四川省自貢市某中學(xué)2025屆高三年級上冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

自貢一中高2025屆高三上期開學(xué)考試

數(shù)學(xué)試題

第一部分（選擇題共58分）

一、單選題（每道題目只有一個選項為正確答案，每題5分，共40分）

1.已知集合A={xeZ"x<3},叼巾―）},則AC5=（）

A{-1,0,1,2}B.（-1,3）C.{0,1,2}D.（-1,+<?）

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出集合A,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合3,再根據(jù)交集的定義計算可得；

【詳解】解:A={xeZ|-3<x<3}={-2,-1,0,1,2},

B=|x|y=ln（x+l）}={尤|龍）一1},

所以={0,1,2}；

故選：C

2.已知函數(shù)八％）的定義域為R,且對任意兩個不相等的實數(shù)都有（。―研/㈤―則不

等式/（3x—1）</（》+5）的解集為（）

A.（7,3）B,（3,+co）C.（-<?,2）D,（2,+?）

【答案】B

【解析】

【分析】由條件得到函數(shù)是單增的，然后把函數(shù)值的大小比較轉(zhuǎn)化為自變量大小比較，即可解得解集.

【詳解】任意兩個不相等的實數(shù)ah。

因為（a4）［/（，）一/（叫>0,

所以a—人與/（a）—異號，

故"％）是R上的減函數(shù)，

原不等式/（3x—1）</（1+5）等價于3x—1>%+5,

解得%>3,

故選：B.

3.已知〃尤)為二次函數(shù),fi/(x)=x2+/,(x)-l,則/(%)=()

A.x2-2x+lB.%2+2x+l

C.2X2-2X+1D.2X2+2X-1

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)/(%)=依2+云+0.彳0),根據(jù)已知條件可得出關(guān)于。、bc的方程組，解出這三個未知

數(shù)的值，即可得出函數(shù)/(%)的解析式.

【詳解】設(shè)/(x)=ov2+bx+c(aw0),則/'(%)=2ox+Z?,

由/(x)=f+/，(%)一1可得以?+區(qū)+。=九2+2or+(/?-1),

4=1a—\

所以，《b=2a,解得〈人=2,因止匕，/(X)=X2+2X+1.

c=b-lc=l

故選：B.

xy

4.若y〉°'A3k1,則小的最大值為(

1111

A.-B.—C.—D.—

9121620

【答案】C

【解析】

3x+y武的最大值.

【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得——^的最小值，即可得到

孫

【詳解】因為x>0,y〉0,x+3y=l,

3x+y31f31Yx3%3y國一方in,,

則------=—+—=—+-(x+3y)=——+—+10>2——x上+10=16,

孫yxNyx

3x3y1

當(dāng)且僅當(dāng)一=一時，即x=y=—時，等號成立；

yx4

盯J孫

所以。＜<—,即一—的最大值為

3x+y163x+y16

故選：c.

4Xx>Q

5.已知實數(shù)aWl,函數(shù)/'(%)=一，若/(I—a)=/(a—1),則。值為()

2,x<Q

11

A.-B.-

32

C.-D.-

48

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，結(jié)合分段條件分。<1和?！?兩種情況討論，即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)f(x)=I,,

',[2、<0

當(dāng)a<l時，41-a=21>即2?-2。=2]，解得。=,；

2

當(dāng)a>1時，4"T=2"一(?)，即=22fl_1,此時方程無解，

綜上可得，實數(shù)。的值為上.

2

故選：B.

6.已知函數(shù)〃x)=2f—Inx,若〃％)在區(qū)間(2加,加+1)上單調(diào)遞增，則加的取值范圍是()

"』]B.卜”

C.D.[0,1)

【答案】A

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為1;,+s],進(jìn)而可得出(2加，加+1)R[；,+OO],可得出關(guān)于實

數(shù)加的不等式組，由此可解得實數(shù)機的取值范圍.

【詳解】因為/(x)=2%2—Inx的定義域為(0,+8),/(x)=4x--,

X

由/'(x)>0,得4%——>0,解得x>—,所以“X)的遞增區(qū)間為5,+8)

%2

m+1>2m

所以1，解得機<1.

2m>—4

2

因此,實數(shù)機的取值范圍是-,1.

故選：A.

【點睛】方法點睛：利用函數(shù)/■(力在區(qū)間。上單調(diào)遞增求參數(shù)，可轉(zhuǎn)化為以下兩種類型:

(1)區(qū)間。為函數(shù)/(%)單調(diào)遞增區(qū)間的子集；

(2)對任意的xe。,/'(x"0恒成立.

同時也要注意區(qū)間左端點和右端點值的大小關(guān)系.

7.已知函數(shù)/(九)是定義在R上的偶函數(shù)，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，且/(—1)=0,則

(2工—l>/(x)〉0的解集為()

A.(-oo,-l)U(l,+oo)B.(-l,0)U(0,l)

C.(fD.(-l,0)U(l,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可得不等式的解集.

【詳解】?.?函數(shù)"X)是定義在R上的偶函數(shù)，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，且=

\f(x)在(—8,0)上單調(diào)遞減，且/⑴=0,

顯然x=0不是(2*-1)?/(x)〉0的解，故此不等式可轉(zhuǎn)化為：

'2r-l>0f2x-l<0

<.\c。小或4\c"八’

/(x)<O=/(-l)

解得：％>1或一l<x<0.

故選：D

【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力.

8.已知函數(shù)“DTogJf—2依+2),以下說法錯誤的是()

2

A.mawR使得了(%)的偶函數(shù)

B.若"％)的定義域為R,則行,拒)

C.若/(%)在區(qū)間(-<*』)上單調(diào)遞增，則

D.若/(x)的值域是(-8,2],則ae<—■，弓

【答案】C

【解析】

【分析】利用特殊值判斷A,當(dāng)2℃+2>0恒成立時函數(shù)的定義域為R，得到A<0,從而判斷B,

令g(x)=f—2雙+2,則g(x)在(-8,1)上單調(diào)遞減且大于0恒成立，求出參數(shù)。的值，即可判斷C,

由g(x).=[求出a,即可判斷D.

【詳解】對于A：令a=0,則/(力=1。8工(/+2),此時函數(shù)的定義域為R,

2

2

且"f)=logi(x+2)=/(x)；即/(x)=logA(V+2)為偶函數(shù)，故A正確；

22

對于B：因為/(%)的定義域為R,則V—2依+2>0恒成立，

即A=(-2a)2-4x2<0,解得—夜<a<&,即行,忘)，故B正確；

對于C：令g(x)=f—2依+2,因為>=l°g廣在定義域上單調(diào)遞減，

要使函數(shù)了(%)在區(qū)間(-8』)上單調(diào)遞增，則g(x)=￡-2依+2在(-8,1)上單調(diào)遞減且大于0恒成

立,

所以a>八\。a>l3

即《,解得l<a4—故C錯誤;

12-2?+2>02

對于D:因為函數(shù)“X)的值域是(—,2],所以“x)max=2=log

24

所以g(x)mm=；，即g(a)=—1+2=：,解得a=±YZ,即ae<一今,今，，故D正確;

442

故選：c

二、多選題(每道題目至少有兩個選項為正確答案，每題6分，共18分)

9.下列結(jié)論正確的有()

A.若〉/,貝I]B.若>62,貝|]

C.若ac2>bc?,則D.若貝ija>>

ab

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，判斷各選項的結(jié)論是否正確.

【詳解】若標(biāo)>獷，貝|/一分3=(4——,+<“+/2>0,

有a>〃，A選項正確；

若〃=—2力=0,滿足〃2>/，但，不成立，B選項錯誤；

若砒2>/7c2,則有片〉。，可得a>b,C選項正確；

若當(dāng)次?>0時，有D選項錯誤.

ab

故選：AC

|2'-l|,x<2

10.已知函數(shù)/(%)=3若方程/(x)—。=0有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值可能是

------,x>2

、％-1

()

,11

A.0B.—C.-D.1

23

【答案】BC

【解析】

【分析】作函數(shù)〃龍)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可解決.

\2x-l\,x<2

【詳解】由題知，函數(shù)/(%)=<3的圖象如下,

所以由圖知方程/(x)—a=0有三個不同的實數(shù)根時，0<。<1,

故選：BC

11.下列命題中是假命題的是()

A.命題："X/xe(0,+oo),〉x+1”的否定為：“上:G(fo,0],Vx<x+T'

B.設(shè)4=卜卜2+工—6<0},B={0,/n},且有四個子集，則實數(shù)m的取值范圍是(—3,2)

C.已知P：{尤|%=2左一1,左eZ},q-^x\x=6k+l,kGN},P是4的充分不必要條件

D.方程V+(a-3)x+a=0有一個正實根，一個負(fù)實根，則。<0

【答案】ABC

【解析】

【分析】A選項根據(jù)全稱命題的否定判斷即可；B選項根據(jù)集合的子集個數(shù)得到集合中元素的個數(shù)，然后

結(jié)合集合中元素的特征求加的范圍即可；C選項根據(jù)集合的含義判斷充分性和必要性即可；D選項根據(jù)根

的判別式和韋達(dá)定理列不等式求解即可.

【詳解】A選項：命題“Vxe(O,”)，?〉x+l”的否定為：“土武。，”)，?<x+l"，故A錯；

B選項：A=1x|-3<x<2},因為AcB有四個子集，所以AcB中有兩個元素，則且

m^O,即—3<7律<0,0<m<2,故B錯；

c選項：p表示所有奇數(shù)，q表示部分奇數(shù)，所以P是“的必要不充分條件，故c錯；

D選項：設(shè)方程得兩個根分別為%,%2,因為方程有一個正根，一個負(fù)根，所以

△二(a-3)2-4a〉0…

v')，解得avO,故D正確.

%々=。<0

故選：ABC.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題(每題5分，共15分)

12.已知函數(shù)/(%)=(病—是幕函數(shù)，則實數(shù)相的取值為.

【答案】0或2

【解析】

【分析】根據(jù)累函數(shù)的定義，建立方程，可得答案.

【詳解】由題意，可得病—2機+1=1，即7Mm—2)=0,解得機=0或2，

代入川2-根+1，則可得1或3,符合題意.

故答案為：0或2.

13.已知函數(shù)〃力=@*,若(⑴=2,則。=.

【答案】-1

【解析】

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用/'(1)=2列式求解即可.

【詳解】由〃力=@*得r(x)=Wfh因為/'(1)=1—0=2,所以a=—1.

XX

故答案為：-1

14.定義在R上的偶函數(shù)八％)滿足/(x—1)=/(%+1),且當(dāng)xe［—l,0］時，/(%)=%2,函數(shù)g(x)是

定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，g(x)=lgx,則函數(shù)/z(x)=/(x)—g(x)的零點的個數(shù)是

【答案】11

【解析】

【分析】分別分析“X)與g(目的性質(zhì)，從而作出函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=g(x)圖像，再觀察其交點個數(shù)

即可得解.

【詳解】因為/O(x+1),所以/(x)=/(x+2),則"處的周期為2,

又/(%)為偶函數(shù)，且當(dāng)1,0］時，又x)=f,

所以可利用/(x)的周期性與奇偶性作出/(%)的大致圖像,

因為g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)無>0時，g(x)=lgx,

所以函數(shù)y=/(X)與函數(shù)y=g(x)的大致圖像如圖所示，

考慮特殊位置，當(dāng)尤=—1時，/(-1)=1,g(-1)=-g(1)=-1g1=0;

當(dāng)x=9時，/(9)=/(l)=/(-l)=l,g(9)=lg9<l；

當(dāng)％=11時，/(ll)=/(l)=l,g(ll)=lgll>l；

又函數(shù)h(x)=/(x)-g(x)的零點個數(shù)即函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=g(x)圖像的交點個數(shù)，

所以由圖像可知函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=g(x)圖像的交點個數(shù)為11個.

故答案為：11.

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖

象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

四、解答題(共77分)

15已知全集。=11,集合A=[xeR[g<2x<2},集合3={xe叫0<(%+1)<"?求AcB,

AIJB,(^B)UA.

【答案】AnB={x|O<x<l},AU5={X[T?X<2},A={x|x<1或2}.

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可解出集合A,8,再根據(jù)集合的交并補運算即可得到答案.

【詳解】因為g<2'<2,即2T<2工<2、根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知—lVxKl，

則集合A={x|TW%Wl},0<log3(x+l)<l,gplog31<log3(x+1)<log33,

根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性知1W%+1<3,解得0<x<2,即3={乂0<%<2},

則4門6={1|0三芯工1},AUB={x|-l<x<2},={無<0或122},

（%3）。4=卜|工41或%?2}.

16.已知函數(shù)〃x）=^^是定義在（-U）上的函數(shù).

⑴判斷并證明函數(shù)“X）的奇偶性；

（2）判斷函數(shù)/（%）單調(diào)性，并用定義法證明；

【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析

（2）/（%）在（一1,1）上為單調(diào)遞增函數(shù)，證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)奇偶性的定義判斷和證明即可；

（2）根據(jù)單調(diào)性的定義判斷和證明即可.

【小問1詳解】

函數(shù)了（%）為奇函數(shù)

證明如下：函數(shù)無）的定義域為（—1,1），

x~+l

所以函數(shù)/（X）為奇函數(shù).

【小問2詳解】

/（%）在（—1』）上為單調(diào)遞增函數(shù)

證明如下：

設(shè)一1<尤

石/（X,-%1）（%1%,-1）

'-X；+l焉+1（X；+1）（X；+1）

因為一,

所以馬一番>0,-1<0,（X；+1）（%；+1）>0,

則/（石）<f（x2）.

故/（X）在（—1,1）上為單調(diào)遞增函數(shù).

17.已知函數(shù)〃x)=e*-2x

(1)求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)—a,xe[—1』恰有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍

【答案】(1)x+y-l=O.

(2)2—21n2<aVe—2.

【解析】

【分析】(1)求得f(x)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，即可得到所求切線方程；

(2)函數(shù)g(x)=/(x)-1』恰有2個零點轉(zhuǎn)化為兩個圖象的交點個數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合解題即可.

【詳解】(1)因為〃x)=e'—2x,所以廣(x)=e-2.

所以/'(O)=T.

又/⑼=L

所以曲線y="力在點(0,/⑼)處的切線方程為y-1=—羽

即x+y—1=0.(5分)

(2)由題意得，g[x)=Qx-2x-a,

所以g'(x)=e*—2.

由g'(x)=e*—2=0,解得x=ln2,

故當(dāng)—lWx<ln2時,g'(x)<0,g(x)在[―Un2)上單調(diào)遞減；

當(dāng)ln2<xWl時，g'(x)>0，g(x)在0n2,l]上單調(diào)遞增.

所以g(x)min=g(ln2)=2-21n2-a.

又g(-l)=e/2-a,=e—2—a,

若函數(shù)恰有兩個零點，

g(-1)=e-1+2-a>0,

貝ijg(l)=e-2-aNO,解得2—21n2<aWe—2.

g(ln2)=2-21rl2-a<0,

所以實數(shù)a的取值范圍為(2-21n2,e-2].

【點睛】本題考查函數(shù)零點問題.函數(shù)零點問題有兩種解決方法，一個是利用二分法求解，另一個是化原

函數(shù)為兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)的交點來求解.

18.通過技術(shù)創(chuàng)新，某公司的汽車特種玻璃已進(jìn)入歐洲市場.2021年，該種玻璃售價為25歐元/平方米，銷

售量為80萬平方米，銷售收入為2000萬歐元.

（1）據(jù)市場調(diào)查，若售價每提高1歐元/平方米，則銷售量將減少2萬平方米；要使銷售收入不低于2000

萬歐元，試問：該種玻璃的售價最多提高到多少歐元/平方米？

（2）為提高年銷售量，增加市場份額，公司將在2022年對該種玻璃實施二次技術(shù)創(chuàng)新和營銷策略改革：

提高價格到加歐元/平方米（其中相>25）,其中投入：（療-600）萬歐元作為技術(shù)創(chuàng)新費用，投入500萬

歐元作為固定宣傳費用，投入2機萬歐元作為浮動宣傳費用，試問：該種玻璃銷售量〃（單位/萬平方

米）至少達(dá)到多少時，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和？并求出此

時的售價.

【答案】（1）40（2）102萬平方米，售價為30歐元.

【解析】

【分析】（1）設(shè)該種玻璃的售價提高到x歐元/平方米，列不等式計算即可得；

（2）結(jié)合題意，列出不等式，借助基本不等式計算即可得.

【小問1詳解】

設(shè)該種玻璃的售價提高到x（x>25）歐元/平方米，

貝ij有［80-2（%-25）］%>2000,

解得：25<x<40,

所以該種玻璃的售價最多提高到40歐元/平方米.

【小問2詳解】

mn?2000500+2m+|(m2-600),

2—2,

整理得：mn?1500

3

除以用得：?身也

n-m+2,

m3

受勾匙空為+

由基本不等式得：n?2+2222=102,

m3m3

當(dāng)且僅當(dāng)照=3根，即和=30>25時，等號成立，

m3

所以該種玻璃的銷售量〃至少達(dá)到102萬平方米時，

才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和，

此時的售價為30歐元/平方米.

19.已知函數(shù)+(a-2)e"-X

(1)討論"％)的單調(diào)性；

(2)若/(%)有兩個零點，求。的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2)(0,1).

【解析】

【詳解】試題分析：(1)討論/(%)單調(diào)性，首先進(jìn)行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點后要及時進(jìn)行因式分解，再對。

按aWO,a>0進(jìn)行討論，寫出單調(diào)區(qū)間；(2)根據(jù)第(1)問，若aWO,/(x)至多有一個零點.若。>0,

當(dāng)x=—Ina時，/(幻取得最小值，求出最小值/(—lna)=l—l+lna,根據(jù)。=1,ae(l,+s),ae(0,l)

a

進(jìn)行討論，可知當(dāng)，￡(0,1)時有2個零點.易知了(%)在(-8,-Ina)有一個零點；設(shè)正整數(shù)%