江蘇省常州市聯(lián)盟學校2024-2025學年高二上學期期中學情調研數學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省常州市聯(lián)盟學校2024-2025學年高二上學期期中學情調研數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知直線方程為，則直線與垂直，即直線的傾斜角為，故選：C.2.圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓的標準方程為，該圓的半徑為，因此，該圓的面積為.故選：B.3.直線關于軸的對稱直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設所求直線上任意一點的坐標為，則其關于x軸的對稱點坐標為.已知直線，對稱點在該直線上，所以將換為可得，即.故選：A.4.若曲線是雙曲線，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】曲線是雙曲線，則異號.則，解得.故選：D.5.已知拋物線的焦點為,上一點到軸的距離為6，且，則（）A.4 B.8 C.16 D.12【答案】A【解析】由題設及拋物線的定義，有.故選：A6.比較下列橢圓的形狀，最接近于圓的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】A：，則，B：，則，C：，則，D：，則，由離心率越小，越趨向于圓，則，即最接近于圓.故選：C7.直線與圓交于，兩點，則面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可化為，所以，圓心，其到的距離，又圓的半徑為，所以，則面積為.故選：B8.設橢圓的左右焦點分別為，，過坐標原點的直線與交于，兩點，，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，可設，根據橢圓對稱性，有，，所以，而，則，故，所以，即，由為平行四邊形，則，又，所以.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知三條直線，，，則下列結論正確的有（）A.經過定點 B.，的交點坐標為C.若，則 D.若，則【答案】AD【解析】A選項：，即，令，解得，即直線過點，A選項正確；B選項：聯(lián)立直線方程，解得，即直線，的交點坐標為，B選項錯誤；C選項：由，可得，解得，C選項錯誤；D選項：時，直線，滿足，即，D選項正確；故選：AD.10.已知雙曲線的左右焦點分別為，，點是上一點，經過點作斜率為的直線與交于，兩點，則下列結論正確的有（）A.左焦點到漸近線距離為 B.若，則或1C.若，則，兩點位于的兩支 D.點不可能是線段的中點【答案】ACD【解析】對于選項A，由雙曲線，得漸近線為，即.左焦點，左焦點到漸近線距離，所以選項A正確.對于選項B，根據雙曲線定義，又，則，當時，；當時，.但是，所以舍去，，選項B錯誤.對于選項C，當時，直線的方程為.聯(lián)立，消去得，展開并整理得，即.Δ=所以方程有兩個不同的實根，設兩根為，，，即兩根異號，所以直線與雙曲線相交于兩支上，選項C正確.對于選項D，由，得到.展開.整理得，.設，，若是中點，則，則，所以，代入與前面矛盾.所以點不可能是線段的中點，選項D正確.故選：ACD.11.已知曲線，點在曲線上，則下列結論正確的有（）A.曲線有4條對稱軸 B.曲線圍成的圖形面積為C.的最大值為 D.的最小值為【答案】BCD【解析】當時，，當時，，當時，，當時，，且曲線過原點，曲線圍成的圖形是四個全等的弓形組成，令，有，又各圓半徑為，則每個弓形圓弧是圓弧，所以曲線的圖形如下圖示，由圖知，顯然對稱軸只有軸，A錯；曲線圍成的圖形是四個全等的弓形組成，面積為，B對；由上分析，易知的最大值為，C對；由表示曲線上點與點所成直線斜率，結合圖知，當過的直線與圓右上方相切時斜率最小，令直線為且，聯(lián)立圓得，所以，則，整理得，所以，可得（正值舍），D對.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.兩條平行直線與間的距離為________.【答案】【解析】由題設，即為，所以兩直線距離.故答案為：13.兩圓和的公切線有______條．【答案】3【解析】由題可知圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，則圓心距，所以兩圓外切，則公切線有3條.故答案為：3.14.已知橢圓的左右焦點分別為，，上的一點滿足，且的面積為，則的值為__________，的取值范圍為________.【答案】4；.【解析】由，（），所以，又，則，所以，結合，所以，由題設，則，故，由上分析知，而，當且僅當時取等號，所以，則，當且僅當時取等號，則，綜上，.故答案為：4，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知△的三個頂點為，，.（1）求證：△為直角三角形；（2）求邊上的中線長及中線所在的直線方程.解：（1）由已知條件得，,,則,所以△為直角三角形；（2）設的中點坐標為，則邊上的中線,由中點坐標公式可得，，即的坐標為，直線的斜率為，所以邊上的中線所在直線方程為，即.16.已知圓，點，.（1）求過點且與圓相切的直線方程；（2）點是圓上的動點，求的最值.解：（1）當過點且與圓相切直線斜率不存在時，該直線方程為，當過點且與圓相切的直線斜率存在時，設其斜率為，則該直線方程為，因為該直線與圓相切，則圓心到直線的距離，即，解得，即；（2）設點，為參數，且，則，因為，所以，所以的最大值為，最小值為.17.已知雙曲線經過點，且左焦點為.（1）求的標準方程；（2）過的右焦點作斜率為的弦，求的周長.解：（1）由題設且，可得，故；（2）由（1）知，則直線，聯(lián)立雙曲線，得，整理，可得或，不妨令，則，而，故，，所以.18.已知四邊形的頂點、、在橢圓上，是坐標原點.（1）當點是的右頂點，且四邊形為菱形時，求菱形的面積；（2）當點不是的頂點時，判斷四邊形是否可能為菱形，并說明理由.解：（1）對于橢圓，，，則，當點是的右頂點，則，因為四邊形為菱形，所以與相互垂直且平分．所以可設，代入橢圓方程得，即.所以菱形面積是.（2）四邊形不可能為菱形．理由如下：假設四邊形為菱形．因為點不是的頂點，且直線不過原點，則直線的斜率存在且不為零，所以可設的方程為，設點、，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，所以，，因為四邊形為菱形，則，即點，所以，，因為，則與不垂直，故四邊形不可能是菱形.19.已知拋物線的焦點為，經過點的直線交拋物線于，兩點.（1）求線段的中點的軌跡方程；（2）經過點的另一條直線交拋物線于，兩點，連接，