七年級數(shù)學下冊同步學與練（蘇科版）-專題02 三角形（五種模型）專項訓練（原卷版）

專題02三角形（五種模型）專項訓練題型一：“8”字模型題型二：飛鏢模型題型三：“A”字模型題型四：“老鷹捉小雞”模型題型五：（雙）角平分線模型題型一、“8”字模型三角形三個內角的和等于180°對頂角相等一．填空題（共6小題）1．（2022春?江都區(qū)月考）如圖所示，，則的度數(shù)為．2．（2022春?東臺市月考）的度數(shù)．3．（2022春?漣水縣校級月考）如圖，的度數(shù)為4．（2022春?宜興市校級月考）如圖，．5．（2022春?蘇州月考）如圖，．6．（2023春?廣陵區(qū)期中）如圖所示，求度．二．解答題（共2小題）7．（2022春?靖江市校級月考）已知，如圖，線段、相交于點，連結、，和的平分線和相交于點．試問與、之間存在著怎樣的數(shù)量關系，請說明理由．8．（2023春?靖江市期末）小明在學習過程中，對一個問題做如下探究．如圖，在中，射線交于點，點是線段上的任意一點，過點作交直線于點，直線與射線交于點．（1）如圖1，若，，，，則；（2）如圖2，若，，，則；（3）如圖3，若，，則探索與之間的數(shù)量關系，并說明理由．（4）如圖4，在（3）的條件下，若點在線段上運動（此時在外部），或在線段的延長線運動（此時在內部），請在備用圖中選擇其中的一種情況畫出示意圖，探索與之間的數(shù)量關系，并說明理由．題型二、飛鏢模型三角形三個內角的和等于180°三角形的外角等子與它不相鄰的兩個內角的和.一．選擇題（共2小題）1．（2021春?鹽湖區(qū)校級期末）如圖，，，，的度數(shù)是A． B． C． D．2．（2020春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，中，，為延長線上的一點，于點，，則為A． B． C． D．二．填空題（共1小題）3．（2023春?高新區(qū)校級期中）如圖，作于點，與相交于點，若，，則，．三．解答題（共4小題）4．（2022春?衡山縣期末）中，，點、分別是邊、上的點，點是一動點．令，，．（1）若點在線段上，如圖（1）所示，且，則；（2）若點在線段上運動，如圖（2）所示，則、、之間的關系為；（3）若點運動到邊的延長線上，如圖（3）所示，則、、之間有何關系？猜想并說明理由；（4）若點運動到形外，如圖（4）所示，則、、之間有何關系？猜想并說明理由．5．（2022春?樂平市期末）在中，兩條高、所在的直線相交于點．（1）當為銳角時，如圖1，求證：．（2）當為鈍角時，如圖2，請在圖2中畫出相應的圖形（用三角尺），并回答（1）中結論是否成立？不需證明．6．（2021秋?安寧市校級期中）如圖，求證：．7．（2020春?錫山區(qū)期中）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究與、、之間的關系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點、，若，則；②如圖3，平分，平分，若，，求的度數(shù)；③如圖4，，的10等分線相交于點、、，若，，求的度數(shù)．題型三、“A”字模型三角形三個內角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內角的和.一．選擇題（共1小題）1．（2023春?吳江區(qū)月考）已知如圖，為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則等于A． B． C． D．二．填空題（共4小題）2．（2023春?常熟市期末）如圖，在中，點、分別是，的中點，若的面積為2，則四邊形的面積是．3．（2023春?天寧區(qū)校級期中）如圖，在中，，和的平分線交于點，得，和的平分線交于點，得，，和的平分線交于點，得，和的平分線交于點，得，則度．4．（2023春?江陰市期中）如圖所示，中，、為，上的兩點，且，，若面積為30，則四邊形的面積為．5．（2023春?南京期末）如圖，四邊形中，與的角平分線相交于點，若，，則．三．解答題（共3小題）6．（2023春?丹陽市校級期末）【問題背景】中，是角平分線，點是邊上的一動點．【初步探索】如圖1，當點與點重合時，的平分線交于點．（1）若，，則；（2）若，則；（用含的代數(shù)式表示）【變式拓展】當點與點不重合時，連接，設，．（1）如圖2，的平分線交于點．①當，時，；②用、的代數(shù)式表示；（2）如圖3，的平分線與相交于點，與的平分線所在的直線相交于點（點與點不重合），直接寫出點在不同位置時與之間的數(shù)量關系．（用含、的代數(shù)式表示）7．（2023春?南京期末）如圖，、、、是邊上的點，，．求證：．8．（2023春?南京期中）如圖，在和中，．點與位于線段所在直線的兩側，分別延長、至點、．【特殊化思考】若時，請嘗試探究：（1）當在內部時，請直接寫出、與的數(shù)量關系為；（2）當在外部時，請直接寫出、與的數(shù)量關系為；（3）若平分，平分．無論點在內部（如圖③還是外部（如圖④時，都有，請選擇一幅圖進行證明；說明：選擇圖③證明得3分，選擇圖④證明得4分．【一般化探究】若時，請嘗試探究：（4）若射線、分別是，的等分線為大于2的正整數(shù)），且，．當時，直接寫出與需滿足的條件：．

題型四、“老鷹捉小雞”模型三角形三個內角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內角的和.一．選擇題（共4小題）1．（2023春?濱湖區(qū)期中）如圖，把紙片沿折疊，當落在四邊形內時，則與之間有始終不變的關系是A． B． C． D．2．（2023春?巨野縣期末）如圖，在三角形紙片中，，，將紙片的一角折疊，使點落在外，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．3．（2023春?定陶區(qū)期末）如圖，把三角形紙片沿折疊，當點落在四邊形外部時，則與、之間的數(shù)量關系是A． B． C． D．4．（2023秋?紹興期中）如圖，將一張三角形紙片的一角折疊，使點落在外的處，折痕為．如果，，，那么下列式子中正確的是A． B． C． D．二．填空題（共1小題）5．（2023春?東方校級月考）三角形紙片中，，，將紙片的一角折疊，使點落在內（如圖），則的度數(shù)為度．三．解答題（共1小題）6．（2023春?襄汾縣期末）如圖，在中，，比大．點是線段上任意一點，點、分別在線段、上．將折疊，點落在點處，點落在點處，折痕分別為和，點、都在射線上．（1），，．（2）如圖1，當點、都落在的延長線上時，與有什么數(shù)量關系？請說明理由．（3）如圖2，當點落在線段上，點落在的延長線時，請直接寫出與的數(shù)量關系．

題型五、（雙）角平分線模型1.雙內角平分線2.雙外角平分線3.內角平分線+外角平分線三角形三個內角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內角的和.一．選擇題（共1小題）1．（2023?惠陽區(qū)校級開學）如圖，中，，，、的平分線、交于點．過點作，分別交、于點、，則的周長為A．12 B．13 C．14 D．15二．填空題（共1小題）2．（2023春?揭東區(qū)月考）如圖，在中，和的平分線交于點，若，則．三．解答題（共8小題）3．（2023春?上蔡縣期末）問題情境：如圖1，中，平分，平分．（1）探索發(fā)現(xiàn)：若，則的度數(shù)為；若，則的度數(shù)為．（2）猜想證明：試判斷與的關系，并說明理由．（3）結論應用：如圖2，在四邊形中，平分，且與四邊形的外角的平分線交于點．若，，則的度數(shù)為．4．（2023春?德化縣期末）如圖，在四邊形中，，分別平分和，與相交于點，延長，交于點．（1）已知，求的度數(shù)；（2）若，，，試探究，，三者之間的等量關系．5．（2023春?南京期末）【初步認識】（1）如圖①，在中，，分別平分，．求證：；【繼續(xù)探索】（2）如圖②，在中，平分，平分外角．求證：；（3）如圖③，、分別平分外角，．則與的數(shù)量關系是；（4）如圖④，中的兩內角平分線交于點，兩外角平分線交于點，一內角平分線與一外角平分線交于點．設，，，則，，之間的關系是．6．（2023春?邗江區(qū)校級期末）如圖1，的外角平分線、交于點．（1）若，則的度數(shù)為．（2）過點作直線，交射線，于點、，并將直線繞點轉動．①如圖2，當直線與線段沒有交點時，若設，，試探索與，之間滿足的數(shù)量關系，并說明理由；②當直線與線段有交點時，試問①中與，之間的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出三者之間滿足的數(shù)量關系．7．（2023春?商水縣期末）【基本模型】（1）如圖1，在中，平分，平分外角，試說明．【變式應用】（2）如圖2，，，分別是射線，上的兩個動點，與的平分線的交點為，則點，的運動的過程中，的大小是否會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理由．【拓展應用】（3）如圖3，，作的平分線，是射線上的一定點，是直線上的任意一點（不與點重合），連接，設的平分線與的鄰補角的平分線的交點為，請直接寫出的度數(shù)．8．（2023春?鄒平市期末）如圖，在中，的平分線與的平分線交于點，求證：．9．（2023春?高港區(qū)期中）如圖，已知，，兩點分別是、上的兩動點，，分別平分和，射線的反向延長線與射線相交于點．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，作的角平分線交射線于點，求的度數(shù)；（3）如圖3，、為線段和上的兩定點，若將沿翻折，點對應點在的內部，且滿足，，請求出與，的