拓展之泰勒展開式與超越不等式在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第13講：拓展六：泰勒展開式與超越不等式在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)

用

目錄

高頻考點(diǎn)類型..............................................2

類型一：泰勒展開式.......................................2

類型二：利用超越不等式比較大小............................5

類型三：利用對(duì)數(shù)型超越放縮證明不等式.....................6

類型四：利用指數(shù)型超越放縮證明不等式.....................8

1、泰勒公式形式：

泰勒公式是將一個(gè)在與處具有九階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)利用關(guān)于(x-%0)的"次多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)

的方法.

若函數(shù)/(X)在包含X。的某個(gè)閉區(qū)間3,用上具有"階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間(。力)上具有

5+1)階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間3,切上任意一點(diǎn)X,成立下式：

，2(X

/(x)=/(Xo)+/(Xo)(X-Xo)+^°\x-x0)+---+°\x-x0)"+/??(x)

2!ni

其中：F")(Xo)表示/(X)在X=Xo處的九階導(dǎo)數(shù)，等號(hào)后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)/(X)在/處

的泰勒展開式，剩余的Rg(x)是泰勒公式的余項(xiàng)，是(%-不)"的高階無(wú)窮小量.

2、麥克勞林(Maclaurin)公式

/(X)=/(O)+/\O)x+x24-...+2__+&(x)

2!n\

雖然麥克勞林公式是泰勒中值定理的特殊形式，僅僅是取%=0的特殊結(jié)果，由于麥克勞

林公式使用方便，在高考中經(jīng)常會(huì)涉及到.

3,常見(jiàn)函數(shù)的麥克勞林展開式:

nex

尤2e

(1)/=1+%+上+…+x上+，一”

2!n\(77+1)!

sinx=x-—+—X~，，+1

(2)+O(/+2)

3!5!(2〃+l)!

尤2尤462n

(3)cosx=l-—+-——-+---+(-l)n^—+o(x2,i)

2!4!6!(2〃)！

2

x尤3.+1

(4)ln(l+x)=x—+--------+(―1)"--+o(”)

23n+1

1

(5)=1+X+x29H---^^“+。(九")

1-X

(6)(1+》)〃=1+依+」(^!1)-12+。(工2)

4、兩個(gè)超越不等式：(注意解答題需先證明后使用)

4.1對(duì)數(shù)型超越放縮：3WlnxKx—1(x>0)

X

ln(X+x)=x-----x2Hx3—???+(—1)"1—xnR(x)???(X)

23nn

上式(1)中等號(hào)右邊只取第一項(xiàng)得：ln(l+x)<x(x>-l)?…??結(jié)論①

用替換上式結(jié)論①中的x得：lnxKx-l(x>。)?…??結(jié)論②

對(duì)于結(jié)論②左右兩邊同乘“-T得—InxNl—xnln421—x,用替換“工”得:

XX

1——<lnx(x>0)....結(jié)論③

x

4.2指數(shù)型超越放縮：x+l<ex<-^—(x<l)

1-x

X2Xn

ex=l+x+——+---+——+7?(x)---(2)

2!n\nI

上式(2)中等號(hào)右邊只取前2項(xiàng)得：ex>l+x(xe1?)…?一結(jié)論①

用一x替換上式結(jié)論①中的x得：ex>1-x(xeR)……結(jié)論②

當(dāng)％<1時(shí)，對(duì)于上式結(jié)論②e-*>l-x^>—>^x?……結(jié)

cx1—X

論③

當(dāng)x>l時(shí)，對(duì)于上式結(jié)論②e~x>1—x=二一>1—x=--—<ex....結(jié)

cx1-X

論④

高頻考點(diǎn)類型

類型一：泰勒展開式

典型例題

例題1.(2024?陜西漢中?一模)蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林麥克勞林(ColinMaclaurin)研究出了著

名的Mac/?！毖?jí)數(shù)展開式，受到了世界上頂尖數(shù)學(xué)家的廣泛認(rèn)可，下面是麥克勞林建立的

其中一個(gè)公式：ln（l+尤）=x-=+…+（-1產(chǎn)J+…，試根據(jù)此公式估計(jì)下面代數(shù)

234n

式2白+唯+…+（-1產(chǎn)電?+...（心5）的近似值為（）（可能用到數(shù)值

5n

In2.7321=1.005,In3.7321=1.317）

A.2.322B.4.785C.4.755D.1.005

例題2.（23-24高三上?湖南永州?階段練習(xí)）蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林麥克勞林（C。//力Maclaurin）

研究出了著名的Mac/aur/力級(jí)數(shù)展開式，受到了世界上頂尖數(shù)學(xué)家的廣泛認(rèn)可，下面是麥克

勞林建立的其中一個(gè)公式：ln（l+x）=x-1+4]+…+（-1廣工+試根據(jù)此公式估計(jì)下面

代數(shù)式夜+季+華…+（-1廣回+.?>5）的近似值為（）（可能用到數(shù)值

353n

In2.414=0.881,In3.414=1.23）

A.2.788B.2.881C.2.886D.2.902

例題3.（多選）（2023?遼寧?二模）泰勒公式通俗的講就是用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)去逼近一個(gè)

給定的函數(shù)，也叫泰勒展開式，下面給出兩個(gè)泰勒展開式

由此可以判斷下列各式正確的是（）.

A.e嗔cosx+isinxM是虛數(shù)單位）B.=-i（i是虛數(shù)單位）

C.2V>l+xln2+^|^-（x>0）D.cosx<1-y+|^-（xe（0,1））

例題4.（2023?遼寧丹東?一模）計(jì)算器計(jì)算Inx,sinx,cosx等函數(shù)的函數(shù)值，是通

過(guò)寫入"泰勒展開式"程序的芯片完成的.”泰勒展開式”是：如果函數(shù)/■（%）在含有%的某個(gè)

開區(qū)間（4力）內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)xe（a,6）,且％W/時(shí)，有

其中尸⑺是的導(dǎo)數(shù)，/"（力是/㈤的導(dǎo)數(shù),尸"⑺是尸"）的導(dǎo)數(shù).……

?。?。，則sinx的"泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為—，sinl精確到0.01的近似值為

練透核心考點(diǎn)

1.（2023?寧夏銀川?模擬預(yù)測(cè)）蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林麥克勞林（ColinMaclauriQ研究出了著

名的加“狽/7?〃級(jí)數(shù)展開式，受到了世界上頂尖數(shù)學(xué)家的廣泛認(rèn)可，下面是麥克勞林建立的

其中一個(gè)公式：ln（l+x）=x-《+E-…+（-1）修上+…，試根據(jù)此公式估計(jì)下面代數(shù)

234n

式0+逑+逑一&+…+（-1產(chǎn)逑?+…（葭5）的近似值為（）（可能用至IJ數(shù)值In2.414

353n

=0.881,In3.414=1.23）

A.3.23B.2.881C.1.881D.1.23

2.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）科林?麥克勞林（ColinMaclaurin）是18世紀(jì)英國(guó)最具有影響的

數(shù)學(xué)家之一.他研究出數(shù)學(xué)中著名的Maclaurin級(jí)數(shù)展開式，下面是麥克勞林建立的其中一

個(gè)公式：（1+4=1+3］"力+"（"1）（"%3+...+。（-1＞一（"〃+1）—…,

v72!3!n!

其中〃eN*,〃!=1X2X3X4X…x"，例如：1!=1,2!=2,3!=6.貝I］：的

近似值為（參考數(shù)據(jù)：皿=1.414,結(jié)果精確到0.01）（）

A.1.35B.1.37C.1.62D.1.66

3.（23-24高二下?四川成都?階段練習(xí)）英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克?泰勒以發(fā)現(xiàn)泰勒公式、泰勒級(jí)

數(shù)和泰勒展開式而聞名于世.計(jì)算器在計(jì)算e*,Inx,sin%,cosx等函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，是

通過(guò)寫入"泰勒展開式”程序的芯片完成的."泰勒展開式”是：如果函數(shù)/（尤）在含有吃的某

個(gè)開區(qū)間（。,6）內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)xe（a,b）,且XW/時(shí)，有

〃月=腎（-毛）。+上（尸修）+曾（萬(wàn)一不『+^^（尸％）3+一.其中（（無(wú)）

是“X）的導(dǎo)數(shù)，是⑺是尸⑺的導(dǎo)數(shù),是（x）是一（X）的導(dǎo)數(shù),階乘0!=1,

〃!=〃x（〃—l）x（〃-2）x—x2xl.Wxo=。力（］sinx的〃泰勒展開式〃中第三個(gè)非零項(xiàng)為,

sin1精確到0.01的近似值為.

4.（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）計(jì)算器計(jì)算e3Inx,sinx,cosx等函數(shù)的函數(shù)值，是通

過(guò)寫入"泰勒展開式"程序的芯片完成的."泰勒展開式”是：如果函數(shù)/（X）在含有％的某個(gè)

開區(qū)間（a,6）內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)xe（°力），且時(shí)，有

x~xo）+--（f升丁…『+粵（f）、?

其中廣（X）是“X）的導(dǎo)數(shù)，尸（X）是尸（X）的導(dǎo)數(shù),尸⑺是尸⑺的導(dǎo)數(shù)….…

取X。=。，則Sin%的"泰勒展開式"中第三個(gè)非零項(xiàng)為—，sinl精確到0.01的近似值為

類型二：利用超越不等式比較大小

典型例題

例題1.（23-24高二下?北京豐臺(tái)?階段練習(xí)）己知。=[,6=&-l,c=lng,則（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

4i「

例題2.（23-24高三下?海南省直轄縣級(jí)單位?開學(xué)考試）若。=111二6=二,0=庭-1,則a,0,c

34

的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

2022I

例題3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知-袍，b=ln2024-ln2023,c=sin-,則（）

a—c2023

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

練透核心考點(diǎn)

1.（23-24高三下?全國(guó)?階段練習(xí)）已知。=，5=lng,c=（log67-l）ln5,則（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.c>a>b

2.（2024?甘肅隴南?一模）若〃=2，b=7°」,c=e°2,貝|（）

4

A.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b

i7074-J-

3.（23-24高二下?浙江?開學(xué)考試）已知〃=—L-,b=ln絲=c=e2024—1,則（）

20242023

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

類型三：利用對(duì)數(shù)型超越放縮證明不等式

典型例題

例題1.(23-24高二下?河南?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=or-lnr-l的最小值為0.

(1)求。.

(2)證明：(z)ex-e2lnx>0；

5)對(duì)于任意〃eN*,(l+gmi+

例題2.(2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=[l-7卜'-a.

⑴若〃x)..0,求。的取值范圍；

(2)證明：若/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)七則玉+々>2.

例題3.(2024,黑龍江齊齊哈爾,二模)已知函數(shù)/(%)=alnxd-------GR.

(1)當(dāng)4=2時(shí)，求曲線y=〃x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)當(dāng)兀20時(shí)，證明：exln(x+1)+e-x-cosx>0.

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高二下?浙江嘉興?階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=xinx-x+l.

⑴求函數(shù)“X)的最小值;

⑵若直線y="x+人是曲線_y=/'(x)+ex的切線，求a+b的最小值;

⑶證明：lnV2+lnV3+---+ln,,2^Vn>---—(?eN*,n>2

2n+1v

2.(23-24高三上?寧夏石嘴山?期末)設(shè)函數(shù)/(%)=%-aln(l+x).

⑴討論了(x)的單調(diào)性；

⑵證明：VnGN\l+^+-+--?+->ln(n+l).

23n

3.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=2.足%+。85%+兀，4ZGR.

(1)當(dāng)。=2時(shí)，研究/(九)在(-兀㈤上的單調(diào)性；

(2)①求證：lnx<x-l；

②當(dāng)1=0,時(shí)，求證：/(x)>21nx+4.

類型四：利用指數(shù)型超越放縮證明不等式

典型例題

例題1.（23-24高三下?江西?開學(xué)考試）已知函數(shù)〃尤）=2.1

-lnx-1?

（l）5ga=-log2e,Z?=0,求的極值;

⑵若a,6e（O,l）,設(shè)玉=1,匕+1=〃匕）.證明：

（i）相<乙+|

...、4伍—1)

(II)%-％+2<:,.I