上海市某中學2024-2025學年高三年級上冊期中考試數(shù)學試卷3

上海市晉元高級中學2024-2025學年高三上學期期中考試數(shù)

學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.等比數(shù)列｛（｝中，%=4,%=6,則%.

2.已知復數(shù)z滿足0+i”=2i3為虛數(shù)單位），則目=——?

3.已知常數(shù)“eR,函數(shù)了=（“-1）.2、-、經(jīng)過一個定點，則該定點坐標為—.

4.己知］=（%/），6=（-2,3”若&與B互相平行，則實數(shù)上的值是____

5.已知ae（0，W，sina,則tan（a+j的值為--

6.已知圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則該圓錐的體積為一.

7.已知一罐汽水放入冰箱后的溫度無（單位：（）與時間/（單位：h）滿足函數(shù)關(guān)系

x=4+16e2,則大約經(jīng)過一分鐘，溫度的瞬時變化率為_fc/h（精確到1分鐘）

8.如圖為函數(shù)y=2sin（ox+3）（0>0,|0悵）的部分圖象，則。=_-

9.小張和小李同學在玩數(shù)字游戲，在一張空白紙上依次寫有1,2,3,…,211這211個自然數(shù)，

然后小張劃掉最前面的4個數(shù)1,2,3,4,并將它們的和10寫在數(shù)列的最后，然后小李繼

續(xù)劃去5,6,7,8這4個數(shù)，并將其和26寫在10的后面.兩人依次操作，假設(shè)他們倆在計

試卷第11頁，共33頁

算和操作都正確的情況下，最后將剩下一個數(shù)，該數(shù)為一.

「y=f(x)-mm

2-?若

10.已知函數(shù)〃x)=<的恰好有2個零點，則實數(shù)的取值

—x2+l,x<1

12

范圍

IL如圖，四邊形48co中，已知4D=2,/B=3,N34D=NBCr)=NBOC=45°，則對角線

NC的長為—.

12.已知函數(shù)/(》)=卜2一同,xe[0,l]，其中常數(shù)aeR，若/(x)的最大值記為g(a)，則

g(a)的最小值為----

二、單選題

13.設(shè)％,年，%，a均為非零常數(shù)，不等式為x+4>0和出》+仇>0的解集分別為〃、

N,則“幺=4”是“加02V”的

a2b2

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

14.復數(shù)方程2一解的個數(shù)為()

Z=Z

A.4個B.3個C.2個D.1個

15.一個棱長為1的正方體盒子，則下列幾何圖形能否單獨完全裝入盒子(

①長度為L7的線段；②面積為1的圓；③體積為0.3的正四面體

試卷第21頁，共33頁

A.僅①②B.僅①③C,僅②③D.①②③都可以

,

16.已知點4,4,…，4("eN,”22)均在圓。上，右有---1-OAn=6則必有

4,4,…，4平分圓。則滿足要求的”的個數(shù)為()

A.0個B.僅有1個C.僅有2個D.3個或以上

三、解答題

17.已知函數(shù)"X)=loga(l+x),g(x)=k?g"(l-x),其中常數(shù)

⑴若a=2,求不等式2/(x)>g(x)+l的解集;

(2)若0<x<l，試比較/=|/(切與3=|g(x)|的大小.

18.記S"為數(shù)列｛%｝的前〃項和，，為數(shù)列｛SJ的前"項積，已知工+1=2.

S,bn

(1)證明：數(shù)列色,｝是等差數(shù)列；

(2)求｛”“｝的通項公式.

19.在/4SC中，角4民。的對邊分別為a,6,c,己知沅=(26-c,a)，

.、日WV

n-(cos^4,-cosC)，且冽_L〃,

(1)求角A的大??；

(2)若”也,AABC面積為”1，試判斷44BC的形狀，并說明理由.

4

20.如圖，正方體4BCD-4B1G2的棱長為4，點E、下分別為棱GQ和/4的中點.

試卷第31頁，共33頁

K

(I)求異面直線EF與2C所成角的大小；

(2)求作平面CEF與正方體各面相交所得截面，保留痕跡并簡要說明截面特征；

(3)若某正四棱錐的表面積與正方體的表面積相等，求該正四棱錐體積最大時側(cè)棱與底面所

成角的大小.

xx

21.已知函數(shù)f=-l)e-be~-ax(a,beR)?

(1)當a=3,6=0時，求曲線y=/(x)在點(OJ(O))處的切線方程；

(2)當6=1時，/(x)既存在極大值，又存在極小值，求”的取值范圍；

⑶當1<a<2,6=1時，占，馬分別為/(x)的極大值點和極小值點,且〃占)+狂(%)>0,

求實數(shù)上的取值范圍.

試卷第41頁，共33頁

參考答案:

題號13141516

答案DADC

1.9

【分析】運用等比中項公式計算即可.

【詳解】等比數(shù)列中，%=4,%=6,則抬=%的，即36=4%，解得%=9?

故答案為：9.

2-41

【分析】根據(jù)復數(shù)除法法則計算出z=i+i，從而求出模長.

【詳解】z=2L2i(尸)=辿蒙=一2=i+i,

1+i(l+i)(l-i)1-i2

故|z|=Jl+1=V2，

故答案為：亞

【分析】對函數(shù)解析式變形，得至仃=。(2'-工)-2"令2、-；=0,解題即可.

22

【詳解】對函數(shù)解析式變形，得到了=("1)2-■|=研2,-g)-2",

令2、-；=0,解，=T.代入解析式，得至1」＞=一:，經(jīng)過一個定點(-1,-

222

故答案為：(-

答案第11頁，共22頁

4.

【分析】由向量共線的坐標公式，列出方程求解即可.

【詳解】因為〃〃力

匚匚［、］3左=一2及刀/日72

所以，解得k=—,

3

故答案為：-2.

3

5.3

【分析】首先根據(jù)已知的正弦值求出余弦值，進而得到正切值,最后利用兩角和的正切公

式求出tan(a+：)的值.

【詳解】已知"，切即”不，則cosa=Jl-sin”=J

2石

Is/5，

V5

根據(jù)tantz==,出二。，

cosa2yJ52

-V

/,二、tarU+tan5

tan(/+B)=-----------/\-+1

根據(jù)兩角和的正切公式1-taMtanS,則12山+力=-^--=3.

1--X1

2

故答案為：3.

66

3

答案第21頁，共22頁

【詳解】試題分析：由題意得：〃=1"=6,圓錐的體積為1%產(chǎn)〃=叵

33

考點：圓錐體積

7.104

【分析】利用導數(shù)的幾何意義計算即可.

【詳解】易知）二-32尸［則一i=-32e3=/=gln2（h）,

則徐104分鐘?

故答案為：104

8.-

3

【分析】由圖象過點（°，百萬。）結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得答案.

【詳解】因圖象過點（°，6）,則2sin?=囪nsin/=回，

結(jié)合S悵，可得夕=/或。=,，又圖象過此點時單調(diào)遞增，則尹=/

因圖象過點（兀⑼，結(jié)合圖象，可得。兀湛Lkno=k—,其中"Z

33

結(jié)合o＞0=＞后＞L.

6

又由圖可得函數(shù)的最小正周期大于兀，則等?。/丁=口,

結(jié)合建，可得X,則…瀉.

答案第31頁，共22頁

故答案為：I

9.22366

【分析】根據(jù)題意依次劃掉數(shù)字并加入和，記作數(shù)列，并計算留下數(shù)字的和即可?

【詳解】①易知211=4x52+3,劃掉52次后，變?yōu)?+52=55個正整數(shù)，

記為2M3,…，65，其中％=209,?2=210嗎=211,%=1+2+3+4,…

為5=205+206+207+208，

-1(1+211)x211,

所以“i+a2---Fa55=1+2H--------1-211=------------=22366；

②易知55=4x13+3，再劃掉13次后，變?yōu)?3+3=16個正整數(shù)，記為人也，…在6，

其中4=a53,b2=%4力3=〃55，"=%+%+%+4,…，b、6=Q49+。50+〃51+〃52'

貝U4+4+…+*6=〃]+2+…+%5=22366；

③而16=4x4,再劃掉4次，變?yōu)?個正整數(shù)，記為0],02，。3，。4，

其中q=4+&+々+"，，。4=九+%+九+々6，

故9+Q+…+。4=。。2H—+九=22366；

④4=1x4,再劃掉最后1次，變?yōu)?個正整數(shù)，記為d，

其中d=q+Q+。3+。4=22366?

故答案為：22366，

18(1,2)

【分析】由題意可得函數(shù)了=/(%)與了=加有兩個交點，作出圖象可求得實數(shù)機的取值范圍.

答案第41頁，共22頁

【詳解】令y=0,可得/(x)TW=(P可得/(x)=機，

由昨/(x)-m的恰好有2個零點，則/(x)=m方程有兩個根,

則函數(shù)y=/(x)與了=加有兩個交點，

由圖象可得函數(shù)y=/(x)與＞=加有兩個交點，可得1〈加＜2，

所以實數(shù)小的取值范圍為(1,2).

故答案為：(1,2)

ILV22

【分析】旋轉(zhuǎn)V8C4構(gòu)造全等，結(jié)合勾股定理計算即可.

【詳解】由題意可知/C8Z)=90。，即△BCD為等腰直角三角形，

可將V48c繞8順時針旋轉(zhuǎn)90。得△E3D，

貝INEBA=90。"=EB=3,AC=EDnNEAB=45°,AE2=AB1+EB2=18，

又NEAB+NBAD=90。，

所以為直角三角形，AC1=DE2=AD2+AE2=AD2+2AB2=22，

即/。=應-

故答案為：722?

答案第51頁，共22頁

E

12.3-2A/2

【分析】分aWO，0<a<b\<a<2,四種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求g(a)的

解析式，進而可求g(a)的最小值.

22

【詳解】當040時，f(x)=\x-ax\=x-ax'函數(shù)/(x)的最大值為=，

所以當a40時，g(a)=l-a>

因為y=x2-ax與x軸交于(0,0)與(a,。)，

當。<“<1時，由二次函數(shù)的圖象，對稱軸為》=￡,/(^)=|(|)2-ax||=^.

答案第61頁，共22頁

又/⑴=1一"，若d"⑴，則有!《j，解得°<aW2及-2,

所以若0<a?2c-2時，g⑷=1一。，

若2A/^EizEl時,g⑷=￡_,

當行<2時,對稱軸x、>；,所以〃x）”嗎）=》

當心2時，對稱軸X，“?。┟?、=/（1）="1,所以g（°）="l,

2

l-a,a<2A/2-2

2

綜上所述：g(a)=<?,2拒-2<”2,

a-l,a>2

當Q<2亞-2時，g⑷=1-。單調(diào)遞減，所以g⑷2g（2后-2）=3-2

當2A/2—2<Q<2時,g（a）=《單調(diào)遞增,g（a）>g（2夜-2）=3-2色

當Q22時，g（a）="l單調(diào)遞增,g（tz）>1,

所以g（。）的最小值為3-20.

故答案為：3-2行?

【點睛】思路點睛：含絕對值的函數(shù)的最值問題，分類討論是一解決問題的有效方法?

13.D

【分析】設(shè)幺="后，證明/<°時，無法推出“而；當”=N=0時，也推不出

?2b2

答案第71頁，共22頁

幺=人從而得到答案.

a2b2

【詳解】設(shè)幺=4=左，貝產(chǎn)==他，

a2b2

所以axx+偽>0=ka2x+kb2>0u>k{a2x+打）〉0，

當左<0時,aix+bl>0^a2x+b2<0^此時

所以也=4”推不出“"就”.

a2b2

當M=N=0時，有％=0,440,%=0您40,推不出幺=2,

4b?

綜上所述“幺=旦”是的既非充分又非必要條件.

a2b2

【點睛】本題考查一元一次不等式的含參討論、充分條件與必要條件，考查邏輯推理能力,

考查分類討論思想的靈活運用，注意在驗證一個命題為假命題時，可通過舉出反例證明.

14.A

【分析】設(shè)z=0+6i，由復數(shù)得乘方與共輾復數(shù)的概念計算參數(shù)即可.

【詳解】設(shè)2=4+〃，則z?=/_/+2。歷，z=a-bi?

22

[a-b=a]a=0[a=\a=-L

所以12仍=-6,解之得H=°或H=°或2,共4組解.

b=±——

[2

故選：A

15.D

【分析】通過比較正方體體對角線的長可以判斷①；通過比較正方體棱的中點所構(gòu)成的正

六邊形的內(nèi)接圓與已知圓的半徑可以判斷②；計算正方體中最大的正四面體的體積，可以

判斷③.

答案第81頁，共22頁

【詳解】對于①棱長為的正方體盤子，體對角線長為護3",所以長度為的短棍（粗細

忽略不計）放入正方體體對角線的位置就可以裝入，故①正確;

對于②，如圖，連接正方體的棱的中點所得的正六邊形的內(nèi)接圓是正方體內(nèi)能放入的最大

圓,

正六邊形的邊長瓦才=血，E”的中點0為內(nèi)切圓的圓心，環(huán)的中點S為切點,

°,為正六邊形的內(nèi)切圓的半徑，利用勾股定理可得os=75萬=加7=口1=E

V28V8

面積為1的圓的半徑為r=+=Q=F<F，

所以②面積為1的圓可放入棱長為1的正方體盒子，故②正確;

對于③正方體ABCD-內(nèi)最大的正四面體為ADiBiC如圖所示，

其體積為F-4xWlxlxl=l>0.3,

323

故體積為0.3的正四面體可放入棱長為1的正方體盒子，故③正確;

故選：D.

16.C

答案第91頁，共22頁

【分析】分2，力_［，〃>4三種情況討論可判定結(jié)論.

n—乙fl—J〃c*■+

【詳解】由西+磯+…+西=6，

當〃=2時，兩向量共線反向，4,為平分圓。，符合題意，

當〃=3,由弧+恒+西=6,設(shè)圓。的半徑為1，

變形可得可=-四-西'兩邊平方可得西2=西2+2西.西+西？'

所以1=1+2X1X1XcosN4。4+1,解得cos/卻,

因為°欣乙似?4<,所以同理可得44。4=］,//。4=三，

所以4,4,4平分圓。，

若〃“時，

當”為偶數(shù)時，只要分為］對，每對共線，可得可+西+―-+西=6,

比如過圓心的兩條直線與圓相交的四個點，滿足西+就+…+西=0，但不平分圓,

所認4,4,…,4不一定平分圓，故不符合題意，

當“為奇數(shù)時，可分三個點，使這三個向量滿足西+西+西=0,

可得4,4,4平分圓。，另外剩余的一定是偶數(shù)點，由前面知道，這些點可分組，

但不一定平分圓，故可得同,4,…,4不一定平分圓，

綜上所述，可得只有2與3符合題意，

故選：C.

答案第101頁，共22頁

【點睛】思路點睛：分類討論是解決本題的關(guān)鍵，掌握向量的有關(guān)運算與性質(zhì)是基礎(chǔ).

17.(1)(75-2,1).

⑵/<8

【分析】(1)利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)運算計算即可；

(2)分類討論。的范圍，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及作差法比較大小即可?

［詳解］(1)”2時，/(x)-log2(l+x),g(x)=log2(l-x)；易知

［l+x>0''

>

所以2/(x)=log2(l+x)\g(x)+1=log22(l-x)

2,

則不等式等價于log2(l+%)2>log22(l-x)=>(l+x)>2(l-x)

即+?―1〉0，解之得x>舊-2或x〈-舊-2，

結(jié)合定義域X?@—1,11知不等式解集為(遙-2,1)；

(2)易知當o<x<l時，l+x>l>l-x>0,

若a>l，則log。(1+x)>0,log?(1-x)<0,所以/=loga(l+x),8=-k>ga(1-尤),

2,

^^-5=loga(l-x)<logal=0即/<8;

右1>a>0，則10gti(1+x)(0,log“(1-0'

所以Z=-bg"(l+x),B=log0(l-x)，

則Z-8=-loga(l-x2)=logjl-x2)<logj=0,即/<8；

aa

綜上所述：A<B.

答案第in頁，共22頁

18.⑴證明見解析；（2）6=；

【分析】（1）由已知＞k2得*念，且“。，取I,得匕,由題意得

槐匚.3--------=b?，消積得到項的遞推關(guān)系與」=如，進而證明數(shù)列也｝是等差

2^-12^-12^,-12b…1b?

數(shù)列;

（2）由（1）可得”的表達式，由此得到S”的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得

^n),n-2

【詳解】（1）［方法一］:

由已知2+工=2得月=馬」,且々產(chǎn)°,

s?bn2bn-l2

取"=1,由V得

由于“為數(shù)列｛$“｝的前"項積,

所以含含A

所以2——_^-b

24-1262T2bxim

答案第121頁，共22頁

%

所以

2%-1b,

由于鼠尸0

2

所以—,即6--b=

2%-1b“H+1"

所以數(shù)列也"｝是以4=5為首項，以d=1為公差等差數(shù)歹U;

22

［方法二］【最優(yōu)解】：

由已知條件知6=S「S￡……S.S①

于是②

由①②得3=$".③

如

又工+l=2,④

E,b?

由③④得

令"=1,由得4=(

所以數(shù)列也｝是以3為首項,工為公差的等差數(shù)列.

22

［方法三］:

由Z+J_=2,得，S"日S"0b,產(chǎn)oE尸1

S.b?2s“一2

答案第131頁，共22頁

又因為“=SjS"T?'=S”也T,所以6&=^,所以

Sn2s“一2

bn-bn!=3----------------==-(?>2).

""-12s“-22S?-22(S?-1)2

在2+-1-=2中，當”=1時，6］=岳=』.

E,b?2

故數(shù)列抄」是以3為首項，工為公差的等差數(shù)列.

22

［方法四］:數(shù)學歸納法

由己知2+工=2,得b、="4=2,3,猜想數(shù)列｛4｝是以3為首項,

Sb2b-12322

工為公差的等差數(shù)列，且4=!”+1.

2"2

下面用數(shù)學歸納法證明.

當“7時顯然成立.

假設(shè)當〃=及時成立，即4=1+1同=害.

RJ7/、1/〃=后+1_L_,(1、左+3左+31/7

那么當n時，磯|=即%|=左+1.力=k=5(左+1)+1.

\LJKI乙乙乙

綜上，猜想對任意的“eN都成立.

即數(shù)列抄"｝是以3為首項，工為公差的等差數(shù)列.

22

(2)

答案第141頁，共22頁

由（1）可得‘數(shù)列也，｝是以4=9為首項'以為公差的等差數(shù)歹I，

b=—+(H-1)X—=1+—

〃n2V722

=2bn2+n

"2^,-11+n'

當n=l時，a{==―,

當時,4“=邑一s”|==一=---1—，顯然對于n=\不成立,

1+nn+

【整體點評】（1）方法一從2+_L=2得5"=3」，然后利用”的定義，得到數(shù)列｛4｝

S,bn2勿-1

的遞推關(guān)系，進而替換相除消項得到相鄰兩項的關(guān)系，從而證得結(jié)論;

方法二先從”的定義，替換相除得到裊=S“，再結(jié)合工+,=2得到6“-6-=工，從而證

%S.bnI2

得結(jié)論，為最優(yōu)解;

方法三由2+1=2,得?=二^,由々的定義得6“1=久,進而作差證得結(jié)

S.b,2s「2Sn2s,-2

論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列6“=匕7+1,然后利用數(shù)學歸納法證得結(jié)論.

2

（2）由（1）的結(jié)論得至必"=工〃+1,求得星的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得｛%｝的

〃2

答案第151頁，共22頁

通項公式;

19.(1)-；(2)AABC為等邊三角形.

3

【分析】(1)由(2b-c)cosA-acosC=0及正弦定理，得sinB(2cosA-1)=0,從而

得角A；

(2)由SABC=1bcsinA=,可得bc=3,①；再由余弦定理a2=b?+c2-2bccosA可得

△13V3

2~T

b2+c2=6,②；聯(lián)立①②可求得b=c=積3,從而可判斷AABC的形狀.

【詳解】(1)由(2b-c)cosA-acosC=0及正弦定理，得(2sinB-sinC)cosA-

sinAcosC=0,

2sinBcosA-sin(A+C)=0,sinB(2cosA-1)=0.

V0<B<7i,sinB^O,.*.cosA=—.*.*0<A<7i,

2

：.A=-.

3

(2)4ABC為等邊三角形，VSABC=IbcsinA=「

△13V3

2~T~

即」bcsin工=3M.；.bc=3,①

234

*/a2=b2+c2-2bccosA,A=工，a=J3,/.b2+c2=6,②

3

由①②得b=c=十寸，.'△ABC為等邊三角形.

【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，著重考查正弦定理與余弦定理的應用，考查方程思

想與運算求解能力，屬于中檔題.

答案第161頁，共22頁

20.⑴arctan

2

(2)答案見解析；

(3)arctan2.

【分析】(1)取O2中點K，利用正方體特征及異面直線夾角的求法計算即可；

(2)利用基本事實與推論作圖即可，并求出相關(guān)交點位置；

(3)設(shè)底面邊長與高，利用四棱錐的表面積與體積公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，線面夾角

計算即可.

【詳解】⑴取。2中點K,連接FK,K￡，易知FK///D//8C,

所以異面直線口與3c所成角即

乙此fR

由正方體特征可知尸K_L平面CD4G,KEu平面CDAG，

則尸I?

所以tanZEFK=—NEFK=arctan—，

FK422

所以異面直線口與3c所成角為arctan交；

2

(2)延長C￡,￡)2交于雙點，連接N尸交4D］于〃點，

并延長昕與以延長線交于M點，連接/C交于G點，

則五邊形CEHFG為所求截面，易知FGI/EC,HEI/CG，

則由等角定理知：N4FG=NEqCn4G=l,力沖=NCGB=D"=0；

113

答案第171頁，共22頁

N

(3)易知正方體的表面積為6x42=96,設(shè)正四棱錐的底面正方形邊長與高分別為2a,〃，

則其表面積S=402+4x；x2ax^h2+a2=96,化簡得力+^h2+a2)a2=24,

不妨設(shè)—Y學48,

而體積為％；x4/"=g，1號--4j=史魯^36-(/-6)2,

顯然"6,即°==46時體積取得最大值，

aL

設(shè)側(cè)棱與底面夾角，此時有tana=2=>a=arctan2.

y/2a

答案第181頁，共22頁

21.（l）x+y—2=0

⑵（l,2）u（2,+勸

（3）（-oo,_l]

【分析】（1）由題意，將4=3,6=0代入/（X）的解析式，對/（X）進行求導，得到廣（0）

和/（0）的值，代入切線方程中即可求解；

（2）將6=1代入/卜）的解析式，，對了卜）進行求導，將y（x）既存在極大值，又存在極

小值轉(zhuǎn)化成/（司=0必有兩個不等的實數(shù)根，利用導數(shù)得到了（x）的單調(diào)性和極值，進而即

可求解；

（3）將6=1代入“X）的解析式，對進行求導，利用導數(shù)分析的極值，將

解即可.

【詳解】（1）函數(shù)/（x）=（a-l）e*eR）的正義域為R，

答案第191頁，共22頁

當。=3,6=0時,〃x)=2e*-3x，

則r(x)=2e*-3,故/'(0)=2-3=-l，又/⑼=2，

所以曲線y=/(x)在點(0J⑼)處的切線