滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考題猜想 專題05 軸對(duì)稱圖形與等腰三角形（易錯(cuò)必刷43題8種題型）

專題05軸對(duì)稱圖形與等腰三角形（易錯(cuò)必刷43題8種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系（共5題） 1【題型二】等腰三角形中腰和底不明求角度時(shí)沒有分類討論（共5題） 4【題型三】等腰三角形與高線、中線結(jié)合的分類討論思想（共8題） 7【題型四】垂直平分線與角平分線判定和性質(zhì)綜合問題（共5題） 16【題型五】等腰三角形性質(zhì)和判定的綜合問題（共5題） 25【題型六】等邊三角形性質(zhì)和判定的綜合問題（共5題） 37【題型七】等腰（等邊）三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題（共5題） 48【題型八】與等腰（等邊）三角形有關(guān)的新定義型問題（共5題） 62【題型一】等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系（共5題）1．（23-24七年級(jí)下·全國·期末）等腰三角形的兩邊分別長(zhǎng)和，則它的周長(zhǎng)是．2．（23-24七年級(jí)下·河南周口·期末）若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和，則其周長(zhǎng)為．3．（23-24七年級(jí)下·山東聊城·期末）若方程組的解恰為等腰的兩邊長(zhǎng)，則的周長(zhǎng)為．4．（23-24八年級(jí)上·云南紅河·期末）在等腰三角形中，頂點(diǎn)A，B，C所對(duì)的邊分別用a，b，c表示，已知a，b滿足，則的周長(zhǎng)為．5．（23-24八年級(jí)上·湖北襄陽·期末）（1）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為、，其周長(zhǎng)為；（2）若等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為和，則它的周長(zhǎng)為．【題型二】等腰三角形中腰和底不明求角度時(shí)沒有分類討論（共5題）6．（23-24七年級(jí)下·遼寧丹東·期末）等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比是，則它頂角的度數(shù)為．7．（23-24八年級(jí)下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一個(gè)角度數(shù)為，則這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)為．8．（23-24八年級(jí)上·安徽蕪湖·期末）若等腰三角形其中兩個(gè)內(nèi)角的和為，則此等腰三角形的頂角度數(shù)為．9．（23-24七年級(jí)下·江西景德鎮(zhèn)·期末）如圖，，平分，如果射線上的點(diǎn)滿足是等腰三角形，的度數(shù)為．10．（23-24八年級(jí)上·江西贛州·期末）如圖，在中，，，，是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP．當(dāng)是等腰三角形時(shí)，度．【題型三】等腰三角形與高線、中線結(jié)合的分類討論思想（共8題）11．（23-24七年級(jí)下·貴州畢節(jié)·期末）在中，為鈍角，，如果經(jīng)過其中一個(gè)頂點(diǎn)作一條直線能把分成兩個(gè)等腰三角形，那么的度數(shù)為．12．（23-24八年級(jí)上·黑龍江牡丹江·期末）已知等腰，，過點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形，則．13．（23-24八年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）等腰三角形周長(zhǎng)為，一中線將周長(zhǎng)分成的兩部分差為，則這個(gè)三角形三邊長(zhǎng)為．14．（23-24八年級(jí)上·黑龍江牡丹江·期末）等腰三角形中，高與一腰所夾的銳角是，則等腰三角形底角的度數(shù)為．15．（23-24七年級(jí)下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周長(zhǎng)等于16厘米，一條邊長(zhǎng)等于6厘米，那么這個(gè)等腰三角形的底邊與其一腰的長(zhǎng)度的比值等于．16．（23-24八年級(jí)上·浙江湖州·期末）用一條長(zhǎng)為的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，若其中有一邊的長(zhǎng)為，則該等腰三角形的腰長(zhǎng)為cm．17．（23-24八年級(jí)上·四川南充·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C，使是以為腰的等腰直角三角形，則點(diǎn)C坐標(biāo)為．18．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期末）定義：若三角形滿足其中兩邊之和等于第三邊的三倍，則稱該三角形為“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一邊長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為．【題型四】垂直平分線與角平分線判定和性質(zhì)綜合問題（共5題）19．（23-24八年級(jí)上·貴州遵義·期末）已知：如圖，在中，，D是上一點(diǎn)，于E，且．(1)求證：平分；(2)若，求的度數(shù)．20．（22-23七年級(jí)上·陜西咸陽·期末）如圖，平分，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接．(1)試說明；(2)與相等嗎？請(qǐng)說明理由；(3)是否垂直平分，請(qǐng)說明理由．21．（23-24八年級(jí)上·湖北荊門·期末）如圖，．(1)求證：；(2)若，試判斷與的數(shù)量及位置關(guān)系并證明；(3)求的度數(shù)（用含的式子表示）．22．（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）如圖，于E，于F，若．

(1)求證：平分；(2)已知，求的長(zhǎng)．23．（23-24七年級(jí)下·河南駐馬店·期末）如圖，已知△ABC．(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)按下列要求作圖：①作的中線；②延長(zhǎng)至E，使，連接（保留作圖痕跡，不寫作法）．線段和線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是；(2)當(dāng)時(shí)，如圖1所示，若是的中線，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)當(dāng)時(shí)，如圖2所示，若是的中線，，，，，連接，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【題型五】等腰三角形性質(zhì)和判定的綜合問題（共5題）24．（22-23七年級(jí)上·陜西咸陽·期末）如圖，在四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，已知，，．(1)試說明：是等腰三角形；(2)若，，求的長(zhǎng)；(3)若，，求的度數(shù)．25．（24-25八年級(jí)上·全國·期末）如圖，在等腰中，，，點(diǎn)D在線段上運(yùn)動(dòng)（D不與B、C重合），連接，作，交線段于點(diǎn)E．(1)當(dāng)時(shí)，°；點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸變（填“大”或“小”）；(2)當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)，，請(qǐng)說明理由；(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，的形狀也在改變，判斷當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r(shí)，是等腰三角形．26．（23-24七年級(jí)下·陜西漢中·期末）（1）閱讀理解：為了進(jìn)一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時(shí)，小曲在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖1，是的中線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到．在這個(gè)過程中小曲同學(xué)證三角形全等，用到的全等判定方法是，另外他還得到了和的位置關(guān)系是；（2）問題解決：如圖2，是的中線，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，求證：；（3）問題拓展：如圖3，中，，，點(diǎn)在線段上，連接，，．若點(diǎn)為中點(diǎn)，交于點(diǎn)，求和的數(shù)量關(guān)系．27．（23-24八年級(jí)上·貴州遵義·期末）小范同學(xué)在學(xué)習(xí)了角平分線的相關(guān)知識(shí)后，對(duì)三角形的角平分線進(jìn)行深入探究：如圖①，在中，的平分線交于點(diǎn)D．【動(dòng)手操作】（1）如圖①，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，根據(jù)題意在圖中畫出圖形，并完成下列問題：又與的數(shù)量關(guān)系為_____________．【問題解決】（2）如圖②，在中，的平分線交BC于點(diǎn)D，，根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，求的長(zhǎng)．【拓展延伸】（3）如圖③，在中，的平分線交于點(diǎn)D，，求的長(zhǎng)．28．（23-24八年級(jí)上·貴州遵義·期末）【問題情境】【利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點(diǎn)為上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可根據(jù)______證明≌，則，（即點(diǎn)為的中點(diǎn)）．【類比解答】如圖2，在中，平分，于，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，可求得______．【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足在的延長(zhǎng)線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【實(shí)際應(yīng)用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn)，故進(jìn)行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過點(diǎn)作于．已知，，面積為26，則劃出的的面積是多少？【題型六】等邊三角形性質(zhì)和判定的綜合問題（共5題）29．（24-25八年級(jí)上·全國·期末）已知是等邊三角形，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上，．(1)如圖①，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，求證：；(2)如圖②，若點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，，求的值．30．（23-24八年級(jí)上·山東濰坊·期末）已知，中，．(1)如圖①，求證：；(2)如圖②，是外一點(diǎn)，連接、，且，作的平分線交于點(diǎn)，若，則________；(3)如圖③，在（2）的條件下，連接交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．31．（23-24八年級(jí)上·云南紅河·期末）如圖，在中，，D為直線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），在的右側(cè)作，使得，連接．(1)當(dāng)D在線段上時(shí)，求證：．(2)請(qǐng)判斷點(diǎn)D在何處時(shí)，，并說明理由．(3)當(dāng)時(shí)，若中最小角為，直接寫出的度數(shù)．32．（23-24八年級(jí)上·福建龍巖·期末）如圖，在中，，，是等邊三角形，點(diǎn)在邊上．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，求證(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，猜想和數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)在外部時(shí)，于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．33．（24-25八年級(jí)上·全國·期末）已知：為等邊三角形．(1)如圖1，點(diǎn)D、E分別為邊上的點(diǎn)，且．①求證：；②求的度數(shù)．(2)如圖2，點(diǎn)D為外一點(diǎn)，，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接，猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．(3)如圖3，D是等邊三角形外一點(diǎn)．若，連接，直接寫出的最大值與最小值的差．【題型七】等腰（等邊）三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題（共5題）34．（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期末）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)在直線上，，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，以線段為一邊在其右側(cè)作等邊三角形，連接、．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，的度數(shù)是______；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，說明理由；若不成立，寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論，并說明理由；(3)若條件中的等邊三角形改為等腰三角形（如圖③），，，且，其它條件不變，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．35．（23-24七年級(jí)下·重慶奉節(jié)·期末）在和中，，連接，恰好平分，在上存在一點(diǎn)，使與互為補(bǔ)角，連接．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)，時(shí)，試說明與的位置關(guān)系；(3)在（2）問的條件下，如圖3連接并延長(zhǎng)，分別交于點(diǎn)，若，，點(diǎn)分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出周長(zhǎng)的最小值．36．（23-24七年級(jí)下·四川成都·期末）類比思維是根據(jù)兩個(gè)具有相同或相似特征的事物間的對(duì)比，從某一事物的某些已知特征去推測(cè)另一事物的相應(yīng)特征存在的思維活動(dòng)．請(qǐng)嘗試用類比思維解決以下問題：(1)如圖，在等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系：______；(2)如圖，在中，，點(diǎn)、分別在邊、上，且，．若，，求的長(zhǎng)度（用含，的代數(shù)式表示）．(3)如圖，在中，，，點(diǎn)、分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，以為腰向右作等腰，使得，且，連接、，．①求證：；②在點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)位置也隨之發(fā)生改變，若，當(dāng)線段取得最小值時(shí)，直接寫出的面積．37．（23-24七年級(jí)下·山東威海·期末）【問題情境】在等邊中，射線平分，交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是上一動(dòng)點(diǎn)，，，連接，CF．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖Ⅰ，若點(diǎn)E在線段上．①求證：；②直接寫出與間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖Ⅱ，若點(diǎn)E在射線上，（1）中與間的數(shù)量關(guān)系是否成立？若成立，說明理由；若不成立，寫出新的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明；【拓廣延伸】（3）如圖Ⅲ，點(diǎn)E，D在射線上，，，連接，求的度數(shù)．38．（23-24七年級(jí)下·廣東深圳·期末）綜合與實(shí)踐課上，李老師以“發(fā)現(xiàn)?探究?拓展”的形式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維．以下是李老師的課堂主題展示：（1）如圖，在等腰中，，點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B重合），以為邊作等腰，，，連接．解答下列問題：【觀察發(fā)現(xiàn)】①如圖11?1，當(dāng)時(shí)，線段，的數(shù)量關(guān)系為，°；【類比探究】②如圖11?2，當(dāng)時(shí)，試探究線段與的位置關(guān)系，并說明理由；【拓展延伸】（2）如圖11?3，四邊形中，，，連接，若，則四邊形的面積為多少？（直接寫出結(jié)果）．【題型八】與等腰（等邊）三角形有關(guān)的新定義型問題（共5題）39．（23-24七年級(jí)下·上海普陀·期末）小普同學(xué)在課外閱讀時(shí)，讀到了三角形內(nèi)有一個(gè)特殊點(diǎn)“布洛卡點(diǎn)”，關(guān)于“布洛卡點(diǎn)”有很多重要的結(jié)論．小普同學(xué)對(duì)“布洛卡點(diǎn)”也很感興趣，決定利用學(xué)過的知識(shí)和方法研究“布洛卡點(diǎn)”在一些特殊三角形中的性質(zhì)．讓我們嘗試與小普同學(xué)一起來研究，完成以下問題的解答或有關(guān)的填空．【閱讀定義】如圖1，內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足，那么點(diǎn)P稱為的“布洛卡點(diǎn)”，其中、、被稱為“布洛卡角”．如圖2，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q也是的“布洛卡點(diǎn)”．一般情況下，任意三角形會(huì)有兩個(gè)“布洛卡點(diǎn)”．【解決問題】（說明：說理過程可以不寫理由）問題1：等邊三角形的“布洛卡點(diǎn)”有個(gè)，“布洛卡角”的度數(shù)為度；問題2：在等腰三角形中，已知，點(diǎn)M是的一個(gè)“布洛卡點(diǎn)”，是“布洛卡角”．（1）與的底角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)?jiān)趫D3中，畫出必要的點(diǎn)和線段，完成示意圖后進(jìn)行說理．（2）當(dāng)（如圖4所示），時(shí)，求點(diǎn)C到直線的距離．40．（23-24七年級(jí)下·山西運(yùn)城·期末）閱讀與思考閱讀下列材料，并解決相應(yīng)的問題．定義：如圖1，線段把等腰三角形分成與，如果與均為等腰三角形，那么線段叫做的完美分割線．(1)如圖1，在中，，，為的完美分割線，則______，______．(2)如圖2，在中，，為的完美分割線，，求的度數(shù)．(3)如圖3，在等腰三角形紙片中，，是它的一條完美分割線，，將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出圖中所有以為邊的等腰三角形．41．（23-24八年級(jí)上·北京海淀·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線過原點(diǎn)且經(jīng)過第三、第一象限，與軸所夾銳角為．對(duì)于點(diǎn)和軸上的兩點(diǎn)，，給出如下定義：記點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正數(shù)，且為等邊三角形，則稱點(diǎn)為，的點(diǎn)．(1)如圖1，若點(diǎn)，，點(diǎn)為，的點(diǎn)，連接，．①；②求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)，．①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為，的點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為，的點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則___________________．42．（23-24八年級(jí)上·湖北鄂州·期末）問題情境：定義：如果兩個(gè)等腰三角形的頂角互補(bǔ)，頂角的頂點(diǎn)又是同一個(gè)點(diǎn)，而且這兩個(gè)等腰三角形的腰也分別相等，則稱這兩個(gè)三角形互為“頂補(bǔ)等腰三角形”．特例證明：（1）如圖1，若與互為“頂補(bǔ)等腰三角形”．，于，于，求證：；拓展運(yùn)用：（2）如圖2，在四邊形中，，，，，在四邊形的內(nèi)部是否存在點(diǎn)，使得與互為“頂補(bǔ)等腰三角形”？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．43．（23-24八年級(jí)上·廣東中山·期末）定義:如圖1，若P是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則稱點(diǎn)P為的勃羅卡點(diǎn)，同時(shí)稱為的勃羅卡角．(1)如圖2，P為等邊內(nèi)部一點(diǎn)．其中，，請(qǐng)判斷點(diǎn)P是不是等邊的勃羅卡點(diǎn)，并說明理由；(2)如圖3，P為等邊的勃羅卡點(diǎn)，求等邊的勃羅卡角的度數(shù)；(3)如圖4，在（2）的條件下，作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)O，連接，，記的勃羅卡點(diǎn)為M，的勃羅卡點(diǎn)為N，求證:為等邊三角形．

專題05軸對(duì)稱圖形與等腰三角形（易錯(cuò)必刷43題8種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系（共5題） 1【題型二】等腰三角形中腰和底不明求角度時(shí)沒有分類討論（共5題） 4【題型三】等腰三角形與高線、中線結(jié)合的分類討論思想（共8題） 7【題型四】垂直平分線與角平分線判定和性質(zhì)綜合問題（共5題） 16【題型五】等腰三角形性質(zhì)和判定的綜合問題（共5題） 25【題型六】等邊三角形性質(zhì)和判定的綜合問題（共5題） 37【題型七】等腰（等邊）三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題（共5題） 48【題型八】與等腰（等邊）三角形有關(guān)的新定義型問題（共5題） 62【題型一】等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系（共5題）1．（23-24七年級(jí)下·全國·期末）等腰三角形的兩邊分別長(zhǎng)和，則它的周長(zhǎng)是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形的定義和三角形三邊關(guān)系，根據(jù)等腰三角形定義及三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊即可求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的定義和三角形三邊關(guān)系．【詳解】當(dāng)三邊的長(zhǎng)為，，，∵，∴不能構(gòu)成三角形；當(dāng)三邊的長(zhǎng)為，，，∵，∴能構(gòu)成三角形，∴周長(zhǎng)為，故答案為：．2．（23-24七年級(jí)下·河南周口·期末）若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和，則其周長(zhǎng)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系，注意分類討論思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．由等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為5和，分別從等腰三角形的腰長(zhǎng)為5和去分析即可求得答案，注意分析能否組成三角形．【詳解】解：①若等腰三角形的腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為，∵，∴不能組成三角形；②若等腰三角形的腰長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為5，∵，∴能組成三角形，∴它的周長(zhǎng)是：，綜上所述，它的周長(zhǎng)是，故答案為：．3．（23-24七年級(jí)下·山東聊城·期末）若方程組的解恰為等腰的兩邊長(zhǎng)，則的周長(zhǎng)為．【答案】12【知識(shí)點(diǎn)】加減消元法、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形及解二元一次方程組，三角形三邊關(guān)系，難度一般，關(guān)鍵是掌握分類討論的思想解題．先解二元一次方程組，然后討論腰長(zhǎng)的大小，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出答案．【詳解】解：解方程組，得：，∴等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為2，5．若腰長(zhǎng)為2，底邊長(zhǎng)為5．∵，∴不能構(gòu)成三角形．若腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為2，則三角形的周長(zhǎng)為．所以這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為12．故答案為：12．4．（23-24八年級(jí)上·云南紅河·期末）在等腰三角形中，頂點(diǎn)A，B，C所對(duì)的邊分別用a，b，c表示，已知a，b滿足，則的周長(zhǎng)為．【答案】10或11【知識(shí)點(diǎn)】利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了三邊關(guān)系、等腰三角形的定義，算術(shù)平方根、絕對(duì)值的非負(fù)性，先根據(jù)算術(shù)平方根、絕對(duì)值的非負(fù)性得出a，b的值，再結(jié)合三邊關(guān)系，即可作答．【詳解】解：∵∴，∴，∵a，b為等腰三角形的兩邊，∴當(dāng)腰是3時(shí)，則，此時(shí)的周長(zhǎng)為；∴當(dāng)腰是4時(shí)，則，此時(shí)的周長(zhǎng)為；綜上所述，的周長(zhǎng)為10或11．故答案為：10或11．5．（23-24八年級(jí)上·湖北襄陽·期末）（1）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為、，其周長(zhǎng)為；（2）若等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為和，則它的周長(zhǎng)為．【答案】3213或14【知識(shí)點(diǎn)】構(gòu)成三角形的條件、等腰三角形的定義【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況：①當(dāng)腰長(zhǎng)為時(shí)，②當(dāng)腰長(zhǎng)為時(shí)，解答出即可．（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分為當(dāng)腰長(zhǎng)為時(shí)，腰長(zhǎng)為時(shí)，解答出即可．【詳解】解：（1）由題意知，應(yīng)分兩種情況：當(dāng)腰長(zhǎng)為時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)為，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰長(zhǎng)為時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)為6，13，13，能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)．故答案為：32．（2）∵三角形是等腰三角形，兩條邊長(zhǎng)分別為和，∴三角形三邊可以是、或、，∴三角形的周長(zhǎng)為或，故答案為：13或14．【題型二】等腰三角形中腰和底不明求角度時(shí)沒有分類討論（共5題）6．（23-24七年級(jí)下·遼寧丹東·期末）等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比是，則它頂角的度數(shù)為．【答案】30°或【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】此題考查了等腰三角形的定義，三角形的內(nèi)角和，設(shè)等腰三角形兩個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為，根據(jù)三角形的內(nèi)角和分兩種情況列方程求解即可，熟練掌握等腰三角形的定義是解題的關(guān)鍵【詳解】解：設(shè)等腰三角形兩個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為，當(dāng)頂角度數(shù)為時(shí)，可得，解得，∴頂角的度數(shù)為30°；當(dāng)頂角度數(shù)為時(shí)，可得，解得∴頂角度數(shù)為故答案為30°或7．（23-24八年級(jí)下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一個(gè)角度數(shù)為，則這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；由于不明確的角是等腰三角形的底角還是頂角，故應(yīng)分的角是頂角和底角兩種情況討論．【詳解】解：分兩種情況：①當(dāng)?shù)慕菫榈妊切蔚捻斀菚r(shí)，底角的度數(shù)；②當(dāng)?shù)慕菫榈妊切蔚牡捉菚r(shí)，其底角為，故它的底角度數(shù)是或．故答案為：或．8．（23-24八年級(jí)上·安徽蕪湖·期末）若等腰三角形其中兩個(gè)內(nèi)角的和為，則此等腰三角形的頂角度數(shù)為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題主要考查等腰三角形的定義，熟練掌握等腰三角形的定義是解題的關(guān)鍵；由題意可分當(dāng)這兩個(gè)內(nèi)角都為底角時(shí)和這兩個(gè)內(nèi)角為該等腰三角形的一個(gè)頂角和一個(gè)底角時(shí)，然后分類求解即可．【詳解】解：由題意可分：①當(dāng)這兩個(gè)內(nèi)角都為底角時(shí)，則該等腰三角形的頂角為；②當(dāng)這兩個(gè)內(nèi)角為該等腰三角形的一個(gè)頂角和一個(gè)底角時(shí)，則該等腰三角形的底角為，所以該等腰三角形的頂角為；故答案為：或．9．（23-24七年級(jí)下·江西景德鎮(zhèn)·期末）如圖，，平分，如果射線上的點(diǎn)滿足是等腰三角形，的度數(shù)為．【答案】或或【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了角平分線定義，等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，用了分類討論思想．求出，根據(jù)等腰得出三種情況，，，，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】解：∵平分，∴，分三種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖，∵，∴，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖，∵，∴，∴；③當(dāng)時(shí)，如圖，∵，∴，∴，∴；綜上，的度數(shù)為：或或，故答案為：或或．10．（23-24八年級(jí)上·江西贛州·期末）如圖，在中，，，，是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP．當(dāng)是等腰三角形時(shí)，度．【答案】60或105或150【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角性質(zhì)：分和三種情況討論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算解題即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；故答案為：60或105或150【題型三】等腰三角形與高線、中線結(jié)合的分類討論思想（共8題）11．（23-24七年級(jí)下·貴州畢節(jié)·期末）在中，為鈍角，，如果經(jīng)過其中一個(gè)頂點(diǎn)作一條直線能把分成兩個(gè)等腰三角形，那么的度數(shù)為．【答案】或或【知識(shí)點(diǎn)】加減消元法、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、解二元一次方程組，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理分多種情況求解即可．【詳解】解：①過頂點(diǎn)C作一條直線把分成兩個(gè)等腰三角形，假設(shè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的等腰三角形為，如下圖，∴，∴，若是等腰三角形，頂點(diǎn)為M，∴，∴，故假設(shè)成立；②過頂點(diǎn)C作一條直線把分成兩個(gè)等腰三角形，假設(shè)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的等腰三角形為，如圖，∴，∴，∵，若為等腰三角形，頂點(diǎn)為M，∴，∴，故假設(shè)成立；③過頂點(diǎn)C作一條直線把分成兩個(gè)等腰三角形，假設(shè)以點(diǎn)M為頂點(diǎn)的等腰三角形為，如圖，∴，∴，∵，若為等腰三角形，頂點(diǎn)為M，∴，∴，故假設(shè)不成立；④過頂點(diǎn)A作一條直線把分成兩個(gè)等腰三角形，等腰三角形為只能以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，如圖，設(shè)，，則，∴，若為等腰三角形，頂點(diǎn)為M，∴，解得，故假設(shè)成立；⑤由題得，，∵，∴，∵，∴，若過頂點(diǎn)B作直線交于點(diǎn)M，等腰三角形為以點(diǎn)C為頂角，如圖，∵，故矛盾；綜上所述，的度數(shù)為：或或，故答案為：或或．12．（23-24八年級(jí)上·黑龍江牡丹江·期末）已知等腰，，過點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形，則．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是分類思想的運(yùn)用．先作圖以及分類討論，利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】解：如圖，∵，∴∵∴∵∴，∴．如圖，∵∴∵∴∵∴7∠A=180°，∴，故答案為：或．13．（23-24八年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）等腰三角形周長(zhǎng)為，一中線將周長(zhǎng)分成的兩部分差為，則這個(gè)三角形三邊長(zhǎng)為．【答案】8，8，5或6，6，9【知識(shí)點(diǎn)】其他問題(一元一次方程的應(yīng)用)、根據(jù)三角形中線求長(zhǎng)度、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，中線的性質(zhì)，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，該中線為腰上的中線，則推出腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)差為，設(shè)這個(gè)等腰三角形腰長(zhǎng)為，則底邊長(zhǎng)為，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)等腰三角形腰長(zhǎng)為，則底邊長(zhǎng)為，或，解得：或，∴或，∴這個(gè)三角形三邊長(zhǎng)為8，8，5或6，6，9．故答案為：8，8，5或6，6，9．14．（23-24八年級(jí)上·黑龍江牡丹江·期末）等腰三角形中，高與一腰所夾的銳角是，則等腰三角形底角的度數(shù)為．【答案】或或【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和、等腰三角形的定義，分類討論：為銳角三角形時(shí)，①當(dāng)是等腰底邊上的高時(shí)，②當(dāng)是等腰腰上的高時(shí)，當(dāng)?shù)妊鼮殁g角三角形時(shí)，則頂角為鈍角，此時(shí)高只能是腰上的高，利用三角形的內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)即可求解，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意有以下兩種情況：（1）為銳角三角形時(shí)，此時(shí)又有兩種情況：①當(dāng)是等腰底邊上的高時(shí)，如圖1所示：為等腰三角形底邊上的高，，，∵高與一腰所夾的銳角是，，；②當(dāng)是等腰腰上的高時(shí)，如圖2所示：為等腰三角形腰上的高，，，∵高與一腰所夾的銳角是，，，，．（2）當(dāng)?shù)妊鼮殁g角三角形時(shí)，則頂角為鈍角，此時(shí)高只能是腰上的高，如圖3所示：為等腰三角形腰上的高，，，∵高與一腰所夾的銳角是，，，，，．綜上所述：等腰三角形底角的度數(shù)為或或．故答案為：或或．15．（23-24七年級(jí)下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周長(zhǎng)等于16厘米，一條邊長(zhǎng)等于6厘米，那么這個(gè)等腰三角形的底邊與其一腰的長(zhǎng)度的比值等于．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．依題意，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，已知一條邊長(zhǎng)為6厘米，不明確具體名稱，故可分情況討論腰長(zhǎng)的值，還要依據(jù)三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【詳解】解：當(dāng)腰為6厘米時(shí)，三邊為，能構(gòu)成三角形；當(dāng)?shù)诪?厘米時(shí)，腰為5，5，能構(gòu)成三角形，所以這個(gè)等腰三角形的底邊與其一腰的長(zhǎng)度的比值等于或．故答案為：或．16．（23-24八年級(jí)上·浙江湖州·期末）用一條長(zhǎng)為的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，若其中有一邊的長(zhǎng)為，則該等腰三角形的腰長(zhǎng)為cm．【答案】3或【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用，等腰三角形的定義．本題分兩種情況討論：是腰長(zhǎng)時(shí)，是底邊時(shí)，再作答即可．【詳解】解：是腰長(zhǎng)時(shí)，底邊為，∵，∴、、能組成三角形；是底邊時(shí)，腰長(zhǎng)為，∵，∴、、能夠組成三角形；綜上所述，它的腰長(zhǎng)為或．故答案為：3或．17．（23-24八年級(jí)上·四川南充·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，在第一象限內(nèi)的點(diǎn)C，使是以為腰的等腰直角三角形，則點(diǎn)C坐標(biāo)為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定義【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．分別從當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)去分析求解，利用全等三角形的判定與性質(zhì)，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．【詳解】解：∵，，∴，，如圖，當(dāng)，時(shí)，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，∴，∵，，∴，又，，∴，∴，，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；如圖，當(dāng)，時(shí)，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，同理可證得：，∴，，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；綜上所述點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為或．18．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期末）定義：若三角形滿足其中兩邊之和等于第三邊的三倍，則稱該三角形為“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一邊長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為，底長(zhǎng)為，分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)．【詳解】設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為，底長(zhǎng)為．（1）當(dāng)時(shí)，分兩種情況：①若，解得．則三角形的三邊長(zhǎng)為，，，不符合題意．②若，解得，則的三邊長(zhǎng)為，，，符合題意．的周長(zhǎng)為．（2）當(dāng)時(shí)，分兩種情況：①若，解得，則三角形的三邊長(zhǎng)為，，，不符合題意．②若，解得，則的三邊長(zhǎng)為，，，符合題意．的周長(zhǎng)為．綜上所述，的周長(zhǎng)為或．【題型四】垂直平分線與角平分線判定和性質(zhì)綜合問題（共5題）19．（23-24八年級(jí)上·貴州遵義·期末）已知：如圖，在中，，D是上一點(diǎn)，于E，且．(1)求證：平分；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)詳見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、角平分線的判定定理【分析】本題考查了角平分線的判定與定義、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握角平分線的判定定理是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上可證得結(jié)論；（2）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）證明：，，，點(diǎn)在的平分線上，平分；（2）解：，，，平分，．20．（22-23七年級(jí)上·陜西咸陽·期末）如圖，平分，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接．(1)試說明；(2)與相等嗎？請(qǐng)說明理由；(3)是否垂直平分，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)，理由見解析(3)垂直平分，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問題、線段垂直平分線的判定【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，線段垂直平分線的判定：（1）利用證明，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)交于H，證明得到，再利用平角的定義即可證明結(jié)論；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，再由線段垂直平分線的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴；（2）解：，理由如下：設(shè)交于H，∵，，，∴，∴，∵，∴；（3）解：垂直平分，理由如下：、∵，∴，∴點(diǎn)O和點(diǎn)E都在線段的垂直平分線上，∴垂直平分．21．（23-24八年級(jí)上·湖北荊門·期末）如圖，．(1)求證：；(2)若，試判斷與的數(shù)量及位置關(guān)系并證明；(3)求的度數(shù)（用含的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)且，證明見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、角平分線的判定定理【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定等知識(shí)，正確掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由得到，又由，即可證明；（2）將直線與的交點(diǎn)記為點(diǎn)O，由（1）可知，則，由，以及三角形內(nèi)角和定理得到，即可得到結(jié)論；（3）證明平分，由（2）可知，則，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵∴，∴，在和中∴（2）且，證明如下：將直線與的交點(diǎn)記為點(diǎn)O，由（1）可知，∴，∵，，∴，∴．（3）過A分別做，垂足分別為點(diǎn)M，點(diǎn)N，由（1）知，∴，故∴∴平分由（2）可知∴∴22．（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）如圖，于E，于F，若．

(1)求證：平分；(2)已知，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)6【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）、角平分線的判定定理【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，角平分線的判定：（1）求出，根據(jù)全等三角形的判定定理得出，推出，根據(jù)角平分線的判定定理，即可求證；（2）根據(jù)得出，再由線段的和差關(guān)系求出答案，即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，∴平分；（2）解：在和中，∵，∴，∴，∴，∵∴．23．（23-24七年級(jí)下·河南駐馬店·期末）如圖，已知△ABC．(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)按下列要求作圖：①作的中線；②延長(zhǎng)至E，使，連接（保留作圖痕跡，不寫作法）．線段和線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是；(2)當(dāng)時(shí)，如圖1所示，若是的中線，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)當(dāng)時(shí)，如圖2所示，若是的中線，，，，，連接，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)①作圖見解析②作圖見解析；，，(2)，(3)8【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問題、線段垂直平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、作垂線(尺規(guī)作圖)【分析】（1）①作線段的垂直平分線,與交于點(diǎn)，連接，即為所求，②由，，，得到，，，即可求解，（2）延長(zhǎng)至E，使，由，，，得到，，，結(jié)合，得到，進(jìn)而得到，，代入，即可求解，（3）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，由，，，得到，，，結(jié)合，得到，由，，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得到，本題考查了，全等三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與判定，三角形的中線，解題的關(guān)鍵是：連接輔助線，構(gòu)造全等三角形．【詳解】（1）解：①作圖如下，即為所求，②作圖如下：∵，，，∴，∴，，∴，（2）解：延長(zhǎng)至E，使，連接，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，（3）解：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，∵是的中線，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴．【題型五】等腰三角形性質(zhì)和判定的綜合問題（共5題）24．（22-23七年級(jí)上·陜西咸陽·期末）如圖，在四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，已知，，．(1)試說明：是等腰三角形；(2)若，，求的長(zhǎng)；(3)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．（1）證明，則，即可得到結(jié)論；（2）由得到，，即可得到答案；（3）由得到，，則，再求出，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到，則，即可得到的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，．∴，∴，∴是等腰三角形；（2）∵，∴，，∴；（3）∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．25．（24-25八年級(jí)上·全國·期末）如圖，在等腰中，，，點(diǎn)D在線段上運(yùn)動(dòng)（D不與B、C重合），連接，作，交線段于點(diǎn)E．(1)當(dāng)時(shí)，°；點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸變（填“大”或“小”）；(2)當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)，，請(qǐng)說明理由；(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，的形狀也在改變，判斷當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r(shí)，是等腰三角形．【答案】(1)；小(2)(3)或【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理；（1）由三角形內(nèi)角和定理得，，由點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，越來越大，即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，由可判定，即可求解；（3）分類討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，即可求解；掌握等腰三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定，能由等腰三角形的腰不同進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，，；點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，越來越大，越來越小；故答案：；??；（2）解：當(dāng)時(shí)，，理由如下：，，，，，，，在和中，()；（3）解：當(dāng)為或時(shí)，是等腰三角形，①當(dāng)時(shí)，，；②當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不合題意；③當(dāng)時(shí)，，，，；綜上所述：當(dāng)為或時(shí)，是等腰三角形．26．（23-24七年級(jí)下·陜西漢中·期末）（1）閱讀理解：為了進(jìn)一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時(shí)，小曲在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖1，是的中線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到．在這個(gè)過程中小曲同學(xué)證三角形全等，用到的全等判定方法是，另外他還得到了和的位置關(guān)系是；（2）問題解決：如圖2，是的中線，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，求證：；（3）問題拓展：如圖3，中，，，點(diǎn)在線段上，連接，，．若點(diǎn)為中點(diǎn)，交于點(diǎn)，求和的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；；（2）見解析；（3）【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、倍長(zhǎng)中線模型(全等三角形的輔助線問題)、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，倍長(zhǎng)中線法證全等；（1）根據(jù)已知條件證明，得出，則；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，同（1）可得，，證明，進(jìn)而證明，即可得證；（3）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，由（1）可得，，證明，進(jìn)而證明，即可得證．【詳解】解：（1）∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）證明：如圖所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，同（1）可得∴，，∴，∴，∵，∵，∴，在和中，，∴，∴；（3）如圖所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，由（1）可得，∴，，∴，∵，，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，設(shè)，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．27．（23-24八年級(jí)上·貴州遵義·期末）小范同學(xué)在學(xué)習(xí)了角平分線的相關(guān)知識(shí)后，對(duì)三角形的角平分線進(jìn)行深入探究：如圖①，在中，的平分線交于點(diǎn)D．【動(dòng)手操作】（1）如圖①，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，根據(jù)題意在圖中畫出圖形，并完成下列問題：又與的數(shù)量關(guān)系為_____________．【問題解決】（2）如圖②，在中，的平分線交BC于點(diǎn)D，，根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，求的長(zhǎng)．【拓展延伸】（3）如圖③，在中，的平分線交于點(diǎn)D，，求的長(zhǎng)．【答案】（1），，；（2）；（3）．【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、角平分線的性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等，等腰三角形等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊．（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，根據(jù)三角形的面積公式，即可解答；（2）根據(jù)（1）中得出的結(jié)論，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可；（3）在上截取，通過證明，得出，再求證，得出，結(jié)合（1）中的結(jié)論，代入數(shù)據(jù)即可解答．【詳解】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖所示：又與的數(shù)量關(guān)系為，故答案為：，，；（2）由（1）可得：，∵．∴，解得：；（3）在上截取，∵平分，∴，∵，，，∴，∴，設(shè)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，由（1）可得：，∴，解得：．28．（23-24八年級(jí)上·貴州遵義·期末）【問題情境】【利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點(diǎn)為上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可根據(jù)______證明≌，則，（即點(diǎn)為的中點(diǎn)）．【類比解答】如圖2，在中，平分，于，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，可求得______．【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足在的延長(zhǎng)線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【實(shí)際應(yīng)用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn)，故進(jìn)行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過點(diǎn)作于．已知，，面積為26，則劃出的的面積是多少？【答案】[問題情境]；[類比解答]；[拓展延伸]，證明見解析；[實(shí)際應(yīng)用]的面積是10【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】[問題情境]證，得，即可；[類比解答]延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由[問題情境]可知，，再由等腰三角形的在得，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；[拓展延伸]延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，證，得，再由[問題情境]可知，，即可得出結(jié)論；[實(shí)際應(yīng)用]延長(zhǎng)交于，由[問題情境]可知，，，則，再由三角形面積關(guān)系得，再求解即可得出結(jié)論．【詳解】解：[問題情境]平分，，，，，，，，故答案為：；[類比解答]如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由[問題情境]可知，，，，，故答案為：；[拓展延伸]，證明如下：如圖3，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，則，

，，，，又，，

，由[問題情境]可知，，；[實(shí)際應(yīng)用]如圖4，延長(zhǎng)交于，由[問題情境]可知，，，，∵，，，答：的面積是10．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線定義以及三角形面積等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．【題型六】等邊三角形性質(zhì)和判定的綜合問題（共5題）29．（24-25八年級(jí)上·全國·期末）已知是等邊三角形，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上，．(1)如圖①，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，求證：；(2)如圖②，若點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，，求的值．【答案】(1)證明詳見解析(2)12【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到平分，求出的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理求出，再利用等腰三角形的性質(zhì)求解．（2）由等邊三角形的性質(zhì)易得，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，進(jìn)而得到是等邊三角形，然后利用證明，進(jìn)而得到，最后利用線段的和差來求解．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，．是的中點(diǎn)，平分，．，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，．（2）解：是等邊三角形，．是的中點(diǎn)，．如圖3，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．，是等邊三角形，，．，，，，即．在和中，，，，．【點(diǎn)晴】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線段的和差．理解等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解答關(guān)鍵．30．（23-24八年級(jí)上·山東濰坊·期末）已知，中，．(1)如圖①，求證：；(2)如圖②，是外一點(diǎn)，連接、，且，作的平分線交于點(diǎn)，若，則________；(3)如圖③，在（2）的條件下，連接交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)(3)10【知識(shí)點(diǎn)】含30度角的直角三角形、三線合一、等邊三角形的判定和性質(zhì)、多邊形內(nèi)角和問題【分析】（1）已知條件結(jié)合三角形內(nèi)角和定理證明即可；（2）先說明為等邊三角形，即，設(shè)，則，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和用x表示出，進(jìn)而表示出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可解答；（3）如圖：作，根據(jù)題意說明，進(jìn)而說明，根據(jù)，得到，，利用直角三角形的特征，設(shè)，則，然后根據(jù)線段的和差列方程解答即可．【詳解】（1）證明：在中有，∵，，，∴；（2）∵，，∴是等邊三角形，，設(shè)，則，在四邊形中有：，，，∵的平分線交于點(diǎn)E，，，即，，故答案為：60°；（3）如圖，作，，，，平分，，，由（2）得，，，，，，，設(shè)，，∴，，，，，，，解得：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和、四邊形內(nèi)角和、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵．31．（23-24八年級(jí)上·云南紅河·期末）如圖，在中，，D為直線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），在的右側(cè)作，使得，連接．(1)當(dāng)D在線段上時(shí)，求證：．(2)請(qǐng)判斷點(diǎn)D在何處時(shí)，，并說明理由．(3)當(dāng)時(shí)，若中最小角為，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)當(dāng)點(diǎn)D在中點(diǎn)時(shí)，，理由見詳解．(3)或或【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、根據(jù)三線合一證明、等邊三角形的判定和性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)即可證明；（2）D運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，；利用等腰三角形的三線合一即可證明；（3）分D在線段上、當(dāng)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上、點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，畫出四種圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，在和中，，∴；（2）解：若，又∵，∴平分，∴，∴平分，又∵，∴，∴當(dāng)點(diǎn)D在中點(diǎn)時(shí)，；（3）解：由（1）可知，∴，當(dāng)時(shí)，則，，∵，∴，∴，∴為等邊三角形，①如圖1：D在線段上時(shí)，若，則．②如圖2，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，，③如圖3，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，此時(shí)，．④如圖4，．綜上所述，滿足條件的的度數(shù)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論思想．32．（23-24八年級(jí)上·福建龍巖·期末）如圖，在中，，，是等邊三角形，點(diǎn)在邊上．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，求證(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，猜想和數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)在外部時(shí)，于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，從而得出，從而得出；（2）取的中點(diǎn)，連接、，根據(jù)和為等邊三角形，從而得出和全等，然后得出和全等，從而得出答案；（3）取的中點(diǎn)，連接、、，根據(jù)題意得出和全等，然后得出和全等，設(shè)，則，，根據(jù)題意列出一元一次方程求出的值得出答案．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴；（2）解：，理由如下：取的中點(diǎn)，連接、，∵，，∴，，∴為等邊三角形，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：如圖：取的中點(diǎn)，連接、、，由（2）得，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，∵，∴，解得：，即．33．（24-25八年級(jí)上·全國·期末）已知：為等邊三角形．(1)如圖1，點(diǎn)D、E分別為邊上的點(diǎn)，且．①求證：；②求的度數(shù)．(2)如圖2，點(diǎn)D為外一點(diǎn)，，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接，猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．(3)如圖3，D是等邊三角形外一點(diǎn)．若，連接，直接寫出的最大值與最小值的差．【答案】(1)①證明見解析；②(2)猜想，證明見解析(3)的最大值與最小值的差為【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等邊三角形的判定和性質(zhì)【分析】（1）①先由等邊三角形的性質(zhì)得到，，再根據(jù)“邊角邊”，證明三角形全等即可．②利用全等三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題；（2）在上取一點(diǎn)，使得，證明，得到，據(jù)此根據(jù)線段的和差關(guān)系可證明；（3）以為邊向外作等邊，連接，根據(jù)“邊角邊”，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，求出的取值范圍，進(jìn)而得出的取值范圍，即可得出的最大值和最小值，然后相減即可得出答案．【詳解】（1）①證明：∵是等邊三角形，∴，，在和中，，∴；②解：∵，∴，∴；（2）解：猜想，證明如下：如圖2中，在上取一點(diǎn)，使得，連接，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）解：如圖3中，以為邊向外作等邊，連接，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴的最小值為，最大值為，∵，∴的最大值與最小值的差為．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系和三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，解本題的關(guān)鍵在正確添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．【題型七】等腰（等邊）三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題（共5題）34．（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期末）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)在直線上，，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，以線段為一邊在其右側(cè)作等邊三角形，連接、．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，的度數(shù)是______；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，說明理由；若不成立，寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論，并說明理由；(3)若條件中的等邊三角形改為等腰三角形（如圖③），，，且，其它條件不變，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)成立，理由見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等邊對(duì)等角、等邊三角形的性質(zhì)【分析】（1）利用等邊三角形性質(zhì)可證明，從而得到，結(jié)合垂線性質(zhì)即可得出結(jié)果；（2）利用等邊三角形性質(zhì)可證明，從而得到，結(jié)合垂線性質(zhì)即可得出結(jié)果；（3）利用等腰三角形性質(zhì)可證明，得到，結(jié)合垂線性質(zhì)以及平行線性質(zhì)即可得出，從而得出結(jié)果．【詳解】（1）解：為等邊三角形，，為等邊三角形，，，，，，，，，；（2）為等邊三角形，，為等邊三角形，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論仍然成立；（3）為等腰三角形，，且，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線性質(zhì)，垂線性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．35．（23-24七年級(jí)下·重慶奉節(jié)·期末）在和中，，連接，恰好平分，在上存在一點(diǎn)，使與互為補(bǔ)角，連接．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)，時(shí)，試說明與的位置關(guān)系；(3)在（2）問的條件下，如圖3連接并延長(zhǎng)，分別交于點(diǎn)，若，，點(diǎn)分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出周長(zhǎng)的最小值．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、全等三角形綜合問題、等邊三角形的判定和性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出答案；（2）是等邊三角形，得出，證明得出，從而推出，即可得證；（3）將沿對(duì)稱至，沿對(duì)稱至，且、分別在、上，連接，此時(shí)與和交點(diǎn)即為所求、，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，且、兩點(diǎn)重合，此時(shí)的周長(zhǎng)的最小值即為的長(zhǎng)度，然后根據(jù)全等三角形的判定以及軸對(duì)稱的性質(zhì)證明，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴；（2）解：，理由如下：∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵與互為補(bǔ)角，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：由（2）可得，，∵，，平分，∴垂直平分，，如圖，將沿對(duì)稱至，沿對(duì)稱至，且、分別在、上，連接，此時(shí)與和交點(diǎn)即為所求、，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，且、兩點(diǎn)重合，此時(shí)的周長(zhǎng)的最小值即為的長(zhǎng)度，由對(duì)稱的性質(zhì)可得：，，∴為等邊三角形，∴，∵，，∴為等邊三角形，∴，∴，此時(shí)，過點(diǎn)作交于，∴，，∵，∴為等邊三角形，，由（2）知，，∴，在和中，，∴，∴，∴，即，∴，∴周長(zhǎng)的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．36．（23-24七年級(jí)下·四川成都·期末）類比思維是根據(jù)兩個(gè)具有相同或相似特征的事物間的對(duì)比，從某一事物的某些已知特征去推測(cè)另一事物的相應(yīng)特征存在的思維活動(dòng)．請(qǐng)嘗試用類比思維解決以下問題：(1)如圖，在等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系：______；(2)如圖，在中，，點(diǎn)、分別在邊、上，且，．若，，求的長(zhǎng)度（用含，的代數(shù)式表示）．(3)如圖，在中，，，點(diǎn)、分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，以為腰向右作等腰，使得，且，連接、，．①求證：；②在點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)位置也隨之發(fā)生改變，若，當(dāng)線段取得最小值時(shí)，直接寫出的面積．【答案】(1)(2)；(3)．【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等【分析】（1）證，得，，利用線段的和差即可得解；（2）證明，得，，從而即可得解；（3）①證明：如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接，證明，得，，進(jìn)而利用等角對(duì)等邊及三角形的外角性質(zhì)得，從而即可得證；②由，得當(dāng)時(shí)，最小，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用等角對(duì)等邊證，從而即可得解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，故答案為：；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴；（3）①證明：如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接，∵，，∴，∵，，∴即，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴；②∵，∴CF為定直線，∴當(dāng)時(shí)，最小，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等角對(duì)等邊，三角形的內(nèi)角和定理，垂線短最短，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．37．（23-24七年級(jí)下·山東威?！て谀締栴}情境】在等邊中，射線平分，交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是上一動(dòng)點(diǎn)，，，連接，CF．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖Ⅰ，若點(diǎn)E在線段上．①求證：；②直接寫出與間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖Ⅱ，若點(diǎn)E在射線上，（1）中與間的數(shù)量關(guān)系是否成立？若成立，說明理由；若不成立，寫出新的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明；【拓廣延伸】（3）如圖Ⅲ，點(diǎn)E，D在射線上，，，連接，求的度數(shù)．【答案】（1）①見解析；②；（2）成立，理由見解析；（3）【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)【分析】（1）①根據(jù)證明即可．②由等邊三角形的性質(zhì)和角平分線的定義可得，由全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，由此可得．（2）若點(diǎn)E在射線上，（1）中與間的數(shù)量關(guān)系仍然成立，證法同第（1）小題．（3）先根據(jù)證明，則可得，又由，得，由可得，進(jìn)而可得，．【詳解】解：（1）①是等邊三角形，，．又∵，即．又，．②是等邊三角形，∴，∵平分∴∵∴∴即∴．故答案為：（2）成立，理由如下：是等邊三角形，，．又∵，即．又，．平分，．．．（3）在和中，，∴．．，，．，．．，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．38．（23-24七年級(jí)下·廣東深圳·期末）綜合與實(shí)踐課上，李老師以“發(fā)現(xiàn)?探究?拓展”的形式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維．以下是李老師的課堂主題展示：（1）如圖，在等腰中，，點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B重合），以為邊作等腰，，，連接．解答下列問題：【觀察發(fā)現(xiàn)】①如圖11?1，當(dāng)時(shí)，線段，的數(shù)量關(guān)系為，°；【類比探究】②如圖11?2，當(dāng)時(shí)，試探究線段與的位置關(guān)系，并說明理由；【拓展延伸】（2）如圖11?3，四邊形中，，，連接，若，則四邊形的面積為多少？（直接寫出結(jié)果）．【答案】（1）①，90；②，理由見解析；（2）32【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】（1）①先證明，再利用證明，由全等三角的性質(zhì)可得出，，由等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得出，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可得出．②同①，由等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得出，用證明，用全等三角形的性質(zhì)可得出，即可得出，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得出．（2）過A作交延長(zhǎng)線于G，先證明，再根據(jù)角的和差關(guān)系得出，利用證明，由全等的性質(zhì)得出，，根據(jù)得出，計(jì)算即可．【詳解】解：（1）①∵，∴，即，又∵，，∴，∴，，∵，，，∴∴，故答案為：，90．②，理由如下：∵，∴即，∵∴，在和中，∴，∴∴∴，（2）如圖，過A作交延長(zhǎng)線于G，∵，∴∵∴又∵∴∵∴即在和中，∴∴，∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，以及平行線的判定，掌握全等三角形的判定以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型八】與等腰（等邊）三角形有關(guān)的新定義型問題（共5題）39．（23-24七年級(jí)下·上海普陀·期末）小普同學(xué)在課外閱讀時(shí)，讀到了三角形內(nèi)有一個(gè)特殊點(diǎn)“布洛卡點(diǎn)”，關(guān)于“布洛卡點(diǎn)”有很多重要的結(jié)論．小普同學(xué)對(duì)“布洛卡點(diǎn)”也很感興趣，決定利用學(xué)過的知識(shí)和方法研究“布洛卡點(diǎn)”在一些特殊三角形中的性質(zhì)．讓我們嘗試與小普同學(xué)一起來研究，完成以下問題的解答或有關(guān)的填空．【閱讀定義】如圖1，內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足，那么點(diǎn)P稱為的“布洛卡點(diǎn)”，其中、、被稱為“布洛卡角”．如圖2，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q也是的“布洛卡點(diǎn)”．一般情況下，任意三角形會(huì)有兩個(gè)“布洛卡點(diǎn)”．【解決問題】（說明：說理過程可以不寫理由）問題1：等邊三角形的“布洛卡點(diǎn)”有個(gè)，“布洛卡角”的度數(shù)為度；問題2：在等腰三角形中，已知，點(diǎn)M是的一個(gè)“布洛卡點(diǎn)”，是“布洛卡角”．（1）與的底角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)?jiān)趫D3中，畫出必要的點(diǎn)和線段，完成示意圖后進(jìn)行說理．（2）當(dāng)（如圖4所示），時(shí)，求點(diǎn)C到直線的距離．【答案】問題1：1，30；問題2：（1），（2），【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)【分析】問題1：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和“布洛卡點(diǎn)”的定義即可知其“布洛卡點(diǎn)”個(gè)數(shù)和角度；問題2：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合題意可知，則有，利用三角形內(nèi)角和定理可得，即可得到；（2）過C點(diǎn)作與D，根據(jù)可得，且，由題意得，求得，，則有和，，繼而證明，則有和，即可得到，可得點(diǎn)C到直線的距離．【詳解】解：?jiǎn)栴}1：由題意知三角形中有兩個(gè)“布洛卡點(diǎn)”，∵等邊三角形每個(gè)角為，∴兩個(gè)“布洛卡點(diǎn)”重合為一個(gè)，且每個(gè)角為，故答案為：1，30．問題2：（1），理由如下：∵，∴，∵M(jìn)是的“布洛卡點(diǎn)”，是“布洛卡角”，∴，∴，即，∵，，∴，∵，∴，（2）過C點(diǎn)作與D，如圖，則，∵，∴，∵，∴，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義下的三角形角度理解，涉及等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)和三角形內(nèi)角的應(yīng)用，解得的關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，以及角度之間的轉(zhuǎn)化．40．（23-24七年級(jí)下·山西運(yùn)城·期末）閱讀與思考閱讀下列材料，并解決相應(yīng)的問題．定義：如圖1，線段把等腰三角形分成與，如果與均為等腰三角形，那么線段叫做的完美分割線．(1)如圖1，在中，，，為的完美分割線，則______，______．(2)如圖2，在中，，為的完美分割線，，求的度數(shù)．(3)如圖3，在等腰三角形紙片中，，是它的一條完美分割線，，將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出圖中所有以為邊的等腰三角形．【答案】(1)36，7