（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí) 第10講 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值（教師版）

第頁第10講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值考點(diǎn)01：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________．【答案】和【分析】首先求出，再因式分解，令，解不等式組即可得出單調(diào)增區(qū)間．【詳解】，令，得或，解得或，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，故答案為：和．考點(diǎn)02：求已知函數(shù)的極值（點(diǎn)）2.已知函數(shù)，則的極小值為______．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值的關(guān)系求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，即，得，令，即，得，故函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為．故答案為:.3.已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值與單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)；(2)答案見解析【分析】（1）由函數(shù)，求得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）求得，討論與0的大小，再根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的定義求出函數(shù)的極值即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即曲線在點(diǎn)處的切線方程為.．（2），當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極大值為，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極小值為.考點(diǎn)03：導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系4．設(shè)是定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷：①在上是增函數(shù)；

②共有2個(gè)極值點(diǎn)；③在上是單調(diào)函數(shù)；④.其中正確的判斷共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)圖象，判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號，從而可求函數(shù)的單調(diào)性及極值．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，由圖象可得，則，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，由圖象可得，則，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，由圖象可得，則，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，由圖象可得，則，為增函數(shù)，又是定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極大值為，極小值為，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，無法判斷與的大小關(guān)系；故選：B．5．已知上的可導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集為_____________【答案】【分析】根據(jù)圖像得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，代入計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)圖像：當(dāng)時(shí)，，，即，故；當(dāng)時(shí)，，，即，故；當(dāng)時(shí)，，，即，故；綜上所述：.故答案為：考點(diǎn)04：求已知函數(shù)的最值6．已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為M，最小值為m，則的值是_______.【答案】【分析】求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值，得到答案.【詳解】由題意，，，在上，故函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，，故的值是.故答案為：7．設(shè)，則函數(shù)的最小值是________．【答案】【分析】求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可.【詳解】，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；函數(shù)遞增當(dāng)時(shí)，.函數(shù)遞減；所以當(dāng)時(shí)，.故答案為：考點(diǎn)05：已知函數(shù)在區(qū)間上遞增（減）求參數(shù)8.已知函數(shù)，若對任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，則轉(zhuǎn)化得到在上單調(diào)遞增，將題目轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再利用分離參數(shù)法即可得到答案.【詳解】由題意,不妨設(shè),因?yàn)閷θ我鈨蓚€(gè)不等的正實(shí)數(shù),都有,所以,即,構(gòu)造函數(shù),則,所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立,即在上恒成立,設(shè),則，所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增，時(shí),單調(diào)遞減，所以，所以.故選：D.9．已知函數(shù)，則單調(diào)遞增的一個(gè)充分不必要條件可以是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)遞增有在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍，最后由充分必要性定義，即可得答案.【詳解】由且，令，要使單調(diào)遞增，即恒成立，當(dāng)時(shí)滿足題設(shè)；當(dāng)，可得，則，滿足題設(shè)；綜上，使單調(diào)遞增，則，A為充要條件，B為充分不必要條件，C、D既不充分也不必要條件.故選：B考點(diǎn)06：已知函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間或在區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù)10．若函數(shù)在其定義域的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出定義域，得到，求導(dǎo)，由，得，結(jié)合函數(shù)在內(nèi)不單調(diào)，得到不等式，求出答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，即，，令，得，或（不在定義域內(nèi)舍去），由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，所以，即，解得，綜上可得，.故選：B.11．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在有解，進(jìn)而求函數(shù)的最值，即可求出的范圍.【詳解】∵，∴，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則有解，故，令，則在單調(diào)遞增，，故.故選：D.12．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，而求出最小值，從而求出a的范圍即可．【詳解】，在內(nèi)成立，所以，由于，所以，，所以．故答案為:13．若函數(shù)在存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a的取值范圍為________．【答案】【分析】將題意轉(zhuǎn)化為：在有解，利用參變量分離得到，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解即可．【詳解】，等價(jià)于在有解，即在有解，即在有解，所以，令，則，即在上是增函數(shù)，∴，所以.故答案為：.考點(diǎn)07：利用函數(shù)單調(diào)性比較大小14．已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可判斷、的大小關(guān)系，利用作差法結(jié)合基本不等式可判斷、的大小關(guān)系.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，即，則，，因此，.故選：D.15．已知，則（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】運(yùn)用縮放法和對數(shù)的計(jì)算規(guī)則求解.【詳解】設(shè)，則單調(diào)遞增，，；，又，，即；故選：A.16．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，，再利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，即可比較大小作答．【詳解】設(shè)，則，從而在上單調(diào)遞增，則，即，設(shè)，則，從而在上單調(diào)遞增，則，即，所以．故選：A．考點(diǎn)08：利用函數(shù)單調(diào)性解決抽象不等式17．已知偶函數(shù)滿足對恒成立，下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，即可判斷的奇偶性與單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，令，則，所以為偶函數(shù)，又，則當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，即，故A正確；，即，則，即，故B錯(cuò)誤；，即，則，即，故C錯(cuò)誤；，即，則，即，故D錯(cuò)誤；故選：A考點(diǎn)09：根據(jù)極值（點(diǎn)）求參數(shù)18．若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)得，由條件列出不等式求解，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，令，由題意可知，在內(nèi)先減后增或先增后減，結(jié)合函數(shù)的圖像特點(diǎn)可知，在內(nèi)先減后增，即，或，解得.所以a的取值范圍是.故答案為：19．設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)在處有極值，則曲線在原點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算得，由極值情況可求得，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得在原點(diǎn)處的切線方程.【詳解】因?yàn)?，所以，又函?shù)在處有極值，則，得所以，，令得且函數(shù)在遞增，遞減，遞增，則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以，，則曲線在原點(diǎn)處的切線方程為.故選：B.考點(diǎn)10：根據(jù)最值求參數(shù)20．已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在內(nèi)的極值；(2)若函數(shù)在上的最小值為5，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)極大值為9，無極小值；(2)【分析】（1）首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)此可求得函數(shù)的值域；（2）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)性，分類討論即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，，則，令，得，，，在內(nèi)隨x變化而變化的情況如下表所示：x1+0單調(diào)遞增極大值9單調(diào)遞減故在內(nèi)的極大值為9，無極小值；（2），①當(dāng)時(shí)，，且不恒為0，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上，，由題意，則，解得，與矛盾，②當(dāng)時(shí)，，且不恒為0，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在上，，符合題意，③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上，，由題意，則，即，即，即，解得或，與矛盾，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值課后練習(xí)1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】求定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)小于0求出單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】的定義域?yàn)?，，由，可得，故的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C．2．（多選）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．在處取得極大值D．在處取得極大值【答案】AC【分析】由的圖象得出在對應(yīng)區(qū)間上的符號，從而得出的單調(diào)性，從而可得出答案.【詳解】由的圖象可知：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故A正確；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，故C正確；由于在上單調(diào)遞增，所以在沒有取得極大值，故D錯(cuò)誤.故選：AC.3．函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】求出，設(shè)，得出有一正根一負(fù)根，因此題意說明正根在區(qū)間內(nèi)，從而由得參數(shù)范圍．【詳解】，設(shè)，因?yàn)?，因此有兩個(gè)不同實(shí)根，又，因此兩根一正一負(fù)，由題意正根在內(nèi)，所以，解得，故選：A．4．若任意兩個(gè)不等正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】不妨令，即可得到，令，依題意只需在上單調(diào)遞減，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出參數(shù)的取值范圍，即可得解.【詳解】因?yàn)閷θ我鈨蓚€(gè)不等正實(shí)數(shù)，，滿足，不妨令，則，所以，即，所以，令，則，即在上單調(diào)遞減，由，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即的最小值為.故選：D5．已知，，，則（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用，，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性即可得出的大小關(guān)系，再通過作差比較即可得出的大小關(guān)系，從而得出結(jié)果.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，令，則在區(qū)間上恒成立，所以，故當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，又，所以，故，又因?yàn)?，由，得，所以，又因?yàn)?，所以，即，所以，所以，綜上所述.故選：A.6．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對任意都有成立，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求得答案．【詳解】由，則，設(shè)

，則在上單調(diào)遞減.則，即，即.故選：A.7．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，給出以下結(jié)論：①在區(qū)間上嚴(yán)格增；②的圖像在處的切線斜率等于0；③在處取得極大值；④在處取得極小值．正確的序號是______【答案】②④【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像得到導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而得到函數(shù)的增減和極值情況，判斷①②③，并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的增減判斷④.【詳解】根據(jù)的圖像可知，在上，，僅在處有，所以在上單調(diào)遞減，故①錯(cuò)誤；，故②正確；在區(qū)間上單調(diào)，沒有極值點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；由的圖像可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故④正確．故答案為：②④．8．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在上的最值.【答案】(1)增區(qū)間、；減區(qū)間；(2)，【分析】（1）直接對函數(shù)求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系即可求出結(jié)果；（2）利用（1）中結(jié)果，確定在區(qū)間上的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由得到或，由得到，所以單調(diào)增區(qū)間為和；單調(diào)減區(qū)間為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，故又，故.9．已知函數(shù).若函數(shù)不存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】先求出定義域和導(dǎo)函數(shù)，利用分離參數(shù)法和基本不等式求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)有意義，則由且不存在單調(diào)遞減區(qū)間，則在上恒成立，所以在上恒成立.因?yàn)椋裕ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）所以，解得：，所以的取值范圍為.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值隨堂檢測1．已知函數(shù)在處取得極大值1，則的極小值為（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，求出，從而可求出和的解析式，再由的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極小值.【詳解】的定義域?yàn)椋?，得，因?yàn)楹瘮?shù)在x＝－1處取得極大值1，所以，解得，所以，．令．解得或，令，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在處取得極大值，在處取得極小值，所以的極小值為．故選：C2．已知函數(shù)，若在區(qū)間上的最大值為28，則實(shí)數(shù)k的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的導(dǎo)函數(shù),即，令，可得x的值，討論函數(shù)的極值及單調(diào)性，結(jié)合在區(qū)間上的最大值為28，即可求出k的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋?，令，解得，所以在和時(shí)，，在時(shí)，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)，最大；在時(shí)單調(diào)遞減，所以在內(nèi)，最大；在時(shí)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)，最大；因?yàn)?，且在區(qū)間上的最大值為28，所以，即k的取值范圍是，故選：A.3．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．不存在這樣的實(shí)數(shù)k【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及一元二次方程的根進(jìn)行求解.【詳解】由題意得，在區(qū)間上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，又的根為，且在或兩側(cè)異號，而區(qū)間的區(qū)間長度為2，故只有2或-2在區(qū)間內(nèi)，∴或，∴或，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.4．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用常見放縮，構(gòu)造函數(shù)，判斷出，然后利用構(gòu)造從而判斷即可.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí),，所以在上單調(diào)遞增，，；，易知，.故選：D.5．設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)數(shù)存在，且，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依題意令，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到在上單調(diào)遞增，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，令，則，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，所以且.故選：B6．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是__________．【答案】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，令，解之即可.【詳解】因?yàn)?，則，令，則，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故答案為：.7．已知函數(shù)，，則的最小值為______.【答案】【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再判斷給定區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)?，則，，令，解得，令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.故答案為：．8．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______【答