遼寧省朝陽市普通高中高三第三次模擬考試數(shù)學（理）試題

第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A．B．C．D．2．已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則為（）A．2B．C．D．13．某商場對一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進行統(tǒng)計得到如圖所示的樣本莖葉圖，則該樣本的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．46,45B．45,46C．46,47D．47,454．若在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，則“直線與圓相交”的概率為（）A．B．C．D．5．《九章算術(shù)》中有“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則該竹子的容積為（）A．升B．升C．升D．升6．已知是兩個不同的平面，是一條直線，給出下列說法：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.其中說法正確的個數(shù)為（）A．3B．2C．1D．07．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的（）A．6B．5C．4D．38．已知函數(shù)，，且在區(qū)間上有最小值，無最大值，則的值為（）A. B.C.D.9．已知點是拋物線：上的一點，是其焦點，定點，則的外接圓的面積為（）A．B．C．D．10．在的二項展開式中，各項系數(shù)之和為，二項式系數(shù)之和為，若，則二項展開式中常數(shù)項的值為（）A．6B．9C．12D．1811．已知點為雙曲線右支上一點，分別為雙曲線的左、右焦點，為的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若（分別表示的面積）恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．12．已知是定義在區(qū)間上的函數(shù)，是的導函數(shù)，且，，則不等式的解集是（）A．B．C．D．二、填空題（每題4分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．已知向量與的夾角為，，，則.14．若，則.15．已知實數(shù)滿足不等式組，則的最大值是.16．如圖，在正方體中，分別為棱，的中點，則直線與所成角的余弦值為.三、解答題（本大題共6題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．已知數(shù)列的前項和為，且成等差數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列中去掉數(shù)列的項后余下的項按原順序組成數(shù)列，求的值.18．今年，樓市火爆，特別是一線城市，某一線城市采取“限價房”搖號制度，客戶以家庭為單位進行抽簽，若有套房源，則設置個中獎簽，客戶抽到中獎簽視為中簽，中簽家庭可以在指定小區(qū)提供的房源中隨機抽取一個房號，現(xiàn)共有20戶家庭去抽取6套房源.（1）求每個家庭中簽的概率；（2）已知甲、乙兩個友好家庭均已中簽，并共同前往某指定小區(qū)抽取房號.目前該小區(qū)剩余房源有某單元27、28兩個樓層共6套房，其中，第27層有2套房，第28層有4套房.記甲、乙兩個家庭抽取到第28層的房源套數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.19．如圖，在中，，是的中點，是線段上的一點，且，，將沿折起使得二面角是直二面角.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正切值.20．如圖，橢圓經(jīng)過點，且點到橢圓的兩焦點的距離之和為.（1）求橢圓的標準方程；（2）若是橢圓上的兩個點，線段的中垂線的斜率為且直線與交于點，為坐標原點，求證：三點共線.21．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上無零點，求實數(shù)的取值范圍.請考生在22、23二題中任選一題作答，如果都做，則按所做的第一題記分.22．選修44：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點的極坐標是.（1）求直線的普通方程；（2）求直線上的點到點距離最小時的點的直角坐標.23．選修45：不等式選講已知函數(shù).（1）若，解不等式；（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.數(shù)學（理科）參考答案 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．題號123456789101112答案CCACDCCDBBAD二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上.13．614．15．1216．三、解答題：本大題共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．解：(Ⅰ)因為成等差數(shù)列，所以，①所以②①②，得，所以又當時，，所以，所以，故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即.（2）據(jù)（1）求解知，，，所以，所以數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列又因為，所以.18．(Ⅰ)因為共有20戶家庭去抽取6套房源且每個家庭中簽的概率都是相同的，所以每個家庭能中簽的概率.（2）據(jù)題意知，的所有可能取值是0，1，2，，的分布列為的數(shù)學期望.19．解：(Ⅰ)因為，所以又，，所以又因為所以是的斜邊上的中線，所以是的中線，所以是的中點，又因為是的中位線，所以又因為平面，平面，所以平面.（Ⅱ）據(jù)題設分析知，兩兩互相垂直，以為原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：因為，且分別是的中點，所以，所以有點，所以，設平面的一個法向量為，則即，所以令，則設直線與平面所成角的大小為，則.又，所以，所以.故直線與平面所成角的正切值為.20.解：(Ⅰ)因為點到橢圓的兩焦點的距離之和為，所以，解得又橢圓經(jīng)過點，所以，所以所以橢圓的標準方程為.(Ⅱ)證明：因為線段的中垂線的斜率為，所以直線的斜率為，所以可設直線的方程為據(jù)得設點，所以，所以.因為，所以所以點在直線上，又點也在直線上，所以三點共線.21．解：(1)函數(shù)的定義域為，討論：當時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，滿足題設；當時，令，得；令，得,所以此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，綜上，實數(shù)的最小值是.（2）由，得設，則“函數(shù)在區(qū)間上無零點”等價于“函數(shù)與的圖象在上沒有公共點”討論：當時，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)在上也是單調(diào)遞增函數(shù)，作出函數(shù)與函數(shù)滿足題意的草圖（草圖可能有兩種情況）如下：圖1圖2（i）如圖1，，即，解得；（ii）如圖2，對任意恒成立又當時，，所以，解得又，得綜上，或；當時，符合題意；當時，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，作出函數(shù)與函數(shù)滿足題意的草圖如下：觀察圖象可知符合題意.綜上，