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文檔簡介

第13講:拓展六:泰勒展開式與超越不等式在導數(shù)中的應

目錄

高頻考點類型..............................................2

類型一:泰勒展開式.......................................2

類型二:利用超越不等式比較大小............................5

類型三:利用對數(shù)型超越放縮證明不等式.....................6

類型四:利用指數(shù)型超越放縮證明不等式.....................8

1、泰勒公式形式:

泰勒公式是將一個在與處具有九階導數(shù)的函數(shù)利用關于(x-%0)的"次多項式來逼近函數(shù)

的方法.

若函數(shù)/(X)在包含X。的某個閉區(qū)間3,用上具有"階導數(shù),且在開區(qū)間(。力)上具有

5+1)階導數(shù),則對閉區(qū)間3,切上任意一點X,成立下式:

,2(X

/(x)=/(Xo)+/(Xo)(X-Xo)+^°\x-x0)+---+°\x-x0)"+/??(x)

2!ni

其中:F")(Xo)表示/(X)在X=Xo處的九階導數(shù),等號后的多項式稱為函數(shù)/(X)在/處

的泰勒展開式,剩余的Rg(x)是泰勒公式的余項,是(%-不)"的高階無窮小量.

2、麥克勞林(Maclaurin)公式

/(X)=/(O)+/\O)x+x24-...+2__+&(x)

2!n\

雖然麥克勞林公式是泰勒中值定理的特殊形式,僅僅是取%=0的特殊結果,由于麥克勞

林公式使用方便,在高考中經(jīng)常會涉及到.

3,常見函數(shù)的麥克勞林展開式:

nex

尤2e

(1)/=1+%+上+…+x上+,一”

2!n\(77+1)!

sinx=x-—+—X~,,+1

(2)+O(/+2)

3!5!(2〃+l)!

尤2尤462n

(3)cosx=l-—+-——-+---+(-l)n^—+o(x2,i)

2!4!6!(2〃)!

2

x尤3.+1

(4)ln(l+x)=x—+--------+(―1)"--+o(”)

23n+1

1

(5)=1+X+x29H---^^“+。(九")

1-X

(6)(1+》)〃=1+依+」(^!1)-12+。(工2)

4、兩個超越不等式:(注意解答題需先證明后使用)

4.1對數(shù)型超越放縮:3WlnxKx—1(x>0)

X

ln(X+x)=x-----x2Hx3—???+(—1)"1—xnR(x)???(X)

23nn

上式(1)中等號右邊只取第一項得:ln(l+x)<x(x>-l)?…??結論①

用替換上式結論①中的x得:lnxKx-l(x>。)?…??結論②

對于結論②左右兩邊同乘“-T得—InxNl—xnln421—x,用替換“工”得:

XX

1——<lnx(x>0)....結論③

x

4.2指數(shù)型超越放縮:x+l<ex<-^—(x<l)

1-x

X2Xn

ex=l+x+——+---+——+7?(x)---(2)

2!n\nI

上式(2)中等號右邊只取前2項得:ex>l+x(xe1?)…?一結論①

用一x替換上式結論①中的x得:ex>1-x(xeR)……結論②

當%<1時,對于上式結論②e-*>l-x^>—>^x?……結

cx1—X

論③

當x>l時,對于上式結論②e~x>1—x=二一>1—x=--—<ex....結

cx1-X

論④

高頻考點類型

類型一:泰勒展開式

典型例題

例題1.(2024?陜西漢中?一模)蘇格蘭數(shù)學家科林麥克勞林(ColinMaclaurin)研究出了著

名的Mac/?!毖墧?shù)展開式,受到了世界上頂尖數(shù)學家的廣泛認可,下面是麥克勞林建立的

其中一個公式:ln(l+尤)=x-=+…+(-1產(chǎn)J+…,試根據(jù)此公式估計下面代數(shù)

234n

式2白+唯+…+(-1產(chǎn)電?+...(心5)的近似值為()(可能用到數(shù)值

5n

In2.7321=1.005,In3.7321=1.317)

A.2.322B.4.785C.4.755D.1.005

例題2.(23-24高三上?湖南永州?階段練習)蘇格蘭數(shù)學家科林麥克勞林(C。//力Maclaurin)

研究出了著名的Mac/aur/力級數(shù)展開式,受到了世界上頂尖數(shù)學家的廣泛認可,下面是麥克

勞林建立的其中一個公式:ln(l+x)=x-1+4]+…+(-1廣工+試根據(jù)此公式估計下面

代數(shù)式夜+季+華…+(-1廣回+.?>5)的近似值為()(可能用到數(shù)值

353n

In2.414=0.881,In3.414=1.23)

A.2.788B.2.881C.2.886D.2.902

例題3.(多選)(2023?遼寧?二模)泰勒公式通俗的講就是用一個多項式函數(shù)去逼近一個

給定的函數(shù),也叫泰勒展開式,下面給出兩個泰勒展開式

由此可以判斷下列各式正確的是().

A.e嗔cosx+isinxM是虛數(shù)單位)B.=-i(i是虛數(shù)單位)

C.2V>l+xln2+^|^-(x>0)D.cosx<1-y+|^-(xe(0,1))

例題4.(2023?遼寧丹東?一模)計算器計算Inx,sinx,cosx等函數(shù)的函數(shù)值,是通

過寫入"泰勒展開式"程序的芯片完成的.”泰勒展開式”是:如果函數(shù)/■(%)在含有%的某個

開區(qū)間(4力)內可以多次進行求導數(shù)運算,則當xe(a,6),且%W/時,有

其中尸⑺是的導數(shù),/"(力是/㈤的導數(shù),尸"⑺是尸")的導數(shù).……

?。?。,則sinx的"泰勒展開式”中第三個非零項為—,sinl精確到0.01的近似值為

練透核心考點

1.(2023?寧夏銀川?模擬預測)蘇格蘭數(shù)學家科林麥克勞林(ColinMaclauriQ研究出了著

名的加“狽/7?〃級數(shù)展開式,受到了世界上頂尖數(shù)學家的廣泛認可,下面是麥克勞林建立的

其中一個公式:ln(l+x)=x-《+E-…+(-1)修上+…,試根據(jù)此公式估計下面代數(shù)

234n

式0+逑+逑一&+…+(-1產(chǎn)逑?+…(葭5)的近似值為()(可能用至IJ數(shù)值In2.414

353n

=0.881,In3.414=1.23)

A.3.23B.2.881C.1.881D.1.23

2.(2023?全國?模擬預測)科林?麥克勞林(ColinMaclaurin)是18世紀英國最具有影響的

數(shù)學家之一.他研究出數(shù)學中著名的Maclaurin級數(shù)展開式,下面是麥克勞林建立的其中一

個公式:(1+4=1+3]"力+"("1)("%3+...+。(-1>一("〃+1)—…,

v72!3!n!

其中〃eN*,〃!=1X2X3X4X…x",例如:1!=1,2!=2,3!=6.貝I]:的

近似值為(參考數(shù)據(jù):皿=1.414,結果精確到0.01)()

A.1.35B.1.37C.1.62D.1.66

3.(23-24高二下?四川成都?階段練習)英國數(shù)學家布魯克?泰勒以發(fā)現(xiàn)泰勒公式、泰勒級

數(shù)和泰勒展開式而聞名于世.計算器在計算e*,Inx,sin%,cosx等函數(shù)的函數(shù)值時,是

通過寫入"泰勒展開式”程序的芯片完成的."泰勒展開式”是:如果函數(shù)/(尤)在含有吃的某

個開區(qū)間(。,6)內可以多次進行求導數(shù)運算,則當xe(a,b),且XW/時,有

〃月=腎(-毛)。+上(尸修)+曾(萬一不『+^^(尸%)3+一.其中((無)

是“X)的導數(shù),是⑺是尸⑺的導數(shù),是(x)是一(X)的導數(shù),階乘0!=1,

〃!=〃x(〃—l)x(〃-2)x—x2xl.Wxo=。力(]sinx的〃泰勒展開式〃中第三個非零項為,

sin1精確到0.01的近似值為.

4.(2023高三?全國?專題練習)計算器計算e3Inx,sinx,cosx等函數(shù)的函數(shù)值,是通

過寫入"泰勒展開式"程序的芯片完成的."泰勒展開式”是:如果函數(shù)/(X)在含有%的某個

開區(qū)間(a,6)內可以多次進行求導數(shù)運算,則當xe(°力),且時,有

x~xo)+--(f升丁…『+粵(f)、?

其中廣(X)是“X)的導數(shù),尸(X)是尸(X)的導數(shù),尸⑺是尸⑺的導數(shù)….…

取X。=。,則Sin%的"泰勒展開式"中第三個非零項為—,sinl精確到0.01的近似值為

類型二:利用超越不等式比較大小

典型例題

例題1.(23-24高二下?北京豐臺?階段練習)己知。=[,6=&-l,c=lng,則()

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

4i「

例題2.(23-24高三下?海南省直轄縣級單位?開學考試)若。=111二6=二,0=庭-1,則a,0,c

34

的大小關系為()

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

2022I

例題3.(2024?全國?模擬預測)已知-袍,b=ln2024-ln2023,c=sin-,則()

a—c2023

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

練透核心考點

1.(23-24高三下?全國?階段練習)已知。=,5=lng,c=(log67-l)ln5,則()

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.c>a>b

2.(2024?甘肅隴南?一模)若〃=2,b=7°」,c=e°2,貝|()

4

A.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b

i7074-J-

3.(23-24高二下?浙江?開學考試)已知〃=—L-,b=ln絲=c=e2024—1,則()

20242023

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

類型三:利用對數(shù)型超越放縮證明不等式

典型例題

例題1.(23-24高二下?河南?階段練習)已知函數(shù)〃x)=or-lnr-l的最小值為0.

(1)求。.

(2)證明:(z)ex-e2lnx>0;

5)對于任意〃eN*,(l+gmi+

例題2.(2024?云南昆明?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=[l-7卜'-a.

⑴若〃x)..0,求。的取值范圍;

(2)證明:若/(%)有兩個零點七則玉+々>2.

例題3.(2024,黑龍江齊齊哈爾,二模)已知函數(shù)/(%)=alnxd-------GR.

(1)當4=2時,求曲線y=〃x)在點處的切線方程;

(2)當兀20時,證明:exln(x+1)+e-x-cosx>0.

練透核心考點

1.(23-24高二下?浙江嘉興?階段練習)已知函數(shù)f(x)=xinx-x+l.

⑴求函數(shù)“X)的最小值;

⑵若直線y="x+人是曲線_y=/'(x)+ex的切線,求a+b的最小值;

⑶證明:lnV2+lnV3+---+ln,,2^Vn>---—(?eN*,n>2

2n+1v

2.(23-24高三上?寧夏石嘴山?期末)設函數(shù)/(%)=%-aln(l+x).

⑴討論了(x)的單調性;

⑵證明:VnGN\l+^+-+--?+->ln(n+l).

23n

3.(2022?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=2.足%+。85%+兀,4ZGR.

(1)當。=2時,研究/(九)在(-兀㈤上的單調性;

(2)①求證:lnx<x-l;

②當1=0,時,求證:/(x)>21nx+4.

類型四:利用指數(shù)型超越放縮證明不等式

典型例題

例題1.(23-24高三下?江西?開學考試)已知函數(shù)〃尤)=2.1

-lnx-1?

(l)5ga=-log2e,Z?=0,求的極值;

⑵若a,6e(O,l),設玉=1,匕+1=〃匕).證明:

(i)相<乙+|

...、4伍—1)

(II)%-%+2<:,.I

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