上海市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級上冊期中考試數(shù)學(xué)試卷4

上海市顧村中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.若直線.//平面二,直線方在平面c內(nèi)，則直線〃與6的位置關(guān)系為.

2.已知圓柱的底面半徑為1,母線長為2,則其側(cè)面積為.

3.表面積為4兀cn?的球的體積是cm3.

4.一個(gè)邊長為4的正方形的直觀圖的面積為.

5.已知長方體48co-HB'C'D的棱長44'=3cN8=4cm，/Z)=4cm，則點(diǎn)A到棱

B'C的距離是cm

6.在45。的二面角的一個(gè)半平面內(nèi)有一點(diǎn)尸，它到另一個(gè)半平面的距離等于1,則點(diǎn)尸到

二面角的棱的距離為

7.如圖，在正方體力BCD-ZdCQi中，AB=\,4〃中點(diǎn)為己則過尸、4c三點(diǎn)的截面

面積為.

27r

8.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為二

9.若將一個(gè)45。的直角三角形的一直角邊放在一桌面上，另一直角邊與桌面所成角為45。，

則此時(shí)該三角板的斜邊與桌面所成的角等于一.

試卷第11頁，共33頁

10.己知/同是圓柱的一條母線，N3是圓柱下底面的直徑，c是圓柱下底面圓周上異于

43的兩點(diǎn)，若圓柱的側(cè)面積為4兀，則三棱錐4一/2C外接球體積的最小值為

11.如圖，在棱長為1的正方體48co-44QD］中，P、Q、R分別是棱48、BC、BBX

的中點(diǎn)，以APQA為底面作一個(gè)直三棱柱，使其另一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)也都在正方體

48c481GA的表面上，則這個(gè)直三棱柱的體積為___

12.如圖，在圓錐$_0中，4C為底面圓0的直徑，so=oc=r點(diǎn)3在底面圓周上，

且/8=8。?若E為線段上的動點(diǎn)，貝JsEC的周長最小值為——

二、單選題

13.下列命題中，正確的命題是?

A.任意三點(diǎn)確定一個(gè)平面

試卷第21頁，共33頁

B.三條平行直線最多確定一個(gè)平面

C.不同的兩條直線均垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線平行

D.一個(gè)平面中的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，則這兩個(gè)平面平行

14.三棱錐S-4BC中，&4_12。,5。_1/瓦則5在底面48。的投影一定在三角形48。的

A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心

15.已知平面a和平面￡不重合，直線加和"不重合，則a〃尸的一個(gè)充分條件是（）.

A.mucz,"u￡且加〃“B.加ua,"u￡且加///?,〃//a

C.機(jī)〃且加〃〃D.m±a,n-L/35.m//n

16.如圖，在正方體/BCD_4AG中，￡、尸為正方體內(nèi)（含邊界）不重合的兩個(gè)動點(diǎn),

下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.若EWBDI，F(xiàn)eBD，則防_L/C

B.若EeBDi，F(xiàn)SBD，則平面平面48G

C.若EeAC，F(xiàn)eCDj則跖//平面4gq

D.若Ee/C，F(xiàn)wCD一則E尸〃

三、解答題

如圖，已知圓錐的底面半徑經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸。的截面是等邊三角形必點(diǎn)為

17.r一乙S15,0

試卷第31頁，共33頁

半圓弧N5的中點(diǎn)，點(diǎn)P為母線網(wǎng)的中點(diǎn).

Q

(1)求此圓錐的表面積：

(2)求異面直線PQ與SO所成角的大小.

18.如圖，在四棱錐中，尸/_L底面/BCD，點(diǎn)￡在線段/D上，且

CEHAB.

⑴求證：CEJ_平面尸40；

(2)若四棱錐尸TCO的體積為9,"=1,"。=3,后，/皿=45。，求二面角

6

P-CE-A的大小.

19.如圖，已知圓柱OQ的底面半徑為1,正VN3C內(nèi)接于圓柱的下底面圓0,點(diǎn)?是圓

柱的上底面的圓心，線段441是圓柱的母線.

試卷第41頁，共33頁

(1)證明：直線和3C是異面直線；

(2)求點(diǎn)C到平面4/8的距離：

(3)在劣弧2c上是否存在一點(diǎn)。，滿足OQ〃平面448?若存在，求出乙80。的大小；

若不存在，請說明理由.

20.如圖，在直三棱柱45C-481cl中，AB=BC=BAC=AAI=2,且￡＞、￡分別是

4C、4G的中點(diǎn)?

(1)求直三棱柱的全面積；

(2)求三棱錐n/R9的體積：

D—ADEJ

(3)求直線BD與平面ABE所成角的大小.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

21.已知點(diǎn)尸是邊長為2的菱形所在平面外一點(diǎn)，且點(diǎn)尸在底面/Be。上的射影是

試卷第51頁，共33頁

/C與BD的交點(diǎn)o.已知/BAD=60。，△尸。8是等邊三角形.

⑴求證：/C_L尸。；

(2)求點(diǎn)。到平面pBC的距離;

(3)若點(diǎn)后是線段AD上的動點(diǎn).問：點(diǎn)后在何處時(shí)，直線形與平面尸Be所成的角最大?

求出這個(gè)最大角，并說明點(diǎn)后此時(shí)所在的位置?

試卷第61頁，共33頁

參考答案:

題號13141516

答案CCDD

1.平行或異面

【分析】由直線q//平面直線6在平面a內(nèi)，知?！ā盎騛與方異面.

【詳解】解：?.?直線平面a,直線臺在平面a內(nèi)，

則直線°與平面a內(nèi)任意直線無交點(diǎn)，

:.a//b＞或。與6異面.

故答案為：平行或異面.

2-4n

【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，即可求得該圓柱的側(cè)面積，得到答案.

【詳解】由題意，圓柱的底面半徑為1,母線長為2,

根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，可得其側(cè)面積為$=2nM=2兀xlx2=47r-

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的側(cè)面積公式的應(yīng)用，其中解答中熟記圓柱的側(cè)面積公式,

準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3,把

3

【分析】利用球的表面積公式求出球的半徑〃，再由球的體積公式即可求解.

【詳解】由s=47rH2=47r，解得R=1，

所以憶=3兀相=竺.

33

故答案為：§

答案第11頁，共22頁

4-4V2

【分析】根據(jù)直觀圖面積是原圖形面積的也，即可得出答案.

4

【詳解】解：正方形的面積為4*4=16，

所以直觀圖的面積為16X"=4A/L

4

故答案為：4^2,

5.5

【分析】利用長方體的結(jié)構(gòu)特征，證得力夕即可得解.

【詳解】在長方體ABCD-43'C'D'中，2'。_L平面，而N8'u平面/33W，

因此48'_LBt'，所以點(diǎn)A到棱的距離為筋，=J“+/B2=5cm.

6-6

【分析】尸為二面角a-/-尸的一個(gè)面a內(nèi)一點(diǎn).PO是它到另一個(gè)面￡的距離，尸。=1,尸”

是它到棱的距離.得出/TWO為二面角a-/-/5的平面角，在放AZHO中求解即可.

【詳解】作圖如下：

答案第21頁，共22頁

尸為二面角二-/-萬的一個(gè)面a內(nèi)一點(diǎn).

尸。是它到另一個(gè)面B的距離，

PO=1,

尸”是它到棱的距離.

???POL/3,

POLI,

又PH工「

:.l1平面POH,

得出/10/T

所以/尸〃0為二面角a-/-萬的平面角，

APHO=45°.

在RtAPHO中，

PH=——=V2.

sin45°

故答案為行.

【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)及二面角的平面角的定義;把語言文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)

圖形是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題;考查學(xué)生的空間想象能力.

答案第31頁，共22頁

7.-

8

【分析】利用兩平行直線確定一個(gè)平面的方法，作出截面圖形為梯形，根據(jù)正方體棱長為

1,求出梯形面積即可.

【詳解】取CQi的中點(diǎn)M,連接尸則有〃/C，

又4G//NC，所以PM//4C，梯形/CMP即為所求截面?

MC,

根據(jù)正方體的棱長等于1,求出梯形各邊長,

ACMP

所以梯形的高為

面積s=3拒9

48

pACQ

所以過、、。三點(diǎn)的截面面積為？

8

故答案為：—

【詳解】由面積為■一的半圓面，可得圓的半徑為2,即圓錐的母線長為2.圓錐的底面

答案第41頁，共22頁

171

周長為.所以底面半徑為1.即可得到圓錐的高為百.所以該圓錐的體積為6d

-----71

3

9.-

6

【分析】直角三角形/8C中，/4BC=90"4B=8C，8Cu平面a，40_La，交。于。，

448。=45。,此時(shí)該三角板的斜邊與桌面所成的角為44co，求出//C。即可.

【詳解】如圖,

直角三角形N8C中，

448c=90。，

AB=BC,

8Cu平面a,

AO.La,

交a于o，

ZABO=45°,

此時(shí)該三角板的斜邊與桌面所成的角為44cO,

答案第51頁，共22頁

設(shè)/B=BC=r

則AC=B

AO^BO=—

2

sinZACO=—

AC2

:.ZACO^30°.

所以該三角板的斜邊與桌面所成角為30。.

故答案為:工

6

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間立體幾何中已知線面角求線面角；把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形

是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題;考查學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力.

8a

10.--------71

3

【分析】首先根據(jù)題意建立八的關(guān)系式，再結(jié)合基本不等式即可求解最小值.

設(shè)底面圓半徑為『，圓柱高設(shè)為”則根據(jù)圓柱的側(cè)面積為4兀，可得2兀做=，解得

答案第61頁，共22頁

泌=2.因?yàn)閂/3C以及均為直角三角形，根據(jù)三棱錐4一N3C外接球的性質(zhì)可知，

['B的中點(diǎn)°即為球心.則串阡國2包/同48「，則HV/72Hr2,所以外接球

「

?^h2Br244提2

的半徑R0一-一.三棱錐一/BC外接球體積為（兀1冷所以要外接球體積

。

取小，只需要代國廠2最小即可，又不等式可知力2）：[2O/zO2ra4MH8，當(dāng)且僅當(dāng)

h=2r時(shí)，即r宙，h92時(shí)成立.故三棱錐4一㈤?。外接球體積的最小值為

4

3-

故答案為：述兀.

3

3

11.—/0.1875

16

【分析】分別取/￡?j,￡?[C,3Q]的中點(diǎn)用@,尺]，連接尸々,00],應(yīng)H結(jié)合棱柱的結(jié)構(gòu)特征可得幾

何體PQR-4。內(nèi)是三棱柱，再證明BD,_L平面PQR,得到三棱柱PQR-耳。四是直三棱柱

求解.

【詳解】連接皿℃目2,分別取其中點(diǎn),連接尸巳00],欣],如圖，

答案第71頁，共22頁

則比IIBDJIQQ,"RR、,且W==歐=；即，可得幾何體PQR~々。內(nèi)是三棱柱，

又PQ_LBD,PQLBB「且BDcBB\=B，于是PQJ■平面，

而3D]U平面BBQD,則尸同理尸R_LB〃，又PQcPR=P,PQ,PRu平面PQR，

因此8口_L平面PQR,即三棱柱PQR-PXQXRX是直三棱柱，

由正方體ABCD~4MA的棱長為1,得PQ=PR=RQ=母,PP、=QQ、=幽=g,

PQR-PMV33

所以直三棱柱的體積為y=%.PRX-------=——

4l2J216,

故答案為：—

16

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題中信息，作出幾何體，再證明該幾何體是直三棱柱是本題的

關(guān)鍵.

⑵V3+V2+1

【分析】將三角形以8和三角形/8C展開在同一個(gè)平面，然后利用余弦定理求得正確答案?

【詳解】連接08，依題意SO_L平面/BC，而O4O8,OCu平面N8C，

答案第81頁，共22頁

所以SO_LQ4SO,OB,SOJ_OC,AB=BC，。是NC的中點(diǎn)，則08_L/C，

由于5。=。。=1,所以&4=5。=58=/3=0，

則三角形”8是等邊三角形，三角形/8C是等腰直角三角形，

將三角形"8和三角形N8C展開在同一個(gè)平面，如下圖所示，

連接完父4B于E'在二?角形S/C中，

由余弦定理得SC=^2+4-2x72x2xcos(60°+45°)

=^6-4A/2(cos60°cos45°-sin60°sin45°)

=J4+26=也+1)=V3+1，

所以ASEC的周長最小值為G+0+r

故答案為：V3+V2+1

13.C

【分析】在/中，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；在3中，三條平行直線最多確定三個(gè)平面;

答案第91頁，共22頁

在。中，由線面垂直的性質(zhì)定理得這兩條直線平行；在。中，一個(gè)平面中的兩條相交直線

與另一個(gè)平面都平行，則這兩個(gè)平面平行.

【詳解】解：在/中，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故/錯(cuò)誤；

在8中，三條平行直線最多確定三個(gè)平面，故8錯(cuò)誤；

在C中，不同的兩條直線均垂直于同一個(gè)平面，

則由線面垂直的性質(zhì)定理得這兩條直線平行，故C正確；

在。中，一個(gè)平面中的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行，

則這兩個(gè)平面平行，故。錯(cuò)誤.

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知

識，考查邏輯推理能力與空間想象能力，是中檔題.

14.C

【分析】先畫出圖形，過S作SOJ,平面/3C，垂足為0，連接40并延長交8c于a，連

接可推出結(jié)合szJ_5C，根據(jù)線面垂直定理，得證_SCJ_A0，同理可證

AB1CO,從而可得出結(jié)論.

【詳解】過s作SO_L平面45C，垂足為0，連接40并延長交5C于〃，連接CO

SO1BC

又S/_L8C'S0nS/=S

.?.2C_L平面&40

答案第101頁，共22頁

又/Ou平面S/。

:.BC±AO>同理AB_LCO

:.O是三角形48c的垂心.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形垂心的性質(zhì)，考查了直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，

以及直線和直線垂直的判定，在證明線線垂直時(shí)，其常用的方法是利用證明線面垂直，在

證明線線垂直，同時(shí)熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理是解答的關(guān)鍵.

15.D

【分析】根據(jù)空間中直線、平面的平行關(guān)系進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】A.若且m//n，此時(shí)和僅可以相交或平行，故錯(cuò)誤；

B.若僅ua,"u尸且//6,”//a，此時(shí)。和￡可以相交或平行，故錯(cuò)誤；

C.若加//以,"http://￡且加〃〃，此時(shí)c和￡可以相交或平行，故錯(cuò)誤；

D.若機(jī)_La,〃_L/?且加〃"，則有兩個(gè)不同平面和同一直線垂直，則兩平面平行,

所以以//6，故正確；

故選：D.

16.D

【分析】根據(jù)正方體的特征及線面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直的判定判斷AB；利用正

方體的特征及面面平行的判定與性質(zhì)判斷CD.

【詳解】

答案第111頁，共22頁

對于A,AC1BD,￡)R_L底面A8CD,/Cu底面/BCD,則DR_L/C,

又u平面團(tuán)》)|，則NC_L平面BO。，EFu平面BDDj所以

EFVAC，A正確;

對于B，4G〃/c，則4G，平面2?！?，又44u平面4(7田，則平面/。田，平面

BDD1>

而平面與平面BEr重合，平面8EF_L平面48G，B正確;

對于C,在正方體N8CD-44G中，ADJ/BC\,A\B//D?，

而/々a平面GBU平面則4)//平面4G2，同理cp〃平面4c田,

又AD,nCD1=。,ADl,CDlu平面AD.C，因此平面ADXC//平面4G2，

由所u平面/OC，得￡///平面4c|5，C正確；

答案第121頁，共22頁

對于D,由于分別為"e上的動點(diǎn)，則隼與三不一定相等，斯與皿不一定

AE

FDt

平行，D錯(cuò)誤.

故選：D

17.（1）10

（2）arctan

3

【分析】（1）根據(jù)已知利用公式求得底面積和側(cè)面積即可得出結(jié)果.

（2）取。/的中點(diǎn)連接又點(diǎn)尸為母線的中點(diǎn)，所以產(chǎn)M//OS，故NKPQ為

P0與S。所成的角，計(jì)算即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）...圓錐的底面半徑，一o,截面三角形&42是等邊三角形，

r一乙

OS=2后&1=4,

底面積S[=nr1=4乃，側(cè)面積S2=%尸,&4=%x2x4=8%,

，圓錐的表面積$=耳+$2=4%+8%=12萬?

（2）取O/的中點(diǎn)連接又點(diǎn)尸為母線網(wǎng)的中點(diǎn)，所以尸河//OS,故NMPQ為

P。與S。所成的角.

由々R2,QM=1，點(diǎn)。為半圓弧48的中點(diǎn)，知O°_L4B,在MAMOQ中，

MQ=5日

在仆“中，PM、SO=0

2

在放二頂中，,a?！惫?卓二姮,/必。（0,外

PMy/33I2；

答案第131頁，共22頁

所以NMPQ=arctan'

所以求異面直線尸。與S。所成角的大小為.an第

18.(1)證明見解析

(2)arctan；

【分析】(1)利用線面垂直的性質(zhì)、判定推理即得.

(2)由(1)的信息確定二面角的平面角，利用錐體體積公式求出，再在直角三角形

中求出解即可.

【詳解】(1)由底面Age。，CEu平面/BCD，得P4工CE，

由ABLAD,CE//4B,得CE_L/D，而尸/c/。=u平面尸，

所以CE_L平面尸?

(2)由(1)知，c￡_L平面尸40，而P￡u平面尸40，則CE_LPE，又CELAE'

因此NPEN是二面角2_(7￡_/的平面角，

在RtAECD中，DE=C￡>cos450=\,CE=COsin45°=1，

顯然CE=AB=1,AB〃CE,四邊形48CE為矩形，于是BC=4E=2,

答案第141頁，共22頁

p_ii1qPA—i

而四棱錐的體積6>TB8=：S/BC?.P/=：X=(2+3)X1.尸/=?,解得小T,

3326

.RIAPAE,PA11

在中，tanZPEA=——二—,m因止ir匕/?E4=arctan—,

AE22

所以二面角P-CF—A的大小為arctanL1

2

19.(1)證明見解析；

⑵之

2

(3)存在，ZBOD=-.

6

【分析】(1)利用異面直線的判定推理即得.

(2)先作出點(diǎn)C到平面的距離CM,再解三角形去求CW的長即可解決.

(3)利用面面平行性質(zhì)定理去作出點(diǎn)D,再利用等邊三角形的性質(zhì)去求N3QD的大小

【詳解】(1)依題意，5Cu平面48C，Ne平面48C，4任直線3C,而4e平面48C，

所以直線AA,和BC是異面直線.

(2)連接C。并延長交N2于〃，

B

由正△N5C內(nèi)接于圓柱的下底面圓。，得071.%,又44]_L平面N8C，

答案第151頁，共22頁

CMu平面/BC，則44］_LCM，又441n4s=/，/&u平面//d，/2u平面440,

AA

因此CM'平面『B,所以點(diǎn)c到平面的距離為CM=2OC=2.

22

（3）連接oq,在平面N3C內(nèi)過點(diǎn)。作OD//43交劣弧死于。，連接0Q,

由OQ///4，OO|U平面4/8，44IU平面44B，得O。"/平面

由。?！?8，平面/8u平面4/2，得8//平面4/2，

又ODcOOi=O,。。,。。］匚平面。。。］，則平面。0。1//平面44B，

又。Qu平面。OQ,則。0//平面連接。瓦貝50。=//3。=%/2。=_,

26

所以劣弧5c上存在一點(diǎn)己滿足物〃平面也，"啖

2°?⑴40+6；

(2)|;

2

(3)arcsiny.

【分析】（1）利用直棱柱的全面積公式計(jì)算即得.

答案第161頁，共22頁

(2)利用等體積法，轉(zhuǎn)化為求的體積即可.

(3)利用上問求出點(diǎn)。到面/BE的距離為"，借助線面角的定義即可求出線面角.

【詳解】(1)在直三棱柱NBC-481G中，AB=BC=,AC=AAt=2,

由=4=4。2,ABC=90°>

該棱柱的兩底面積為2s“BC=2XLB2=2,側(cè)面積為(N3+8C+/C)必=4四+4,

△TIQJ2

所以直三棱柱/3C-48cl的全面積為4亞+6?

(2)在直三棱柱48C-481G中，由。,E分別是ZC,4G的中點(diǎn)，得ED//A/，

而"八平面"J則皿平面,SC,由⑴知，S"D3"BC=L

t^/iDU22

又DE=A4=2,則喔」$0舊=人：2」，而公鹿=嚷叫

Ci—A.DU3LAADU323

所以三棱錐"一"8"的體積為;.

(3)由(2)知％…￡=；，設(shè)點(diǎn)"到面”"的距離為"，

,BE中，AB=6AE=BE=V22+l2=V5

由/小='S△界-d=L得d=2,設(shè)直線8D與平面RM所成角為則sina=-^―2

U—ADE3匕33BD3

所以直線夕口與平面ABE所成角的大小為arcsi」.

3

21.(1)證明見解析

答案第171頁，共22頁

（2）亞；

5

（3）arcsing,“在線段上與"點(diǎn)相距;處

【分析】（1）由題可得尸0j_平面/gey），故尸0/c，根據(jù)麥形的性質(zhì)可得8。/c，

再根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可證明；

（2）由題干數(shù)據(jù)結(jié)合七詠=VP_BDC即可求解；

（3）由線面平行的判定定理可得