新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)習(xí)題課三角恒等變換及應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案

習(xí)題課三角恒等變換及應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】進(jìn)一步熟練掌握兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式以及半角公式、輔助角公式的正用、逆用、變用．題型1靈活變角例1(1)已知sin(π6＋α)＝13，求cos((2)已知0<β<π2<α<π，且cos(α－β2)＝－19，sin(α學(xué)霸筆記：用已知角來表示未知的角，再利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式展開，進(jìn)而解決此類問題．跟蹤訓(xùn)練1(1)若cos(π6－α)＝23，則cos((2)已知π4<α<3π4，0<β<π4，且sin(π4－α)＝－3題型2公式的逆用與變形應(yīng)用例2(1)求值：(3cos10°－1(2)化簡(jiǎn)：sin2x1-cosx1+cosx＋cos學(xué)霸筆記：(1)觀察三角函數(shù)式的名稱和結(jié)構(gòu)，靈活對(duì)公式進(jìn)行正用、逆用和變用．(2)本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”“變換式子結(jié)構(gòu)”“變量集中”等原則，設(shè)法消除差異，從而達(dá)到目的．跟蹤訓(xùn)練2(1)求值：sin10(2)化簡(jiǎn)：1+sin題型3三角恒等變換與三角函數(shù)例3已知函數(shù)f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos4x－sin4x－1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當(dāng)x∈[0，π6學(xué)霸筆記：解決此類問題時(shí)要充分運(yùn)用兩角和與差的公式、二倍角公式、輔助角公式消除差異，減少角的種類和函數(shù)式的項(xiàng)數(shù)，方便討論三角函數(shù)的性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)＝23sinx2·cosx2＋sin2x2－cos(1)求函數(shù)f(x)取最大值時(shí)x的取值集合；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[π4隨堂練習(xí)1.若0<α<β<π4A．a(chǎn)<bB．a(chǎn)>bC．a(chǎn)b<1D．a(chǎn)b>22．若1-tanαA．－35B．C．－45D．3．已知sin(2π3－α)＋sinα＝43A．－235C．－45D．4.3sin10°課堂小結(jié)1.利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式及其變形進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)．2．三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合問題．習(xí)題課三角恒等變換及應(yīng)用例1解析：(1)由于sin(π6＋α)＝1所以cos2(π6＋α)＝1－2sin2(π6＋α)＝又2π3－2α＋2(π6∴cos(2π3－2α)＝－cos2(π6＋α(2)因?yàn)?<β<π2<α所以－π4<α2－β<π2，π所以cos(α2－β)＝1-sinsin(α－β2)＝1-cos所以cosα+β2＝cos[(α－β2)－(＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α＝-19×所以cos(α＋β)＝2cos2α+β2－1＝2×49跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)由cos(5π3＋2α)＝cos[2π－2(π6－α)]＝cos(π3－2α)＝2cos2(π6－α(2)因?yàn)棣?<α<3π4，0<β所以－π2<π4－α<0，π4<π4＋又sin(π4－α)＝－35，sin(π4＋β所以cos(π4－α)＝45，cos(π4＋β所以cosα＝cos[π4－(π4－＝22cos(π4－α)＋22sin(π＝22×4sin(α＋β)＝sin[(π4＋β)－(π4－＝sin(π4＋β)cos(π4－α)－cos(π4＋β)sin(π＝513×4答案：(1)－19(2)例2解析：(1)原式＝(3cos10°＝(3sin10°＝2sin10°＝－4·3232(2)x∈[－π4，0]，x2∈[－π8，0]，cosx2>0，sincosx2－sinx2>0，cosx2＋sinx2＝x2+π4∈[π8，π4]，所以cosf(x)＝sin2x1-cosx1+＝sin2x1-cos2xcos＝sin2x2sin2x2＝－sin2x·sinx2cosx2＝－sin2x·sin2cos2x·cos＝－sin2x·sin2x212＝－2sinx·1-cosx2＋cosx·(1－sinx)＝cos跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)sin10°1-3tan10°＝sin10°1-(2)原式＝sin2θ＝sinθcosθ+sin例3解析：(1)∵f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos4x－sin4x－1＝1＋sin2x＋(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－1＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π4∴f(x)的最小正周期T＝2π(2)由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2k得－3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ，k所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－3π8＋kπ，π8＋kπ]，k(3)∵0≤x≤π6，∴π4≤2x＋當(dāng)2x＋π4＝π2，即x＝π8時(shí)，f(x)max＝2sinπ當(dāng)2x＋π4＝π4，即x＝0時(shí)，f(x)min＝2sin跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)函數(shù)f(x)＝23sinx2·cosx2＋sin2x2－cos2x2＝3sinx－cosx＝2sin(當(dāng)f(x)取最大值時(shí)，sin(x－π6此時(shí)滿足x－π6＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝2π3＋2kπ，所以f(x)取最大值時(shí)x的取值集合為{x|x＝2π3＋2kπ，k∈(2)由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2k得－π3＋2kπ≤x≤2π3＋2kπ，k所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[－π3＋2kπ，2π3＋2kπ](k當(dāng)k＝0時(shí)，[－π3，2π3因?yàn)棣?∈[－π3，2π3]，所以[π4因此，實(shí)數(shù)m的最大值為2π[隨堂練習(xí)]1．解析：因?yàn)閍＝2sin(α＋π4)，b＝2sin(β＋π4)．又π4<α＋π4<β＋π4<π答案：A2．解析：由1-tanα-π41+tanα所以tanα＝tan(π4＋α－π4)＝tanπ所以cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α-sin2答案：A3．解析：因?yàn)閟in(2π3－α)＋sinα＝sin2π3cosα－cos2π3sinα＋sinα＝32cosα＋12sinα＋sinα