拓展之構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)不等式問題（解析版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第09講：拓展二：構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)不等式問題

目錄

類型一：構(gòu)造R(x)=VV(x)或尸(%)=華5eZ,且型........2

類型二：構(gòu)造二無)=*/(為或1尤)=與(〃>2,且〃wO)型.......6

e

類型三：構(gòu)造/(%)=/(x)sin尤或尸(x)=3型...................10

smx

類型四：構(gòu)造/(x)=/(x)cosx或尸(x)=22型..................12

COSX

類型五：根據(jù)不等式(求解目標(biāo))構(gòu)造具體函數(shù)..............18

1、兩個基本還原

①ra)g(x)+f(x)gXx)="(x)g(x)r②)?「(：)一(‘「'⑴=[尸'，

[g(x)]~g(x)

2、類型一：構(gòu)造可導(dǎo)積函數(shù)

①e'""'(x)+4(x)]=[e""(x)]'高頻考點(diǎn)1：""'(x)+/(x)]=[e"(x)]'

②—[4⑺+叭創(chuàng)=?(])[

高頻考點(diǎn)1：xfXx)+f(x)=[xf(x)]'高頻考點(diǎn)2x[xf'(x)+2f(x)]^[x2f(x)]'

/'(x)-硝x)=…高頻考點(diǎn)1：/'(X)—/(x)=[/Wy

eeee

xf'(x)-nf(x)f(x)

④-----------------------=

JiJi

高頻考點(diǎn)1：2'(x)；/(x)=[JM],高頻考點(diǎn)2礦(x)12/(x)=[號了

XXXX

⑤f\x)sinx+f(x)cosx=[f(x)sinx]f

⑥ff(x)cosx-f(x)sinx=[/(x)cosx]f

序號條件構(gòu)造函數(shù)

1f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0F(x)=fMg(x)

2f'(x)+f(x)<Qx

F(X)=ef(x)

3f'(x)+nf(x)<0nx

F(X)=ef(x)

4xf'(x)+f(x)>0尸(x)=xf(x)

5xf'(x)+2f(x)<0F(x)=x2/(^)

6xf\x)+叭x)>0F(x)=xV(x)

7/'(1)sinx+/(x)cosx>0F(x)—/(x)sinx

8fr(x)cosx—f(x)sinx>0F(x)=/(x)cosx

3、類型二：構(gòu)造可商函數(shù)

高頻考點(diǎn)L如一=［等『

①-----工-------=L—

GV'(X)―/礦Q)「/(X)

Un+1—L-

JiJin

，

高頻考點(diǎn)1：W)-/U)=[/U)y高頻考點(diǎn)2：VW-2/(x)=[f(x)],

XXXX

f\x)sinx-/(x)cosx=3r

③

sin2xsmx

@/'(x)cosx+/(x)sinx=

COS2XCOSX

高頻考點(diǎn)

類型一：構(gòu)造網(wǎng)x)=x"(x)或％%)=與(7好2,且〃w0)型

Ji

典型例題

例題1.(23-24高二下?天津?階段練習(xí))已知定義在(。,+e)上的函數(shù)/(X)滿足

礦(無)-/(無)<0,且“2)=2,貝葉(巧一1>0的解集是()

A.(-co,ln2)B.(ln2,+oo)C.(0,e2)D.(e2,+oo)

【答案】A

【分析】根據(jù)礦(力-/(x)<0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=#，判斷其單調(diào)性，將/⑹)-/〉。化

為g(e。>g(2)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得答案.

【詳解】令g(x)=?,xe(O,+?)),則g，(x)="'(x)：〃x)<o,

XX

故gQ)=?在(0,+功上單調(diào)遞減，結(jié)合"2)=2,得g(2)=/0=1,

x2

由/(e)-e，>0,得上)>1，即g(e)>g(2),;.e*<2,則x<ln2,

即>0的解集是(y),ln2),

故選：A

例題2.(23-24高三上?江蘇南通?期末)已知函數(shù)/⑺及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)的定義域均為(。,+e),

若對''(x)<2/(x),則()

A.4e7(2)<16/(e)<e2/(4)B.e2/(4)<4e2/(2)<16f(e)

C.e2/(4)<16/(e)<4e7(2)D.16/(e)<e2/(4)<4e2/(2)

【答案】C

【分析】

方法一：設(shè)g(x)=/*,利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，從而求解；

方法二：設(shè)〃力=1,特例法得解.

【詳解】

方法一：回礦(x)<2〃x),

設(shè)g⑴=1，則g(x)在(0,+力)上單調(diào)遞減，

所以g(2)>g(e)>g(4),

.??號>歲>\*,即4e2〃2)>16/(e)>e2/(4),故C正確.

方法二：設(shè)〃力=1,又e2<16<4e2,C正確.

故選：C

例題3.(22-23高二下?重慶榮昌?期中)定義在R上的偶函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),且當(dāng)

x<0時，靖(x)+2〃x)<0.則()

A.坐>坐B.9/(3)>/(1)

4e

C.4/(-2)<9/(-3)D.牛>1^1

【答案】D

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=d〃x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，再根據(jù)奇偶性可判斷各選項(xiàng).

【詳解】由當(dāng)x<0時，礦(x)+2〃x)<0,

得"(小2獷(力>0,

設(shè)g(x)=尤2/(x),則g，(x)=f'［x}+2xf(x)>Q,

所以g⑺=x2f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，

又函數(shù)”X)為偶函數(shù)，

所以g(x)=f/(x)為偶函數(shù)，

所以g⑺=x2f(x)在在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+功上單調(diào)遞減，

所以g(e)<g(2),gpe2/(e)<22/(2),所以牛<g,A選項(xiàng)錯誤;

g(3)<g⑴,即32/(3)寓f/⑴,所以9〃3)<〃1),B選項(xiàng)錯誤;

g(—2)>g(—3),HP(-2)7(-2)>(-3)7(-3))所以4/(-2)>9/(-3),C選項(xiàng)錯誤;

g(e)>g(3)=g(-3),即e2"e)>(_3"(_3),所以牛>乍1,D選項(xiàng)正確；

故選：D.

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高三上?天津,期中)已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)>=/(尤)的導(dǎo)函數(shù)為y=/'(x),當(dāng)

若a=|4|：b=-2〃-2),c=ln；dln￡|,則a",。的大小關(guān)

XHO時，/'(%)+—<0

X

系正確的是()

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=#(x),根據(jù)條件判斷g(x)的奇偶性與單調(diào)性，進(jìn)而比較”,4c的

大小關(guān)系.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)g(x)=4(無)，

因?yàn)閥=f(x)為奇函數(shù)，貝I]g(-x)=(-x)/(—x)=#(x)=g(x),即函數(shù)g(x)為偶函數(shù).

當(dāng)尤>0時，g'(x)=f(x)+^'(x)=x/'(x)+^^]<0,

則函數(shù)g(x)在(0,+°°)上為減函數(shù).

a=|/(|)=g(|)-b=-If(-2)=g(-2)=g(2),0=111；/?。唬?8卜；］=8(1113),

2

_E—<In3<2,則有AvcVz.

故選：B.

2.(23-24高三上?江西南昌?階段練習(xí))若函數(shù)y=〃x)滿足礦(x)>-/(x)在R上恒成立,

且?>/?,貝U()

A.qf(b)>bf(a)B.af{a}>bf(b)

C.af{a)<bf^b)D.af(b)<bf(a)

【答案】B

【分析】

利用求導(dǎo)逆運(yùn)算構(gòu)造函數(shù)g(x)=4(x),由已知可得g(x)在R上是增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)

性即可求解.

【詳解】

解：設(shè)g(x)=4(x)，貝I］g'(X)=f(x)>0,

由礦(x)>一/(x),可知狀(x)+f(x)>0,所以g(x)在R上是增函數(shù)，

又a>b,所以g(o)>g(b),即紗(b),

故選：B.

3.(多選)(23-24高二下?福建莆田?開學(xué)考試)已知廣(無)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)尤>0時，

有/(x)-n恒成立，則下列不等式一定成立的是()

A?心”出B.

C./出>2〃1)D.2/出

【答案】BD

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/J,其中x>0,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)在(0,+動上的單調(diào)性，結(jié)合單

調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)g(x)=#,其中x>0,貝?、?，''(")；-⑺<0,

所以，函數(shù)g(x)在上為減函數(shù)，

對于AB選項(xiàng)，即可得A錯B對；

對于CD選項(xiàng)，g［；］>g⑴，即2dm>〃1),D對，C無法判斷.

故選：BD.

類型二：構(gòu)造砥x）=e""（x）或砥x）=4^（〃eZ,且〃wO）型

e

典型例題

例題1.（23-24高二下?河北石家莊?階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)/（X）,其導(dǎo)函數(shù)為

「⑺，且〃“＜廣（力，則（）

A./（2024）＞/（2023）B,/（2024）＞e/'（2023）

C.ef（2024）＜/（2023）D./（2024）＜e2/（2023）

【答案】B

【分析】由題意可構(gòu)造函數(shù)g（x）="J,則8'（"=生縣?＞0,求得g（x）為增函數(shù),

ee

從而可求解.

【詳解】由題意得/⑺（尸⑺，則廣（力-〃力＞0,且定義域?yàn)镽,

所以可構(gòu)造函數(shù)g（x）="Q,則g，（x）Jx）：〃x）＞0,

ee

所以g（X）為增函數(shù)，則g（2024）=〃誓）＞g（2023）=以萼，

則〃2024）（2023）,故B正確.

故選：B.

例題2.（2024?貴州貴陽?一模）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/（X）,其導(dǎo)函數(shù)為尸（x）,且滿足

/-（x）-2/（^）＜0,/（0）=1,貝IJ（）

A.e2/（-l）＜lB./（l）＞e2

C-D.〃1）＜嗚

【答案】D

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g（x）=綽,由尸（力-2〃力＜0得g，（x）＜0,進(jìn)而判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，判斷

e

各選項(xiàng)不等式.

2x2x

f（x\，/、f'（x}-e-2f（x）e/'（+2/（元）

【詳解】依題意令g（X）=綽，貝IJg（X）=（=瞪，

eg）

因?yàn)閞（力-2/（力＜0在R上恒成立,

所以g'（無）＜0在R上恒成立，

故g(x)在R上單調(diào)遞減,

所以g(T)>g(0)，/m=e2/(T)>4，=l,故A不正確；

所以g⑴<g(O),即纓<半,即/⑴<e2〃0)=e2,故B不正確;

ee

又g]￡|<g⑼，即/修即/gj<e,故C錯誤；

e1e°

因?yàn)間[￡|>g(l),/(l),即故D正確；

e1e2

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)g(x)=綽，利用導(dǎo)數(shù)說明函

數(shù)的單調(diào)性，即可比較函數(shù)值的大小.

例題3.23-24高三?寧夏石嘴山?期中)已知函數(shù)/(X)在R上的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),若/(%)<2廣(幻

恒成立，且〃ln4)=2,則不等式/(x)>—的解集是()

A.(in2,+oo)B.(21n2,+oo)C.(-<?,ln2)D.(-oo,21n2)

【答案】B

【分析】根據(jù)已知不等式構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】構(gòu)造新函數(shù)g3=ng，⑺=2/0),⑺,

e22e2

因?yàn)椤▁)<2/'(x)恒成立，

所以g'(x)>0,因此函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,

“In4)

由/(x)>e2n^^>l=g(ln4)ng(x)>g(21n2)nx>21n2,

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)不等式構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高二上?江蘇宿遷?期末)函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)x恒有

則()

A.7(-1)>0B.H(3)>叭2)

C.mD.ef(3)>/(4)

【答案】B

【分析】

首先構(gòu)造函數(shù)g(x)=孚，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合選項(xiàng)，依次判斷.

【詳解】設(shè)g(x)=/H,則g，(x)⑺e：/(x)ex=〃x)—"x),

eeex

由條件可知，r(%)-/(x)>0,所以g，(x)>0,則函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)/'(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則/(。)=0,即/(-1)</(。)=0,故A錯誤；

由函數(shù)的單調(diào)性可知，工學(xué)>/巨，得〃3)>歹(2),故B正確；

ee

由口，得故C錯誤；

由工單<以?，得寸。)</(4),故D錯誤.

ee

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g(x)=a，從而可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,

判斷選項(xiàng).

2.(22-23高三下?江西南昌?階段練習(xí))已知定義在(-2,2)上的函數(shù)“X)滿足

/(x)+e4V(-x)=0/(l)=e2,尸⑺為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)xe［0,2)時，f\x)>2f(x),則不

等式e2"(2T)<e，的解集為()

A.(—1,1)B.(—1,2)

C.(14)D.(L5)

【答案】C

【分析】由題意設(shè)g(x)=4?,結(jié)合題意可得g(x)+g(-x)=0,即函數(shù)g(x)是定義在R上

e

的奇函數(shù)，又當(dāng)無引0,2)時，r(x)>2/(x),則g，(x)=nx)；2/(x)>o,可得gQ)在［0,2)上

e

單調(diào)遞增，在(-2,0］上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性，即可得出答案.

【詳解】令g(x)=4^,

e

則/(%)+e4x/(-x)=0,即g(x)+g(f)=0,

故函數(shù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

當(dāng)xe[0,2)時，/(%)>2/(%),則g，⑶」W(x)>0,

故展刈在[0,2)上單調(diào)遞增,在(-2,0]上單調(diào)遞增,

所以g⑴在(-2,2)上單調(diào)遞增，

又/(l)=e2,則g6=誓=1,

則不等式e2V(2-x)<e4,即=g(2-x)<1=g(1),

e

f-2<2—%<2

故,，解得1<尤<4.

[2<1

故選：C.

3.(22-23高二下?河南洛陽?期末)已知尸(x)是定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對于任

意的實(shí)數(shù)X,都有〃司=q0,當(dāng)尤>0時，/(x)+/(x)>0.若

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

【答案】B

【分析】令g(x)=e，/(x),根據(jù)=可得g(_x)=g(x),即g(x)為偶函數(shù),再

e

根據(jù)當(dāng)x>0時，/(x)+r(x)>0,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g(x)在(。,+8)上得單調(diào)性，再根據(jù)

/(a+l)>e20-1/(3a),即e"f(4+1)*3。/(34),即g(a+l)2g(3a),再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性

即可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)?所以與D=ex〃x)=ef

令g(x)=e*〃x),則g(-x)=g(x),

所以g(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)x>0時，/(x)+/'(x)>0,

所以g'(x)=e[〃x)+r(x)]>0,

所以函數(shù)g(x)在(O,+e)上單調(diào)遞增，

根據(jù)偶函數(shù)對稱區(qū)間上單調(diào)性相反的性質(zhì)可知g(x)在(-雙。)上單調(diào)遞減，

因?yàn)?

所以尸〃〃+1”皆〃3〃)，

所以g(a+l)2g(3〃)，即卜+1以34，即(〃+1)2)9〃2,

即8〃2-2Q-1W0,則(4〃+1)(2〃-1)(0,

解得-;Saw"故數(shù)0的取值范圍為：

故選：B.

類型三：構(gòu)造/(x)=/(%)sinx或％x)=△^型

sinx

典型例題

例題1.(22-23高二下?四川成都?期末)記函數(shù)Ax)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),若/(X)為奇函數(shù)，且

【答案】B

【分析】根據(jù)/(x)cosX+y'(x)sin尤＞0,構(gòu)造函數(shù)g⑺=/(x)sinx,利用其單調(diào)性結(jié)合/(尤)

奇函數(shù)性質(zhì)比較.

【詳解】令g(x)=/(x)sinx,則g'(x)=f(x)cosx+f'(x)sinx,

當(dāng)xe|-5,。|寸恒有/(%)cosx+f'(x)sinx>0,所以g'(x)>0,

則g(x)=/(x)sinx在卜去。)上單調(diào)遞增,

選項(xiàng)A錯

誤;

選項(xiàng)B正確;

g<g,則，又了(X)為奇函數(shù)，所以<

選項(xiàng)C錯誤;

由得-5，選項(xiàng)D錯誤;

故選：B

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高三上?黑龍江齊齊哈爾?期末)已知函數(shù)的定義域?yàn)?0,兀)，其導(dǎo)函數(shù)是尸(x).

若對任意的xe(0,7t)有了'(x)sinx-<0,則關(guān)于x的不等式f(x)>2/(-^)sinx的解

集為()

A.(0,—)B.(0,—)C.(―,7t)D.(―,it)

3636

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)g(x)=&，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)

sin%

性求解不等式即得.

【詳解】令函數(shù)g(x)=△蟲，xe(0㈤，求導(dǎo)得g，(x)=」⑴sin二/(x)cosx<0,

/哈）

2/哈）situo幺^

因此函數(shù)g(M在(。，兀)上單調(diào)遞減，不等式/(尤)>

6sinx.71

sin—

6

JT

即g(無)>g(看)解得。=

所以原不等式的解集為(0,5).

6

故選：B

2.(22-23高二下?四川成都?期末)記函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),若/⑺為奇函數(shù)，且當(dāng)

時恒有/(x)cosx+-'(x)sinx>。成立，貝！|()

【答案】B

【分析】根據(jù)/(x)cosX+y'(x)sinX>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)sinx,利用其單調(diào)性結(jié)合f(x)

奇函數(shù)性質(zhì)比較.

【詳解】令g(x)=/(x)sinx,則g'(x)=/(x)cosx+/'(x)sinx,

當(dāng)xe[-],。卜寸恒有/(%)cosx+f'(x)sinx>0,所以g'(x)>0,

則g(x)=/(x)sinx在[-1■,()]上單調(diào)遞增，

選項(xiàng)A錯

誤;

選項(xiàng)C錯誤;

選項(xiàng)D錯誤;

故選：B

類型四：構(gòu)造E(%)=/(x)cosx或/(x)=/?型

COSX

典型例題

例題1.（2023高二上?寧夏石嘴山,期末）定義在（0《上的函數(shù)“X）,廣⑴是它的導(dǎo)函數(shù),

且恒有了'（力＞/（力心11%成立.則（）

B.6/⑴<2cosl"(j

71

【分析】

根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=/（x）cosx,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，一一判斷各選項(xiàng),

即得到結(jié)論.

【詳解】

當(dāng)可％,cosx>0

則不等式/'(X)>/(X)?tanX等價為r(x)>〃尤)?黑

即cosxfr(x)-sinxf(x)>0,

設(shè)g(x)=/(x)cosx,XG

貝!Jg，(x)=cos對'(x)-sinxf(x)>0,

即函數(shù)g(x)在［o,5上單調(diào)遞增,

g(l)Y，

則6故A正確;

2cosl"(l)>鬲用，得不出鬲⑴<2COS1-4J故B錯誤.

76/^<2/^,故C錯誤.

應(yīng)了gm，故D錯誤.

故選：A.

例題2.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知定義在［-今看］上的函數(shù)”無)滿足/(r)=〃x)，當(dāng)

尤e(0,3時，不等式〃力退+/(力(：0次<0恒成立(((￡)為〃耳的導(dǎo)函數(shù))，若

acosl=/(-l),bcos；=/(-ln&),c=2fgj,則()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】c

【分析】構(gòu)造函數(shù)G(X)="?,分析函數(shù)G(x)的奇偶性及其在上的單調(diào)性，可得出

COSXV)

a=G⑴，°=G出，c=G百，結(jié)合函數(shù)G(x)在向上的單調(diào)性可得出.、b、c的大

小關(guān)系.

【詳解】由題意得函數(shù)/（X）為偶函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)G（X）=/5,

COSX

所以G'(x)=(,

lcosxJcos2x

易知當(dāng)寸，G(x)<0,所以函數(shù)G(x)在］。,3上單調(diào)遞減.

因?yàn)閍cosl=/(-l)=/(l),則a=/IU=G(l),

cosl

因?yàn)楹瘮?shù)G（x）在（0,鼻上單調(diào)遞減，>0<!<l<^<p

所以G[g]>G（l）>G[m]，即b>a>c,

故選：C.

例題3.（2023高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）已知函數(shù)y=/（x）對于任意的也[-會外滿足

/'（x）cosx+〃x）sinx>0（其中廣⑺是函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（）

D,〃。)>2/口

【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=3,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可比較函

cosX\11）

數(shù)值大小.

【詳解】設(shè)g（x）=/H,貝l]g，（尤）=r（x）cosx：/（x）sinx>0,則g（x）在卜弓彳]上單調(diào)遞

cosXcosX、乙乙）

增,

y71

對于A,工⑼化簡得“0）〈虛了「1,故A錯誤;

對于B,故B錯誤;

對于D,必

，化簡得了(O)<2/故D錯誤.

cosO

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)不等式構(gòu)造函數(shù)的關(guān)鍵是將含導(dǎo)數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為右側(cè)為0,

左側(cè)利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算與基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式構(gòu)建原函數(shù)，從而可確定原函數(shù)的解析式,

再根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號確定函數(shù)單調(diào)性，從而可比較兩個函數(shù)值的大小.考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能

力，邏輯推理能力.屬于中檔題.

練透核心考點(diǎn)

L(22-23高二下?陜西咸陽?期中)已知「(%)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，f(x)-f(-x)^0,且

對于任意的有r(x)cosx+/(x)sinx>0.請你試用構(gòu)造函數(shù)的方法，利用函數(shù)的

單調(diào)性判斷下列不等式一定成立的是()

C./(-l)<5/2/f^-Icosl

【答案】A

【分析】

構(gòu)造g(x)=△乃，求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，從而判斷答案.

COSX

【詳解】

令g(x)=^,則g，(x)J")8Sx/(x)sinx>0,

cosxv2Jcosx

故g(x)在(09上單調(diào)遞增，

而/(x)-/(-x)=0,故g(-x)=d="^=g(x),故g(x)是偶函數(shù),

cos(-x)cosX

故g(一;)=g(g)<g(q)=且會<g(_：)=冢:)<=g⑴<g(q)=g(?，

即<

正亞也C0S11

FFF2

故A正確，BCD錯誤,

故選：A.

2.(22-23高二下?四川成者B?期末)記函數(shù)Ax)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),若/⑺為奇函數(shù)，且當(dāng)

XG貝IJ()

【答案】B

【分析】

由已知可得廠(x)sin尤-"x)cosx＞。，所以構(gòu)造函數(shù)g(x)=幺乃，求導(dǎo)后可判斷出

sinx

g(x)=3在上單調(diào)遞增，然后利用函數(shù)的單調(diào)性逐個分析判斷即可.

sinxk27

【詳解】由/(x)</'(x)tanx,得/(元)</(x)./,

COSX

因?yàn)椋ナ?，所以cos尤>0

所以/(x)cosx<f(x)sinx,

所以(九)sinx—/(x)cosx>0,

令g(x)=3,xe?,。)，則g，(x)=尸⑴sin=J(x)8sx>0,

sinx<27smx

所以g(無)=&在X上單調(diào)遞增,

sm%v27

對于c,因?yàn)椤?：＜0,所以g[T＜g

所以后gl〈同用，所以C錯誤

5<0,所以g

對于BD,<g

236

所以<

22

所以

因?yàn)?(%)為奇函數(shù)，所以/,所以B正確，D錯誤,

所以D錯誤，

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題，解題的關(guān)

鍵是對已知條件變形，然后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性分

析，考查數(shù)學(xué)計算能力，屬于較難題.

3.(22-23高二下?山東聊城,階段練習(xí))定義在(0,"上的函數(shù)"X),已知尸(x)是它的導(dǎo)函

數(shù)，且恒有COSX-/'(%)+sinr-/(x)<。成立，則有()

C-1卜加0D.何中〈后申

【答案】C

【分析】根據(jù)cosr/'(x)+sinx-/(x)<0,構(gòu)造函數(shù)g")=&,利用其單調(diào)性比較.

【詳解】解：令g(x)=?,

貝I]g，(x)=cosx-'(x)+sin『〃x),

COS2X

因?yàn)閏osx?尸(x)+sinx?f(九)V。

所以g'(￡)<0,

則g(x)=以立在[。目上單調(diào)遞減.

COSXkL)

兀兀兀

cos—cos—cos—

346

故選：C

類型五：根據(jù)不等式(求解目標(biāo))構(gòu)造具體函數(shù)

典型例題

例題1.(23-24高二上?山西運(yùn)城?期末)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/(九)滿足

Yx—1

/(x)-/(-x)=xex+—,當(dāng)％vO時，/(%)+—^>0,若實(shí)數(shù)〃滿足

ee

/(2a)-f{a+2)-2ae-2a+aQ-a-2+2e-fl-2<0,則a的取值范圍為()

一2：s、

A.--,2B.[2,+oo)

C.卜應(yīng)一gu[2,+co)D.(-oo,2]

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)g(x),利用偶函數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的

關(guān)系，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】由/(x)T(T)=xe，+±,得仆)/=〃一尤)一言.

令g(無)=/("-1?，則g(x)=g(-x)，即g(x)為偶函數(shù).

當(dāng)x<0時，g'(x)=f'(x)+^->0,所以g(x)在(—8,0)上單調(diào)遞增；

所以g(x)在(。,+⑹上單調(diào)遞減.

a-2

由〃2a)-"a+2)—2ae&+ae一所?+2e~<0,

得“2。)一Fw〃a+2)-f，即g(2a)<g(a+2).

ee

又g(x)為偶函數(shù)，所以g(|24)wg(|a+2|),

因?yàn)間(x)在(。，+°°)上單調(diào)遞減，

2

所以|24習(xí)°+2],即4a22/+4a+4,解得或°22,

所以。的取值范圍為1cu[2,+co).

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g(x),利用偶函數(shù)定義和導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)

的單調(diào)性，再利用偶函數(shù)和單調(diào)性即可解決抽象不等式.

2.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知定義在(0,+⑹上的函數(shù)”X)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),若r(無)>二,

3x

U=3,則關(guān)于X的不等式3/打工)-10>2x的解集為()

A.B.[-。0,C.D.(2,+8)

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g(x)=〃x)Tln(3x),由函數(shù)g(x)的單調(diào)性即可得到結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意，令g(x)=〃x)-gln(3x),xe(O,y),

g'(x)=/(X)>0,則函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又/g]=3,所以不等式3/(e2x)-10>2x,L!P/(e2j)-y>y,

即為/(e2x)-；(ln3+2x)>3-；(ln3T，即變形為/⑹')

-lln(3e-)>/ljUln|即得

...e2'>eT,解得無

所以不等式的解集為，+8；

故選：A.

3.(2023?吉林長春?一模淀義域?yàn)镽的函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)記作八無)，滿足廣(力-/(x)>3e',

/⑵=6e2,則不等式〃x)>3xe*的解集為()

A.(2,+co)B.(—8,2)C.(3,+oo)D.(-oo,3)

【答案】A

【分析】

根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)G叱等*利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，由單調(diào)性求解不等式即可.

【詳解】令%)=詈*

則G\x)=廣汽)一/食)一3>生工3=0,

exe%

所以函數(shù)G(x)在R上單