2】（23-24七年級下·四川宜賓·期末）下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長度，用它們能擺成三角形的是（

）A．15，12，20 B．4，7，11 C．6，7，15 D．5，5，10【變式5-3】（23-24七年級下·河北邯鄲·期末）把一根長12厘米的鐵絲按下面所標長度剪開，剪成的三段首尾順次相接可以圍成三角形的是（

）A． B．C． D．【考點題型六】確定第三邊的取值范圍【例6】（23-24七年級下·陜西榆林·期末）在中，，，則的長可能為．（只寫一個）【變式6-1】（23-24八年級上·寧夏固原·期末）在中，，，第三邊的取值范圍是．【變式6-2】（23-24七年級下·江蘇徐州·期末）一個三角形的兩邊長分別是2和5，若第三邊的長為奇數(shù)，則第三邊的長是．【變式6-3】（24-25七年級上·全國·期末）已知的邊長a，b，c滿足，若c為偶數(shù)，則的形狀為三角形．（按邊分類）【變式6-4】（23-24七年級下·四川資陽·期末）已知關于x的不等式組至少有兩個整數(shù)解，且存在以3，a，6為邊的三角形，則整數(shù)a的值有個【考點題型七】畫三角形的高【例7】（23-24七年級下·河南鄭州·期末）數(shù)學課上同學們用三角板作三角形的高，有四位同學的作法如下，其中正確的是（

）A． B． C． D．【變式7-1】（23-24七年級下·廣東佛山·期末）如圖，在中，邊上的高是（

）A． B． C． D．【變式7-2】（23-24七年級下·山西臨汾·期末）小林求的面積時、作了邊上的高，下列作圖正確的是（）A．

B．

C．

D．

【變式7-3】（23-24八年級下·陜西西安·期末）（回憶童年，認識三角形高）下列四個圖形中，線段是的高的是（

）A． B． C． D．【考點題型八】與三角形的高有關的計算問題【例8】（23-24七年級下·吉林長春·期末）如圖，在中，，，，，，則的長為．【變式8-1】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）在中，是邊上的高，交直線于點E，，，則°【變式8-2】（23-24七年級下·江蘇南京·期末）如圖，中，，分別是，邊上的高線．若，，則的度數(shù)是．【變式8-3】（23-24七年級下·遼寧盤錦·期末）在直角坐標系中，，在y軸上找一點C，使面積為9，則C點坐標為．【考點題型九】與三角形的中線有關的計算問題【例9】（23-24七年級下·陜西西安·期末）如圖，是的中線，，若的周長比的周長大，則的長為．【變式9-1】（23-24七年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，在中，，為邊的中線，的周長比的周長大，，則．【變式9-2】（23-24七年級下·重慶萬州·期末）如圖，的面積為18，為的中線，E、F為的兩個三等分點，連接，則圖中陰影部分的面積和為．【變式9-3】（23-24七年級下·全國·期末）如圖，已知中，，，，點G是的中點，若的面積是27，則的面積為．【考點題型十】與三角形的角平分線有關的計算問題【例10】（23-24八年級上·安徽宣城·期末）如圖，在中，與的平分線交于點P，設的度數(shù)為x度，的度數(shù)為y度，則y與x之間的函數(shù)關系式為．【變式10-1】（22-23七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在中，和的角平分線交于點，延長BO與的外角平分線交于點，若，則．【變式10-2】（23-24七年級下·吉林長春·期末）如圖，在中，，、、分別平分的外角、內角和外角．下列結論正確的是：．（只填序號）①；②；③．【變式10-3】（22-23七年級下·山東煙臺·期末）如圖，和分別是的內角平分線和外角平分線，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線，若，則．

【考點題型十一】利用三角形內角和求角問題【例11】（24-25八年級上·甘肅定西·期末）已知中，，那么中最大角的度數(shù)為．【變式11-1】（23-24七年級下·安徽黃山·期末）將一把直尺和一塊含和的三角板按如圖所示的位置放置，若，那么的度數(shù)為．【變式11-2】（23-24七年級下·廣東廣州·期末）如圖，，，，，．則，．【變式11-3】（23-24八年級上·江西吉安·期末）如圖，將一個直角三角板放置在銳角三角形上，使得該三角板的兩條直角邊恰好分別經過點，若，則．【考點題型十二】三角形三線的綜合問題【例12】（23-24八年級上·貴州遵義·期末）如圖，在中，，，(1)求證：(2)如果，，，求的長．【變式12-1】（23-24七年級下·廣東揭陽·期末）如圖，、、分別是的高線、角平分線和中線．(1)若，，求的面積．(2)若，求的度數(shù)．【變式12-2】（23-24七年級下·廣西南寧·期末）如圖，是的高，．(1)若點是邊上的一點，當，時，求的度數(shù)；(2)若，，，求的長度．【變式12-3】（23-24七年級下·河南南陽·期末）如圖，分別為的中線、高，點E為的中點．(1)若求的度數(shù)；(2)若的面積為15，求的長．【變式12-4】（23-24七年級下·湖北十堰·期末）如圖所示，在中，是角平分線，是高．(1)若，求：的度數(shù)．(2)已知，請直接寫出與的關系．(3)已知，求證：．

專題03三角形中的邊角關系、命題與證明（8個考點清單+12種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點題型一】判斷是否是命題 2【考點題型二】判斷是否是真命題 4【考點題型三】寫出某命題的逆命題 6【考點題型四】三角形的穩(wěn)定性及應用 7【考點題型五】判定三條線段能否構成三角形 9【考點題型六】確定第三邊的取值范圍 10【考點題型七】畫三角形的高 13【考點題型八】與三角形的高有關的計算問題 15【考點題型九】與三角形的中線有關的計算問題 18【考點題型十】與三角形的角平分線有關的計算問題 21【考點題型十一】利用三角形內角和求角問題 25【考點題型十二】三角形三線的綜合問題 27【知識點01】三角形三邊的關系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.【知識點02】三角形的分類【知識點03】三角形的重要線段（1）三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．【要點】三角形的三條高所在的直線相交于一點的位置情況有三種：銳角三角形交點在三角形內；直角三角形交點在直角頂點；鈍角三角形交點在三角形外.（2）三角形的中線：三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線，【要點】一個三角形有三條中線，它們交于三角形內一點，叫做三角形的重心．中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.（3）三角形的角平分線：三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線.【要點】一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內一點，這一點叫做三角形的內心.【知識點04】三角形的穩(wěn)定性

如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性．【知識點05】三角形的內角三角形內角和定理：三角形的內角和為180°．推論：（1）直角三角形的兩個銳角互余（2）有兩個角互余的三角形是直角三角形【知識點06】三角形的外角三角形外角性質：（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．（2）三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內角．三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.【知識點07】定義與命題1.定義：一般地，用來說明一個名詞或者一個術語的意義的句子叫做定義.2.命題：判斷一件事情的句子叫做命題.真命題：正確的命題叫做真命題.假命題：不正確的命題叫做假命題.【知識點08】證明的必要性要判斷一個命題是不是真命題，僅僅依靠經驗、觀察、實驗和猜想是不夠的，必須一步一步、有根有據(jù)地進行推理.推理的過程叫做證明.【考點題型一】判斷是否是命題【例1】（23-24八年級上·山東聊城·期末）下列語句中，屬于命題的是（

）A．作線段的垂直平分線B．等角的補角相等嗎C．三角形是軸對稱圖形D．用三條線段去拼成一個三角形【答案】C【知識點】判斷是否是命題【分析】本題主要考查了命題的定義：一般的，在數(shù)學中我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．分析是否是命題，需要分別分析各選項是否是用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句．【詳解】解：A、沒對一件事情做出判斷，不符合命題的概念，故本選項不符合；B、是問句，未做判斷，故本選項不符合；C、符合命題的概念，故本選項符合；D、沒對一件事情做出判斷，不符合命題的概念，故本選項不符合；故選：C．【變式1-1】（23-24七年級下·湖南湘西·期末）下列語句，不是命題的是（

）A．兩點之間線段最短 B．在同一個平面內兩直線不平行就相交C．連接A，B兩點 D．對頂角相等【答案】C【知識點】判斷是否是命題【分析】本題考查了命題：判斷一件事情的語句叫做命題，正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題．命題都是由題設和結論兩部分組成的．根據(jù)命題的定義對各選項進行判斷即可．【詳解】解：A．兩點之間線段最短，是命題；B．在同一個平面內兩直線不平行就相交，是命題；C．連接A，B兩點，為描述性語言，不是命題；D．對頂角相等，是命題．故選：C．【變式1-2】（23-24八年級上·貴州畢節(jié)·期末）下列語句中是命題的是（

）A．作的平分線 B．美麗的大自然C．同位角相等 D．你吃飯了嗎【答案】C【知識點】判斷是否是命題【分析】本題主要考查了命題的定義，命題就是判斷一件事情的語句，據(jù)此逐一判斷即可．【詳解】解：根據(jù)命題的定義可知，四個選項中只有C選項中的語句是命題，故選：C．【變式1-3】（23-24八年級上·河南鄭州·期末）下列語句中，是命題的是（）A．你喜歡數(shù)學嗎？ B．取線段的中點C．美麗的天空 D．兩直線平行，內錯角相等【答案】D【知識點】判斷是否是命題【分析】本題考查了命題的定義，判斷一件事情的語句叫命題，根據(jù)命題的定義逐一進行判斷即可得到答案，掌握命題的定義是解題的關鍵．【詳解】解：、你喜歡數(shù)學嗎？是疑問句，沒有作出判斷，不是命題，不符合題意；、取線段的中點，沒有作出判斷，不是命題，不符合題意；、美麗的天空，是描敘性語言，沒有作出判斷，不是命題；、兩直線平行，內錯角相等，是命題，符合題意；故選：．【考點題型二】判斷是否是真命題【例2】（24-25八年級上·全國·期末）下列各命題的逆命題是真命題的是（

）A．全等三角形的對應角相等 B．兩直線平行，同位角相等C．如果兩個數(shù)相等，那么它們的絕對值相等 D．如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等【答案】B【知識點】寫出命題的逆命題、判斷命題真假【分析】本題主要考查了逆命題的真假性，正確掌握逆命題的真假性是解題的關鍵．寫出各個選項的逆命題，再判斷真假．【詳解】解：A、原命題的逆命題是：如果三角形的三個角對應相等，則這兩個三角形是全等三角形，是假命題，不合題意；B、原命題的逆命題是：同位角相等，兩直線平行，是真命題，符合題意；C、原命題的逆命題是：如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)相等，是假命題，不合題意；D、原命題的逆命題是：如果兩個角相等，則這兩個角是對頂角，是假命題，不合題意．故選B．【變式2-1】（24-25八年級上·全國·期末）下列命題中為假命題的是（）A．同位角不相等，兩直線不平行 B．一個角的余角一定大于這個角C．一個鈍角的補角必是銳角 D．過兩點有且只有一條直線【答案】B【知識點】兩直線平行同位角相等、判斷命題真假、兩點確定一條直線、與余角、補角有關的計算【分析】本題主要考查命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．根據(jù)平行線的判定、余角和補角的概念、直線的性質判斷即可．【詳解】解：、同位角不相等，兩直線不平行，是真命題，不符合題意；、一個角的余角不一定大于這個角，例如角的余角是，，故本選項命題是假命題，符合題意；、一個鈍角的補角必是銳角，是真命題，不符合題意；、過兩點有且只有一條直線，是真命題，不符合題意；故選：．【變式2-2】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）下列命題中是真命題的是（

）A．直線外一點到這條直線的垂線段叫做點到直線的距離；B．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；C．無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；D．過一點有且只有一條直線與這條直線平行．【答案】C【知識點】兩直線平行同位角相等、點到直線的距離、判斷命題真假、無理數(shù)【分析】本題主要考查了真假命題的判定，利用平行線的性質、無理數(shù)的定義及點到直線的距離的定義分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：．直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離，原命題為假命題，故該選項不符合題意；．兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，原命題為假命題，故該選項不符合題意；．無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，是真命題，故該選項符合題意；．過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行，原命題為假命題，故該選項不符合題意；故選：C．【變式2-3】（23-24八年級上·四川達州·期末）下列四個命題中，是真命題的是（

）A．三角形的一個外角大于任何一個內角 B．有理數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的C．兩條直線被第三條直線所截，內錯角相等 D．平面內點與點關于x軸對稱【答案】D【知識點】坐標與圖形變化——軸對稱、判斷命題真假、三角形的外角的定義及性質、實數(shù)與數(shù)軸【分析】此題考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的定義、性質定理及判定定理．直接根據(jù)數(shù)學常識分別判斷即可．【詳解】A．三角形的一個外角大于任何與它不相鄰的內角，故原命題缺少與它不相鄰的條件，為假命題；B．實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的，故原命題中有理數(shù)是實數(shù)的一部分，為假命題；C．兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角相等，故原命題缺少平行條件，為假命題；D．平面內點與點關于x軸對稱，故原命題為真命題；故選D．【考點題型三】寫出某命題的逆命題【例3】（23-24八年級下·福建廈門·期末）命題“如果一個四邊形是菱形，那么它的對角線互相垂直”的逆命題是，該逆命題是．（填“真命題”或“假命題”）【答案】如果一個四邊形的對角線互相垂直，那么這個四邊形是菱形假命題【知識點】寫出命題的逆命題、判斷命題真假【分析】本題考查了逆命題，以及命題的真假，將原命題的結論變?yōu)闂l件，原命題的條件變?yōu)榻Y論可得逆命題，然后再判斷真假即可．【詳解】解：命題“如果一個四邊形是菱形，那么它的對角線互相垂直”的逆命題是：如果一個四邊形的對角線互相垂直，那么這個四邊形是菱形；這個命題是假命題，如：箏形的對角線互相垂直，但不一定是菱形．故答案為：如果一個四邊形的對角線互相垂直，那么這個四邊形是菱形；假命題．【變式3-1】（23-24七年級下·山東煙臺·期末）命題“等邊三角形的各個內角都等于”，其逆命題是．【答案】三個內角都是的三角形是等邊三角形【知識點】寫出命題的逆命題【分析】本題主要考查了寫出一個命題的逆命題，把原命題的結論和條件互換作為新命題的條件和結論并寫出對應的命題即可．【詳解】解：命題“等邊三角形的各個內角都等于”，其逆命題是：三個內角都是的三角形是等邊三角形故答案為：三個內角都是的三角形是等邊三角形．【變式3-2】（23-24七年級下·江蘇泰州·期末）命題“如果，那么”的逆命題是命題．（選填“真”或“假”）【答案】假【知識點】寫出命題的逆命題、判斷命題真假【分析】本題主要考查命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．注意，判定一個命題是假命題舉反例．先根據(jù)逆命題的概念寫出原命題的逆命題，再根據(jù)有理數(shù)的平方、有理數(shù)的大小比較法則判斷即可．【詳解】解：命題“如果，那么”的逆命題是如果，那么，是假命題，例如：當時，，而，故答案為：假．【變式3-3】（23-24八年級上·河南洛陽·期末）命題：“如果兩個圖形成軸對稱，那么這兩個圖形全等”的逆命題是，這個逆命題是（填“真”或“假”）命題．【答案】“如果兩個圖形全等，那么這兩個圖形成軸對稱”“假”【知識點】判斷命題真假、寫出命題的逆命題【分析】本題主要考查了命題與定理，準確分析判斷是解題的關鍵．逆命題即將原命題的結論變?yōu)橐阎}的已知變?yōu)榻Y論．【詳解】解：逆命題是“如果兩個圖形全等，那么這兩個圖形成軸對稱”，該命題是假命題．故答案為：“如果兩個圖形全等，那么這兩個圖形成軸對稱”，“假”【考點題型四】三角形的穩(wěn)定性及應用【例4】（23-24七年級下·河南周口·期末）如圖所示的斜拉橋是將主梁用許多拉索直接拉在橋塔上的一種橋梁，這樣做的依據(jù)是．【答案】三角形的穩(wěn)定性【知識點】三角形的穩(wěn)定性及應用【分析】本題考查三角形穩(wěn)定性的實際應用，三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結構，往往通過連接輔助線轉化為三角形而獲得．橋梁的斜拉鋼索是三角形的結構，故可用三角形的穩(wěn)定性解釋．【詳解】解∶斜拉橋是將主梁用許多拉索直接拉在橋塔上的一種橋梁，這樣做的依據(jù)是三角形的穩(wěn)定性，故答案為∶三角形的穩(wěn)定性．【變式4-1】（23-24七年級下·陜西渭南·期末）如圖，王師傅在院子的門板上釘了一個加固板（陰影），這樣做的數(shù)學依據(jù)是三角形的．【答案】穩(wěn)定性【知識點】三角形的穩(wěn)定性及應用【分析】此題根據(jù)題目的意思，釘了一個加固板，即分割成了三角形，故利用了三角形的穩(wěn)定性．【詳解】解：這樣做的原因是：利用三角形的穩(wěn)定性使門板不變形，故答案為：穩(wěn)定性．【變式4-2】（23-24七年級下·河南鄭州·期末）下面是跪姿射擊的情形，要使射擊者在射擊過程中保持槍的穩(wěn)定性，可以選擇①右腳尖，②右膝，③左腳，④左手，⑤左肘，⑥左肩，⑦右肩哪三個支點（填序號）．【答案】①②③或④⑤⑥或④⑥⑦【知識點】三角形的穩(wěn)定性及應用【分析】本題考查了三角形的穩(wěn)定性質；只要是構成三角形的三個支點均可使射擊者在射擊過程中保持槍的穩(wěn)定性．【詳解】解：可以是①②③或④⑤⑥或④⑥⑦．故答案為：①②③或④⑤⑥或④⑥⑦．【變式4-3】（23-24八年級上·河南駐馬店·期末）如圖，五根木條釘成一個五邊形框架，要使框架穩(wěn)固且不活動，至少還需要添根木條．【答案】2【知識點】三角形的穩(wěn)定性及應用【分析】本題考查了三角形的穩(wěn)定性的應用．根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，只要使六邊形框架變成三角形的組合體即可．【詳解】解：從圖中可以看出，要使框架穩(wěn)固且不活動，至少還需要添2根木條．故答案為：2．【考點題型五】判定三條線段能否構成三角形【例5】（23-24七年級下·全國·期末）下列長度的各組線段，能構成三角形的是（

）A．，， B．，，10 C．，， D．，，【答案】B【知識點】構成三角形的條件【分析】本題考查的是三角形三邊關系定理，掌握三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關鍵．根據(jù)三角形三邊關系定理進行判斷即可．【詳解】解：A．，則，，不能組成三角形，不符合題意；B．，則，，能組成三角形，符合題意；C．，則，，不能組成三角形，符合題意；D．，則，，不能組成三角形，不符合題意，故選：B．【變式5-1】（23-24八年級下·云南紅河·期末）下列長度的三條線段能組成三角形的是（

）A．3，3，6 B．2，4，6 C．5，6，12 D．6，8，10【答案】D【知識點】構成三角形的條件【分析】本題考查了能夠組成三角形三邊的條件：兩邊和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．解題的關鍵是理解組成三角形三邊的關系．根據(jù)三角形的三邊關系進行分析判斷．【詳解】解：根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊，得：A、，故3，3，6不能組成三角形，本選項不符合題意；B、，故2，4，6不能組成三角形，本選項不符合題意；C、，故5，6，12不能夠組成三角形，本選項不符合題意；D、，故6，8，10能組成三角形，本選項符合題意．故選：D．【變式5-2】（23-24七年級下·四川宜賓·期末）下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長度，用它們能擺成三角形的是（

）A．15，12，20 B．4，7，11 C．6，7，15 D．5，5，10【答案】A【知識點】構成三角形的條件【分析】本題考查了構成三角形的條件：任兩邊之和大于第三邊；根據(jù)此條件，逐項判斷，若兩根較短木棒的長度和大于長木棒長度，則可構成三角形，否則不能．【詳解】解：A、，能擺成三角形；B、，不能擺成三角形；C、，不能擺成三角形；D、，不能擺成三角形；故選：A．【變式5-3】（23-24七年級下·河北邯鄲·期末）把一根長12厘米的鐵絲按下面所標長度剪開，剪成的三段首尾順次相接可以圍成三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】構成三角形的條件【分析】根據(jù)三角形的特性：任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊的差一定小于第三邊；進行依次分析即可．【詳解】解：A.，兩邊之和沒有大于第三邊，所以不能圍成三角形；B.，兩邊之和沒有大于第三邊，所以不能圍成三角形；C.，兩邊之和沒有大于第三邊；所以不能圍成三角形；D.，任意兩邊之和大于第三邊,所以能圍成三角形；故選：D．【考點題型六】確定第三邊的取值范圍【例6】（23-24七年級下·陜西榆林·期末）在中，，，則的長可能為．（只寫一個）【答案】8（答案不唯一，大于6且小于10的數(shù)均正確）【知識點】確定第三邊的取值范圍【分析】本題主要考查了三角形三邊之間的關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．熟練掌握三角形三邊之間關系是解題的關鍵．根據(jù)三角形三邊之間關系求出的范圍，再在此范圍內任意取一個值即可．【詳解】根據(jù)三角形三邊之間關系可得，即，∴，的長可能為8．故答案為：8（答案不唯一，大于6且小于10的數(shù)均正確）【變式6-1】（23-24八年級上·寧夏固原·期末）在中，，，第三邊的取值范圍是．【答案】【知識點】確定第三邊的取值范圍【分析】本題考查了三角形的三邊關系，掌握三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題關鍵．根據(jù)三角形的三邊關系可知，，即可得到答案．【詳解】解：在中，，，，，即，第三邊的取值范圍是，故答案為：．【變式6-2】（23-24七年級下·江蘇徐州·期末）一個三角形的兩邊長分別是2和5，若第三邊的長為奇數(shù)，則第三邊的長是．【答案】5【知識點】確定第三邊的取值范圍【分析】本題主要考查了三角形的三邊關系．設第三邊長為x，根據(jù)三角形的三邊關系，可得，即可求解．【詳解】解：設第三邊長為x，根據(jù)題意得：，即，∵第三邊的長為奇數(shù)，∴x的值為5，即第三邊的長是5．故答案為：5【變式6-3】（24-25七年級上·全國·期末）已知的邊長a，b，c滿足，若c為偶數(shù)，則的形狀為三角形．（按邊分類）【答案】等腰【知識點】確定第三邊的取值范圍、絕對值非負性、三角形的分類、有理數(shù)的乘方運算【分析】本題考查平方以及絕對值的非負性，三角形的三邊關系及其分類．由可得，，根據(jù)三角形的三邊關系以及c為偶數(shù)可確定c的值，最后即可確定三角形的形狀．【詳解】解：，，，，，，，，，，由c為偶數(shù)，可得，，的形狀為等腰三角形．故答案為：等腰．【變式6-4】（23-24七年級下·四川資陽·期末）已知關于x的不等式組至少有兩個整數(shù)解，且存在以3，a，6為邊的三角形，則整數(shù)a的值有個【答案】【知識點】確定第三邊的取值范圍、由不等式組解集的情況求參數(shù)【分析】此題考查的是一元一次不等式組的解法和三角形的三邊關系的運用，求不等式組的解集應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．依據(jù)不等式組至少有兩個整數(shù)解，即可得到，再根據(jù)存在以3，a，6為邊的三角形，可得，進而得出的取值范圍是，即可得到a的整數(shù)解有個．【詳解】解：解不等式組得：，∵至少有兩個整數(shù)解，則整數(shù)解至少為和，∴，又∵存在以3，a，6為邊的三角形，∴，∴a的取值范圍為，∴整數(shù)a的值為：，，，有個故答案為：．【考點題型七】畫三角形的高【例7】（23-24七年級下·河南鄭州·期末）數(shù)學課上同學們用三角板作三角形的高，有四位同學的作法如下，其中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】畫三角形的高【分析】本題考查了三角形的高的定義，三角形的高的定義是從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點到垂足之間的線段，由此逐項判斷即可得出答案，熟練掌握三角形的高的定義是解此題的關鍵．【詳解】解：A、不滿足三角形的高的定義，故不符合題意；B、不滿足三角形的高的定義，故不符合題意；C、不滿足三角形的高的定義，故不符合題意；D、滿足三角形的高的定義，故符合題意；故選：D．【變式7-1】（23-24七年級下·廣東佛山·期末）如圖，在中，邊上的高是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】畫三角形的高【分析】本題考查了三角形的高，根據(jù)三角形高的定義即可解答．三角形的高：垂直于底邊且經過底邊相對的頂點的垂線段是三角形的高．【詳解】解：由圖可知，在中，邊上的高是，故選：A．【變式7-2】（23-24七年級下·山西臨汾·期末）小林求的面積時、作了邊上的高，下列作圖正確的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【知識點】畫三角形的高【分析】本題主要考查了作三角形的高線，從點B作，交的延長線于點E，確定圖形即可．【詳解】過點B作，交的延長線于點E，如圖所示．

故選：D．【變式7-3】（23-24八年級下·陜西西安·期末）（回憶童年，認識三角形高）下列四個圖形中，線段是的高的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】畫三角形的高【分析】本題主要考查了三角形的高，三角形的高是指從三角形的一個頂點向對邊作垂線，連接頂點與垂足之間的線段．根據(jù)三角形高的畫法知，過點作邊上的高，垂足為，其中線段是的高，再結合圖形進行判斷．【詳解】解：線段是的高的圖是選項D．故選：D．【考點題型八】與三角形的高有關的計算問題【例8】（23-24七年級下·吉林長春·期末）如圖，在中，，，，，，則的長為．【答案】【知識點】與三角形的高有關的計算問題【分析】本題考查了三角形的面積，直接根據(jù)等面積法求解即可．【詳解】解：∵，∴都是的高，∴，∴，故答案為：．【變式8-1】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）在中，是邊上的高，交直線于點E，，，則°【答案】或40【知識點】與三角形的高有關的計算問題、根據(jù)平行線的性質求角的度數(shù)【分析】本題考查的是平行線的性質，三角形的高的含義，分兩種情況畫圖，再進一步利用數(shù)形結合的方法解題即可；【詳解】解：如圖，∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，綜上：或；故答案為：或40【變式8-2】（23-24七年級下·江蘇南京·期末）如圖，中，，分別是，邊上的高線．若，，則的度數(shù)是．【答案】134【知識點】三角形內角和定理的應用、與三角形的高有關的計算問題【分析】本題考查了三角形內角和定理，解題的關鍵是在中根據(jù)三角形內角和定理求出的度數(shù)，在中根據(jù)三角形內角和定理求出的度數(shù)，在中根據(jù)三角形內角和定理求出的度數(shù)即可．【詳解】解：，分別是，邊上的高線，，，在中，，，，，在中，，，，，在中，，，故答案為：134．【變式8-3】（23-24七年級下·遼寧盤錦·期末）在直角坐標系中，，在y軸上找一點C，使面積為9，則C點坐標為．【答案】或【知識點】與三角形的高有關的計算問題、坐標與圖形【分析】本題考查了三角形的面積公式，平面直角坐標系中點的坐標特征，兩點間的距離表示，利用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．設點的坐標為，則，高為2，根據(jù)面積為9，利用三角形面積公式列方程求解即可．【詳解】解：點在軸上，設點的坐標為，如圖所示，，，，點到的距離為2，面積為9，，解得或，點的坐標為或，故答案為：或.【考點題型九】與三角形的中線有關的計算問題【例9】（23-24七年級下·陜西西安·期末）如圖，是的中線，，若的周長比的周長大，則的長為．【答案】【知識點】根據(jù)三角形中線求長度【分析】本題主要考查了三角形的中線的定義，根據(jù)中線的定義得出，由的周長比的周長大，得，代入即可求解，熟練掌握三角形中線的有關計算是解題的關鍵．【詳解】∵是的中線，∴，由的周長為，的周長，∵的周長比的周長大，∴，∵，∴，故答案為：．【變式9-1】（23-24七年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，在中，，為邊的中線，的周長比的周長大，，則．【答案】【知識點】根據(jù)三角形中線求長度【分析】本題考查三角形的中線（三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線），根據(jù)三角形的中線的概念得到，再根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．解題的關鍵是掌握三角形中線的定義．【詳解】解：∵為邊的中線，∴，∵的周長比的周長大，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【變式9-2】（23-24七年級下·重慶萬州·期末）如圖，的面積為18，為的中線，E、F為的兩個三等分點，連接，則圖中陰影部分的面積和為．【答案】6【知識點】根據(jù)三角形中線求面積【分析】本題考查三角形的面積等知識．根據(jù)三角形的中線的性質即可解決問題．【詳解】解：是的中線，，，、為的兩個三等分點，，，故答案為：6．【變式9-3】（23-24七年級下·全國·期末）如圖，已知中，，，，點G是的中點，若的面積是27，則的面積為．【答案】128【知識點】根據(jù)三角形中線求面積【分析】本題考查了三角形的面積，關鍵是熟悉等高的三角形面積比與底邊比的關系．根據(jù)等高的三角形面積比等于底邊比依次求解可得的面積．【詳解】解：在中，點G是的中點，的面積是27，∴的面積是，∵，∴的面積是，∵，∴的面積是，，∴的面積是．故答案為：128．【考點題型十】與三角形的角平分線有關的計算問題【例10】（23-24八年級上·安徽宣城·期末）如圖，在中，與的平分線交于點P，設的度數(shù)為x度，的度數(shù)為y度，則y與x之間的函數(shù)關系式為．【答案】【知識點】三角形角平分線的定義、三角形的外角的定義及性質、函數(shù)解析式【分析】本題考查的是列函數(shù)關系式，三角形的外角的性質，先利用三角形的外角的性質與角平分線的性質可得，，從而可得答案．【詳解】解：∵與的平分線交于點P，設的度數(shù)為x度，的度數(shù)為y度，∴，即，∴，∴，故答案為：．【變式10-1】（22-23七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在中，和的角平分線交于點，延長BO與的外角平分線交于點，若，則．【答案】【知識點】三角形的外角的定義及性質、三角形角平分線的定義【分析】由是的平分線，為的外角平分線，可得，，則，根據(jù)，可得，然后計算求解即可．【詳解】解：∵是的平分線，為的外角平分線，∴，，∴，∵，∴，解得，，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線，三角形外角的性質．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【變式10-2】（23-24七年級下·吉林長春·期末）如圖，在中，，、、分別平分的外角、內角和外角．下列結論正確的是：．（只填序號）①；②；③．【答案】①②【知識點】三角形角平分線的定義、三角形的外角的定義及性質、與平行線有關的三角形內角和問題【分析】本題考查了與平行線有關的角平分線的計算，涉及了三角形的外角定理，根據(jù)，即可判斷①；根據(jù)即可判斷②；根據(jù)，、，即可判斷③；【詳解】解：∵，

，平分∴∴，故①正確；∵∴∵平分，平分∴∴∵∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，∵∴，故③錯誤；故答案為：①②【變式10-3】（22-23七年級下·山東煙臺·期末）如圖，和分別是的內角平分線和外角平分線，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線，若，則．

【答案】/【知識點】三角形的外角的定義及性質、三角形角平分線的定義、圖形類規(guī)律探索【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，，再根據(jù)三角形外角的性質可得，化簡可得，進一步找出其中的規(guī)律，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵和分別是的內角平分線和外角平分線，，，又，，，，∵，∴，同理可得：，，則，，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，三角形外角的性質，角平分線的定義等，找出，，與的規(guī)律是解題的關鍵．【考點題型十一】利用三角形內角和求角問題【例11】（24-25八年級上·甘肅定西·期末）已知中，，那么中最大角的度數(shù)為．【答案】/75度【知識點】三角形內角和定理的應用、解一元一次方程（一）——合并同類項與移項【分析】此題考查三角形內角和定理、一元一次方程的應用．由題意可設由三角形內角和定理得到一元一次方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：由題意可設則，解得，∴∴中最大角的度數(shù)為故答案為：【變式11-1】（23-24七年級下·安徽黃山·期末）將一把直尺和一塊含和的三角板按如圖所示的位置放置，若，那么的度數(shù)為．【答案】【知識點】三角板中角度計算問題、三角形內角和定理的應用、根據(jù)平行線的性質求角的度數(shù)【分析】本題考查平行線的性質，含角的三角板中的角度計算，三角形內角和定理．由題意可