（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí) 第11講 導(dǎo)數(shù)中的恒成立與能成立問題（教師版）

第頁第11講導(dǎo)數(shù)中的恒成立與能成立問題考點1：恒成立問題1.，恒成立2.，恒成立3.，恒成立4.，恒成立5.，恒成立6.，恒成立7.，恒成立考點2：能成立問題1.，成立2.，成立3.，成立4.，成立5.，成立6.，成立考點3：恒成立與能成立綜合問題1.，，成立2.，，成立3.，，成立題型目錄：題型一：恒成立問題（單函數(shù)單變量）題型二：能成立問題（單函數(shù)單變量）題型三：恒成立問題（雙函數(shù)單變量）題型四：能成立問題（雙函數(shù)單變量）題型五：恒成立與能成立問題（單函數(shù)雙變量）題型六：恒成立與能成立問題（雙函數(shù)雙變量不等式）題型一：恒成立問題（單函數(shù)單變量）【例1】已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)當時，恒成立，求的取值范圍；【答案】(1)；(2)；【分析】（1）先求出，進而得到，，即可求解；（2）由時，恒成立，轉(zhuǎn)化為對于恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，即可求得，進而求解；【詳解】（1）因為，所以，則，，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）由題意，當時，恒成立，即對于恒成立，設(shè)，則，令，則；令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，，所以，即的取值范圍為.【變式1】已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）由題意，求得，令，分類討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，令，得到，即可求解.【詳解】（1）定義域，，令，，當時，，，則在單調(diào)遞增，當時，，，，，則在單調(diào)遞增；，，，則在單調(diào)遞減.綜上述：當時，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）由（1）可知，當時，在單調(diào)遞增，又，不可能滿足題意，舍去.當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.若恒成立，則，令，則，解得，即，故，綜上述：.題型二：能成立問題（單函數(shù)單變量）【例2】已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間內(nèi)至少存在一個實數(shù)，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，求得，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可寫出切線方程；（2）對分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)性和最值，即可求得參數(shù)的范圍.【詳解】（1）當時，，，又，，故在點處的切線方程為：，即：.（2）因為，若，即，.令，則，當，，單調(diào)遞減，故.若在區(qū)間內(nèi)至少存在一個實數(shù)x，使得成立，故,則實數(shù)a的取值范圍為.【變式2】已知函數(shù)，其中為實常數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；(3)若存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)答案詳見解析；(3)【分析】（1）利用切點和斜率求得切線方程.（2）求得，對進行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（3）結(jié)合（2），對進行分類討論，結(jié)合的單調(diào)區(qū)間、最值，求得的取值范圍.【詳解】（1），所以，所以切線方程為.（2）的定義域為,，當時，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.當時，，在上遞減.當時，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.（3）由（2）知：當時，在上遞減，，不符合題意.當時，在區(qū)間上，，依題意可知，解得.綜上所述，的取值范圍是.題型三：恒成立問題（雙函數(shù)單變量）【例3】已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)函數(shù)，若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2)【分析】(1)分類討論，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分和求解；(2)分離參變量得到，討論函數(shù)的單調(diào)性和最值求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，①當時，，所以在上為單調(diào)遞減函數(shù)，②當時，令解得，令解得，所以在上為單調(diào)遞減函數(shù)，在為單調(diào)遞增函數(shù)．（2）由得，∴，令，，當時，時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴故．【變式3】設(shè)函數(shù)，，，已知曲線在點處的切線與直線垂直．(1)求a的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若對成立，求b的取值范圍．【答案】(1)2；(2)答案見解析；(3)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得關(guān)于a的方程，解方程即可得出答案；（2）對求導(dǎo)，分和討論的正負，即可求出的單調(diào)性；（3）由恒成立，等價于，令，轉(zhuǎn)化為求.【詳解】（1）的定義域為，，由于直線的斜率為，.（2），，①當時，，在R上單調(diào)遞增；②當時，令有，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增.綜上所述：，的單調(diào)遞增區(qū)間為R，，的單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為.（3）由恒成立，等價于，令（），，①若時，，所以在上單調(diào)遞增，，即，滿足，②若時，則，所以在上單調(diào)遞增，當趨近于0時，趨近于，不成立，故不滿足題意.③若時，令，，，，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，只需即可，，，令，，在上單調(diào)遞增，，時，，，，所以在上單調(diào)遞增，，即，綜上：.題型四：能成立問題（雙函數(shù)單變量）【例4】已知函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當時，若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）當時，在單調(diào)遞減，當時，在單調(diào)遞增；（Ⅱ）.【解析】（I）先求得函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，對分成兩種情況，討論的單調(diào)區(qū)間.（II）構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為在上的最小值小于0來求解.利用導(dǎo)數(shù)討論在區(qū)間上的單調(diào)性的最小值，由此求得的取值范圍.【詳解】（I）的定義域為所以，當時，，在上遞減；當時，，所以，在上遞增.（II）在上存在一點使成立，即函數(shù)在上的最小值小于0,.①當，即時，在上單調(diào)遞減，所以在上的最小值為，由，得；②當，即時，，不合乎題意；③當，即時，的最小值為，故.此時不成立.綜上所述，的取值范圍是.【變式4】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率，求出切點坐標，即可求函數(shù)在x=1處的切線方程；（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定單調(diào)性，即可求實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）因為，所以故切線方程為，即（2）設(shè)令，解得，，對于方程，①若，即時，則，則在上單調(diào)遞增又，即對，恒成立，不符舍去②若，即時，因為，所以可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又，則要使存在，使得成立，必有即綜上所述，a的取值范圍為題型五：恒成立與能成立問題（單函數(shù)雙變量）【例5】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的零點和極值；(2)若對任意，都有成立，求實數(shù)的最小值．【答案】(1)零點為1；極小值為，無極大值；(2)1【分析】（1）令，可得零點，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得單調(diào)遞增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得單調(diào)遞減區(qū)間，進而得到極小值無極大值；（2）對分進行討論，討論的最值或范圍，即可得到的最小值為1.【詳解】（1）依題意，因為，所以，令，解得，即零點為1；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以在處，取得極小值，無極大值；（2）由（1）知為極小值也為最小值，當時，，當時，，若，令，，則，由于，所以，顯然不符合題設(shè)要求；當時，，由，所以，當時，對任意，都有成立；綜上可知，的最小值為1.【變式5】已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）存在，，使得，求的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；（2）.【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，求得、的解集即可得解；（2）轉(zhuǎn)化條件為，對函數(shù)求導(dǎo)后可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，進而可得，令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得即可得解.【詳解】（1）當時，，則，令可得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；（2）因為存在，，使得，則當時，；因為，當，時，，所以；當，時，，所以；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，令，則，則，令，解得或（舍去），當時，，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以，所以滿足題意的t的取值范圍為.題型六：恒成立與能成立問題（雙函數(shù)雙變量不等式）【例6】設(shè)函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，當時，任意，存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)詳見解析；(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性，注意對參數(shù)進行討論.（2）恒成立與能成立問題都利用函數(shù)的最值來處理.【詳解】（1）因為函數(shù)，所以函數(shù)定義域為：，且①當時，，令，令,所以當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當時，，因為，所以當時，，令，令或，所以當時，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，，所以當時，在上單調(diào)遞減；當時，，令，令或，所以當時，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當時，令，令，所以當時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減；當時，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知當時，在上單調(diào)遞增，所以，所以原問題，使得成立，使得成立.設(shè)，則，所以上單調(diào)遞減，所以.所以即.【變式6】設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)函數(shù)，若對任意的，總存在使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負性分類討論進行求解即可；（2）根據(jù)存在性和任意性的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、（1）的結(jié)論、構(gòu)造函數(shù)法分類討論進行求解即可.（1）,,①當時，恒成立，在上單調(diào)遞增.②當時，恒成立，在上單調(diào)遞減，③當時，，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，當時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.（2）由題意可知：在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增由（1）可知：①當時，在單調(diào)遞增，則恒成立②當時，在單調(diào)遞減，則應(yīng)（舍）③當時，，則應(yīng)有令，則，且在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又恒成立，則無解，綜上，.導(dǎo)數(shù)中的恒成立與能成立問題課后練習(xí)1.已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若對恒成立，求的取值范圍；【答案】(1)；(2)【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；(2)根據(jù)題意將不等式進行等價轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在的最小值問題，利用導(dǎo)數(shù)求解即可；【詳解】（1）因，所以，所以所求切線方程為，即；（2）因為在上恒成立，而，令得所以①當，即時，，所以在上單調(diào)遞增，則，滿足題意；②當，即時，設(shè)，則的對稱軸為，所以在上存在唯一零點，當時，，所以在上單調(diào)遞減，故，不合題意.綜上，k的取值范圍為；2.已知函數(shù)（1）若，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若存在正實數(shù)，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）當時，單調(diào)增區(qū)間為，當時，單調(diào)增區(qū)間為和，當時，單調(diào)增區(qū)間為和（2）.【解析】（1）求，可以解得：，，討論和的大小關(guān)系即可；（2）當，在上單調(diào)遞減，所以存在；討論當，，時的單調(diào)性，利用的最值即可判斷.【詳解】解：（1）令，解得：，，當，即時，，此時在R上單調(diào)遞增；單調(diào)增區(qū)間為當，即時，令得：或，即或，此時單調(diào)增區(qū)間為和當，即時，令得：或，解得：或此時單調(diào)增區(qū)間為和（2），①當時，，在上單調(diào)遞減，，又時，，，使得，②當時，若，即時，，在上單調(diào)遞增，不滿足，若，即時在是單減，在上單增令，，在上單增，且時，，此時，使得，當時，不滿足題意.綜上所述：3.已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，若對于任意，都有，求的取值范圍.【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）求出函數(shù)定義域，利用導(dǎo)數(shù)分類討論求解的單調(diào)區(qū)間即可求解；（2）變形給定不等式，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，求出在的最小值即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，若，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；若，當時，，當時，，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）令，于是恒成立，即恒成立，令，求導(dǎo)得，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，，則有，所以的取值范圍是.4.已知函數(shù)，當時，的極小值為，當時，有極大值．（1）求函數(shù)；（2）存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)和，解得即可得解；（2）轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值，然后解不等式可得結(jié)果.【詳解】（1）∵，由，得且，解得，，又，∴，∴；（2）存在，使得，等價于，∵，當時，，當時，，∴在上遞減，在上遞增，又，，∴在上的最大值為，∴，解得，所以的取值范圍是．5.已知函數(shù)，．(1)若軸與曲線相切，求的值；(2)設(shè)函數(shù)，若對任意的，，求的最大值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，且，解方程求得答案;（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其正負確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最小值，比較函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值，確定函數(shù)最大值，進而將對任意的，恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，從而求得答案.解析：（1）由題意得，，設(shè)x軸與曲線相切的切點為，則，且，即，顯然，則，則，又，解得；（2）由題意得，則，由于，是單調(diào)增函數(shù)，，故當時，，遞減，當時，，遞增，故，又，則，令，則，由于，（當且僅當x=0時取等號），故，所以遞增，則時，，故時，,即，即，即，故對任意的，恒成立，即恒成立，故，令，則，故單調(diào)遞增，則即為，即，所以，故求a的最大值.6.設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，.(1)若函數(shù)與軸有三個不同交點，求實數(shù)的取值范圍；(2)對于，，都有，試求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，再利用題給條件列出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可求得實數(shù)的取值范圍；（2）先求得在上的最小值，和在上的最小值，再依據(jù)題給條件列出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可求得實數(shù)的取值范圍（1），由，解得或；由解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若函數(shù)與軸有三個不同交點，則，解得，所以若函數(shù)與軸有三個不同交點，實數(shù)的取值范圍為；（2）對于，，都有，則，由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，故當時，因為，且，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，由題意可得，故.所以實數(shù)的取值范圍為.導(dǎo)數(shù)中的恒成立與能成立問題隨堂檢測1.已知函數(shù)（為常數(shù)）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定的正負得單調(diào)性；（2）分離參變量得在上恒成立，令，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值的問題，求解即可．【詳解】（1）定義域為，，當時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當時，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由題意知：在上恒成立，即：在上恒成立，令，則，由，得，當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，只需，所以實數(shù)的取值范圍是.2.已知函數(shù).(1)若是的極值點，確定的值；(2)若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；