江蘇省揚州市2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省揚州市2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因，故，故選：C2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得：命題“，”的否定是“，”.故選：D.3.設(shè)集合，，若，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】因為，所以.所以或.若，此時，，不成立，故不合題意；若，此時，，成立.故.故選：C4.已知a，b，c為實數(shù)，下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】對A：當(dāng)時，；當(dāng)時，.故A錯誤；對B：因為，所以，故成立.故B正確；對C：當(dāng)時，.故C錯誤；對D：若，則.故D錯誤.故選：B5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減且對任意滿足，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為對任意滿足，所以的對稱軸為直線，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以，解得，故選：B．6.若不等式成立的充分條件是，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)不等式的解集為，，因為不等式成立的充分條件是，所以，所以，所以.由，所以.由可得.故選：D7.已知函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B.3 C.2 D.【答案】A【解析】因為（），所以.當(dāng)時，f'x>0，所以在0,+∞又.由，所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：A8.已知函數(shù)的定義域為，且滿足，的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A.1 B.3 C. D.【答案】A【解析】由兩邊求導(dǎo)得，，即，因為為奇函數(shù)，所以，即，所以關(guān)于中心對稱，所以，變形得，且，由，得，變形得，所以，則，所以是周期為2的周期函數(shù)，則，故選：A．二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.的一個必要不充分條件是B.若集合中只有一個元素，則C.若，使得成立是假命題，則實數(shù)m的取值范圍為D.已知集合，則滿足條件的集合N的個數(shù)為4【答案】AD【解析】對于A，由，，得；反之若，而，不能判斷與的大小，因此的一個必要不充分條件是，A正確；對于B，當(dāng)時，集合只有一個元素，B錯誤；對于C，，使得成立，即，成立，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，因此，由，使得成立是假命題，得，C錯誤；對于D，由，得，由，得有4個子集，因此集合N的個數(shù)為4，D正確.故選：AD10.已知，，且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故A錯誤；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故C正確；對于D，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故D正確；故選：BCD．11.設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a取值范圍是B.若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是C.設(shè)函數(shù)的3個零點分別是，，（），則的取值范圍是D.任意實數(shù)a，函數(shù)在-1,1內(nèi)無最小值【答案】BCD【解析】對于A，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，故A錯誤；對于B，若函數(shù)有3個零點，則當(dāng)時，有2個零點，所以，解得，當(dāng)時，有1個零點，則，所以，故B正確；對于C，設(shè)函數(shù)的3個零點分別是，，（），由B知，，，令，解得，即，設(shè)，，得在上單調(diào)遞減，所以，故C正確；對于D，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，對稱軸為直線，①當(dāng)，即時，，無最小值；②當(dāng)，即時，，若有最小值，則，解得，與矛盾，故無最小值；綜上任意實數(shù)a，函數(shù)在內(nèi)無最小值，故D正確；故選：BCD．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題卡中的橫線上．12.已知隨機變量，且，則的值為________．【答案】【解析】由隨機變量，且，可得，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得.13.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為________（用“＜”連接）．【答案】【解析】因為，所以，所以，又因為，所以，所以，所以.14.若存在正實數(shù)x，使得不等式成立，則a的最大值為______．【答案】【解析】由，又，所以.設(shè)，則，所以在0,+∞上單調(diào)遞增.所以（）.設(shè)（），則，由；由.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以.因為存在正實數(shù)x，使得不等式成立，所以.即的最大值為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，．（1）分別求，；（2）已知集合，若，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）∵，，∴，∴，∴．（2）因為集合，，當(dāng)時，，滿足條件；當(dāng)時，，則，即，綜上所述，．16.已知函數(shù)．（1）若不等式的解集為，求的表達(dá)式；（2）解關(guān)于x的不等式．解：（1）∵的解集為，∴1，2是方程的根且，∴，∴，∴．（2）當(dāng)時，，∵，∴，∴；當(dāng)時，，即，即，當(dāng)時，，∴或；當(dāng)時，，（?。┊?dāng)時，無解；（ⅱ）當(dāng)時，；（ⅲ）當(dāng)時，；綜上所述：當(dāng)時，不等式的解集為或，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為．17.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，富裕起來的人們健康意識日益提升，越來越多的人走向公園、場館，投入健身運動中，成為一道美麗的運動風(fēng)景線，某興趣小組為了解本市不同年齡段的市民每周鍛煉時長情況，隨機抽取500人進(jìn)行調(diào)查，得到如下表的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：周平均鍛煉時間少于6小時周平均鍛煉時間不少于6小時合計60歲以下8012020060歲以上（含60）60240300合計140360500（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為周平均鍛煉時長與年齡有關(guān)聯(lián)？（2）現(xiàn)從60歲以上（含60）的樣本中按周平均鍛煉時間是否少于6小時，用分層隨機抽樣法抽取10人做進(jìn)一步訪談，再從這10人中隨機抽取3人填寫調(diào)查問卷，記抽取3人中周平均鍛煉時間不少于6小時的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．α0.0250.010.0050.0015.0246.6357.87910.828解：（1）提出假設(shè)：周平均鍛煉時長與年齡無關(guān)聯(lián)，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為周平均鍛煉時長與年齡有關(guān)聯(lián)；（2）抽取的10人中，周平均鍛煉時長少于6小時的有（人），不少于6小時的有（人），則X所有可能的取值為1，2，3，所以，，，所以隨機變量X的分布列為：X123P所以數(shù)學(xué)期望．18如圖，四棱錐中，底面，，，．（1）若，證明：平面；（2）若，且二面角的正弦值為，求．（1）證明：因為平面，而平面，所以，又，，平面，所以，而平面，所以．因為，所以，又平面，故，又平面，平面，所以平面．（2）解：以，為，軸，過點作平面垂直的線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：令，則，，，，，，設(shè)平面的法向量n1=x1設(shè)，則，，所以，設(shè)平面CPD的法向量為，所以，設(shè)，則，，所以，因為二面角A-CP-D的正弦值為，則余弦值為，又二面角為銳角，所以，解得，所以19.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上的“一階有界函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)和是否為R上的“一階有界函數(shù)”，并說明理由：（2）若函數(shù)為R上的“一階有界函數(shù)”，且在R上單調(diào)遞減，設(shè)A，B為函數(shù)圖象上相異的兩點，直線的斜率為k，試判斷“”是否正確，并說明理由；（3）若函數(shù)為區(qū)間上的“一階有界函數(shù)”，求a的取值范圍．解：（1），在R上恒成立，故是R上的“一階有界函數(shù)”；，，當(dāng)時，，故不是R上的“一階有界函數(shù)”．（2）正確．若函數(shù)為R上的“一階有界函數(shù)”，則，又在R上單調(diào)遞減，即，所以，令，，所以在R上