材料力學(xué)課件：能量法及其應(yīng)用

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能量法及其應(yīng)用

固體力學(xué)中，把與功和能有關(guān)的一些定理統(tǒng)稱為能量原理。應(yīng)用能量原理求解變形固體的位移、變形和內(nèi)力等的方法，統(tǒng)稱為能量法。能量法是進(jìn)一步研究變形體力學(xué)的重要基礎(chǔ)，如廣泛應(yīng)用的有限單元法、近似計(jì)算法（瑞利-里茲法）等都與能量原理有關(guān)。2分析過程簡(jiǎn)單，應(yīng)用范圍廣泛。包括--可以確定結(jié)構(gòu)上任意點(diǎn)、沿任意方向的位移；--可以確定位移函數(shù)；既可以確定位移，又可以確定內(nèi)力和應(yīng)力；--既適用于線彈性問題，又適用于非線彈性問題；--可直接用于求解超靜定問題。能量法的優(yōu)點(diǎn)及應(yīng)用范圍3本章重點(diǎn)本章難點(diǎn)本章重點(diǎn)與難點(diǎn)桿件變形能計(jì)算互等定理單位荷載法圖形互乘法能量法求解超靜定問題虛功原理

單位荷載法能量法求解超靜定問題4第11章能量法及其應(yīng)用

§11.1應(yīng)變能的計(jì)算§11.2互等定理§11.3卡氏第二定理§11.4單位荷載法§11.5圖形互乘法511.1應(yīng)變能的計(jì)算彈性應(yīng)變能

彈性體由于變形而儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)部的能量，稱之為彈性應(yīng)變能或彈性變形能。記作Vε。功能原理彈性體在外力作用下發(fā)生變形，荷載在其相應(yīng)的位移上做功（記為W）。忽略動(dòng)能等其他能量損耗，外力功在數(shù)值上等于彈性體積蓄的變形能。--功能原理6回顧：線彈性體的應(yīng)變能準(zhǔn)靜態(tài)加載，0緩慢

FP材料線彈性小變形荷載-位移曲線由功能原理應(yīng)變能單位--J，1J=1NmFP-廣義力；Δ-廣義位移7基本變形形式下桿件的應(yīng)變能軸向拉壓變形桿件微段的應(yīng)變能E=const,FN=const等直桿軸向拉壓桿的應(yīng)變能8扭轉(zhuǎn)變形桿件微段的應(yīng)變能G=const,T=const等直桿扭轉(zhuǎn)桿的應(yīng)變能基本變形形式下桿件的應(yīng)變能（續(xù)）9平面彎曲變形梁微段的應(yīng)變能平面彎曲梁的應(yīng)變能桿件線彈性應(yīng)變能的計(jì)算（續(xù)）計(jì)及剪切應(yīng)變能k為截面修正系數(shù)-矩形截面k=6/5-圓截面k=10/9-工字截面k=A/A110例11-1圖示圓截面拉桿，彈性模量為E，受力和尺寸如圖，求桿的應(yīng)變能。解：桿可分為兩段軸力為常數(shù)的等直桿其中：11解：梁的彎矩方程為該平面彎曲梁的應(yīng)變能為例11-2

如圖所示懸臂梁，自由端作用一集中力FP和一力偶矩Me，EI為常數(shù)，求梁的應(yīng)變能。12例11-3

如圖所示桁架結(jié)構(gòu)，求A點(diǎn)的豎向位移。各桿件的拉壓剛度均為EA，長(zhǎng)度a為已知。計(jì)算兩桿中的軸力，如圖b)，由節(jié)點(diǎn)A的平衡：則結(jié)構(gòu)應(yīng)變能為：外力功為：根據(jù)有：計(jì)算得A點(diǎn)的豎向位移為：解：13求結(jié)構(gòu)各桿和梁的內(nèi)力求結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能和外力功梁：根據(jù)對(duì)稱性只考慮半梁，彎矩方程為：桿：根據(jù)節(jié)點(diǎn)B的平衡：外力功：解：例11-4如圖所示結(jié)構(gòu)，求C點(diǎn)的豎向位移。梁的彎曲剛度為EI，兩桿的拉壓剛度均為EA，長(zhǎng)度l和a為已知。14求C點(diǎn)的豎向位移例11-4解（續(xù)）：

結(jié)構(gòu)應(yīng)變能：根據(jù)有：15-線彈性體的應(yīng)變能等于各廣義力與其相應(yīng)的廣義位移乘積之半的總和?？死嚷≡砭€彈性變形體準(zhǔn)靜態(tài)加載功能原理EmileClapeyron(1799-1864)-應(yīng)變能與加載次序無關(guān)；-相互獨(dú)立的力（廣義力）引起的變形能方可相互疊加。16組合變形桿件的應(yīng)變能細(xì)長(zhǎng)桿，剪力引起的應(yīng)變能可忽略不計(jì)。內(nèi)力獨(dú)立作用原理-橫截面內(nèi)力僅在自身產(chǎn)生的變形上做功，其應(yīng)變能與其他內(nèi)力引起的變形無關(guān)。組合變形桿件，受軸力、彎矩、扭矩、剪力。其微段受力情況如圖，根據(jù)克拉比隆原理，其微段上的應(yīng)變能：積分得到整個(gè)桿件的應(yīng)變能：17以抗彎為主的桿件，忽略其他內(nèi)力影響，其應(yīng)變能應(yīng)變能或外力功是外力（內(nèi)力）或位移的二次函數(shù)

同種內(nèi)力計(jì)算應(yīng)變能不適用疊加原理。同種力引起的應(yīng)變能不可簡(jiǎn)單疊加!內(nèi)力方程：CD段：AB段：整體應(yīng)變能：18解：例11-5如圖所示圓截面折桿ABC，已知桿橫截面的極慣性矩Ip對(duì)，中性軸的慣性矩IZ，材料彈性模量E和切變模量G。求折桿的應(yīng)變能。剛架和曲桿在外力作用下通常發(fā)生組合變形：平面剛架和曲桿（圖a、b）內(nèi)力通常有軸力、剪力、彎矩；空間剛架和曲桿（圖c、d）內(nèi)力通常有軸力、剪力、彎矩、扭矩。剛架和曲桿應(yīng)變能的計(jì)算常忽略軸力和剪力的影響。平面剛架和曲桿的應(yīng)變能空間剛架和曲桿的應(yīng)變能19剛架和曲桿的應(yīng)變能計(jì)算20第11章能量法及其應(yīng)用

§11.1應(yīng)變能的計(jì)算§11.2互等定理§11.3卡氏第二定理§11.4單位荷載法§11.5圖形互乘法21先加再加則相應(yīng)的應(yīng)變能為：功的互等定理下標(biāo)-前位后力11.2互等定理圖示懸臂梁，分別按2種順序加載先加再加則22應(yīng)變能與加載順序無關(guān)

功的互等定理--對(duì)線彈性體，第一組力系各力在由第二組力系引起的相應(yīng)位移上做功之和，等于第二組力系各力在由第一組力系引起的相應(yīng)位移上做功之和。23證明：考慮兩種加載方式，先加FPi，再加FQj

，11.2互等定理

功的互等定理--對(duì)線彈性體，第一組力系各力在由第二組力系引起的相應(yīng)位移上做功之和，等于第二組力系各力在由第一組力系引起的相應(yīng)位移上做功之和。先加FQj，再加FPi，24--功互等定理25FPi

ij=FQj

ji

一對(duì)線彈性體，若第一個(gè)力與第二個(gè)力數(shù)值相等，則第一個(gè)力在第二個(gè)力作用處引起的位移，數(shù)值上等于第二個(gè)力在第一個(gè)力作用處引起的位移。位移互等定理根據(jù)功互等定理若-位移互等定理26例11-6

圖示簡(jiǎn)支梁，力FP作用在梁中點(diǎn)C時(shí)，B截面的轉(zhuǎn)角，試求B截面作用力偶Me時(shí)C點(diǎn)的撓度。解：根據(jù)功互等定理

功互等定理是計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的有效方法之一。27例11-7

如圖所示懸臂梁，長(zhǎng)為l彎曲剛度EI已知。力F作用在梁端部B，試求中點(diǎn)C處的撓度ωC。解：根據(jù)位移互等定理，F(xiàn)作用在B點(diǎn)時(shí)引起ωC（圖a）與F作用在C點(diǎn)時(shí)引起ωB（圖b）相等。即：28第11章能量法及其應(yīng)用

§11.1應(yīng)變能的計(jì)算§11.2互等定理§11.3卡氏第二定理§11.4單位荷載法§11.5圖形互乘法2911.3卡氏定理卡氏第二定理--線彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能對(duì)其上任一廣義力FPi的偏導(dǎo)數(shù)，等于FPi作用點(diǎn)沿其方向的廣義位移。證明：第1組載荷FP1,FP2,…FPi，第2組載荷δFPi

，先加載荷2，再加載荷1，--卡氏第二定理考慮兩種加載方式，先加載荷1，再加載荷2

，AlbertoCastigliano(1847-1884)30兩種加載路徑的應(yīng)變能分別為：應(yīng)變能與加載順序無關(guān)，

--卡氏第二定理忽略高階小量31①--整體結(jié)構(gòu)在所有外載作用下的線彈性應(yīng)變能；②

Fpi的是廣義力（力或力偶），相應(yīng)的位移

i

為廣義位移（線位移或角位移）；③FPi視為變量，結(jié)構(gòu)的約束力、內(nèi)力和變形能等都必須表示為FPi

的函數(shù);④

i為FPi作用點(diǎn)的沿FPi方向的位移;⑤

當(dāng)結(jié)構(gòu)上沒有與

i對(duì)應(yīng)的FPi時(shí)，先虛加一沿

i

方向的FPi

，求偏導(dǎo)后，再令其為零。應(yīng)用卡氏定理的注意事項(xiàng)32桁架——軸力直梁——彎矩常見結(jié)構(gòu)的卡氏第二定理33組合變形—拉（壓）＋彎矩＋扭矩34平面曲桿

--忽略剪力、軸力對(duì)變形的影響其中，s—弧坐標(biāo)。35例11-8如圖所示正方形桿系結(jié)構(gòu)，求A、C兩點(diǎn)的相對(duì)位移。已知各桿的拉壓剛度EA相同。解：①求各桿軸力

②計(jì)算桿系結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能

③

A、C兩點(diǎn)的相對(duì)位移36解：在B處添加一個(gè)與所求位移相應(yīng)的虛設(shè)廣義力F。彎矩方程：卡氏第二定理：例11-9如圖所示變截面梁，彎曲剛度分段為常量，試用卡第二氏定理求在荷載FP作用下B截面的撓度ωB。37解：彎矩方程應(yīng)變能B點(diǎn)垂直位移例11-10如圖所示平面曲桿，EI常量。A端固定，B端自由，作用集中力FP，求B點(diǎn)的豎直位移。38例11-11懸臂梁BC如圖所示，受均布荷載作用，q=12kN/m支承如圖。已知CD桿截面面積A=100mm2，彈性模量E1=70GPa，長(zhǎng)度a=7.5mm；BC梁截面慣性矩I=20×106mm4，彈性模量E2=200GPa，梁長(zhǎng)l=3mm。求CD所受軸力。解：①一次超靜定問題。解除D點(diǎn)約束，用位未知束力FCD代替，建立基本靜定基如圖b。39②用卡氏第二定理求D處位移CD桿軸力：BC梁彎矩：由卡氏第二定理有：解：③D處的位移協(xié)調(diào)條件為ΔD=0，則④代入數(shù)值，解得：40解：41第11章能量法及其應(yīng)用

§11.1應(yīng)變能的計(jì)算§11.2互等定理§11.3卡氏第二定理§11.4單位荷載法§11.5圖形互乘法4211.4單位荷載法單位荷載法的推導(dǎo)OttoMohr(1835-1918)單位荷載法又稱莫爾積分法，也是計(jì)算線彈性結(jié)構(gòu)位移的常用能量方法。如圖所示簡(jiǎn)支梁，作用有廣義力

FP1,FP2,…等，現(xiàn)求C點(diǎn)的鉛垂位移??？紤]兩種方法加載：43第一種施加荷載彎矩應(yīng)變能第一步在C點(diǎn)施加單位力FPC=1第二步將FP1，F(xiàn)P2，…等作用于梁上及C點(diǎn)處單位力做功1×?總應(yīng)變能44兩種加載方法得到的應(yīng)變能相等：化簡(jiǎn)等式，可以得到：第二種施加荷載彎矩應(yīng)變能同時(shí)作用FP1，F(xiàn)P2，…等和C點(diǎn)單位力FPC=145推廣得到單位荷載法計(jì)算組合變形桿件位移的一般表達(dá)式

--所求廣義位移（m或rad）；

--所求位移點(diǎn)處作用單位荷載時(shí)截面上的軸力、彎矩、扭矩方程（N·m）。--實(shí)際所受外載作用下截面上的軸力、彎矩、扭矩方程（N·m）；46使用單位荷載法的注意事項(xiàng)：⑤

結(jié)果為正

位移與所設(shè)單位荷載同向；為負(fù)則相反。②

單位荷載是廣義力，與之相應(yīng)的位移為廣義位移；③所加的廣義單位荷載必須與所求廣義位移相對(duì)應(yīng)。①

材料處于線彈性范圍，小變形情況；④

外力和單位荷載作用下的內(nèi)力方程，應(yīng)采用相同的坐標(biāo)系和坐標(biāo)原點(diǎn)，需分段時(shí)，每段桿的坐標(biāo)可自由建立，分段積分再求和。線位移?單位集中力；角位移?單位集中力偶；兩點(diǎn)相對(duì)位移?兩點(diǎn)間一對(duì)反向單位集中力；47單位荷載法計(jì)算變形桿件位移的簡(jiǎn)化形式桁架梁與剛架（忽略軸向及剪切變形）組合結(jié)構(gòu)（拉/壓+彎）48例11-12圖中的圓截面折桿ABC。已知橫截面的極慣性矩為Ip，對(duì)中性軸的慣性矩為Iz，材料的彈性模量和切變模量分別為E和G。試用單位荷載法求C截面的鉛垂位移。解：在折桿截面C處施加垂直向下單位力FP=149CB段BA段在外力和單位力作用下的內(nèi)力方程：計(jì)算截面C處的鉛垂位移：50例11-13求圖示剛架C點(diǎn)的水平位移和角位移，EI已知。C點(diǎn)水平位移：解：（1）在截面C處施加單位力FPC=1，如圖b在外載和單位力作用下的彎矩方程分別為：BC段：

BA段：

51C點(diǎn)的角位移：（2）在截面C處施加單位力偶矩Me=1，如圖c

在外載和單位力偶矩作用下的彎矩方程分別為：BC段：BA段：52例11-14如圖所示的桁架結(jié)構(gòu)，已知載荷F及尺寸a

，各桿的拉壓剛度為EA，求結(jié)點(diǎn)A的豎向位移和水平位移。解：①求外載F作用下桁架各桿的軸力。如圖a所示，各桿的軸力為：②求A點(diǎn)的豎向位移。在原結(jié)構(gòu)的A點(diǎn)作用豎直方向的單位集中力，如圖b所示，則各桿的軸力為：53由單位荷載法，A點(diǎn)的豎向位移為：③求A點(diǎn)的水平位移。在原結(jié)構(gòu)的A點(diǎn)作用水平方向的單位集中力，如圖c所示，則各桿的軸力為：由單位荷載法，A點(diǎn)的水平位移為：54第11章能量法及其應(yīng)用

§11.1應(yīng)變能的計(jì)算§11.2互等定理§11.3卡氏第二定理§11.4單位荷載法§11.5圖形互乘法5511.5圖形互乘法以彎曲問題為例，對(duì)等直梁或剛架結(jié)構(gòu)的單位載荷法又，當(dāng)內(nèi)力方程至少有一個(gè)為線性函數(shù)時(shí)，比如可以通過圖形互乘的方法簡(jiǎn)化單位荷載法中的莫爾積分計(jì)算。56圖形互乘法的推導(dǎo)--圖乘法公式57應(yīng)用圖乘法注意事項(xiàng)僅適用直桿或分段直桿結(jié)構(gòu)，各段EI為常數(shù)。圖和圖中，至少有一個(gè)是為直線圖形(其中

圖必為直線圖形)。當(dāng)面積A與縱坐標(biāo)

在基線同側(cè)時(shí)，

乘積取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)；當(dāng)單位荷載引起的

圖的斜率變化時(shí)，圖形互乘需分段進(jìn)行，保證每一段內(nèi)的斜率必須是相同的，這時(shí)變成

式中n——圖的分段數(shù)。特別注意，荷載與單位力作

用下的分段及坐標(biāo)系必須一致。58當(dāng)M(x)圖也為直線時(shí)，圖乘法為：式中，為單位荷載彎矩圖面積

為圖形心處對(duì)應(yīng)的圖的內(nèi)力值。結(jié)構(gòu)上任意一點(diǎn)沿某個(gè)方向的廣義位移

式中——各段載荷扭矩圖的面積；——載荷扭矩圖的形心所對(duì)應(yīng)的單位載59

在圖形互乘法應(yīng)用過程中，常見到的內(nèi)力圖往往是矩形、三角形、拋物線形，或幾