三角形面積最值問題（學(xué)生版）-2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題

專題05三角形面積最值問題

一、知識導(dǎo)航

求三角形的面積是幾何題中常見問題之一，可用的方法也比較多，比如面積公式、割補(bǔ)、等積變形、三角

函數(shù)甚至海倫公式，本文介紹的方法是在二次函數(shù)問題中常用的一種求面積的方法——鉛垂法.

【問題描述】在平面直角坐標(biāo)系中，已知4(1,1)、8(7,3)、C(4,7),求AABC的面積.

【分析】顯然對于這樣一個位置的三角形，面積公式并不太好用，割補(bǔ)倒是可以一試，比如這樣:

構(gòu)造矩形ADEF,用矩形面積減去三個三角形面積即可得△ABC面積.

這是在“補(bǔ)”，同樣可以采用“割”：

}

^ABC=S^CD+StfiCD=^CD-AE+iCD.BF=^CD（AE+BF）

此處AE+AF即為A、8兩點(diǎn)之間的水平距離.

由題意得：AE+BF=6.

下求CD:

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根據(jù)4、2兩點(diǎn)坐標(biāo)求得直線AB解析式為：y=-x+-

-33

由點(diǎn)C坐標(biāo)（4,7）可得。點(diǎn)橫坐標(biāo)為4,

將4代入直線解析式得。點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,

故。點(diǎn)坐標(biāo)為（4,2）,CD=5,

【方法總結(jié)】

作以下定義：

A、8兩點(diǎn)之間的水平距離稱為“水平寬”；

過點(diǎn)C作無軸的垂線與AB交點(diǎn)為D,線段C。即為A8邊的“鉛垂高”.

,團(tuán)1衿?水平寬x鉛垂高

如圖可行：S“BC=-------------------------

八y

c

【解題步驟】

（1）求A、5兩點(diǎn)水平距離，即水平寬;

(2)過點(diǎn)C作x軸垂線與AB交于點(diǎn)。，可得點(diǎn)。橫坐標(biāo)同點(diǎn)C;

(3)求直線A3解析式并代入點(diǎn)。橫坐標(biāo)，得點(diǎn)?？v坐標(biāo)；

(4)根據(jù)C、。坐標(biāo)求得鉛垂高；

(5)利用公式求得三角形面積.

【思考】如果第3個點(diǎn)的位置不像上圖一般在兩定點(diǎn)之間，如何求面積？

鉛垂法其實(shí)就是在割補(bǔ)，重點(diǎn)不在三個點(diǎn)位置，而是取兩個點(diǎn)作水平寬之后，能求出其對應(yīng)的鉛垂高！因

此，動點(diǎn)若不在兩定點(diǎn)之間，方法類似：

【鉛垂法大全】

(1)取A8作水平寬，過點(diǎn)C作鉛垂高CO.

(2)取AC作水平寬，過點(diǎn)5作5。軸交直線AC于點(diǎn)。，即對應(yīng)的鉛垂高,

q=qq=水平寬x鉛垂高

^AABC~^AABD-、ABCD-Z

(3)取BC作水平寬，過點(diǎn)A作鉛垂高AD

甚至，還可以橫豎互換，在豎直方向作水平寬，在水平方向作鉛垂高.

(4)取8C作水平寬，過點(diǎn)A作鉛垂高AO.

ky

C

水

平

寬

//-—、

A鉛蠡#

0

(5)取AC作水平寬，過點(diǎn)3作鉛垂高跳).

p

C

水

平

寬

A

(6)取AB作水平寬，過點(diǎn)C作鉛垂高CD.

二、典例精析

例一、

如圖，已知拋物線、=依2+法+5經(jīng)過A(-5,0),3(T,-3)兩點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為C.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P為該拋物線上一動點(diǎn)(與點(diǎn)3、C不重合)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)

動時，求APBC的面積的最大值.

【分析】

(1)y=x2+6x+5,

(2)取BC兩點(diǎn)之間的水平距離為水平寬，過點(diǎn)P作PQJ_尤軸交直線BC于點(diǎn)。，則P。即為鉛垂高.

根據(jù)2、C兩點(diǎn)坐標(biāo)得8、C水平距離為4,

根據(jù)2、C兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線8C解析式：y=x+l,

設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(〃2,源+6加+5),則點(diǎn)。(771,771+1),

得PQ=r廬5機(jī)-4,

考慮到水平寬是定值，故鉛垂高最大面積就最大.

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當(dāng)-一時，△BCP面積最大，最大值為一.

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【小結(jié)】選兩個定點(diǎn)作水平寬，設(shè)另外一個動點(diǎn)坐標(biāo)來表示鉛垂高.

例二、

在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)〉=辦2(。＞0)的圖像向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如

圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè))，04=1,經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)

y=Ax+6(左70)的圖像與y軸正半軸交于點(diǎn)C,且與拋物線的另一個交點(diǎn)為￡),AA皮)的面積為5.

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；

(2)拋物線上的動點(diǎn)石在一次函數(shù)的圖像下方，求AACE面積的最大值，并求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo).

【分析】

13

(1)拋物線解析式：y=-^2-x--;

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一次函數(shù)解析式：丫=：%+；.

(2)顯然，當(dāng)AACE面積最大時，點(diǎn)E并不在AC之間.

已知A(-1,0)、c[o，g],

設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為[加,；加2-加-|[,過點(diǎn)E作EFLx軸交直線于f點(diǎn),

F點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,代入一次函數(shù)解析式得(租,gm+g)

13

可得EF=--nr+-m+2

22

考慮到水平寬是定值，故鉛垂高最大面積最大.

既然都是固定的算法，那就可以總結(jié)一點(diǎn)小小的結(jié)論了，

對坐標(biāo)系中已知三點(diǎn)A(X1,yJ、B(%，%)、,

按鉛垂法思路，可得：

S^ABC—%%一三%一尤必|

如果能記住也不要直接用，可以當(dāng)做是檢驗(yàn)的方法咯.

【總結(jié)】鉛垂法是求三角形面積的一種常用方法，尤其適用于二次函數(shù)大題中的三角形面積最值問題，弄

明白方法原理，熟練方法步驟，加以練習(xí)，面積最值問題輕輕松松.

三、中考真題演練

1.(2023?遼寧阜新?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-V+6x-c的圖象與x軸交于點(diǎn)

4(-3,0)和點(diǎn)3(1,0),與y軸交于點(diǎn)C.

圖1圖2

⑴求這個二次函數(shù)的表達(dá)式.

⑵如圖1,二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線AC：y=x+3交于點(diǎn)，若點(diǎn)M是直線AC上方拋物線上的一個動

點(diǎn)，求△MCD面積的最大值.

2.(2023.湖南婁底?中考真題)如圖,拋物線y=d+陵+c過點(diǎn)4(-1,0)、點(diǎn)3(5,0),交y軸于點(diǎn)C.

(1)求6,c的值.

⑵點(diǎn)P(Xo，%)(O<與<5)是拋物線上的動點(diǎn)

①當(dāng)不取何值時，APBC的面積最大？并求出APBC面積的最大值；

3.(2023?黑龍江牡丹江?中考真題)如圖，拋物線、=/+云+。與無軸交于點(diǎn)A(TO),3(4,0),與y軸交

于點(diǎn)C.

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)求ABCP的面積.

卜(bA/7/~*__

注：拋物線丫=辦?+法+。(。20)的對稱軸是直線％=-熱，頂點(diǎn)坐標(biāo)是卜工,

4.（2023?山東青島?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,應(yīng)＞相交于點(diǎn)O,AB=10cm,

BD=4布cm.動點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿A3方向勻速運(yùn)動，速度為lcm/s；同時，動點(diǎn)0從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD

方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s.以AP，AQ為鄰邊的平行四邊形APMQ的邊尸”與AC交于點(diǎn)￡.設(shè)運(yùn)動時

（2）連接班.設(shè)△尸￡B的面積為S（cn?）,求S與，的函數(shù)關(guān)系式和S的最大值;

5.（2023?湖南張家界?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=af+6x+c的圖象與x軸交

于點(diǎn)A（-2,0）和點(diǎn)3（6,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0,6）.點(diǎn)。為線段5c上的一動點(diǎn).

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（3）如圖2,過動點(diǎn)。作D尸〃AC交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P,連接PAPB,記^/^。與△PBD的面積和

為S,當(dāng)S取得最大值時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并求出此時S的最大值.

6.（2023?山東聊城?中考真題）如圖①，拋物線＞=62+"-9與x軸交于點(diǎn)A（-3,0）,3（6,0）,與y軸交于

圖①圖②

⑴求拋物線的表達(dá)式；

（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P（機(jī),0）從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)8運(yùn)動時（點(diǎn)尸與點(diǎn)A,8不重合），自點(diǎn)P分別作PE〃3C,

交AC于點(diǎn)E,作PDLBC,垂足為點(diǎn)。.當(dāng)相為何值時，VPED面積最大，并求出最大值.

7.（2023?湖北荊州?中考真題）已知：丁關(guān)于x的函數(shù)丁=（。-2）尤2+（a+l）x+b.

⑴若函數(shù)的圖象與半橋軸有兩個公共點(diǎn)，且。=46,則。的值是；

（2）如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與x軸有兩個公共點(diǎn)4（-2,0）,5（4,0）,并與動直線/:x=m（0＜根＜4）交

于點(diǎn)P,連接24,PB,PC,BC,其中R4交V軸于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)E.設(shè)△P3E的面積為S1,ACDE

的面積為工.

①當(dāng)點(diǎn)尸為拋物線頂點(diǎn)時，求APBC的面積;

②探究直線/在運(yùn)動過程中，國