湖南名校教育聯(lián)盟·2025屆高三12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)湖南名校教育聯(lián)盟·2025屆高三12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|2x≤3}，B={x|x=2n?1,n∈N}，則A∩B=A.{?1,0,1} B.{?1,1} C.{1} D.?2.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1+aA.27 B.24 C.21 D.183.已知復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且z2z1=2A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知向量a=(cosθ,1)，b=(1,sinθ)，若(A.0 B.1 C.2 D.35.已知f(x)=2x?sin?xA.2 B.1 C.0 D.?16.將函數(shù)f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)的圖象向右平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間(A.6 B.5 C.3 D.27.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦點(diǎn)，A是橢圓C的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓C相交于另一點(diǎn)PA.±32 B.±12 8.定義f(x)=f′(x)的實(shí)數(shù)根x為f(x)的“堅(jiān)定點(diǎn)”，已知a>0，且a≠1，則下列函數(shù)中，不存在“堅(jiān)定點(diǎn)”的是(

)A.f(x)=asinx B.f(x)=lnax

C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知x>y>0，則下列結(jié)論一定正確的是(

)A.1x<1y B.x+yxy10.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別為線段B1C1，BB1上的動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn))，點(diǎn)A.存在唯一的M，P，使得MP⊥AC1

B.存在唯一的M，P，使得MP//AC1

C.若M為線段B1C1的中點(diǎn)，且MP/?/平面AB1D1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知F1(?3,0)，F(xiàn)2(3,0)，O為原點(diǎn)，P為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PH垂直于y軸，垂足為H，則滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)PA.|PF1|+|PF2|=10 B.|P三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.寫(xiě)出一個(gè)半徑為13，且與直線2x?3y+6=0相切于點(diǎn)(3,4)的圓的方程：

．13.已知a，b，c成等差數(shù)列，若直線l:ax+by+c=0與曲線y=ex?1+lnx?3相切，則b+c14.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=CD=5，AD=BC=3，BD=2，現(xiàn)將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A?BCD，且AC=6，則三棱錐A?BCD外接球的表面積為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)已知△ABC，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，△ABC的面積S=14(1)證明：C=2A;(2)若CD為∠ACB的平分線，交AB于點(diǎn)D，且a=65，CD=1，求BD16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AD=DC=2，AB=4，△PBD為等邊三角形，且平面PBD⊥平面ABCD．

(1)作出點(diǎn)B在平面PAD的射影E，并證明;(2)求平面PAB與平面PAD的夾角的余弦值．17.(本小題15分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P(?1,32)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若過(guò)P的直線l交C于另一點(diǎn)Q，且由點(diǎn)P，Q，A，B組成的以PA為一邊的四邊形的面積為92，求l的方程．18.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=(x(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)關(guān)于x的方程f(x)=b有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)解x1，x2，且3?1<19.(本小題17分)某商場(chǎng)舉行活動(dòng)，充值積分若干后，可以用積分購(gòu)買特定商品.參與此活動(dòng)的商品有1積分的簽字筆，2積分的草稿本和2積分的便利貼.要求每天必須用積分購(gòu)買商品且每天只能購(gòu)買一次.花2積分購(gòu)買草稿本或者購(gòu)買便利貼算不同的用完積分的方式．(1)假設(shè)梅菊同學(xué)充值4積分，則該同學(xué)有多少種方式用完積分(只寫(xiě)出答案，不用寫(xiě)過(guò)程);(2)假設(shè)代仕同學(xué)有n點(diǎn)積分，該同學(xué)用完n點(diǎn)積分的方式種數(shù)記為an，求an(3)設(shè)bn=1a2n?1，記{bn}的前參考答案1.B

2.C

3.D

4.C

5.A

6.B

7.A

8.D

9.AB

10.ACD

11.ABD

12.(x?5)2+(y?1)2=13或13.?514.86π915.解：(1)因?yàn)镾=14(b2?ab)tanC=12absinC，化簡(jiǎn)得2acosC=b?a，

由正弦定理asinA=bsinB=csinC，得2sinAcosC=sinB?sinA.

又sinB=sin(π?A?C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以2sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC?sinA，整理得sin(C?A)=sinA.

又A，C為△ABC的內(nèi)角，所以C?A=A，即C=2A．

(2)因?yàn)镃D為∠ACB的平分線，且16.解：(1)在△PBD中，作BE⊥PD，垂足為E，點(diǎn)E即為點(diǎn)B在平面PAD的射影．

下面證明BE⊥平面PAD，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，所以∠ADC=π?∠A，

在△ABD，△BCD中，BD2=AB2+AD2?2AB?ADcos∠A=20?16cos∠A，

BD2=CB2+CD2?2CB?CDcos(π?∠A)=8+8cos∠A，

解得cos∠A=12，BD=23．

又AD=2，AB=4，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．

又平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，AD?平面ABCD，∴AD⊥平面PBD，

又BE⊥平面PBD，∴AD⊥BE．

又BE⊥PD，AD∩PD=D，AD，PD?平面PAD，

∴BE⊥平面PAD．

(2)連接點(diǎn)P與BD的中點(diǎn)O，則PO⊥BD．

又平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO?平面PBD，

∴PO⊥平面ABCD．

如圖，以D為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D且平行于PO的方向?yàn)閦軸，直線DA，DB分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(2,0,0)，B(0,23,0)，P(0,3,3)．

設(shè)平面PAD的法向量為n1=(x,y,z)，易知DA=(2,0,0)，DP=(0,3,3)，17.解：(1)由題可知，k1=32?1+a，k2=32?1?a，

點(diǎn)P(?1,32)在橢圓C上，且k1+k2=1．

由1a2+94b2=132?1+a+32?1?a=1,

解得a2=4，b2=3，

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1．

(2)設(shè)點(diǎn)Q(x0,y0)，?①若點(diǎn)Q在x軸下方，則y0∈[?3,0)，

如圖1所示，則S△PAB=12|AB|×32=3．

因?yàn)辄c(diǎn)P，Q，A，B組成的四邊形的面積為92，

所以S△ABQ=12|AB|?|y0|=32，解得y0=?34，

代入橢圓方程得x0=±132，

故點(diǎn)Q(±132,?34)，18.解：(1)?f′(x)=(x2?2)ex=?(x+2)(x?2)ex，

令f′(x)>0，得x<?2或x>2，

令f′(x)<0，得?2<x<2，

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,?2)，(2,+∞)，

單調(diào)遞減區(qū)間為(?2,2).

(2)當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<ax等價(jià)于a<f(x)x=(x?2)ex，

設(shè)g(x)=(x?2)ex(x<0)，則g′(x)=(x?1)ex<0，

所以g(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，所以a≤g(0)?=?2．

(3)當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=(x2?2x)ex>0，

由(1)可知，f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增，

由(1)可知，f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增，

作出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖．

因?yàn)閒(0)=f(2)=0，所以b<0，所以3?1<x1<2<x2<2．

易知曲線y=f(x)在x=1，x=2處的切線分別為l1:y=?ex，l2:y=2e2x?4e219.解：(1)記用1積分購(gòu)買簽字筆為A，用2積分購(gòu)買草稿本為B1，用2積分購(gòu)買便利貼為B2，

由枚舉可知，該同學(xué)用完積分的方式如下：{B1B1,B2B2,B1B2,B