四川省某中學2024-2025學年高二年級上冊期中考試數(shù)學試題

四川省綿陽中學2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試

題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.直線尤+6y_l=（）的傾斜角為（）

A.-B.-C.—D.—

3636

2.方程表示的曲線是（）

A.兩個圓B.一個圓和一條直線

C.一個半圓D.兩個半圓

3.如圖，已知一艘停在海面上的海監(jiān)船°上配有雷達，其監(jiān)測范圍是半徑為25km的圓形

區(qū)域，一艘輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B

處島嶼，速度為28km/h?這艘輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到的時長為（)

A.1小時B.0.75小時C.0.5小時D.0.25小時

4.橢圓片+心=1的焦點為耳且，點尸在此橢圓上，如果線段°百的中點在〉軸上，那么

123

試卷第11頁，共33頁

T的值為（）

KI

i7

A.-B.4C.7D.-

72

xoyF22

6.如圖所示，在平面直角坐標系中，「是橢圓二+匕=1伍>6>0）的右焦點，直線

a2b1

y=g與橢圓交于"，,兩點，且N3"C=90。，則該橢圓的離心率是（）

B.

試卷第21頁，共33頁

A.BC.1D.2

3-I22

7.如圖，平面平面/BE尸，四邊形4BE尸為正方形，四邊形/BCD為菱形，

ZDAB=60°，則直線所成角的余弦值為(

A,正_B.在_C.亞D.如

3344

8.我國著名數(shù)學家華羅庚曾說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結合百般好，隔

離分家萬事休.”事實上，很多代數(shù)問題可以都轉化為幾何問題加以解決，歹U如，與

不+(—)2相關的代數(shù)問題，可以轉化為點(x,y)與點(a,6)之間的距離的幾何問題―

已知點必)在直線4：y=x+2,點在直線4：V=x上,且結合上

述觀點，也；+(m-4)2+k-5)2+%2的最小值為()

A.Z^lB.11后C.歷一夜D.5

22

二、多選題

9.2020年11月28日，“嫦娥五號”順利進入環(huán)月軌道，其軌道是以月球的球心尸為一個

焦點的橢圓(如圖所示).已知它的近月點，(離月球表面最近的點)距離月球表面〃,千米，遠月

試卷第31頁，共33頁

點2（離月球表面最遠的點）距離月球表面〃千米，N8為橢圓的長軸，月球的半徑為尺千米.

設該橢圓的長軸長，焦距分別為2.，2c，則下列結論正確的有（）

10.瑞士數(shù)學家伯努利于1694年發(fā)現(xiàn)了雙紐線，即在平面直角坐標系xQy中，點尸（xj）

到兩個定點/（_0,0）,8（%0）的距離之積等于/（口＞0）的點尸的軌跡稱為雙紐線，則當°=1

時，下列結論正確是（）

A.點Q,0）在雙紐線上

B.點,的軌跡方程為1+g2=212-/）

C.雙紐線關于坐標軸對稱

D.滿足歸/|=歸邳的點尸有1個

11.以下四個命題表述正確的是（）

A.直線（3+〃z）x+4y-3+3m=0（meR）怛過定點（T-3）

B.圓/+/=4上有且僅有3個點到直線/：彳_?+&=0的距離都等于1

C.圓G：?+/+2工=0與圓C?：/+/一4工一8夕+%=0恰有三條公切線，則加=4

D.已知圓C：/+必=4，點A為直線x+y-4=0上一動點，過點尸向圓C引兩條切

試卷第41頁，共33頁

線尸/、PB,A、B為切點,則直線4g經(jīng)過定點(1,1)

三、填空題

12.兩平行直線4：°x+3y+1=0，4：x+(a-2)y+a=0的距禺為----

13.過雙曲線二_仁=1的左焦點片引圓/+r=16的切線，切點為,，延長￡7交雙曲

1625

線右支于尸點.設M為線段￡尸的中點，0為坐標原點，貝1------

14.已知橢圓W+g=i(a>6>0)的左、右焦點分別為片、耳，經(jīng)過'的直線交橢圓于八，

B,A/88的內切圓的圓心為/，若3而+4忘+5雨=6，則該橢圓的離心率是------

四、解答題

15.已知雙曲線c：￡一廿=i(a>o,6>o)的實軸長為2血，點R2,n)在雙曲線0上.

a2b2

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)過點尸且斜率為26的直線與雙曲線C的另一個交點為0，求|尸0卜

16.已知圓心為C的圓經(jīng)過點/(1,4),8(3,6)，且圓心C在直線3x-4y=0上.

⑴求圓C的方程：

(2)已知直線/過點Qi)且直線/截圓C所得的弦長為2,求直線/的方程.

17.如圖所示，直角梯形/BCD中，/W/8LN8=8C=24D=2，四邊形

試卷第51頁，共33頁

EDCF為矩形，CF=5平面EDCF_L平面4BCD.

(1)求證：〃平面/BE；

(2)求平面/BE與平面瓦喏所成銳二面角的余弦值.

18.已知OC的圓心在直線3x-y-3=0上，點C在V軸右側且到了軸的距離為1,OC被

直線/：無一y+3=0截得的弦長為2.

(1)求℃的方程；

(2)設點。在OC上運動，且點T滿足質=2萬，(。為原點)記點T的軌跡為￡.

①求曲線戶的方程；

②過點”(1,0)的直線與曲線￡交于42兩點，問在X軸正半軸上是否存在定點N,使得x

軸平分//A??若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

19.己知人、*分別是橢圓口片+2=1的左、右頂點，過點*0,9)且斜率為'的直線/

■4

交橢圓C于M、N兩個不同的點(M、N與A、8不重合).

試卷第61頁，共33頁

⑴求橢圓C的焦距和離心率；

⑵若點3在以線段"N為直徑的圓上，求左的值；

⑶若后＞0,設。為坐標原點，直線/M、NN分別交P軸于點S、T,當法:久法且

西=〃麗時，求4+〃的取值范圍?

試卷第71頁，共33頁

參考答案:

題號12345678910

答案DDCCAADDBCBCD

題號11

答案BCD

1.D

【分析】根據(jù)直線的斜率求直線的傾斜角.

［詳解］由直線x+^y_i=o得其斜率為g

3

設直線的傾斜角為"(牝［㈣)，貝5nO=_Yi，

3

所以e=至，所以直線的傾斜角為至，

66

故選：D

2.D

【分析】方程可化為(|x|_l)2+(y_l)2=l，去絕對值分x<-1，兩種情況解決即可.

【詳解】方程可化為(|%|一1)2+(?-=］,

因為120，

所以xV-l或X”

若XV-1時，則方程為(尤+1)2+(了_1)2=1，是以(一1,1)為圓心，以1為半徑的左半圓；

若X21時，則方程為(x_l)2+(.y_l)2=l，是以(1,1)為圓心，以1為半徑的右半圓；

總之，方程表示的曲線是以(1,1)為圓心，以1為半徑的右半圓與以為圓心，以1為

半徑的左半圓合起來的圖形.

故選：D

3.C

答案第11頁，共22頁

【分析】以0為原點，東西方向為X軸建立直角坐標系，求出直線與圓的方程，計算圓心

到直線的距離和半徑比較，可知這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到；計算弦長，可求得持

續(xù)時間為多長.

【詳解】如圖，以O為原點，東西方向為x軸建立直角坐標系，

則/(40,0),3(0,30),圓。方程八丁=252,

吉建4s卡也xy3x+4y-120=0

直線方程：---1---=1,即0n，

4030

設°到''距離為"，則"=^^=24<25,

所以外籍輪船能被海監(jiān)船檢測到，

設監(jiān)測時間為‘，叫一2位-2411(小時)，

282

外籍輪船能被海監(jiān)船檢測到的時間是0.5小時.

故選：C.

4.C

【分析】根據(jù)線段尸分的中點又在了軸上，推出尸與,尤軸，由此可設夕(3,6),代入橢圓

方程求出/,再根據(jù)兩點間的距離公式求出|摩|和|尸居|可得解.

【詳解】由二+《=1可知/=12,b-=3

123

答案第21頁，共22頁

所以尸/（—3,0）,尸@0）,

?.?線段尸分的中點M在y軸上，且原點O為線段月乙的中點,

所以PFJ/MO,所以P%_Lx軸，

可設「（3,加），

把尸（3,刈代入橢圓目+且=1,得病=3.

1234

?.?1叫=,4=逋，m=0=^/3.

4242

故選：C

5.A

【分析】由函.臣=麗?（9+石）=拓,石+瓦i,毋求解即可

【詳解】CE=CA+AE^所以

而在=拓伍+碼=強0+拓?萬=2x2xcos6(F+2xlxcosl20o=l

答案第31頁，共22頁

故選：A.

6.A

【分析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解得3和c的坐標，然后利用向量垂直的坐標表示可

得3c2=24,由離心率定義可得結果.

22

x,y_,V3(Mb

X=±—dB------a,—

【詳解】由ab，得＜2,所以2-2

bb

y=—y=-

22

由題意知/（c，°）,所以市一（+如0_2

22

\7

因為NBFC=90°，所以8/_LCF，所以

a2—c2

+=-c2--a2=0-

442

所以3c2=2/，所以e=￡=YS

a3

故選：A.

【點睛】本題考查了直線與橢圓的交點，考查了向量垂直的坐標表示，考查了橢圓的離心

率公式，屬于基礎題.

7.D

【分析】建立空間直角坐標系，利用向量的夾角即可求解.

【詳解】取的中點0,連接8,

四邊形為菱形，

NDAB=60°'

所以'

答案第41頁，共22頁

由于平面4BCDJ.平面/5跖，且兩平面父線為DOYAB'OOu平面48czT

故oc?平面）斷尸，又四邊形4R尸尸為正方形，

UU-LADLrADtLr

故以O為坐標原點，為'軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

不妨設正方形.RFF的邊長為2,

ADn.r

則/(0,-1,0),3(0,1,0),尸(2,7,0),C(0,2,后)，

故式=(0,3,g),礪=(2,-2,0)，

則s（AC,BF）=百篙=2丁；丁V6

COV

故直線/0,F8所成角的余弦值好.

4

故選：D.

8.D

【分析】根據(jù)兩點距離公式將目標函數(shù)轉化為點〃（國,必）到點/（0,4）的距離與點

N（%,%）到點8（5,0）的距離和，過點A作/?？?，垂足為C,證明HM=|CN|，由

|CN|+|N同21cBi求目標函數(shù)最小值，

答案第51頁，共22頁

【詳解】由已知表示點M（X"M）到點/（0,4）的距離,

22

/x2-5）+y2表示點N&,y2）到點B（5,0）的距離，

所以&+（必一G+加2-5、+/2=|^|+|A?|,

過點A作/C，垂足為C,

因為直線4的方程為工-歹+2=0,4（0,4），

所以|/c|=\^=0，

又直線I]:y=x+2與直線4:y=x平行，MN±/1，

所以I跖v|=^=拒，

所以7W///C,pW|=|/c]，

所以四邊形NMNC為平行四邊形，

所以MM=|ov|，

22

所以&+5-4）2+^x2-5）+y2=|CN|+|N5|,

又|CN|+|A?,|CB|，

當且僅當C,N,2三點共線時等號成立，

所以當點N為線段C8與直線/2的交點時，

答案第61頁，共22頁

Jx；+M_4丫+加2-5)2+%2取最小值,最小值為仁同,

因為過點4(0,4)與直線4垂直的直線的方程為尸-x+4,

聯(lián)立[v=_x+4,可得「=1,

[y=x+2[y=3

所以點0的坐標為所以|CM=J(5-1『+(O-3)2,

225

所以&+(必-4)2+^X2-5)+y2的最小值為,

【點睛】本題解決的關鍵在于根據(jù)兩點距離公式將目標函數(shù)轉化為求線段的距離和問題,

進一步結合圖形將問題轉化為兩點之間的距離問題.

9.BC

【解析】根據(jù)圖形橢圓長軸長為2”=2&+“，+〃，利用橢圓幾何性質及圖形再寫出

a-c,a+c即可求角軍.

【詳解】由題意可知2〃=2尺+股+〃

m+n

所以八+R

2

答案第71頁，共22頁

因為a-c=H+/w'。畋目及分，

故選：BC

10.BCD

【分析】先由雙紐線的定義求出其方程，逐一檢驗各個選項可判斷結果.

【詳解】由雙紐線的定義可得：\PA\■\PB\=/x+af+y2-/x-af+y2=a2,

gp^(x+a)2+/]-^(x-6Z)2+/J=a4,化簡得：(x?+打=2/12-力，

則當"=1時，點尸的軌跡方程為，+嚴2=2(--嚴，故B正確；

當*=2時代入方程得(4+/丫=2(4-,顯然，=°不滿足方程，

所以點(2,0)不在雙紐線上故A錯誤；

把x換成_x，＞換成方程不變，所以雙紐線關于坐標軸對稱，故C正確；

因為/(-凡0),8(d0)，若滿足1pH=|尸耳，則點尸在了軸上，

在方程中卜2+打=2(--r)令x=。，解得尸°,

所以滿足戶H=盧司的點尸為尸(0,0)，故D正確；

故選:BCD.

11.BCD

【分析】將直線的方程進行整理利用參數(shù)分離即可判斷選項A；根據(jù)圓心到直線的距離與

答案第81頁，共22頁

半徑的關系比較即可判斷選項B；由題意知兩圓外切，由圓心距等于半徑即可求得值,

即可判斷選項C；設出點p坐標，求出以線段尸c為直徑的圓的方程，與已知圓的方程相減

即可得直線^的方程，即可判斷選項D,進而可得正確選項.

AD

【詳解】直線（3+加）工+4》一3+3加=0（加￡區(qū)），

所以加（x+3）+3x+4y-3=0（睦R）,所以卜+3=0,解得卜=-3,

[3x+4y-3=01'=3

所以直線（3+加）x+4y-3+3加=0（加￡R）恒過定點（一3,3），故A錯誤;

X2+y2=4（0,0）x-y+41=oIo-O+V2

圓，圓心為到直線的距離為^—

V1+1

所以直線與圓相交，平行于直線/且距離為1的直線分別過圓心以及和圓相切，

所以圓上有且僅有3個點到直線的距離為1，故B正確；

由G：/+/+2工=0可得（x+]『+/=],圓心八=1，

222,

由C?:x+/-4x-87+m=0^^（x-2）+（y-4）=20-m>0

圓心（2,4），々=同二荷，由題意可得兩圓相外切，所以|。?|=八+々，

即，42+32=j20-/?+l'解得：加=4，故C正確；

設尸（加,“），所以〃?+〃=4,

因為P/、PB,分別為過點尸所作的圓的兩條切線，所以C"，CBLPB

所以點A，8在以0P為直徑的圓上，以°尸為直徑的圓的方程為

答案第91頁，共22頁

22

整理可得：x+y-mx-ny=o,與已知圓C%2+、2=4，相減可得mx同yH4.

消去冽可得：（4一〃）x+砂=4，即〃（y-工）+4工一4=0，

由任一x=。解得F=l,所以直線,8經(jīng)過定點故D正確.

［4x-4=0［y=l

故選：BCD.

12.±/1

3

【分析】由兩直線平行求出實數(shù)a的值，再利用平行線間的距離公式可計算出結果.

［詳解］由于直線《與4平行，則卜①一2）=3,整理得!/一2口一3=0,解得"3

1/w1〕aw±1

所以，直線4的方程為3x+3y+l=0,直線4的方程為％+y+3=0，即3x+3y+9=0,

因此，兩直線間的距離為I一1=迪.

A/32+323

故答案為：晅.

3

【點睛】本題考查兩平行直線間距離的計算，同時也考查了利用直線平行求參數(shù)，考查計

算能力，屬于基礎題.

13.1

【分析】設一是雙曲線的右焦點，因為分別為與尸，的中點，運用中位線定理得

到四。|=3?。?結合雙曲線的定義得忸目-盧尸1=8,再結合題中的數(shù)據(jù)得到山刀=5,

答案第101頁，共22頁

結合雙曲線的定義得由2|_戶百|=8，可得到的值.

【詳解】設尸,是雙曲線的右焦點，連接尸尸

■：M,。分別為大尸，片尸的中點

■■\MO\=^PF'\

閨小，3「-|。7「=5

由雙曲線定義得，出=8

故眼0|一眼7|=；|即［一限用+|印|=1|尸F(xiàn)［-但P|)+由7|=-4+5=1.

故答案為：L

14,苴_

5

【分析】首先根據(jù)題意，利用向量變形得［歷+，卮=-;而，如圖在'月上取一點M,使

得忸M：M&|=5：3,連接^\1M=--1A,再結合內心的性質得到

2

S“典：邑/牝：$.如=3：4：5,然后在8中，由余弦定理得cos/A4g=|,在△,片月中,

由余弦定理cosABAF2=片=3即可求解.

2a5

【詳解】因為3而+疝+5國=6,

答案第111頁，共22頁

3一5—?1一

所以2"+-@=--IA,

882

如圖，在班上取一點跖使得忸叫:阿閭=5:3，

連接“，則而=」萬，

2

則點/為AM上靠近點M的三等分點，

所以&班電做電皿=3:4:5,

所以|/閭:忸7訃|/用=3:4:5,設M閭=3x，則忸閭=4x,|4B|=5x，

由橢圓定義可知：X引+出用+以8|=4"即12x=4a，

所以x=q,

3

所以。//2。口4，忸用=ga,|陰=1，@/巳憚。,

故點A與上頂點重合，

△ABF,,,,2522162

出「+同/_因砰a+a--a

在中，由余弦定理得：c°s”=—2四~］一=—2義5.

X鏟

在△/月與中，cos一典解得：￡=立，

22a25a5

所以橢圓離心率為1?

5

故答案為：昱.

5

答案第121頁，共22頁

【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：

（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得見c的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e

的值；

（2）齊次式法：由已知條件得出關于凡。的齊次方程，然后轉化為關于e的方程求解；

（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.

22

15.⑴二上=i

26

20

⑵了

【分析】（1）將點尸（2,幾）代入雙曲線C方程即可求解；

（2）寫出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，由弦長公式可得結果.

【詳解】（1）因為雙曲線的實軸長為2/，所以2a=2及，解得：a=也;

又因為點尸⑵迷）在雙曲線。上，所以=解得：b=&,

2b2

22

所以雙曲線的標準方程為：二一匕=1

26

（2）設尸。的2，%]

答案第131頁，共22頁

由題可得過點尸且斜率為2新的直線方程為：痛=2向x-2”即y=2向-3⑻

\2/_y7X2-24X+20=0

聯(lián)立2-不=1,消去可得：

y=2Kx-3A/6

2420

所以+%=—，xix2=~，

所以\PQ\=，1+左2口%+Z)2-4再七=Vl+24^yj-4xy=y

22

16.(l)(x-4)+(y-3)=10

(2)無=1或5%+12了-17=0

【分析】（1）先求線段N8垂直平分線的方程，與直線3x-4y=0聯(lián)立，得圓心坐標，再

求圓的半徑，可得圓c的標準方程.

（2）分所求直線的斜率存在和不存在，利用弦長和點到直線的距離公式求直線方程.

【詳解】（1）3=1=1,48的中點為Q⑸

AB3-1

48的垂直平分線方程為y_5=_lx（x_2），即y=-x+7，

將V=f+7聯(lián)立可得卜=4,即圓。的圓心坐標為。（4,3）.

[3x-4y=03=3

答案第141頁，共22頁

圓C的半徑為忸q="（3-4）2+（6-3）2=如,

所以圓C的標準方程為（》_對?+（丁-3）2=10-

（2）設圓心C到直線/的距離為“，由弦長公式得2JJ■二7=2A/H7=2,故d=3?

若直線/的斜率不存在，則x=l，此時圓心c（4,3）到直線/的距離為3,符合題意.

若直線/的斜率存在，則設直線/的方程為＞-1=依-左，即弱一了一人+1=0,

所以匕上皿=解得a=Q,則直線’的方程為Qx-y+”=0.

護工121212

故直線/的方程為x=l或5x+12y-17=0.

17.（1）證明見解析；（2）至I.

31

【分析】（1）取Be中點G,連接DG，先證明平面ABCD，然后以。為原點，DA

所在直線為x軸，OG所在直線為＞軸，DE所在直線為z軸建立空間直角坐標系，證明

而垂直平面48E的一個法向量即可；

（2）找出兩個面的法向量，利用夾角公式計算即可.

【詳解】⑴取go中點G,連接a；.

答案第151頁，共22頁

BG=-BC=1

2

???AD//BC>AD=\

.?.4D〃5G，，四邊形/BGD為平行四邊形

DGHAB

■：AD1AB

ADVDG

平面EDCF_L平面ABCD

四邊形EDCF為矩形EDLDC'平面EDCFC平面ABCD=DC

ED±平面ABCD

如圖，以。為原點，Z)/所在直線為x軸，QG所在直線為》軸，所在直線為z軸建立

空間直角坐標系

則/(1,0,0),2(120),￡(o,0,@,4一1,2,⑹，

屜=卜1,-2,6),方=(0,2,0)

設平面NBE的一個法向量為］=(x,y,z),

答案第161頁，共22頁

2y=0

不妨設工二百，y=0，貝Uz=l,

n=

又?.?麗=卜1,2,右）

/.DF-n=~\f3+VJ=0

/.DF_Ln

又；￡）月仁平面ABE

DFH平面ABE

（2）礪=卜1,-2,6）,5F=（-2,0,V3）

設平面BEF的一個法向量為=E，%zJ，

_&-2必+J^Z]=0

-2X]+A/^Z]=0

不妨設玉=26，則乂=百，Z[=4，

w=（273,73,4）-

設向量前與「的夾角為。，

貝卜"?〃=|m|-|w|-cos0

八73x2^/3+0x73+1x455同

COS“=/=__/=—7==----------

,函+同+42.'㈣Qof431

答案第171頁，共22頁

...平面ABE與平面EFB所成二面角的余弦值為也

31

【點睛】方法點睛：對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解

平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

【分析】(1)由條件求出圓心坐標，再結合弦長公式求出圓的半徑，由此可得圓的方程;

(2)①利用代點法求出點？的軌跡方程，②在直線斜率存在條件下利用設而不求法求點

N的坐標，檢驗斜率不存在時該點是否也滿足條件即可.

【詳解】(1)由題意可設圓C的圓心C的坐標為(1,4，；圓C的圓心C在直線

3x-y-3=0上，

，3-6-3=0，解得：6=0，即圓心為0,0)，

，圓心到直線/的距離為〃=2啦，設圓C的半徑為乙弦長為20■廬=2萬二i，

由已知2介一8=2

所以戶=9，所以圓C的標準方程為(x_02+y2=9；

(2)設T(x,y),O(x'力，則由=(x-x'j-y'),而=(-x,-y)，

由"=270得：卜-x'=-2x,所以卜'=3x

[y-y^-2y\y'=^>y

。在圓C上運動，(3x-l『+(3y)2=9,

答案第181頁，共22頁

整理可得點7的軌跡方程E為：,」；+y=1

當直線48J.X軸時，x軸平分

當直線斜率存在時，設直線N3的方程為^=左（》_1）,

聯(lián)立m+r=1化簡可得（""）'+〔一一2“卜+“T=°

y=左(％—1)

方程（1+左2卜2+1_g一2rJx+/一|=0的判另IJ式

A=1-2左-4(*2+l)^2-1^=y/l2+4>0

設N?,0），4（出必），3（孫%），

-+2k2k2--

x+x=3----=----------------9f

1?21+k2121+k2

若x軸平分/'即，則L+G=°,所以上—+上。=0,

$一t%2-t

又必=左（項一1），%=左（々-11

所以2再%2-（%+1乂石+超）+2/=0'

所以

2Y-+2k2

3

2t+1)+2f=0'

,7TF\+k2

所以《2