數(shù)值分析 課件ch7-數(shù)值積分與微分

數(shù)值積分與微分07Chapter7.1引言7.1引言

——Riemann積分積分的概念

即7.1引言黎曼是世界數(shù)學(xué)史上最具獨(dú)創(chuàng)精神的數(shù)學(xué)家之一,著作不多，卻異常深刻，富于對(duì)概念的創(chuàng)造與想象，思想極其深邃難以理解。許多奠基性、創(chuàng)造性的工作，直接影響了19世紀(jì)以后的數(shù)學(xué)發(fā)展，在黎曼思想的影響下數(shù)學(xué)許多分支取得了輝煌成就?！隼杪鼛缀?、流形、微分流形、橢圓幾何的創(chuàng)始人愛因斯坦用黎曼幾何將廣義相對(duì)論幾何化。黎曼幾何是現(xiàn)代理論物理必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)?！鐾晟莆⒎e分理論的出杰人物之一

■解析數(shù)論、與復(fù)變函數(shù)的里程碑■組合拓?fù)涞拈_拓者■代數(shù)幾何的奠基人

■在數(shù)學(xué)物理、微分方程等領(lǐng)域貢獻(xiàn)卓著7.1引言根據(jù)定義計(jì)算

積分的計(jì)算Riemann積分從定義上基本不可算

Newton-Leibniz公式求定積分的值,Newton-Leibnitz公式無論在理論上還是在解決實(shí)際問題上都起了很大作用，但它并不能完全解決定積分的計(jì)算問題7.1引言N-L公式的局限性積分學(xué)涉及的實(shí)際問題極為廣泛，而且極其復(fù)雜，在實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常遇到以下三種情況：1.被積函數(shù)有原函數(shù)，但形式復(fù)雜難解

2.找不到原函數(shù)

7.1引言希望研究一種新的積分方法來解決N-L公式所不能或很難解決的積分問題數(shù)值積分方法

7.1引言

左矩形公式

右矩形公式中矩形公式梯形公式

Simpson公式

7.1引言

求積系數(shù)求積節(jié)點(diǎn)值機(jī)械求積公式求積節(jié)點(diǎn)

為截?cái)嗾`差,又稱求積余項(xiàng).7.1引言數(shù)值積分方法是近似方法近似程度(精度)代數(shù)精度考慮如何衡量代數(shù)精度

如果

但

7.1引言

考查

如果

則

一般，如果

則7.1引言

即

因此，判斷代數(shù)精度只需用最簡(jiǎn)多項(xiàng)式

7.1引言代數(shù)精度

7.1引言

所以梯形公式具有1次代數(shù)精度

7.1引言

所以Simpson公式具有3次代數(shù)精度

7.1引言

具有三階的代數(shù)精度7.1引言

為插值型求積公式插值型求積公式

4.1引言

證:充分性

必要性所以該求積公式為插值型。

7.2Newton-Cotes公式7.2Newton-cotes公式Cotes系數(shù)

7.2Newton-cotes公式

Cotes系數(shù)

Newton-Cotes公式7.2Newton-cotes公式Cotes系數(shù)

Simpson求積公式

梯形公式

Cotes求積公式4.2Newton-cotes公式

7.2Newton-cotes公式

數(shù)值積分的誤差分析

7.2Newton-cotes公式以梯形公式誤差為例

7.2Newton-cotes公式

梯形公式Simpson公式

Cotes公式

7.2Newton-cotes公式

如何改進(jìn)復(fù)化求積法復(fù)化求積法第一步：等分區(qū)間：

第三步：求和

7.2Newton-cotes公式

7.2Newton-cotes公式復(fù)化求積公式的誤差復(fù)化梯形公式為

則

7.2Newton-cotes公式同理，復(fù)化Simpson和復(fù)化Cotes公式的誤差分別為

復(fù)化梯形、復(fù)化Simpson和復(fù)化Cotes公式分別具有二階、四階和六階收斂精度。7.2Newton-cotes公式

7.3Romberg算法7.3Romberg算法考察復(fù)化梯形公式

二分前的步長(zhǎng)

7.3Romberg算法

可以得到兩個(gè)結(jié)果結(jié)果一:

區(qū)間二分后的誤差是二分前后差值的三分之一結(jié)果二：

加速公式7.3Romberg算法

令

即

則

7.3Romberg算法考察復(fù)化Simpson公式

可以驗(yàn)證得

7.3Romberg算法考察復(fù)化Cotes公式

記

稱Romberg公式7.3Romberg算法Romberg算法計(jì)算步驟

1.梯形公式2.變步長(zhǎng)梯形公式3.加速公式

（1）二分前的步長(zhǎng)（2）二分前的區(qū)間中值

二分點(diǎn)7.3Romberg算法解：

因此

例7.3.1：計(jì)算

對(duì)照值

7.3Romberg算法

7.3Romberg算法例7.3.2：用Romberg算法計(jì)算

0***1**2*3

7.4Gauss公式7.4Gauss公式

定義：如果適當(dāng)選取求積公式

Gauss點(diǎn)

7.4Gauss公式Gauss點(diǎn)

定義

Gauss定理：對(duì)于插值型求積公式

即

7.4Gauss公式Gauss-Legendre公式回顧：Legendre多項(xiàng)式

n=3時(shí)

n=2時(shí)n=1時(shí)

見P587.4Gauss公式Legendre多項(xiàng)式的兩個(gè)重要結(jié)論

（1）

（2）

且

則Gauss-Legendre公式7.4Gauss公式Gauss-Legendre公式

例如取

利用兩個(gè)Gauss點(diǎn)構(gòu)造求積公式：代入求積公式

又因?yàn)橛?次代數(shù)精度（n=1)所以

即7.4Gauss公式兩點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式因此

類似可得三點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式

7.4Gauss公式解：（1）

7.4Gauss公式

7.4Gauss公式得Gauss點(diǎn)

根據(jù)代數(shù)精度得

即

7.4Gauss公式7.4Gauss公式梯形和Simpson求積公式低精度的方法,但對(duì)于光滑性較差的被積函教有時(shí)效果比用高精度的方法還好,再加上公式簡(jiǎn)單,因而使用非常廣泛.特別在計(jì)算上,復(fù)化的梯形公式和Simpson公式便于采用逐次分半的方法,計(jì)算程序十分簡(jiǎn)單Romberg求積方法算法簡(jiǎn)單,程序也便于實(shí)現(xiàn),且當(dāng)節(jié)點(diǎn)加密時(shí),前面的計(jì)算結(jié)果直接參與后面的計(jì)算,因而大大減少了計(jì)算量.此方法的一個(gè)最大缺點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)的增加是成倍的。Gauss型求枳公式最高代數(shù)精度的求積方法,但它的節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)都沒有規(guī)律,當(dāng)節(jié)點(diǎn)增加時(shí),前面的計(jì)算結(jié)果不能被利用,只能重新計(jì)算。它的最大優(yōu)點(diǎn)是適用于某些無窮區(qū)間上的廣義積分的計(jì)算。7.5數(shù)值微分7.5數(shù)值微分

關(guān)于微分的計(jì)算通過微分法則基本可以得到任意可微初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),但對(duì)于列表函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)通常使用數(shù)值微分。

微分的數(shù)值運(yùn)算大多應(yīng)用于微分方程的離散化。

即將微分方程轉(zhuǎn)化為離散點(diǎn)上的代數(shù)方程.7.5數(shù)值微分插值函數(shù)數(shù)值微分法

思想方法：以插值多項(xiàng)式近似代替函數(shù)，以插值多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值近似代替函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值。推導(dǎo)公式：用此方法求微商，可以先求出插值多項(xiàng)式，然后各點(diǎn)上的微商就可以同時(shí)求出。

7.5數(shù)值微分

常用的數(shù)值微分公式

一階微商的兩點(diǎn)公式一階微商的三點(diǎn)公式

7.5數(shù)值微分一階微商的五點(diǎn)公式三點(diǎn)公式與五點(diǎn)公式中有中點(diǎn)項(xiàng)。由于中點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值的表達(dá)式中不含有中點(diǎn)的函數(shù)值項(xiàng)，且函數(shù)值項(xiàng)的系數(shù)不大，因此選取節(jié)點(diǎn)的方法：在考察的節(jié)點(diǎn)兩側(cè)選取。中點(diǎn)微分公式精度較高。實(shí)際應(yīng)用中,多利用中點(diǎn)微分公式。用五點(diǎn)公式求數(shù)值導(dǎo)數(shù),其精確度高于三點(diǎn)公式(同階導(dǎo)數(shù))。7.5數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分在常微分方程離散化的應(yīng)用例

記

7.5數(shù)值微分整理得

即有其中事實(shí)上，本方程的解析解為

7.5數(shù)值微分解析解近似解h=(b-a)/10近似解h=(b-a)/20誤差h=(b-a)/10誤差h=(b-a)/20u11.45521.49741.47690.04220.0217u21.90331.98251.94410.07920.0408u32.33842.44762.39460.10920.0562u42.75552.88612.82270.13060.0672u53.1510