2024-2025學年湖南師大附中高三（上）月考數(shù)學試卷（四）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年湖南師大附中高三（上）月考數(shù)學試卷（四）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z=1?2i2?i(i為虛數(shù)單位)，則|z|=A.15 B.35 C.452.已知命題p：?x∈R，2x?1<0；命題q：?x∈Z，x2+1A.p，q均是真命題 B.￢p，q均是真命題

C.p，￢q均是真命題 D.￢p，￢q均是真命題3.已知向量a，b滿足|a|=3，|b|=23，且a⊥(aA.π2 B.2π3 C.3π44.有一組數(shù)據(jù)，按從小到大排列為：1，2，3，6，7，9，m，這組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)等于他們的平均數(shù)，則m為(

)A.10 B.12 C.14 D.165.如圖所示，用一個與圓柱底面成θ(0<θ<π2)的平面截圓柱，截面是一個橢圓.若圓柱的底面圓半徑為1，θ=π3A.橢圓的長軸長等于2

B.橢圓的離心率為22

C.橢圓的標準方程可以是y24+6.已知函數(shù)f(x)=2x+2?x，則下列函數(shù)圖象關于直線A.f(x?1)+cosπ2x B.f(x+1)+sinπ7.已知三棱錐A?BCD內(nèi)接于直徑為5的球O，AB=CD=2，則三棱錐A?BCD的體積的最大值為(

)A.13 B.23 C.1 8.關于x的方程(25?x)(5+x)=?2024恰有兩個根為x1、x2，且x1，x2分別滿足3x1=a?3xA.77+a B.57+a C.57 D.77二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=sinx與g(x)=sin(2x+π4A.將f(x)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?2，并向左平移π8個單位可以得到g(x)的圖象

B.f(x)與g(x)的圖象存在相同的對稱中心

C.f(x)與g(x)在區(qū)間[?π8,π8]上單調(diào)性相同

D.當10.已知三次函數(shù)f(x)=ax3?ax2+bx，(a,b∈RA.當a=b時，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)

B.當2a=9b時，函數(shù)y=f(x)的圖象關于(13,0)對稱

C.存在a，b，使得函數(shù)y=f(x)圖象關于直線x=b對稱

D.函數(shù)11.已知點F為拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點，O為坐標原點，過y軸左側一點P作拋物線C的兩條切線，切點為A、B，PA、PB分別交y軸于M、N兩點，設A(x1,yA.kPA?kPB=p2y1y2 B.P，N三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知α，β，且(1?tanα)(1+tanβ)=2，則α?β=______．13.若數(shù)列{an}的前n項和{Sn}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，則14.現(xiàn)有質(zhì)量分別為1，2，3，4，5，7千克的六件貨物，將它們隨機打包裝入三個不同的箱子，每個箱子裝入兩件貨物，每件貨物只能裝入一個箱子.則第一、二個箱子的總質(zhì)量均不小于第三個箱子的總質(zhì)量的概率是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

記銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，已知a2+43S=(b+c)2．

(1)求角A；

(2)16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ax?ex，g(x)=lnx?ax．

(1)當a=2時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)若函數(shù)f(x)和g(x)有相同的最大值，求a17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=PD=6，PB=PC=3，∠APB=∠CPD=90°，點M，N分別是棱BC，PA的中點．

(1)證明：MN/?/平面PCD；

(2)若平面PAB⊥平面PCD，求直線MN18.(本小題17分)

湖南某高中在校園藝術節(jié)舉辦形式多樣的活動．

(1)抽獎活動規(guī)則如下：在一不透明的紙箱中有8張完全相同的卡片，其中3張寫有O字母，3張寫有A字母，2張寫有B字母，抽獎學生每次不放回從箱中隨機取出1張卡片，若抽到寫有O的卡片，則再抽1次，直至取到寫有A或B卡片為止.抽到A卡片送精美校園明信片一張，抽到B卡片送文學社設計的精美信封一個.甲同學想要明信片，請問甲同學取到寫有A卡片的概率．

(2)領福袋活動規(guī)則如下：每位同學都可以去文化長廊領取自己最喜歡的福袋，規(guī)定只能取一次，并且只可以向前走，不能回頭，長廊上一共懸掛n個福袋(每個福袋的大小不同)，福袋出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，乙同學想要摘取最大的福袋，他準備采用如下策略：不摘前k(1≤k<n)個福袋，自第k+1個開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的福袋都大時，就摘這個福袋，否則就摘最后一個.設k=tn，記乙同學摘到最大的福袋概率為P．

①若n=4，k=2，求P；

②當n趨向于無窮大時，從理論的角度，求P的最大值及P取最大值時t的值.(取1k+19.(本小題17分)

已知雙曲線C：4y2?x2=m，點P1(?1,1)在C上.按如下方式構造點Pn(n≥2)：過點Pn?1作斜率為?1的直線與C的下支交于點Qn?1，點Qn?1關于x軸的對稱點為Pn，記點Pn的坐標為(xn,yn).

(1)求點P2，P3的坐標；

(2)記an=2y參考答案1.D

2.B

3.D

4.C

5.C

6.C

7.D

8.D

9.ACD

10.BD

11.ABC

12.?π13.2n14.2515.解：(1)因為a2+43S=(b+c)2，

所以b2+c2?a2=43?12bcsinA?2bc=23bcsinA?2bc，

由余弦定理可得cosA=b2+c2?a22bc=23bcsinA?2bc2bc=3sinA?1，

所以3sinA?cosA=1，

即sin(A?π6)=12，

在銳角△ABC中，A∈(0,π16.解：(1)當a=2時，則f(x)=2x?ex，f′(x)=2?ex，

可得f(1)=2?e，f′(1)=2?e，

即切點坐標為(1,2?e)，

切線斜率k=2?e，

所以切線方程為y?(2?e)=(2?e)(x?1)，即(e?2)x+y=0．

(2)f(x)=ax?ex的定義域為R，而f′(x)=a?ex，

若a≤0，則f′(x)<0，

此時函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，無最大值，不符合題意，故a>0，

令f′(x)=0，得x=lna，當x∈(?∞,lna)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

當x∈(lna,+∞)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

所以f(x)的最大值為f(lna)=alna?a．

g(x)=lnx?ax的定義域為(0,+∞)，而g′(x)=1x?a=1?axx，

當x∈(0,1a)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，當x∈(1a,+∞)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

所以g(x)的最大值為g(1a)=ln1a?1=?1?lna．

因為f(x)和g(x)有相同的最大值，

故alna?a=?1?lna，整理得到a?11+a=lna，其中a>0，

17.(1)證明：取PD的中點E，連接NE，CE，

因為N是PA的中點，所以NE//AD，NE=12AD，

在矩形ABCD中，M是BC的中點，所以CM/?/AD，CM=12AD，

所以NE//CM，NE=CM，即四邊形MNEC是平行四邊形，

所以MN//CE，

又MN?平面PCD，CE?平面PCD，

所以MN/?/平面PCD．

(2)解：因為PA=PD=6，PB=PC=3，∠APB=∠CPD=90°，

所以△PAB≌△PDC，

由對稱性知，點P在底面ABCD上的投影落在過點M的中位線上，

以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

設P(x,y,z)，其中x≥0，y>0，z>0，則A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,2y,0)，D(0,2y,0)，

因為PA=6，PB=3，

所以x2+y2+z2=6，(x?3)2+y2+z2=3，

兩式相減可得x=2，y2+z2=2①，

所以AP=(2,y,z)，AB=(3,0,0)，DP=(2,?y,z)，DC=(3,0,0)，

設平面PAB的法向量為n1=(a1,b1,c1)，則n1?AP=2a1+yb1+zc1=0n1?AB=3a1=0，

取b1=z，則a1=0，c1=?y，所以n1=(0,z,?y)，

設平面18.解：(1)8張完全相同的卡片，3張寫有O字母，3張寫有A字母，2張寫有B字母，

由抽取規(guī)則可知，甲同學取到寫有A卡片的概率為P=38+38×37+38×27×36+38×27×16×35=35；

(2)①這4個福袋的位置從第1個到第4個排序，有A44=24種情況，

要摘到最大的福袋，有以下兩種情況：

最大的福袋是第3個，其他的福袋隨意在哪個位置，有A33=6種情況，

最大的福袋是最后1個，第二大的福袋是第1個或第2個，其他的福袋隨意在哪個位置，有2A22=4種情況，

故所求概率為P=6+424=512；

②記事件A表示最大的福袋被摘到，事件Bj表示最大的福袋在福袋中排在第j個，

因為最大的福袋出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，所以P(Bj)=1n，

以給定所在位置的序號作為條件，P(A)=j=1nP(A|Bj)P(Bj)=1nj=1nP(A|Bj)，

當1≤j≤k19.解：(1)由題知m=4?1=3，所以雙曲線C：4y2?x2=3，

又過點P1(?1,1)斜率為?l的直線方程為y=?x，

由雙曲線與直線的對稱性可知Q1(1,?1)，所以P2(1,1)，

又過P2(1,1)，且斜率為?l的直線方程為y?1=?x+1，即y=?x+2，

由y=?x+24y2?x2=3，解得：x=1或x=133，