滬科版九年級數(shù)學上冊期末復習考點 第24章 圓知識歸納與題型突破（17類題型清單）

第二十四章圓知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記圓的有關概念定義注意弦連接圓上任意兩點的線段叫做弦圓中有無數(shù)條弦，其中直徑是最長的弦直徑經過圓心的弦叫做直徑弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧（1）圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧；（2）圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條胡都叫做半圓；（3）小于半圓的弧叫做劣弧；（4）大于半圓的弧叫做優(yōu)弧弧包括優(yōu)弧、劣弧和半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧等圓能夠重合的兩個圓叫做等圓.容易看出：半徑相等的兩個圓是等圓；反過來，同圓或等圓的半徑相等等圓只和半徑的大小有關，和圓心的位置無關等弧在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧等弧只能出現(xiàn)在同圓或等圓中；等弧是全等的，而不僅僅是弧的長度相等二、垂徑定理及其推論1、垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弦.2、垂徑定理的推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.三、弧、弦、圓心角之間的關系1、定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；2、推論（1）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；（2）在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等；3、弦和弦心距（圓心到弦的距離）之間的關系在同圓或等圓中，如果兩條弦的弦心距相等，那么這兩條弦相等.四、圓周角1、圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.2、圓周角定理的推論（1）同弧或等弧所對的圓周角相等；（2）半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；900的圓周角所對的弦是直徑.3、“五量關系”定理在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弧所對的圓周角、兩條弦、兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.五、圓內接多邊形1、圓內接多邊形如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓.2、圓內接四邊形的性質圓內接四邊形的對角互補.推論：圓內接四邊形的一個外角等于它的內對角.六、點與圓的位置關系1、點和圓的位置關系2、確定一個圓的條件（1）已知圓心、半徑，可以確定一個圓；（2）不在同一條直線上的三個點確定一個圓.七、直線和圓的位置關系八、切線的相關知識1、切線的判定（1）判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線（2）判定方法a.定義法:與圓有唯一公共點的直線是圓的切線;b.數(shù)量法:圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線;c.判定定理法:經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.2、切線的性質（1）性質定理圓的切線垂直于過切點的半徑.（2）切線的性質a.切線和圓只有一個公共點;b.圓心到切線的距離等于半徑;c.圓的切線垂直于過切點的半徑;d.經過圓心且垂直于切線的直線必過切點(找切點用);e.經過切點且垂直于切線的直線必過圓心(找圓心用).3、切線長定理（1）切線長定義經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長.（2）切線長定理從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.九、三角形的外接圓1、三角形的外接圓 經過三角形的三個項點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，這個三角形叫做這個圓的內接三角形.“接”是指三角形的三個頂點都在圓上.2、三角形的外心(1)定義:三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂真平分線的交點，叫做這個三角形的外心 (2)性質:三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，等于 其外接圓的半徑. 3、三角形外接圓的作法作三角形任意兩邊的垂直平分線，確定其交點;以該交點為圓心，以交點到三個頂點中任意一點的距離為半徑作圓即可十、三角形的內切圓1、三角形的內切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，這個三角形叫做這個圓的外切三角形2、三角形的內心三角形的內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心3、三角形內心的性質三角形的內心到三角形三條邊的距離相等，且等于其內切圓的半徑.十一、弧長和扇形面積1、弧長公式l=2、扇形面積S=0303題型歸納題型一圓的基本概念辨析例1.（2024九年級上·全國·專題練習）下列語句中，不正確的是（

）A．圓既是中心對稱圖形，又是旋轉對稱圖形B．圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C．當圓繞它的圓心旋轉89°57D．圓的對稱軸有無數(shù)條，對稱中心只有一個鞏固訓練1．（2024九年級上·全國·專題練習）下列說法正確的是（

）A．大于半圓的弧叫做優(yōu)弧B．長度相等的兩條弧叫做等弧C．過圓心的線段是直徑D．直徑一定大于弦2.（24-25九年級上·江蘇揚州·階段練習）下列說法：①直徑是弦；②半圓是?。虎郯霃较嗟鹊膬蓚€圓是等圓；④長度相等的兩條弧是等?。虎萜矫嫔先我馊c能確定一個圓．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（23-24九年級上·寧夏石嘴山·期中）如圖，下列說法正確的是（）A．線段AB，AC，CD都是⊙O的弦B．線段AC經過圓心O，線段AC是直徑C．AD=BDD．弦AB把圓分成兩條弧，其中ACB是劣弧題型二利用垂徑定理求平行弦問題例2．（2023九年級上·全國·專題練習）已知⊙O的直徑為20cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，則AB與CD鞏固訓練1．（2023九年級·全國·專題練習）在半徑為10的⊙O中，弦AB=12，弦，且AB∥CD，則AB與CD之間的距離是．2．（22-23九年級上·江蘇南通·階段練習）設AB、CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD．若⊙O的半徑為13，AB=24，CD=10，則AB與CD之間的距離為．3．（21-22九年級上·黑龍江大慶·階段練習）已知⊙O的直徑為26cm，AB、CD是⊙O的兩條弦，AB//CD，AB=24cm，CD=10cm，則AB、CD

之間的距離為cm．題型三利用垂徑定理求同心圓問題例3.（22-23九年級上·北京·期中）如圖，在平面直角坐標系中，一條圓弧經過A2,2，B4,0，A．點D B．點E C．點F D．點G鞏固訓練1．（23-24九年級上·安徽合肥·期末）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B．42 C．43 2．（2023九年級上·全國·專題練習）如圖，在兩個同心圓⊙O中，大圓的弦AB與小圓相交于C，D兩點．

(1)求證：AC=BD；(2)若AC=3，BC=5，大圓的半徑R=5，求小圓的半徑r的值．3．（22-23九年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，在兩個同心圓⊙O中，大圓的弦AB與小圓相交于C，D兩點．(1)求證：AC=BD．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．題型四利用弧、弦、圓心角的關系求解例4.（24-25九年級上·江蘇南通·階段練習）如圖，△ABC內接于⊙O，A為劣弧BC的中點，∠BAC=120°，BD為⊙O的直徑，連接AD，若AD=8，則AC的長為．鞏固訓練1．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，已知AC⊥BD，垂足為E，弦AB的弦心距為OF．

（1）若AF=OF，則∠ADB的度數(shù)為．（2）若⊙O的半徑為5，AB=8，則CD的長為．2．（22-23九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）如圖，在⊙O中，CD是⊙O上的一條弦，直徑AB⊥CD，連接AC、OD，∠A=26°，則∠D的度數(shù)是°．3．（2024·江蘇南京·模擬預測）如圖，在半圓O中，點C在半圓O上，點D在直徑AB上，將半圓O沿過BC所在的直線折疊，使BC恰好經過點D．若BC=10，BD=1，則半圓O的直徑為題型五利用弧、弦、圓心角的關系求證例5.（24-25九年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，是⊙O的兩條弦，AC與BD相交于點E，AB=CD．求證：AC=BD．鞏固訓練1．（2024九年級上·全國·專題練習）如圖，在⊙O中，AC=BC，于點D，CE⊥OB于點E．(1)求證：AD=BE．(2)若AD=DO，r=3，求CD長．2．（24-25九年級上·江蘇泰州·階段練習）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，D是弧AC的中點，延長BC到點E，使CE=AB，連接BD，ED．(1)求證：BD=ED．(2)若∠ABC=60°，AD=5，求⊙O的半徑，3．（24-25九年級上·浙江紹興·階段練習）如圖，⊙O的直徑AB為10，弦BC為6，D是AC的中點，弦BD和CE交于點F，且DF=DC．(1)求證：EB=EF；(2)求證：BE(3)求CE的長．題型六求圓弧的度數(shù)例6．（22-23九年級上·全國·單元測試）已知AB，CD是⊙O的直徑，弦CE∥AB，∠COE=40°，則BD的度數(shù)是（

）A．70° B．110° C．40° D．70°或110°鞏固訓練1．（23-24九年級上·山東聊城·期中）如圖，AB，CD是⊙O的弦，延長AB，CD相交于點E，已知∠E=30°，∠AOC=100°，則BD的度數(shù)是（

）A．70° B．50° C．40° D．30°2．（2023·福建·模擬預測）如圖，點A，B，C在⊙O上，AC=2AB，∠ABC=38°，連接OA交BC于點M，則∠AMC的度數(shù)是（A．108° B．109° C．110° D．112°3．（23-24九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，是⊙O的兩條弦，且AB=AC，點D,P分別在BC和AC上，若∠BDC=150°，則∠APC的度數(shù)是（

）A．105° B．110° C．120° D．150°題型七利用圓周角定理求角度例7.（24-25九年級上·江蘇南京·階段練習）已知⊙O的半徑OA=1，弦AB的長為2，若在⊙O上找一點C，則∠BCA=°．鞏固訓練1．（24-25九年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠OAB=25°，則∠ACB的度數(shù)為°．2．（24-25九年級上·江蘇南通·階段練習）如圖，以△ABC的邊BC為直徑的⊙O分別交AB、AC于點D、E，連接OD、OE．若，則∠DOE=°．3．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）已知AC是⊙O的弦，點B在⊙O上，連接OA，OC，OB，∠BOC=40°．（1）如圖①，當AC=BC時，∠OAC=（2）如圖②，當AC∥OB時，∠AOC=°；（3）如圖③，當AC=OB時，∠AOB=°．題型八利用圓內接四邊形的性質求角度例8.（24-25九年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BC是⊙O的直徑，BC=2AB，則∠ADC的度數(shù)為°．鞏固訓練1．（24-25九年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，AB=AD，∠E=130°，則∠C的度數(shù)為°．2．（23-24九年級上·黑龍江大慶·期中）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，延長交⊙O于點E，連接，若∠A=100°，∠E=60°，則∠OCD的大小為°．3．（24-25九年級上·全國·單元測試）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，E為AD延長線上一點，∠AOC=128°，則∠CDE等于．題型九利用圓周角定理的推論進行探究證明例9.（24-25九年級上·江蘇鹽城·階段練習）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BAD=90°，BC=CD，過點C作CE，使得CD=CE，交AD的延長線于點E．(1)求證：；(2)若，求CD的長．鞏固訓練1．（24-25九年級上·浙江寧波·階段練習）如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是圓上的兩點，∠C=90°，且OD∥AC，OD與BC交于點E．(1)求證：E為BC的中點．(2)若BC=10，，求AB的長度．2．（24-25九年級上·江蘇鹽城·階段練習）如圖所示，四邊形ABCD是半徑為r的⊙O的內接四邊形，AB是⊙O的直徑，∠ABD=45°，直線l與三條線段CD、CA、DA的延長線分別交于點E、F、G．且滿足∠CFE=45°．(1)求證：直線直線CE；(2)若AB=DG．①求證：△ABC≌△GDE；②若半徑r=2,CE=3，求四邊形ABCD的周長．3．（24-25九年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點E，連接DO并延長交⊙O于點F，連接交CD于點G，CG=AG，連接AC．(1)求證：AC∥DF；(2)①_____°；②若AB=12，由①中結論求GD的長．題型十切線的性質和判定的綜合應用例10.（2024九年級上·全國·專題練習）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，∠ABC=20°，OC的延長線交PA于點P，則∠P的度數(shù)是（）A．20° B．40° C．50° D．60°鞏固訓練1．（2024·四川德陽·模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D為圓心，AD為半徑的弧恰好與BC相切，切點為E，若ABCD=1A．43 B．477 C．32．（23-24九年級上·四川綿陽·期中）如圖，AB是圓O的弦，OA⊥OD，AB，OD相交于點C，且CD=BD．連接OB，當OA=3，OC=1時，則線段BD的長為（）

A．3 B．4 C．5 D．63．（2023九年級·全國·專題練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC邊為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線，交AB于點E，交AC的延長線于點F；若半徑為3，且，則線段AE的長是（）A．245 B．5 C．194 題型十一利用切斜長定理求解例11.（23-24九年級上·四川綿陽·階段練習）如圖，AD、AE是⊙O的切線，D、E為切點，BC與⊙O相切于點F，分別交AD、AE于點B、C．若△ABC的周長為16，則切線長AD為（

）A．6 B．7 C．8 D．無法確定鞏固訓練1．（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）如圖，直線AB、BC、CD分別與⊙O相切于點E、F、G且AB∥CD，若，OC=6cm，則BE+CG等于（）A．7cm B．8cm C．9cm2．（22-23九年級上·遼寧盤錦·開學考試）以正方形ABCD的AB邊為直徑作半圓O，過點C作直線切半圓于點F，交AD邊于點E，若△CDE的周長為12，則直角梯形ABCE周長為（

）．A．12 B．13 C．14 D．183．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，EA，ED是⊙O的切線，切點為A，D，點B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD=236°，則∠E=（

）A．56° B．60° C．68° D．70°題型十二利用切線長定理求證例12.（2024九年級下·遼寧·專題練習）如圖，點A在⊙O外，AB,AD分別與⊙O相切于點B，D，AD,BO的延長線相交于點C，⊙O交BC于點E，連接DO并延長，交⊙O于點F，連接EF．(1)求證：∠BAO=∠F；(2)若AD=65，CD=35，求⊙O鞏固訓練1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）如圖，已知AB是⊙O的直徑，過點A作射線l⊥AB，點P為l上一個動點，點C為⊙O上異于點A的一點，且PA=PC，過點B作AB的垂線交PC的延長線于點D，連接AD．(1)求證：PC為⊙O的切線；(2)若AP=4BD，求sin∠2．（2023·湖北黃岡·模擬預測）如圖，△ABC的內切圓切三邊于點D，E，F(xiàn)，過F作BC的平行線交DE的延長線于點G，求證：FH=GH．3．（23-24九年級下·北京·期末）如圖，AB是⊙O的直徑，PB，PC是⊙O的兩條切線，切點分別為B，C．連接PO交⊙O于點D，交BC于點E，連接AC．(1)求證：OE=1(2)若點E是OD的中點，⊙O的半徑為6，求PB的長．題型十三圓的綜合問題例13.（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，點P是⊙O外的一點，PC⊥AB，垂足為點C，PC與BD相交于點E，連接，且PD=PE，延長交BA的延長線于點F．(1)求證：是⊙O的切線；(2)若，PE=72，cos∠PFC鞏固訓練1．（2023·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點過點C作CD⊥AB于點E，交⊙O于點D，點F是AB延長線上一點，連接CF，AD，∠FCD=2∠DAF．

(1)求證：CF是⊙O切線；(2)若AF=10，sinF=22．（2023·湖南永州·中考真題）如圖，以AB為直徑的⊙O是△ABC的外接圓，延長BC到點D．使得∠BAC=∠BDA，點E在DA的延長線上，點A在線段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．

(1)求證：ED是⊙O的切線；(2)若AC=6,BD=5,AC>CD，求(3)若DE?AM=AC?AD，求證：BM⊥CE．3．（2023·四川雅安·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O與AC交于點D，點E是BC的中點，連接BD，

(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若DE=2，，求AD的長；(3)在（2）的條件下，點P是⊙O上一動點，求PA+PB的最大值．題型十四三角形的周長、面積與內切圓半徑的關系例14.（23-24九年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，⊙O為△ABC的內切圓，切點分別為F、G、H，點D,E分別為BC,AC上的點，且DE為⊙O的切線．

(1)若∠C=40°，求∠AOB的度數(shù)；(2)若，求△CDE的周長．鞏固訓練1．（22-23九年級上·貴州黔西·期中）如圖，已知O是△ABC的內心，連接OA，OB，OC．若△ABC內切圓的半徑為2，△ABC的周長為12，求△ABC的面積．1．（2024·湖北武漢·二模）如圖，△ABC的內切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，且AB=20，，CA=13，則下列說法不正確的是（

）A．∠EDF=∠A B．∠EOF=∠B+∠CC． D．OE=143．（22-23九年級上·湖北襄陽·自主招生）圓O1內切于正三角形△ABC，半徑為R，圓O2與圓O1及AB，AC均相切，圓O2的半徑為r，則A．4 B．2 C．3 D．5題型十五三角形內切圓與外接圓綜合例15.（2023·湖北武漢·模擬預測）如圖，O是△ABC的外心，I是△ABC的內心，連接AI并延長交BC和⊙O于D，E．(1)求證：EB=EI；(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的長．鞏固訓練1．（2024·上?！つM預測）已知△ABC的內心為O，AO=3(1)如果△ABC的外心也為O，求證：△ABC為等邊三角形，并尺規(guī)作線段AO；(2)延長AO交邊BC于E，求證：ABBE=AC2．（22-23九年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，I是△ABC的內心，AI的延長線交△ABC的外接圓于點D．(1)求證：∠BAD=∠CBD；(2)求證：BD=ID；(3)連接BI、CI，求證：點D是△BIC的外心．3．（21-22九年級上·內蒙古呼倫貝爾·期末）如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，連接BE，(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度數(shù)；(2)求證：DE=DB．題型十六正多邊形與圓的綜合例16.（24-25九年級上·江蘇鹽城·階段練習）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，M為弧AD中點，連接BM,CM．(1)求證：BM=CM；(2)連接OB、OM，求∠BOM的度數(shù)．鞏固訓練1．（23-24九年級上·云南紅河·期末）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，⊙O半徑為4．(1)求點O到AB的距離；(2)求正六邊形ABCDEF的面積．2．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，正方形ABCD的外接圓為⊙O，點P在劣弧CD上（不與點C重合）．

(1)求∠BPC的度數(shù)；(2)若⊙O的半徑為8，求正方形ABCD的邊長．3．（23-24九年級上·安徽淮南·階段練習）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，求該正六邊形的外接圓與內切圓所形成的圓環(huán)面積．題型十七弧長與扇形面積例17.（2024·安徽·模擬預測）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊△ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若圖中陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2，則S1A．23π?93 B．35 C．鞏固訓練1．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，在△ABC中，∠ABC=144°，AB與⊙O相切于點B，點C在⊙O上，若⊙O的半徑為1，則BC的長為（

）A． B．π5 C．π4 D．2．（2024·山西晉中·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，以邊AC為直徑作半圓交邊AB于點D．以點B為圓心，邊BC長為半徑作CE交邊AB于點E，則圖中陰影部分的面積為（A．5π?43 B．56π?23 C．3．（2023·山東青島·中考真題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠B=58°，∠ACD=40°．若⊙O的半徑為5，則DC的長為（）

A．133π B．109π C．

第二十四章圓知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記圓的有關概念定義注意弦連接圓上任意兩點的線段叫做弦圓中有無數(shù)條弦，其中直徑是最長的弦直徑經過圓心的弦叫做直徑弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧（1）圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧；（2）圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條胡都叫做半圓；（3）小于半圓的弧叫做劣??；（4）大于半圓的弧叫做優(yōu)弧弧包括優(yōu)弧、劣弧和半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧等圓能夠重合的兩個圓叫做等圓.容易看出：半徑相等的兩個圓是等圓；反過來，同圓或等圓的半徑相等等圓只和半徑的大小有關，和圓心的位置無關等弧在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧等弧只能出現(xiàn)在同圓或等圓中；等弧是全等的，而不僅僅是弧的長度相等二、垂徑定理及其推論1、垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弦.2、垂徑定理的推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.三、弧、弦、圓心角之間的關系1、定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；2、推論（1）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；（2）在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等；3、弦和弦心距（圓心到弦的距離）之間的關系在同圓或等圓中，如果兩條弦的弦心距相等，那么這兩條弦相等.四、圓周角1、圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.2、圓周角定理的推論（1）同弧或等弧所對的圓周角相等；（2）半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；900的圓周角所對的弦是直徑.3、“五量關系”定理在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弧所對的圓周角、兩條弦、兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.五、圓內接多邊形1、圓內接多邊形如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓.2、圓內接四邊形的性質圓內接四邊形的對角互補.推論：圓內接四邊形的一個外角等于它的內對角.六、點與圓的位置關系1、點和圓的位置關系2、確定一個圓的條件（1）已知圓心、半徑，可以確定一個圓；（2）不在同一條直線上的三個點確定一個圓.七、直線和圓的位置關系八、切線的相關知識1、切線的判定（1）判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線（2）判定方法a.定義法:與圓有唯一公共點的直線是圓的切線;b.數(shù)量法:圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線;c.判定定理法:經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.2、切線的性質（1）性質定理圓的切線垂直于過切點的半徑.（2）切線的性質a.切線和圓只有一個公共點;b.圓心到切線的距離等于半徑;c.圓的切線垂直于過切點的半徑;d.經過圓心且垂直于切線的直線必過切點(找切點用);e.經過切點且垂直于切線的直線必過圓心(找圓心用).3、切線長定理（1）切線長定義經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長.（2）切線長定理從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.九、三角形的外接圓1、三角形的外接圓 經過三角形的三個項點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，這個三角形叫做這個圓的內接三角形.“接”是指三角形的三個頂點都在圓上.2、三角形的外心(1)定義:三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂真平分線的交點，叫做這個三角形的外心 (2)性質:三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，等于 其外接圓的半徑. 3、三角形外接圓的作法作三角形任意兩邊的垂直平分線，確定其交點;以該交點為圓心，以交點到三個頂點中任意一點的距離為半徑作圓即可十、三角形的內切圓1、三角形的內切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，這個三角形叫做這個圓的外切三角形2、三角形的內心三角形的內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心3、三角形內心的性質三角形的內心到三角形三條邊的距離相等，且等于其內切圓的半徑.十一、弧長和扇形面積1、弧長公式l=2、扇形面積S=0303題型歸納題型一圓的基本概念辨析例1.（2024九年級上·全國·專題練習）下列語句中，不正確的是（

）A．圓既是中心對稱圖形，又是旋轉對稱圖形B．圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C．當圓繞它的圓心旋轉89°57D．圓的對稱軸有無數(shù)條，對稱中心只有一個【答案】C【分析】此題考查了圓的軸對稱性質和圓的旋轉不變性，解題的關鍵是掌握以上知識點．根據(jù)圓是軸對稱圖形的性質，以及圓的旋轉不變性即可求解．【詳解】解：A、因為圓旋轉任意一個角度都能夠與自身重合，所以圓不僅是中心對稱圖形，也是旋轉對稱圖形，正確；B、圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，正確；C、當圓繞它的圓心旋轉89°57D、任意過圓心的直線都是圓的對稱軸，有無數(shù)條，對稱中心即是圓心，有一個，正確．故選：C．鞏固訓練1．（2024九年級上·全國·專題練習）下列說法正確的是（

）A．大于半圓的弧叫做優(yōu)弧B．長度相等的兩條弧叫做等弧C．過圓心的線段是直徑D．直徑一定大于弦【答案】A【分析】此題考查了圓的有關定義及性質，解題的關鍵是掌握以上知識點．根據(jù)圓的有關定義及性質分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A、大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，原說法正確，符合題意；B、在同圓或等圓中長度相等的兩條弧叫做等弧，原說法錯誤，不符合題意；C、過圓心的弦是直徑，原說法錯誤，不符合題意；D、在同圓或等圓中，直徑一定大于除直徑外的弦，原說法錯誤，不符合題意；故選：A．2.（24-25九年級上·江蘇揚州·階段練習）下列說法：①直徑是弦；②半圓是??；③半徑相等的兩個圓是等圓；④長度相等的兩條弧是等?。虎萜矫嫔先我馊c能確定一個圓．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查的是圓的認識，根據(jù)等圓、等弧和半圓的定義以及確定圓的條件，分別進行判斷．【詳解】解：直徑是弦，故①正確，半圓是弧，故②正確，半徑相等的圓是等圓，故③正確，同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，故④錯誤，平面上不共線的三點能確定一個圓，故⑤錯誤，正確的各數(shù)為3，故選：C．3．（23-24九年級上·寧夏石嘴山·期中）如圖，下列說法正確的是（）A．線段AB，AC，CD都是⊙O的弦B．線段AC經過圓心O，線段AC是直徑C．AD=BDD．弦AB把圓分成兩條弧，其中ACB是劣弧【答案】B【分析】本題考查圓的相關定義，根據(jù)弦的定義對A進行判斷；根據(jù)直徑的定義對B進行判斷；不能確定AD=BD，則可對C進行判斷；根據(jù)劣弧和優(yōu)弧的定義對D進行判斷．【詳解】解：A．線段AB，AC都是⊙O的弦，CD不是，所以A選項不符合題意；B．線段AC經過圓心O，線段AC是直徑，所以B選項符合題意；C．當點D為AB的中點時，AD=BD，所以C選項不符合題意；D．ACB為優(yōu)弧，所以D選項不符合題意．故選：B．題型二利用垂徑定理求平行弦問題例2．（2023九年級上·全國·專題練習）已知⊙O的直徑為20cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，則AB與CD【答案】2或14【分析】作OE⊥AB于E，延長EO交CD于F，連接OA、OC，如圖，利用平行線的性質OF⊥CD，根據(jù)垂徑定理得到AE=BE=8cm，CF=DF=6cm，則利用勾股定理可計算出OE=6cm，OF=8cm，討論：當點O在AB與CD之間時，EF=OF+OE；當點O不在AB與【詳解】解：作OE⊥AB于E，延長EO交CD于F，連接OA、OC，如圖

∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴AE=BE=1CF=DF=1在Rt△OAE中，在中，OF=CO當點O在AB與CD之間時，如圖1，EF=OF+OE=8+6=14cm當點O不在AB與CD之間時，如圖2，EF=OF?OE=8?6=2cm故答案為：2或14．【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。⒁夥诸愑懻摚柟逃柧?．（2023九年級·全國·專題練習）在半徑為10的⊙O中，弦AB=12，弦，且AB∥CD，則AB與CD之間的距離是．【答案】2或14【分析】由于弦AB與CD的具體位置不能確定，故應分兩種情況進行討論：①弦AB與CD在圓心同側；②弦AB與CD在圓心異側；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當弦AB與CD在圓心同側時，如圖①，

過點O作，垂足為F，交CD于點E，連接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∵AB=12，CD=16，∴CE=8，AF=6，∵OA=OC=10，∴由勾股定理得：EO=102∴；②當弦AB與CD在圓心異側時，如圖，

過點O作OE⊥CD于點E，反向延長OE交AB于點F，連接OA，OC，同理EO=102EF=OF+OE=14，所以AB與CD之間的距離是2或14．故答案為：2或14．【點睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解．2．（22-23九年級上·江蘇南通·階段練習）設AB、CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD．若⊙O的半徑為13，AB=24，CD=10，則AB與CD之間的距離為．【答案】17或7/7或17【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由于AB、CD在圓心的同側或異側不能確定，故應分兩種情況進行討論．【詳解】解：①當AB、CD如圖（一）所示時，過O作OE⊥CD，交AB于F，連接OA、OC，∵AB∥CD，OE⊥CD，∴OF⊥AB，由垂徑定理可知AF=12AB=12×24=12，CE=12CD在Rt△CEO中，OE=OC同理，OF=OA故EF=OE﹣OF=12﹣5=7；②當AB、CD如圖（二）所示時，過O作OE⊥CD，交AB于F，連接OA、OC，同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17；故答案為：17或7．【點睛】本題考查的是垂徑定理，勾股定理，解答此題時要注意分類討論，不要漏解．3．（21-22九年級上·黑龍江大慶·階段練習）已知⊙O的直徑為26cm，AB、CD是⊙O的兩條弦，AB//CD，AB=24cm，CD=10cm，則AB、CD

之間的距離為cm．【答案】7或17/17或7【分析】首先分先AB、CD在圓心的同側和異側兩種情況討論，畫出圖形，過圓心O作兩弦的垂線，利用垂徑定理可分別求出圓心到兩弦的距離，從而可求出兩弦間的距離．【詳解】①當弦AB、CD在圓心的同側時，如圖1過點O作OF⊥CD交AB于點E，連接OA，OC∵AB//CD∴OE⊥AB∵AB=24，CD=10∴AE=12，CF=5又∵⊙O的直徑為26∴OA=OC=13∴OE=OA∴EF=OF-OE=7②當弦AB、CD在圓心的異側時，如圖2過點O作OF⊥CD，延長FO交AB于點E，連接OA，OC∵AB//CD∴OE⊥AB∵AB=24，CD=10∴AE=12，CF=5又∵⊙O的直徑為26∴OA=OC=13∴OE=OA∴EF=OF+OE=17故答案為：7或17．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，解題是要注意分AB、CD在圓心的同側和異側兩種情況討論．題型三利用垂徑定理求同心圓問題例3.（22-23九年級上·北京·期中）如圖，在平面直角坐標系中，一條圓弧經過A2,2，B4,0，A．點D B．點E C．點F D．點G【答案】B【分析】根據(jù)圖形作線段AB和的垂直平分線，兩線的交點即為圓心，根據(jù)圖形得出即可．【詳解】解：如圖作線段AB和的垂直平分線，交于點E，即為弧的圓心，故選：B．【點睛】本題考查了垂徑定理，線段垂直平分線性質，坐標與圖形性質的應用．鞏固訓練1．（23-24九年級上·安徽合肥·期末）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B．42 C．43 【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圓于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO為半徑，則OA=OD=4；然后運用勾股定理即可求得AC的長，即可求得AB的長.【詳解】解：作OD⊥AB于C，交小圓于D，則CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=OA∴AB=2AC=.故答案為C.【點睛】本題考查的是垂徑定理的應用及勾股定理，作出輔助線、構造出直角三角形是解答本題的關鍵.2．（2023九年級上·全國·專題練習）如圖，在兩個同心圓⊙O中，大圓的弦AB與小圓相交于C，D兩點．

(1)求證：AC=BD；(2)若AC=3，BC=5，大圓的半徑R=5，求小圓的半徑r的值．【答案】(1)見解析(2)10【分析】本題考查垂徑定理和勾股定理，利用垂徑定理構造直角三角形從而利用勾股定理求解是解題的關鍵．（1）過O作OE⊥AB于點E，由垂徑定理可得AE=BE，CE=DE，再用等式的性質即可得證；（2）連接OC、OA，利用垂徑定理求出AE，在Rt△AOE中，由勾股定理求出OE2，然后在Rt△COE中，利用勾股定理即可求出【詳解】（1）證明：過O作OE⊥AB于點E，如圖，由垂徑定理可得AE=BE，CE=DE，∴AE?CE=BE?DE，∴AC=BD；（2）解：連接OC、OA，如圖，

∵AC=3，BC=5，∴AB=3+5=8，∴AE=4，∴CE=AE?AC=4?3=1，∴在Rt△AOE中，OE∴在Rt△COE中，OC∴10，即小圓的半徑r為103．（22-23九年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，在兩個同心圓⊙O中，大圓的弦AB與小圓相交于C，D兩點．(1)求證：AC=BD．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．【答案】(1)證明見解析(2)小圓的半徑r為17【分析】（1）過O作OE⊥AB于點E，由垂徑定理可知E為CD和AB的中點，則可證得結論；（2）連接OC,OA，由條件可求得CD的長，則可求得CE和AE的長，在Rt△AOE中，利用勾股定理可求得OE的長，在Rt△【詳解】（1）證明：過O作OE⊥AB于點E，如圖1，由垂徑定理可得AE=BE,CE=DE,∴AE?CE=BE?DE,∴AC=BD.（2）解：連接OC,OA，如圖2，∵，∴AB=2+4=6，∴AE=3，∴CE=AE?AC=1，在Rt△AOE中，由勾股定理可得在Rt△COE中，由勾股定理可得∴OC=17，即小圓的半徑r為17【點睛】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識．此題難度適中，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用，注意輔助線的作法．題型四利用弧、弦、圓心角的關系求解例4.（24-25九年級上·江蘇南通·階段練習）如圖，△ABC內接于⊙O，A為劣弧BC的中點，∠BAC=120°，BD為⊙O的直徑，連接AD，若AD=8，則AC的長為．【答案】8【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理和圓心角、弧、弦的關系．先根據(jù)圓心角、弧、弦的關系得到AB=AC，再利用等腰三角形的性質和三角形內角和計算出∠ACB=30°，接著根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=30°，∠BAD=90°，然后利用含30度角的直角三角形三邊的關系求出AB，從而得到AC的長．【詳解】解：為劣弧BC的中點，AB=AC∴AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=1∴∠ADB=∠ACB=30°，∵BD為⊙O的直徑，，則BD=2AB在Rt△ABD中，∴AB=3∴AC=8故答案為：83鞏固訓練1．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，已知AC⊥BD，垂足為E，弦AB的弦心距為OF．

（1）若AF=OF，則∠ADB的度數(shù)為．（2）若⊙O的半徑為5，AB=8，則CD的長為．【答案】45°6【分析】本題考查垂徑定理及其推論，圓周角定理，圓心角與弧、弦的關系；（1）連接OA,OB.證明△AOF和△BOF都是等腰直角三角形即可；（2）延長AO交⊙O于點G，連接BG，則OF是△ABG的中位線，可以求出BG=6，然后根據(jù)垂直證明∠CAD=∠BAG,，根據(jù)圓周角相等則所對的弦相等得到CD=BG=6．【詳解】如圖1，連接OA,OB.

∵OF是弦AB的弦心距，∴OF⊥AB，∴AF=BF.∵AF=OF,∴△AOF和△BOF都是等腰直角三角形，∴∠AOF=∠BOF=45°,∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=90°,∴∠ADB=1（2）如圖2，延長AO交⊙O于點G，連接BG，則OF是△ABG的中位線，

∴BG=2OF．在Rt△AOF中，由勾股定理得OA∴BG=6.∵AC⊥BD，∴∠CAD+∠ADB=90°．∵AG是⊙O的直徑，∴∠BAG+∠G=90°.∵∠G=∠ADB,∴∠CAD=∠BAG,∴DC∴CD=BG=6．2．（22-23九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）如圖，在⊙O中，CD是⊙O上的一條弦，直徑AB⊥CD，連接AC、OD，∠A=26°，則∠D的度數(shù)是°．【答案】38【分析】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、弧與圓心角的關系，連接OC，由垂徑定理得出BC=BD，由弧與圓心角的關系得出∠COB=∠BOD，再由圓周角定理得出【詳解】解：如圖，連接OC，，∵CD是⊙O上的一條弦，直徑AB⊥CD，∴BC=∴∠COB=∠BOD，∵∠A=26°，∴∠COB=2∠A=52°，∴∠BOD=52°，∴∠D=90°?∠BOD=38°，故答案為：．3．（2024·江蘇南京·模擬預測）如圖，在半圓O中，點C在半圓O上，點D在直徑AB上，將半圓O沿過BC所在的直線折疊，使BC恰好經過點D．若BC=10，BD=1，則半圓O的直徑為【答案】4【分析】本題考查了利用弧、弦、圓心角的關系求解，結合半圓（或直徑）所對的圓周角是直角、圓周角定理、等腰三角形三線合一的性質、勾股定理、解一元二次方程等知識，熟練掌握知識點推理、正確計算是解題的關鍵．利用弧、弦、圓心角的關系，證明，根據(jù)半圓（或直徑）所對的圓周角是直角、圓周角定理、等腰三角形三線合一的性質、勾股定理列出一元二次方程a+122?【詳解】解：如圖，點O為圓心，過點C作CH⊥AB交于點，連接AC、OC、CD，∵在半圓O中，點C在半圓O上，點D在直徑AB上，將半圓O沿過BC所在的直線折疊，使BC恰好經過點D，∴CD和AC是等圓中的圓弧，且所對的圓周角都等于∠ABC，∠ACB=∠CHB=90°，∴CD和AC所對的圓心角也相等，∴CD=∴，又∵CH⊥AB，BC=10，BD=1∴設AH=DH=a，則BH=a+1，AB=2a+1，AO=BO=CO=ABOD=BO?BD=a+1OH=DH?OD=a?a?∵CH∴a+1整理得：2a2a?3a+3∴2a?3=0或a+3=0，解得：a1=3∴半圓O的直徑AB=2×3故答案為：4．題型五利用弧、弦、圓心角的關系求證例5.（24-25九年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，是⊙O的兩條弦，AC與BD相交于點E，AB=CD．求證：AC=BD．【答案】見解析【分析】本題考查了弧、弦、圓心角的關系．利用弧、弦、圓心角的關系得出AB+AD=【詳解】證明：∵AB=CD，∴AB=∴AB+即BD=∴BD=AC．鞏固訓練1．（2024九年級上·全國·專題練習）如圖，在⊙O中，AC=BC，于點D，CE⊥OB于點E．(1)求證：AD=BE．(2)若AD=DO，r=3，求CD長．【答案】(1)證明見解析(2)3【分析】（1）連接OC，AC，BC，先證明，再證明△COD≌△COE，進一步可得答案；（2）求解OA=OC=3，AD=DO=32，結合【詳解】（1）證明：連接OC，AC，BC，∵AC=BC，∴AC=∴，又CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO=∠CEO=90°，∵OC=OC，∴△COD≌△COE，∴OD=OE，∵OA=OB，∴AD=BE；（2）解：∵AD=DO，r=3，∴OA=OC=3，AD=DO=3∵，∴CD=C【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，全等三角形的判定與性質，弧，弦，圓心角之間的關系，掌握以上基礎知識是解本題的關鍵．2．（24-25九年級上·江蘇泰州·階段練習）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，D是弧AC的中點，延長BC到點E，使CE=AB，連接BD，ED．(1)求證：BD=ED．(2)若∠ABC=60°，AD=5，求⊙O的半徑，【答案】(1)見解析(2)5【分析】本題考查了圓內接四邊形，圓周角定理，全等三角形的判定和性質；（1）根據(jù)圓內接四邊形的性質得到∠BAD=∠ECD，再證明△ABD≌△CED即可得到BD=ED；（2）連接DO并延長交⊙O于F，連接CF，則，根據(jù)已知條件得到∠ABD=∠CBD，AD=CD=5，求得∠F=30°，根據(jù)直角三角形的性質得到結論．【詳解】（1）證明：∵D是弧AC的中點，∴AD=∴AD=DC，∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵，∴∠BAD=∠ECD，∵CE=AB∴△ABD≌△CEDSAS∴BD=ED；（2）解：連接DO并延長交⊙O于F，連接CF，則，∵D是弧AC的中點，∴AD=∴∠ABD=∠CBD，AD=CD=5，∵∠ABC=60°，∴，∴∠F=∠DBC=30°，∴DF=2CD=10，∴⊙O的半徑123．（24-25九年級上·浙江紹興·階段練習）如圖，⊙O的直徑AB為10，弦BC為6，D是AC的中點，弦BD和CE交于點F，且DF=DC．(1)求證：EB=EF；(2)求證：BE(3)求CE的長．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)7【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質得∠DCF=∠DFC，再根據(jù)對頂角相等及同弧所對的圓周角相等得∠DBE=∠EFB，即可證明EB=EF；（2）根據(jù)題意可得AD=CD，則∠DBA=∠DBC，再證明∠ABE=∠ECB，即可證明（3）過B作BH⊥CE于點H，連接AE，AC，利用等弧所對的圓周角相等證明△BCH是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】（1）證明：∵DF=DC，，∵∠DCF=∠DBE，∠DFC=∠EFB，∴∠DBE=∠EFB，∴EB=EF；（2）證明：是AC的中點，∴AD=，∵∠DBE=∠EFB，∴∠DBE?∠DBA=∠EFB?∠DBC，即∠ABE=∠ECB，∴AE=（3）解：過B作BH⊥CE于點H，連接AE，AC，為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∠AEB=90°，由（2）可知AE=∴AE=BE=2∴∠ACE=∠BCE=45°，在等腰直角三角形BCH中，CH=BH=22在Rt△BEH中，∴CE=CH+EH=32【點睛】本題主要考查了弧與弦，圓周角的關系，勾股定理，等腰三角形的性質和判定，正確作出輔助線是解題的關鍵．題型六求圓弧的度數(shù)例6．（22-23九年級上·全國·單元測試）已知AB，CD是⊙O的直徑，弦CE∥AB，∠COE=40°，則BD的度數(shù)是（

）A．70° B．110° C．40° D．70°或110°【答案】D【分析】本題考查了考查了圓的有關性質，等腰三角形的有關性質，平行線的性質，根據(jù)題意畫圖分情況分析即可，熟練掌握知識點的應是解題的關鍵．【詳解】如圖，∵，∴∠1=∠2，∵∠COE=40°，∴∠1=∠2=1∵弦CE∥AB，∴∠AOE=∠2=70°，∴∠BOD=∠AOC=∠COE+∠AOE=110°∴BD的度數(shù)是110°；如圖，∵，∴∠C=∠E，∵∠COE=40°，∴∠C=∠E=1∵弦CE∥AB，∴∠AOC=∠C=70°，∴∠BOD=∠AOC=70°∴BD的度數(shù)是70°；綜上可知：BD的度數(shù)是70°或110°，故選：D．鞏固訓練1．（23-24九年級上·山東聊城·期中）如圖，AB，CD是⊙O的弦，延長AB，CD相交于點E，已知∠E=30°，∠AOC=100°，則BD的度數(shù)是（

）A．70° B．50° C．40° D．30°【答案】C【分析】本題考查了等邊對等角，三角形內角和定理，圓心角等知識．明確角度之間的數(shù)量關系是解題的關鍵．如圖，連接OB、OD、AC，由三角形內角和求∠OAC+∠OCA=180°?∠AOC，∠EAO+∠ECO=180°?∠E?∠OAC+∠OCA，∠AOB+∠COD=180°?∠OAB+∠OBA+180°?【詳解】解：如圖，連接OB、OD、AC，∴∠OAB=∠OBA，∠OCD=∠ODC，∠OAC+∠OCA=180°?∠AOC=80°，∴∠EAO+∠ECO=180°?∠E?∠OAC+∠OCA∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC=2×70°=140°，∴∠AOB+∠COD=180°?∠OAB+∠OBA∴∠BOD=360°?∠AOC?∠AOB+∠COD∴BD的度數(shù)為40°，故選：C．2．（2023·福建·模擬預測）如圖，點A，B，C在⊙O上，AC=2AB，∠ABC=38°，連接OA交BC于點M，則∠AMC的度數(shù)是（A．108° B．109° C．110° D．112°【答案】B【分析】連接OB，OC由已知條件求得∠AOB，由OC=OB，得∠OCB=∠OBC，繼而求得∠AMC=∠OMB=109°，再根據(jù)三角形內角和性質，即可求得∠AMC．【詳解】如解圖，連接OB，OC，∵∠ABC=38°，∴∠AOC=2∠ABC=76°．∵AC=2∴∠AOB=1∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=1∴∠OMB=180°?∠AOB?∠OBC=180°?38°?33°=109°，∴∠AMC=∠OMB=109°．故選B．【點睛】本題考查了圓心角定理，圓周角定理，三角形內角和定理，等邊對等角，熟悉以上知識是解題的關鍵．3．（23-24九年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，是⊙O的兩條弦，且AB=AC，點D,P分別在BC和AC上，若∠BDC=150°，則∠APC的度數(shù)是（

）A．105° B．110° C．120° D．150°【答案】A【分析】此題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角或弧的度數(shù)的一半．根據(jù)圓內接四邊形對角互補求得∠BAC的度數(shù)，即可求得BC的度數(shù)，進而求得AB的度數(shù)，ABC的度數(shù)，則∠APC的度數(shù)即可求解．【詳解】解：在圓內接四邊形ABCD中，∠BAC=180°?∠BDC=180°?150°=30°，則BC的度數(shù)是60°，又∵AB=AC，∴AB的度數(shù)=AC的度數(shù)=1∴ABC的度數(shù)是150°+60°=210°，∴∠APC=1故選：A．題型七利用圓周角定理求角度例7.（24-25九年級上·江蘇南京·階段練習）已知⊙O的半徑OA=1，弦AB的長為2，若在⊙O上找一點C，則∠BCA=°．【答案】45°或135°．【分析】本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，勾股定理逆定理，先由勾股定理逆定理求出∠AOB=90°，分別在優(yōu)弧AB和劣弧AB取點C1和，連接AC1，，，，則∠BC1A=45°，然后根據(jù)圓內接四邊形的性質可求出【詳解】解：∵，AB=2，∴OA∴∠AOB=90°，如圖，分別在優(yōu)弧AB和劣弧AB取點C1和，連接AC1，，，，∴∠BC∵四邊形AC∴∠BC∴∠BC故答案為：45°或135°．鞏固訓練1．（24-25九年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠OAB=25°，則∠ACB的度數(shù)為°．【答案】65【分析】本題考查了圓周角定理.根據(jù)等腰三角形的性質由OB=OA得∠OBA=∠OAB=25°，再根據(jù)三角形內角和定理計算出∠BOA=130°，然后根據(jù)圓周角定理求解．【詳解】解：∵OB=OA，∴∠OBA=∠OAB=25°，∴∠BOA=180°?25°?25°=130°，∴∠ACB=1故答案為：65．2．（24-25九年級上·江蘇南通·階段練習）如圖，以△ABC的邊BC為直徑的⊙O分別交AB、AC于點D、E，連接OD、OE．若，則∠DOE=°．【答案】56【分析】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，圓周角定理，熟悉圓周角定理的應用是解題的關鍵．連接CD，由BC為直徑，得到∠BDC，∠ADC，然后根據(jù)三角形內角和定理得到∠ACD，最后利用圓周角定理即可得到答案．【詳解】解：連接CD，如圖∵BC是⊙O的直徑∴∠BDC=90°，則∠ADC=90°∴∠ACD=180°?∠ADC?∠A=180°?90°?62°=28°∴∠DOE=2∠DCE=2×28°=56°故答案為：56．3．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）已知AC是⊙O的弦，點B在⊙O上，連接OA，OC，OB，∠BOC=40°．（1）如圖①，當AC=BC時，∠OAC=（2）如圖②，當AC∥OB時，∠AOC=°；（3）如圖③，當AC=OB時，∠AOB=°．【答案】70100100【分析】本題考查圓周角定理，平行線的性質，等邊三角形的判定及性質等知識點，熟練掌握相關知識是解決問題的關鍵．（1）根據(jù)圓周角定理及等腰三角形的性質即可求解；（2）根據(jù)平行線的性質及等腰三角形的性質即可求解；（3）先證明△AOC為等邊三角形，即可求解．【詳解】解：（1）∵AC=∴∠AOC=∠BOC=40°，∵OA=OC，∴∠OAC=180°?∠AOC故答案為：70；（2）∵AC∥OB，∴，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=40°，則∠AOC=180°?∠OAC?∠OCA=100°，故答案為：100；（3）∵AC=OB，OA=OC，∴，即：△AOC為等邊三角形，∴，則∠AOB=∠AOC+∠BOC=100°，故答案為：100．題型八利用圓內接四邊形的性質求角度例8.（24-25九年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BC是⊙O的直徑，BC=2AB，則∠ADC的度數(shù)為°．【答案】120°【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質，圓內接四邊形的性質，連接OA，由BC是⊙O的直徑，BC=2AB，證明△OAB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質得∠ABO=60°，最后由圓內接四邊形的性質即可求解，掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接OA，∵BC是⊙O的直徑，BC=2AB，∴OA=AB=OB，∴△OAB是等邊三角形，∴∠ABO=60°，∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴，∴∠ADC=120°，故答案為：120°．鞏固訓練1．（24-25九年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，AB=AD，∠E=130°，則∠C的度數(shù)為°．【答案】100【分析】本題考查的是圓內接四邊形的性質，等邊對等角的知識，熟知圓內接四邊形的對角互補是解答此題的關鍵．連接BD，先根據(jù)圓內接四邊形的性質求出∠ABD的度數(shù)，再由等邊對等角的性質以及三角形內角和的定理求出∠BAD的度數(shù)，由圓內接四邊形的性質即可得出結論．【詳解】解：如圖，連接BD，∵四邊形ABDE是圓內接四邊形，∠E=130°，∴∠ABD=180°?130°=50°．∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=50°．∴∠BAD=180°?2×50°=80°，∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∴∠C=180°?80°=100°．故答案為：100°2．（23-24九年級上·黑龍江大慶·期中）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，延長交⊙O于點E，連接，若∠A=100°，∠E=60°，則∠OCD的大小為°．【答案】50【分析】本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．根據(jù)圓周角定理得到∠EBC=90°，求出∠BCE，根據(jù)圓內接四邊形的性質得到，計算即可．【詳解】解：∵是⊙O的直徑，∴∠EBC=90°，又∠E=60°，∴∠BCE=90°?∠E=30°，∵四邊形ABCD內接于⊙O，∠A=100°，∴，∴∠OCD=∠BCD?∠BCE=50°，故答案為：50．3．（24-25九年級上·全國·單元測試）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，E為AD延長線上一點，∠AOC=128°，則∠CDE等于．【答案】64°/64度【分析】本題主要考查圓周角定理、圓內接四邊形的性質等，靈活運用以上知識點是解題的關鍵．根據(jù)圓周角定理先求出∠ABC=64°，再根據(jù)圓內接四邊形的性質求出∠ADC的度數(shù)，最后根據(jù)鄰補角的定義即可求出答案．【詳解】解：∵∠AOC=128°，∴∠ABC=64°，∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠ADC=180°?64°=116°，∴∠CDE=180°?∠ADC=64°．故答案為：64°．題型九利用圓周角定理的推論進行探究證明例9.（24-25九年級上·江蘇鹽城·階段練習）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BAD=90°，BC=CD，過點C作CE，使得CD=CE，交AD的延長線于點E．(1)求證：；(2)若，求CD的長．【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）連接AC，根據(jù)BC=CD，推出∠BAC=∠EAC，根據(jù)CD=CE，得到∠E=∠CDE，根據(jù)圓內接四邊形性質得到∠B=∠CDE，得到∠B=∠E，結合AC共用，推出△ABC≌△AECAAS，得到；（2）證明BD是⊙O的直徑，得到∠BCD=90°，根據(jù)，得到AE=AB=8．根據(jù)勾股定理得到BD=45，根據(jù)等腰直角三角形性質即得CD=210【詳解】（1）證明：如圖，連接AC．∵BC=CD，∴BC=∴∠BAC=∠EAC，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠B+∠ADC=180°，∠CDE+∠ADC=180°，∴∠B=∠CDE，∴∠B=∠E，在△ABC與△AEC中，∠B=∠E∠BAC=∠EAC∴△ABC≌△AECAAS∴；（2）解：如圖，連接BD．∵∠BAD=90°，∴BD是⊙O的直徑，∴∠BCD=90°，由（1）可得．∵，∴AE=AB=8．∴在Rt△ABD中，在Rt△BCD中，【點睛】本題主要考查圓有關性質．熟練掌握弧，弦，圓周角之間的關系，圓內接四邊形的性質，等邊對等角，勾股定理解直角三角形，圓周角定理及推論，全等三角形的性質與判定，作出輔助線構造全等三角形和直角三角形，是解題的關鍵．鞏固訓練1．（24-25九年級上·浙江寧波·階段練習）如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是圓上的兩點，∠C=90°，且OD∥AC，OD與BC交于點E．(1)求證：E為BC的中點．(2)若BC=10，，求AB的長度．【答案】(1)見解析(2)AB=【分析】本題主要考查圓周角定理，平行線的性質，勾股定理，垂徑定理等知識點，熟練掌握運用這些知識點是解題關鍵．（1）根據(jù)直徑的性質可得∠C=90°，根據(jù)平行線的性質可證OD⊥BC，根據(jù)垂徑定理即可得證；（2）設圓O的半徑為x，在中用勾股定理建立方程，求解即可．【詳解】（1）證明：∵AB是半圓O的直徑，，∴∠C=90°，∵OD∥AC，∴∠OEB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∴BE=CE，即E為BC的中點；（2）解：設圓O的半徑為x，則OB=OD=x，OE=x?3，BE=1在中，，∴x2解得x=17∴AB=2x=342．（24-25九年級上·江蘇鹽城·階段練習）如圖所示，四邊形ABCD是半徑為r的⊙O的內接四邊形，AB是⊙O的直徑，∠ABD=45°，直線l與三條線段CD、CA、DA的延長線分別交于點E、F、G．且滿足∠CFE=45°．(1)求證：直線直線CE；(2)若AB=DG．①求證：△ABC≌△GDE；②若半徑r=2,CE=3，求四邊形ABCD的周長．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②7+2【分析】（1）在⊙O中，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠ACD=∠ABD=45°，結合已知在△CFE中根據(jù)三角形內角和定理可求得∠FEC=90°；（2）①根據(jù)圓內接四邊形的性質和鄰補角可得∠ABC=∠GDE，由直徑所對的圓周角是直角和（1）可得∠ACB=∠GED，結合已知即可證得△ABC≌△GDEAAS②在⊙O中由r=2，可得AB=4，結合題意易證DA=DB，在Rt△ABC中由勾股定理可求得，由①可知易得BC+CD=DE+CD=CE【詳解】（1）證明：在⊙O中，∵AD∴∠ACD=∠ABD=45°，即∠FCE=45°，在△CFE中，∵∠CFE=45°，∴∠FEC=180°?∠FCD+∠CFE即直線直線CE；（2）解：①四邊形ABCD是半徑為r的⊙O的內接四邊形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ADC+∠GDE=180°，∴∠ABC=∠GDE，是⊙O的直徑，，由（1）可知∠GED=90°，∴∠ACB=∠GED，在△ABC與△GDE中，∠ABC=∠GDE∠ACB=∠GED∴△ABC≌△GDEAAS②在⊙O中，r=2，，是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=45°，∴∠BAD=90°?∠ABD=45°，∴DA=DB，在Rt△∴DA即2DA解得：，由①可知△ABC≌△GDE，∴BC=DE，∴BC+CD=DE+CD=CE=3，∴四邊形ABCD的周長為：DA+AB+BC+CD=DA+AB+CE=4+22【點睛】本題考查了同弧所對的圓周角相等、三角形內角和定理、垂直的定義、圓內接四邊形的性質、鄰補角互補、直徑所對的圓周角是直角、全等三角形的判定和性質、勾股定理解直角三角形以及周長的計算；解題的關鍵是靈活運用以上知識，綜合求解．3．（24-25九年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點E，連接DO并延長交⊙O于點F，連接交CD于點G，CG=AG，連接AC．(1)求證：AC∥DF；(2)①_____°；②若AB=12，由①中結論求GD的長．【答案】(1)見解析(2)①60；②【分析】（1）根據(jù)CG=AG得到∠CAG=ACG，再根據(jù)圓周角定理得出∠AFD=∠ACD，進而得到∠AFD=∠CAG，即可求證；（2）①由題意可得OD=OA=12AB=6，DF=12，證明△ACE≌△ODEASA，得到AC=OD=6，AE=OE=12OA=3②利用勾股定理求出CE=AC2?AE2=33，進而得到【詳解】（1）證明：∵CG=AG，∴∠CAG=∠ACG，∵∠AFD=∠ACD，∴∠AFD=∠CAG，∴AC∥DF；（2）解：①∵AB=12，∴OD=OA=12AB=6∵CD⊥AB，∴CE=DE，∵AC∥DF，∴∠ACE=∠ODE，在△ACE和△ODE中，∠ACE=∠ODECE=DE∴△ACE≌△ODEASA∴AC=OD=6，AE=OE=1∴cos∴∠CAE=60°∴∠C=30°∴∠AOD=2∠C=60°；②根據(jù)勾股定理可得：CE=A則CD=63∵∠ACG=∠GFD，∠CAG=∠GDF，∴△ACG∽△DFG，∴AGDG∵CG=AG，∴AGDG=CG∴DG=2【點睛】本題考查了圓與三角形綜合問題、圓周角定理、垂徑定理、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質，找到邊長之間的關系以及角之間的關系是解題的關鍵．題型十切線的性質和判定的綜合應用例10.（2024九年級上·全國·專題練習）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，∠ABC=20°，OC的延長線交PA于點P，則∠P的度數(shù)是（）A．20° B．40° C．50° D．60°【答案】C【詳解】本題主要考查了圓相關．熟練掌握圓切線判定和性質，等腰三角形性質，三角形外角性質，是解決問題的關鍵．由等腰三角形的性質得到∠OCB=∠B=20°，由三角形外角的性質求出的度數(shù)，由切線的性質得到∠OAP=90°，由直角三角形的性質即可求出∠P的度數(shù)．【解答】解：∵OB=OC，∴∠OCB=∠B=20°，∴∠AOP=∠B+∠OCB=40°，∵PA與⊙O相切于點A，∴PA⊥OA，∴∠OAP=90°，∴∠P=90°?∠AOP=50°．故選：C．鞏固訓練1．（2024·四川德陽·模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D為圓心，AD為半徑的弧恰好與BC相切，切點為E，若ABCD=1A．43 B．477 C．3【答案】D【分析】本題主要考查了圓綜合．熟練掌握圓切線的判斷和性質，全等三角形的判斷和性質，勾股定理解直角三角形，正切定義，是解決問題的關鍵．連接BD，ED，根據(jù)平行線性質得到∠ABD=∠BDC，證明AB是⊙D的切線，根據(jù)為⊙D的切線，得到BC⊥DE，AB=BE，證明Rt△ABD≌Rt△EBDHL，得到∠ABD=∠DBC，得到∠BDC=∠DBC，得到BC=CD，根據(jù)ABCD=13，設【詳解】解：如圖，連接BD，ED，∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，∵AD⊥AB，∴AB是⊙D的切線，∵為⊙D的切線，∴BC⊥DE，AB=BE，∵BD=BD，∴Rt△∴∠ABD=∠DBC，∴∠BDC=∠DBC，∴BC=CD，∵ABCD∴設AB=BE=a，則BC=CD=3a，∴CE=BC?BE=2a，∴DE=C∴tanC故選：Ｄ．2．（23-24九年級上·四川綿陽·期中）如圖，AB是圓O的弦，OA⊥OD，AB，OD相交于點C，且CD=BD．連接OB，當OA=3，OC=1時，則線段BD的長為（）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查了切線的性質與判定，勾股定理；連接OB，由BD=CD，利用等邊對等角得到∠DCB=∠DBC，再由AO垂直于OD，得到三角形AOC為直角三角形，得到兩銳角互余，等量代換得到OB垂直于BD，即可證得BD為圓O的切線；設BD=x，則OD=x+1，在Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理得出【詳解】解：連接OB，

∵OA=OB，DC=DB，∴∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，∵AO⊥OD，∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，∵∠ACO=∠DCB=∠DBC，∴∠ABO+∠DBC=90°，即OB⊥BD，則BD為圓O的切線；解：設BD=x，則OD=x+1，而OB=OA=3，在Rt△OBD中，O即32解得x=4，∴線段BD的長是4．故選：B．3．（2023九年級·全國·專題練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC邊為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線，交AB于點E，交AC的延長線于點F；若半徑為3，且，則線段AE的長是（）A．245 B．5 C．194 【答案】A【分析】連接OD，如圖，利用等腰三角形的性質和平行線的判定得到OD∥AB，再根據(jù)切線的性質得到OD⊥DF，則AE⊥EF，接著在Rt△ODF中利用正弦的定義求出OF=5，然后在Rt△AEF中利用正弦定義可求出AE的長．【詳解】解：連接OD，如圖，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∵DF為切線，∴OD⊥DF，∴AE⊥EF，在Rt△ODF中，∵sin，在Rt△AEF中，∵sin故選：A．【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了解直角三角形．題型十一利用切斜長定理求解例11.（23-24九年級上·四川綿陽·階段練習）如圖，AD、AE是⊙O的切線，D、E為切點，BC與⊙O相切于點F，分別交AD、AE于點B、C．若△ABC的周長為16，則切線長AD為（

）A．6 B．7 C．8 D．無法確定【答案】C【分析】本題主要考查了切線長定