材料力學（第2版）課件：簡單超靜定問題

簡單超靜定問題StaticallyIndeterminateProblem簡單超靜定問題1StaticallyIndeterminateProblem11.1超靜定問題的概念11.2拉壓超靜定和扭轉超靜定問題11.3裝配應力和溫度應力11.4簡單超靜定梁11.5用力法求解超靜定問題*11.1超靜定的概念11.1超靜定的概念結構按靜力學特性可以分成靜定結構和超靜定結構/靜不定結構兩類。如圖所示，求固定端的約束反力平面任意力系，通過靜力學平衡方程可以解出全部的三個約束反力。若在C處增加一個約束則無法僅通過靜力學平衡方程求出全部的四個未知力。11.1超靜定的概念

若結構的全部約束反力和內(nèi)力都可由靜力平衡方程求得，稱為靜定結構。

若結構的約束反力與內(nèi)力不能僅僅根據(jù)靜力平衡方程求出，稱為超靜定結構或靜不定結構。11.1超靜定的概念

比較上下兩圖，下面的圖中是在上面的圖中增加了一個約束。在靜定結構上增加的約束，稱為多余約束。相應的反力稱為多余約束力。多余約束并不“多余”，通過增加多余約束，可提高安全度，減少變形。11.1超靜定的概念超靜定結構的類型外力超靜定結構

僅在結構外部存在多余約束，即支座反力不能全由靜力平衡方程求出。11.1超靜定的概念超靜定結構的類型內(nèi)力超靜定結構

僅在結構內(nèi)部存在多余約束，即結構內(nèi)力不能全由靜力平衡方程求出。11.1超靜定的概念超靜定結構的類型混合超靜定結構內(nèi)、外超靜定兼而有之的結構。11.1超靜定的概念超靜定結構的類型內(nèi)力超靜定結構外部有多余約束混合超靜定結構11.1超靜定的概念超靜定結構的類型11.1超靜定的概念超靜定次數(shù)把超靜定結構變成靜定結構所需要解除的約束數(shù)目----多余約束數(shù)或超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)＝未知力數(shù)目－平衡方程數(shù)11.1超靜定的概念超靜定次數(shù)1次超靜定2次超靜定11.1超靜定的概念超靜定次數(shù)3次超靜定11.1超靜定的概念超靜定次數(shù)3次超靜定11.1超靜定的概念靜定基和相當系統(tǒng)基本靜定系（靜定基）

解除超靜定結構的某些約束后得到的靜定結構，稱為原超靜定結構的基本靜定系（簡稱靜定基）相當系統(tǒng)

在靜定基上加上外載荷以及多余約束力的系統(tǒng)稱為超靜定問題的相當系統(tǒng)。11.1超靜定的概念靜定基和相當系統(tǒng)靜定基相當系統(tǒng)11.1超靜定的概念靜定基和相當系統(tǒng)靜定基相當系統(tǒng)原系統(tǒng)靜定基相當系統(tǒng)靜定基的選擇可根據(jù)方便來選取，同一問題可以有不同的靜定基，也有相應不同的相當系統(tǒng)。11.2拉壓超靜定和扭轉超靜定11.2拉壓超靜定和扭轉超靜定

求解超靜定問題，除了要利用平衡方程，還需要根據(jù)多余約束對位移或變形的協(xié)調(diào)限制，建立各部分位移或變形之間的幾何關系。幾何方程

變形協(xié)調(diào)方程

同時還需要建立力與位移或變形之間的物理關系。物理方程

本構方程

上述兩類方程聯(lián)立得到求解超靜定問題所需要的補充方程。11.2拉壓超靜定和扭轉超靜定如圖所示，求三桿的軸力若對點A分析，可知三桿的軸力與外力F構成平面匯交力系。平面匯交力系的獨立平衡方程數(shù)是:2未知力個數(shù)是3因此這個結構是次超靜定。111.2拉壓超靜定和扭轉超靜定得到結果是如果有若干根桿，結構是n次超靜定,則總可以找到n個補充條件，相應建立n個補充方程(變形協(xié)調(diào)方程)。11.2拉壓超靜定和扭轉超靜定EA：抗拉剛度思考：超靜定結構中，抗拉剛度大的構件承受載荷是大還是小？老子《道德經(jīng)》“過剛者易折,善柔者不敗”另一種理解：能力越強，責任越大11.2拉壓超靜定和扭轉超靜定例題11.1

如圖所示結構，設橫梁AB的變形可以省略，1、2桿的橫截面面積相同，材料相同，求1、2桿的內(nèi)力。11.2拉壓超靜定和扭轉超靜定(1)建立靜力平衡方程(2)建立變形協(xié)調(diào)方程11.2拉壓超靜定和扭轉超靜定(3)物理方程代入幾何方程聯(lián)立靜力學方程，求得：11.2拉壓超靜定和扭轉超靜定一般拉壓超靜定問題的基本步驟1、根據(jù)靜力學原理列出獨立的平衡方程；2、根據(jù)變形與約束應互相協(xié)調(diào)的要求列出變形幾何方程；3、列出物理關系，這通常是胡克定律；4、從2、3兩項得到補充方程；5、聯(lián)立求解平衡方程和補充方程，即得到問題的解答。11.2拉壓超靜定和扭轉超靜定例題11.2

如圖所示等截面圓軸AB，兩端固定，在截面C和D處承受外力偶矩Me的作用，試繪出該軸的扭矩圖。11.2拉壓超靜定和扭轉超靜定一次超靜定問題(1)建立靜力平衡方程設AC、CD、DB各段的扭矩分別為T1

、T2

、T311.2拉壓超靜定和扭轉超靜定(3)建立物理方程及補充方程(2)建立幾何方程11.2拉壓超靜定和扭轉超靜定(5)畫出扭矩圖(4)聯(lián)立靜力學方程求解變形協(xié)調(diào)關系11.3裝配應力和溫度應力11.3溫度應力和裝配應力1預應力

超靜定桿或桿系中，如果某些桿的長度存在微小加工誤差，則必須采用某種強制方法才能進行裝配

在未加外力時桿內(nèi)部已經(jīng)存在應力，稱為預應力或初應力

在工程實際中，常利用預應力進行某些工件的裝配，稱為裝配應力。11.3溫度應力和裝配應力2溫度應力

溫度的變化將引起物體的膨脹或收縮。靜定結構可以自由變形，當溫度均勻變化時，并不會引起構件的內(nèi)力。但是超靜定結構的變形受到部分或全部約束，當溫度變化時，往往會引起內(nèi)力。

靜定情況11.3溫度應力和裝配應力

超靜定情況F力隨著溫度的升高逐漸變大11.3溫度應力和裝配應力

由于超靜定約束的作用，產(chǎn)生內(nèi)力。內(nèi)力引起桿件內(nèi)的應力，這種應力稱為熱應力或溫度應力。

如下圖所示的蒸汽鍋爐和原動機之間的管道，與鍋爐和原動機相比，管道剛度很小，故可把A、B兩端簡化為固定端。11.3溫度應力和裝配應力溫度的變化造成兩個固定端水平反力由對稱性很容易得出以下關系:拆除右端約束，假設允許桿件自由變形：al是材料的線膨脹系數(shù)。然后在右端作用FRB,桿件由于該力縮短。實際上由于兩端固定，桿件長度不能變化，必須有11.3溫度應力和裝配應力碳鋼的al=12.5×10-6℃-1，E=200GPa

可見，溫度變化較大時，溫度應力的數(shù)值便非?？捎^。為了避免過高的溫度應力，在管道中有時增加伸縮節(jié)，在鋼軌各段之間留有伸縮縫，這樣就可以削弱對膨脹的約束，降低溫度應力11.3溫度應力和裝配應力例題11.3

吊橋鏈條的一節(jié)由三根長l的鋼桿組成，簡化為如圖所示的超靜定結構，若三桿的橫截面積相等，材料相同，中間鋼桿略短于名義長度，且加工誤差為d=l/2000,求各桿的裝配應力。11.3溫度應力和裝配應力當把較短的中間桿與兩側桿一同固定于兩端的剛體時，中間桿將受到拉伸，兩端桿將受到壓縮，最后在紅色虛線所示位置，兩桿的變形相互協(xié)調(diào)。設兩側桿的軸向壓力FN1,中間桿的軸向拉力為FN2靜力平衡方程有11.3溫度應力和裝配應力由圖中可知上式聯(lián)立靜力平衡方程可求得:11.4簡單超靜定梁11.4

簡單超靜定梁

工程中有許多約束反力數(shù)目多于靜力平衡方程數(shù)目的梁，這種梁稱為超靜定梁。求解超靜定梁的方法:1、在靜定基上加上外載荷以及多余約束力，得到受力和變形與超靜定梁完全相同的靜定系統(tǒng)；2、求解相當系統(tǒng)在多于約束處的變形，并將相當系統(tǒng)與超靜定梁相比較，找到多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件，列出求解超靜定梁所需的補充方程；3、聯(lián)立求解靜力平衡方程和補充方程得到超靜定梁的約束反力；4、進行內(nèi)力、強度、剛度分析。11.4

簡單超靜定梁例題11.4

如圖所示雙跨簡支梁受集中力F作用，求約束反力，并畫出剪力圖和彎矩圖。11.4

簡單超靜定梁1、以支座B為多余約束。解除約束B，代之以多余未知力FB，得到相應的靜定基和相當系統(tǒng)。靜定基相當系統(tǒng)2、在F單獨作用下，查表得到截面B的撓度為3、在FB單獨作用下，查表得到截面B的撓度為4、根據(jù)B點的實際撓度為011.4

簡單超靜定梁5、由靜力學平衡方程6、作剪力圖和彎矩圖11.4

簡單超靜定梁課堂思考與練習

求下面的超靜定梁固定端的約束反力。（利用結構的對稱關系）提示：

1、固定端反力包括力和力偶。

2、為了求固定端的反力偶，可先求跨中點位置的彎矩，彎矩可利用跨中點的轉角為0的條件建立變形協(xié)調(diào)方程求解。11.5用力法求解超靜定問題*11.5用力法求解超靜定問題

在求拉壓、扭轉超靜定問題和梁的超靜定問題的方法有一個共同特點：

以多余約束力為基本未知量，將變形或位移表示為未知力的函數(shù)，通過變形協(xié)調(diào)條件作為補充方程求解未知約束力。可以把這些方法總結歸納成為統(tǒng)一的標準形式。11.5用力法求解超靜定問題如圖所示的圓形曲桿:解除B端的約束，加上多余約束支座反力X1以及外載荷得到相當系統(tǒng)F單獨作用下，B端在X1方向上的位移D1FX1單獨作用下，B端在X1方向上的位移D1X1B端實際在X1方向上的位移為011.5用力法求解超靜定問題在計算D1X1時,可在靜定基上沿X1方向作用一個單位力，設B點沿X1方向由單位力引起的位移記為d11在線彈性范圍內(nèi)有聯(lián)