二輪復習課件專題二 函數(shù)、導數(shù)、不等式

專題二：函數(shù)、導數(shù)、不等式本專題重點講解函數(shù)、導數(shù)、不等式這三大核心概念，以及它們在高中數(shù)學中的應用。DH投稿人：DingJunHong函數(shù)概念及其性質定義函數(shù)是將一個集合（定義域）中的元素對應到另一個集合（值域）中的元素的對應關系，并且這種對應關系是唯一的。性質單調性、奇偶性、周期性、有界性、最值等都是函數(shù)的重要性質，可以幫助我們分析函數(shù)的圖像和變化趨勢。圖像函數(shù)的圖像可以直觀地展示函數(shù)的性質和變化趨勢，它是理解函數(shù)的重要工具。函數(shù)的表示方法圖像法函數(shù)圖像直觀地反映函數(shù)變化規(guī)律，可以幫助理解函數(shù)性質，例如單調性、奇偶性、周期性等。解析法解析法使用公式或方程描述函數(shù)，可以精確地計算函數(shù)值，方便分析函數(shù)性質。列表法列表法將函數(shù)對應關系列成表格，直觀地展示函數(shù)值的變化，適合用于離散型函數(shù)。文字描述法文字描述法使用語言描述函數(shù)對應關系，適合用于表達函數(shù)定義、性質等。函數(shù)的基本性質單調性函數(shù)在定義域內，自變量增大時，函數(shù)值也隨之增大，則函數(shù)是單調遞增的，反之則為單調遞減的。奇偶性對于定義域內任何x，都滿足f(-x)=-f(x)，則函數(shù)為奇函數(shù)，若滿足f(-x)=f(x)，則函數(shù)為偶函數(shù)。周期性若存在一個正數(shù)T，對于定義域內任何x，都滿足f(x+T)=f(x)，則函數(shù)為周期函數(shù)，T為函數(shù)的周期。函數(shù)的分類11.按定義域和值域根據(jù)函數(shù)定義域和值域的類型可以將函數(shù)分為實值函數(shù)、復值函數(shù)、向量值函數(shù)等。22.按表達式根據(jù)函數(shù)表達式形式可以將函數(shù)分為多項式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等。33.按單調性根據(jù)函數(shù)的單調性可以將函數(shù)分為單調遞增函數(shù)、單調遞減函數(shù)、單調函數(shù)等。44.按奇偶性根據(jù)函數(shù)的奇偶性可以將函數(shù)分為奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)等。初等函數(shù)及其性質基本初等函數(shù)包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。這些函數(shù)是構建其他更復雜函數(shù)的基礎。性質定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性、漸近線等性質。這些性質可以幫助我們理解函數(shù)的圖像和行為。反函數(shù)及其性質反函數(shù)定義如果對于函數(shù)y=f(x)上的任意一個x值，都存在唯一的y值與之對應，并且對于函數(shù)y=f(x)上的任意一個y值，也存在唯一的x值與之對應，那么稱y=f(x)是一個一一對應的函數(shù)，也稱y=f(x)是一個可逆函數(shù)。反函數(shù)是指與原函數(shù)互為逆運算的函數(shù)，記作y=f-1(x)，其定義域是原函數(shù)的值域，值域是原函數(shù)的定義域。反函數(shù)性質反函數(shù)的圖像關于直線y=x對稱f(f-1(x))=x且f-1(f(x))=x如果f(x)是單調函數(shù)，則f-1(x)也是單調函數(shù)如果f(x)是奇函數(shù)，則f-1(x)也是奇函數(shù)如果f(x)是偶函數(shù)，則f-1(x)不一定存在復合函數(shù)及其性質定義復合函數(shù)是將兩個或多個函數(shù)組合而成的函數(shù)，即一個函數(shù)的輸出作為另一個函數(shù)的輸入。性質復合函數(shù)的定義域和值域與構成它的函數(shù)的定義域和值域有關。應用復合函數(shù)廣泛應用于物理學、工程學和經濟學等領域，用于描述復雜系統(tǒng)的行為。平移、對稱和伸縮對函數(shù)的影響1平移改變函數(shù)圖像的位置2對稱關于坐標軸或原點對稱3伸縮改變函數(shù)圖像的形狀平移、對稱和伸縮是三種常見的函數(shù)變換。這些變換可以改變函數(shù)圖像的位置、形狀和方向。導數(shù)的概念及其性質11.定義導數(shù)表示函數(shù)在某一點的變化率，體現(xiàn)函數(shù)值隨著自變量的變化而變化的快慢程度。22.幾何意義導數(shù)等于函數(shù)圖像在該點切線的斜率，反映了函數(shù)曲線在該點的切線方向。33.物理意義導數(shù)代表了運動物體的瞬時速度，反映了物體在某一時刻的運動速度。44.性質導數(shù)具有線性、乘積法則、商法則等性質，這些性質可以簡化導數(shù)的計算。導數(shù)的計算法則基本函數(shù)的導數(shù)掌握基本函數(shù)的導數(shù)公式，例如常數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等。導數(shù)的四則運算利用導數(shù)的加減乘除法則，以及復合函數(shù)求導法則，可以計算出復雜函數(shù)的導數(shù)。復合函數(shù)求導復合函數(shù)的導數(shù)等于外層函數(shù)的導數(shù)乘以內層函數(shù)的導數(shù)，這是一個重要的法則，需要熟練掌握。隱函數(shù)求導隱函數(shù)的導數(shù)需要利用隱函數(shù)求導法則，通過對等式兩邊同時求導來計算。導數(shù)的應用求函數(shù)的最值利用導數(shù)可求解函數(shù)的最大值和最小值，幫助我們理解函數(shù)的極值問題。求函數(shù)的單調性導數(shù)可以幫助我們判斷函數(shù)的單調區(qū)間，了解函數(shù)在不同區(qū)間內的變化趨勢。求曲線切線方程導數(shù)表示函數(shù)在某一點的瞬時變化率，可以用導數(shù)求出曲線在某一點的切線斜率。解決實際問題導數(shù)在物理學、經濟學、工程學等領域廣泛應用，可以幫助我們解決各種實際問題。高階導數(shù)及其應用曲線凹凸性二階導數(shù)可以判斷函數(shù)圖像的凹凸性，從而確定函數(shù)的拐點。函數(shù)極值高階導數(shù)可以幫助我們更準確地判斷函數(shù)的極值，尤其是在二階導數(shù)為零的情況下。物理應用高階導數(shù)在物理學中有很多應用，例如描述物體的加速度和角加速度。經濟學應用高階導數(shù)在經濟學中也有應用，例如分析邊際成本和邊際收益。隱函數(shù)及其求導定義隱函數(shù)是指無法直接用一個變量表示另一個變量的函數(shù)，但可以由一個方程來定義，例如，圓的方程x^2+y^2=r^2。求導求隱函數(shù)的導數(shù)，需要使用鏈式法則，對等式兩邊同時求導，然后解出y'。應用隱函數(shù)求導可以用來求解曲線上的切線方程、求解函數(shù)的極值點、以及研究函數(shù)的單調性等。極值問題及其應用最大值和最小值函數(shù)在某個區(qū)間上的最大值和最小值被稱為極值。極值問題是指求函數(shù)在某個區(qū)間上的最大值和最小值的問題。極值問題是數(shù)學中重要的研究方向之一，在經濟學、物理學、工程學等領域都有廣泛的應用。求解極值問題的方法求解極值問題常用的方法包括導數(shù)法、函數(shù)圖像法、不等式法等。導數(shù)法利用函數(shù)的導數(shù)來判斷函數(shù)的單調性，從而求出函數(shù)的極值。極值問題的應用極值問題在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，例如在優(yōu)化生產、設計建筑、預測股票價格等方面。例如，在生產過程中，我們需要找到生產成本最低的方案，而這可以通過求解函數(shù)的最小值來實現(xiàn)。函數(shù)圖像的特征及其應用函數(shù)圖像可以直觀地反映函數(shù)的性質，例如單調性、奇偶性、周期性、對稱性等。圖像特征在實際應用中至關重要，例如確定函數(shù)的極值、拐點和漸近線等。通過分析函數(shù)圖像，可以更直觀地理解函數(shù)的性質和變化規(guī)律，并解決實際問題。例如，可以根據(jù)函數(shù)圖像預測某個事件的發(fā)展趨勢，或根據(jù)函數(shù)圖像設計某個工程的方案等。不等式的基本性質符號意義不等號代表兩個數(shù)或表達式大小關系，表示兩者不完全相等。傳遞性若a>b且b>c，則a>c，大小關系可以傳遞。加減性質不等式兩邊同時加減同一個數(shù)或表達式，不等號方向不變。乘除性質不等式兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)，不等號方向不變。乘除以負數(shù)，不等號方向改變。等價不等式及其應用1等價變換等價不等式是指具有相同解集的不等式,通過等價變換可以將復雜的不等式轉化為簡單的不等式。2常用技巧常用技巧包括移項、合并同類項、乘除正數(shù)、兩邊平方、兩邊開方、取倒數(shù)等。3解題步驟解題步驟包括分析不等式類型、進行等價變換、求解最終不等式、檢驗解集是否符合原始不等式的要求。4應用場景等價不等式在解不等式、證明不等式、求函數(shù)的最值、求解最優(yōu)化問題等方面都有重要的應用。一次不等式及其解法不等式性質一次不等式是形如ax+b<0或ax+b>0的不等式，其中a,b為常數(shù)，a≠0.解不等式解一次不等式主要利用不等式的基本性質，將不等式轉化為x的形式，從而得到不等式的解集.解集表示解集可以用區(qū)間表示，例如(a,b)表示所有大于a且小于b的實數(shù).圖解法可以通過數(shù)軸上的點來表示一次不等式的解集，便于理解.應用一次不等式在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，例如求解最大值、最小值等問題.二次不等式及其解法1二次不等式定義二次不等式是指含有未知數(shù)的二次多項式與零的大小關系。2解法步驟首先將不等式化為標準形式，然后利用判別式、圖像或因式分解等方法求解。3解題技巧熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質，并學會利用數(shù)形結合的思想進行解題。高次不等式及其解法高次不等式是指次數(shù)大于等于三的不等式。求解高次不等式主要依賴于因式分解和數(shù)軸標根法。將不等式化簡為一個多項式乘積的形式，然后在數(shù)軸上標出所有根，并將數(shù)軸分成若干個區(qū)間，分別代入測試點進行判斷。1因式分解將高次不等式化簡為一個多項式乘積的形式2數(shù)軸標根在數(shù)軸上標出所有根，并將數(shù)軸分成若干個區(qū)間3測試點分別代入測試點進行判斷，確定不等式成立的區(qū)間在解高次不等式時，要注意特殊情況，例如根的重數(shù)、等號的取舍等。此外，還要注意運用函數(shù)的單調性、零點定理等知識來輔助解題。絕對值不等式及其解法1定義法利用絕對值的定義，將不等式轉化為分段函數(shù)形式2平方法利用絕對值的平方性質，將不等式轉化為二次不等式3幾何意義法利用數(shù)軸上的距離關系，將不等式轉化為幾何問題絕對值不等式是解不等式的重要組成部分，掌握其解法是解決相關問題的關鍵。含參數(shù)的不等式及其解法1參數(shù)范圍的討論首先要確定參數(shù)的取值范圍，以保證不等式有意義，并確定不等式的解集形式.2分類討論根據(jù)參數(shù)的取值范圍，將不等式進行分類討論，并分別求解不同情況下的解集.3解集的合并將所有分類討論得到的結果合并，得到最終的解集.不等式組及其解法1解不等式組求解滿足所有不等式的x值2畫數(shù)軸將每個不等式的解集表示在數(shù)軸上3取交集找到所有解集的公共部分解不等式組的關鍵是找到滿足所有不等式的x值。通過畫數(shù)軸將每個不等式的解集表示出來，最后取所有解集的公共部分即可得到不等式組的解集。不等式與應用問題實際問題轉化將實際問題轉化為數(shù)學模型，建立不等式關系，并求解。優(yōu)化問題利用不等式求解最值，優(yōu)化資源配置，提高效率。限制條件不等式可以表示約束條件，限制變量的取值范圍，從而滿足實際需求。圖形分析利用圖像直觀地分析不等式的解集，并結合實際問題進行解釋。不等式的綜合應用多條件限制實際問題中，常常涉及多個條件的限制，需要用不等式組來描述。變量關系分析變量之間的關系，建立目標函數(shù)和約束條件，轉化為數(shù)學模型。最優(yōu)解運用線性規(guī)劃、拉格朗日乘數(shù)法等方法求解最優(yōu)解，并結合實際意義進行解釋。重要結論的回顧與思考基本概念函數(shù)、導數(shù)、不等式等概念相互聯(lián)系，共同構成微積分的基礎。圖像分析掌握函數(shù)圖像的特征和性質，有助于理解函數(shù)的本質及其應用。邏輯推理數(shù)學證明需要嚴密的邏輯推理，充分利用定理和公式進行推導。解題方法熟練掌握各種解題技巧和方法，提升解題速度和準確率。本專題的重點與難點重點函數(shù)、導數(shù)和不等式是微積分學的基礎。掌握這些概念和方法，是學好高等數(shù)學的關鍵。本專題重點講解了函數(shù)的性質和表示方法、導數(shù)的概念和計算、不等式的性質和解法。難點函數(shù)的圖像與性質、導數(shù)的應用和不等式證明是本專題的難點。掌握這些知識需要深刻理解概念，靈活運用方法，并進行大量的練習。本專題的復習建議11.梳理知識體系將各個知識點聯(lián)系起來，形成