正方形存在性問題-2024年中考數(shù)學二次函數(shù)壓軸題

專題13正方形存在性問題

一、知識導航

作為特殊四邊形中最特殊的一位，正方形擁有更多的性質(zhì)，因此坐標系中的正方形存在性問題變化更加多

樣，從判定的角度來說，可以有如下：

(1)有一個角為直角的菱形；

(2)有一組鄰邊相等的矩形；

(3)對角線互相垂直平分且相等的四邊形.

依據(jù)題目給定的已知條件選擇恰當?shù)呐卸ǚ椒ǎ纯纱_定所求的點坐標.

從未知量的角度來說，正方形可以有4個“未知量”，因其點坐標滿足4個等量關(guān)系，考慮對角線性質(zhì)，互相

平分(2個)垂直(1個)且相等(1個).

比如在平面中若已知兩個定點，可以在平面中確定另外兩個點使得它們構(gòu)成正方形，而如果要求在某條線

上確定點，則可能會出現(xiàn)不存在的情況，即我們所說的未知量小于方程個數(shù)，可能無解.

從動點角度來說，關(guān)于正方形存在性問題可分為：

(1)2個定點+2個全動點；

(2)1個定點+2個半動點+1個全動點；

甚至可以有：(3)4個半動點.

不管是哪一種類型，要明確的是一點，我們肯定不會列一個四元一次方程組求點坐標！

常用處理方法：

思路1:從判定出發(fā)

若已知菱形，則加有一個角為直角或?qū)蔷€相等；

若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；

若已知對角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件.

思路2:構(gòu)造三垂直全等

若條件并未給關(guān)于四邊形及對角線的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個頂點中任取3個，必是等腰直甭

三角形，若已知兩定點，則可通過構(gòu)造三垂直全等來求得第3個點，再求第4個點.

總結(jié)：構(gòu)造三垂直全等的思路僅適合已知兩定點的情形，若題目給了4個動點，則考慮從矩形的判定出發(fā),

觀察該四邊形是否已為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關(guān)系.

正方形的存在性問題在中考中出現(xiàn)得并不多，正方形多以小題壓軸為主.

二、典例精析

例：在平面直角坐標系中，A(1,1),B(4,3),在平面中求C、。使得以A、B、C,。為頂點的四邊形是正

方形.

A

y

.B

A

*

如圖，一共6個這樣的點C使得以A、B、C為頂點的三角形是等腰直角三南形.

至于具體求點坐標，以G為例，構(gòu)造9,即可求得G坐標.至于像C5、Cf這兩個點的坐標,

不難發(fā)現(xiàn)，C5是AC3或BG的中點,Cf是BC?或AC,的中點.

題無定法，具體問題還需具體分析,如上僅僅是大致思路.

三、中考真題演練

1.(2023?湖南?中考真題)我們約定：若關(guān)于尤的二次函數(shù)％=。4+R天+9與丫2=。2*2+4苫+02同時滿足

G+(d+4)2+h-4I=。3一么)2儂*0,則稱函數(shù)M與函數(shù)丫2互為“美美與共”函數(shù).根據(jù)該約定，解

答下列問題:

⑴若關(guān)于尤的二次函數(shù)％=2/+日+3與%=7加+X+〃互為“美美與共”函數(shù)，求左，7找，〃的值;

(3)在同一平面直角坐標系中，若關(guān)于x的二次函數(shù)％=渡+匕尤+c與它的“美美與共”函數(shù)出的圖像頂點分

別為點A,點8,函數(shù)為的圖像與x軸交于不同兩點C,函數(shù)內(nèi)的圖像與x軸交于不同兩點E,足當CD=

時，以A,B,C,。為頂點的四邊形能否為正方形？若能，求出該正方形面積的取值范圍；若不請說明理

由.

【詳解】(1)解：由題意可知：%=。2，ai=cv瓦=-b2中0,

m—3,n—2,k——1.

答：人的值為T,比的值為3,w的值為2.

2

(3)解：由題意可知％=依2+bx+c,y2=cx-bx+a,

.(b4ac-b2b4ac-b2

..A-----,----------—,---------,

、2Q4a112c4c)

2

.rn_ylb-4ac_揚-4ac

開一'-H—'

'：CD=EF^.b2-4ac>0,

?*-H=lch

①若a=_f,貝！|%=ax?=―辦？_bx+a,

要使以A,B,C,。為頂點的四邊形能構(gòu)成正方形,

則△C4D,AC3。為等腰直角三角形，

**-CD=2\y/\,

.揚+4/-42-b2

??----------=2-1----a--------1,

⑷4a

**-2y]b2+4^2=b2+4片,

???廿+4/=4,

.1，1b2-4ac1b2+4a22

**c3正一~CD-~2―彳2——29

22a2aa

?//=4-4/>0,

0<a2<1,

???S正>2；

②若a=c,則A、8關(guān)于y軸對稱，以A,B,C,。為頂點的四邊形不能構(gòu)成正方形，

綜上，以A,B,C,。為頂點的四邊形能構(gòu)成正方形，此時S>2.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、正方形的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思

想解決問題.

2.（2023?遼寧?中考真題）如圖，拋物線y=4/+法+。與無軸交于點人和點3（4,0），與V軸交于點C（0,4）,

備用圖

（1）求拋物線的解析式;

（3）點V在直線AC上，點N在平面內(nèi)，當四邊形是正方形時，請直接寫出點N的坐標.

分析：（3）先求得直線AC的解析式為>=2尤+4,分別過點M、E作y的垂線，垂足分別為尸、Q,證明

^-m2+m+4j,則1m2_m_4,mj,由點M

△OEP^AMOQ,推出PE=0。，PO=MQ,設(shè)E機,一

2

在直線AC上，列式計算，可求得相的值，利用平移的性質(zhì)可得點N的坐標；設(shè)點M（a,6）,則點E（b,-a）,

當繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到OE時，當點M繞點。逆時針90。得到點石時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得

點N的坐標.

【詳解】(1)解：???拋物線y=無2+法+。經(jīng)過點3(4,0)和C(0,4),

127

——x4+4/?+c=0

??.J2,

c=4

[b=l

解得小

拋物線的解析式為y=-；/+兀+4；

(3)解：令)=。，貝|一；％2+%+4=0,

解得％=-2或%=4,

???A(-2,0),

同理，直線AC的解析式為y=2x+4,

,/四邊形OENM是正方形，

：.OE=OM,ZEOM=90°,分別過點“、E作y的垂線，垂足分別為尸、。，如圖,

ZOPE=ZMQO=90°,ZOEP=90°-ZEOP=ZMOQ,

：.△函啜△MOQ,

：.PE=OQ,PO=MQ,

設(shè)機，一;機2+機+41,

PE=OQ=-m,PO=MQ=-^m2+m+4,

則機2_m_4,,

??,點M在直線AC上，

m=zf^-m2-m-4j+4,

解得機=4或機=-1,

當根=4時，M（0,4）,￡1（4,0）,

即點M與點C重合，點E與點5重合時，四邊形OENM是正方形，此時N（4,4）；

當相=—1時，Af

點。向左平移|■個單位，再向下平移1個單位，得到點

則點E向左平移|■個單位，再向下平移1個單位，得到點N,

.,?咱.|加,即?《|）；

設(shè)點Af（a,6）,則點E優(yōu),-a）,

當OM繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到OE時，如圖，

:點E在y=2x+4的圖象上，

，=2。+4,

.?.點M（a,2a+4）,

:點E在y=-g尤?+x+4的圖象上，

1\2

??—（2。+4）+2a+4+4——a,

解得：”-［或。，

得（0,4）出（4,0）,%,E211,電，

當點M繞點。逆時針90。得到點￡時，點E（-6,a）,M（a,2a+4），E（-2a-4,a）,

:點E在y=-g尤?+x+4的圖象上，

1

/.--（-2a-49）-2a-4+4=a,

-11土庖

解得：a=

"-5+>/57-17

；?點的坐標為或

N-4'一

【點睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次

函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，兩點之間的距離公式和正方形的性質(zhì)，是一道綜合性較強的

題，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式以及分情況討論.

3.(2023?黑龍江綏化?中考真題)如圖，拋物線必=渥+法+，的圖象經(jīng)過A(-6,0),8(-2,0),C(0,6)三點,

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式.

⑵點E,b為平面內(nèi)兩點，若以E、F、B、C為頂點的四邊形是正方形，且點E在點尸的左側(cè).這樣的

E,/兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標：如果不存在，請說明理由.

(3)將拋物線y^a^+bx+c的圖象向右平移8個單位長度得到拋物線%，此拋物線的圖象與》軸交于M,N

兩點(加點在N點左側(cè)).點P是拋物線％上的一個動點且在直線NC下方.已知點尸的橫坐標為過點

P作PDLNC于點D.求山為何值時，。+!尸。有最大值，最大值是多少？

2

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)①當3c為正方形的邊長時，分別過3點C點作電工BC,使4B=E/=BC,

CF\=CF°=BC,連接與耳、E2F2,證明△B&d附△CBO(AAS),得出4H=8。=2,&B=OC=6,則

4(-8,2)同理可得，E2(4,-2);②以BC為正方形的對角線時，過3c的中點G作區(qū)鳥，8C,使名鳥與3c

互相平分且相等，則四邊形瑞C為正方形，過點芻作軸于點N,過點8作于點河，

222

證明△CEsNgA4BMlAAS),得出自8=2石，在Rt△區(qū)NC中，E3C=CN+E3N,解得CN=2或4,

進而即可求解；

【詳解】(1)解：把4-6,0),5(-2,0),C(0,6)代入％+灰+。

36〃-6b+c=Q

得v4〃一2。+。=0

c=6

.1

a——

2

解得。=4

c=6

1

??y.=—x9+4x+6

12

把5(-2,0)代入y="+6得上=3

y=3x+6

(2)滿足條件的￡、方兩點存在，旦(-8,2),用(4,-2),5-4,4)

解：①當BC為正方形的邊長時，分別過8點C點作g芻LBC,F^IBC,使與2=用2=2(7,

CFt=CF2=BC,連接片片、E￡.

-8-7-0-5-4-323r5678x

-2卜E2

過點片作gHJx軸于區(qū).

?.?BEl=CB,ZBOC=NE'H'B=90°=NE&C,

又ZBElHl=90°-ZElBHl=ZCBO,

：.△BE/蘆△CBO(AAS),

，E向=80=2,H、B=OC=6

.??4(-8,2)

同理可得，￡(4，-2)

②以BC為正方形的對角線時，過8C的中點G作E3F31BC,使外片與BC互相平分且相等，則四邊形

為正方形，

過點E3作E3N，y軸于點N,過點2作，E3N于點知

CE3=BE3/CNE3=/E3MB=90°,

又NBE3M=90°-ZCE3N=ZEiCN

：./\CE3N^AE3BM(AAS)

CN=E3M,BM=E3N

?/BC=2V10

Efi=BG=>Jid

：.g3=2正

22

在RtA￡,?/C中，E3c②=CN+E3N

:.Q?。?CN、(6-CN?

解得GV=2或4

當CN=4時，4(2,2),此時點E在點尸右側(cè)故舍去；

當CN=2時，￡3(-4,4).

綜上所述：耳(-8,2),E2(4,-2),￡3(-4.4)

4.(2023?湖南岳陽?中考真題)已知拋物線Q：y=-尤2+bx+c與x軸交于4(-3,0),3兩點，交V軸于點

C(0,3),

⑴請求出拋物線2的表達式.

⑵如圖1,在y軸上有一點。（0,-1）,點E在拋物線。上，點P為坐標平面內(nèi)一點，是否存在點E,尸使得

四邊形ZM環(huán)為正方形？若存在，請求出點瓦尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）把A（-3,0）,<7（0,3）代入。[：?=々+a+，,求出8=-2,c=3即可；

（2）假設(shè)存在這樣的正方形，過點E作于點R,過點F作尸軸于點/,證明

△EAR=AAOD,^FID=ADOA,可得ER=3,AR=1,FI=1,10=2,故可得E（-2,3）,尸（1,2）；

【詳解】（1）:拋物線Q：y=-尤2+bx+c與X軸交于A（-3,o）,兩點，交y軸于點C（0,3）,

.?.把4（一3,0）,。（0,3）代入2~=-尤2+云+°,得，

J-9-36+c=0

jc=3

（b=-2

解得，°,

[c=3

工解析式為：y=-x2-2x+3；

（2）假設(shè)存在這樣的正方形ZMEF,如圖，過點E作成_Lx于點尺過點/作Cy軸于點/,

??.ZAER+ZEAR=90°,

四邊形是正方形,

.?.AE=AD,ZEAD=9Q°,

：.ZEAR+ZDAR=90°,

：.ZAER=/DAO,

又ZERA=ZAQD=90。，

；?AAER與DAO,

AR=DO、ER=AO,

???A（-3,0）,D（0,-l）,

OA—3QD-1,

:.AR=1,ER=3,

：.OR=OA—A7?=3—1=2,

￡（-2,3）；

同理可證明：^FID=ADOA,

：.FI=DO=1,DI=AO=3,

/.IO=DI-DO=3-1=2,

.,.F（l,2）；

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性

質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?山東濟寧?中考真題）已知拋物線G：y=-g（療m+1"-1與x軸有公共點.

（1）當y隨x的增大而增大時，求自變量x的取值范圍；

⑵將拋物線G先向上平移4個單位長度，再向右平移〃個單位長度得到拋物線C?（如圖所示），拋物線g與

x軸交于點A,8（點A在點8的右側(cè)），與y軸交于點C.當OC=OA時，求〃的值；

（3）。為拋物線C?的頂點，過點C作拋物線C2的對稱軸/的垂線，垂足為G,交拋物線C2于點E,連接BE

交I于點、F.求證：四邊形CDE尸是正方形.

【答案】⑴x<-l

（2）九=2

（3）見解析

【分析】（1）根據(jù)拋物線與&軸由公共點，可得A'。，從而而求出加的值，進而求得拋物線對稱軸，進一

步得到結(jié)果;

(2)根據(jù)圖像平移的特征可求出平移后拋物線的解析式，根據(jù)x=0和y=0分別得出點C和A的坐標，根

據(jù)OC=Q4列出方程，進而求的結(jié)果；

(3)從而得出點8、點C的坐標，由拋物線的解析式可得出點。的坐標和點E的坐標，進而求得BE的解

析式，從而得出點P的坐標，進而得出CG=EG=DG=/G=1,進一步得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：???拋物線y=-g(/+i卜2-(〃[+1)尤-1與無軸有公共點，

/.(m+l)2-4xx(-l)..D.

:.-(m-l)2..O.m—1=0.

m=l,

y——X2—2%—1=—(x+1尸,

V-l<0,

???當xv—1時，y隨著工的增大而增大.

(2)解：由題意，y=—(x+1—n)2+4=—x2—2(1—n)x—n2+2H+3,

當y=0時，一(x+1-〃)2+4=0.,

解得：％=-3+〃或％=1+〃.，

??,點A在點8的右側(cè)，

???點A的坐標為(1+〃，0),點5的坐標為(—3+H,0).

???點。的坐標為(0,一/+2〃+3),

〃+1=—n2+2?z+3.

解得：〃=2或〃=—1(舍去).

故〃的值為2.

(3)解：由(2)可知：拋物線C2的解析式為y=—(x-1)2+4.

???點A的坐標為(3,0),點3的坐標為(一1,0)

點C的坐標為(0,3),點。的坐標為(1,4),

拋物線C2的對稱軸是直線x=1,

:點E與點C關(guān)于直線x=l對稱,

.??點E的坐標為（2,3）.

，點G的坐標為（1,3）.

設(shè)直線BE解析式為〉=依+6,

..上+6=0,

'[2k+b^3.

伏=1,

解得：一

[6=1.

??y=:x+1.

當x=l時，y=l+l=2.點尸的坐標為（1,2）.

FG=EG=DG=CG=1.

四邊形C。所為矩形.

又；CE_LDF,

四邊形CDE尸為正方形.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，平移圖像的特征，正方形的判定，

解決問題的關(guān)鍵是平移前后拋物線解析式之間的關(guān)系.

6.（2022?山東泰安?中考真題）若二次函數(shù)丁=加+區(qū)+c的圖象經(jīng)過點A（-2,0）,B（0,T）,其對稱軸為直

線x=l,與x軸的另一交點為C.

⑵若點M在直線AB上，且在第四象限，過點M作軸于點N.

①若點N在線段0C上，旦MN=3NC,求點M的坐標；

②以為對角線作正方形MPNQ(點尸在MN右側(cè))，當點P在拋物線上時，求點M的坐標.

【答案］(1)y=；尤2_i

⑵①(1「］｝②

【分析】(1)利用待定系數(shù)解答，即可求解；

(2)①先求出直線42的表達式為y=-2x-4,然后設(shè)點N的坐標為(加,0).可得2機-4).可得到

MN=2m+4,NC=4-m.再由MN=3NC,即可求解；②連接PQ與MN交與點E.設(shè)點M的坐標為

2r-4),則點N的坐標為”,0)

根據(jù)正方形的性質(zhì)可得E的坐標為&V-2),進而得到P的坐標(2/+2,T-2).再由點P在拋物線上，即

可求解.

【詳解】(1)解：???二次函數(shù)交加+灰+c的圖象經(jīng)過點(0,-4),

又???拋物線經(jīng)過點A(-2,0),對稱軸為直線x=l,

1

_±=1CL——,

2a'解得：＜2

4a—2b—4=0,b=-l,

拋物線的表達式為y=:尤2_》_4

(2)解：①設(shè)直線A8的表達式為、=丘+".

???點A,8的坐標為A(-2,0),3(0,T),

-2k+n=0k=—2

“z’解得：

n=-4

...直線AB的表達式為y=-2x-4.

根據(jù)題意得：點C與點&(-2,0)關(guān)于對稱軸直線*=1對稱,

/.C(4,0).

設(shè)點N的坐標為(m,0).

???M/V_Lx軸，

/.MV=2m+4

:.NC=4—m.

?：MN=3NC

2m+4=3(4-m),

Q

解，得加=,

點M的坐標g-g1;

②連接PQ與MN交與點E.

設(shè)點M的坐標為&-2,-4),則點N的坐標為億0)

?.?四邊形MW。是正方形，

PQ±MN,NE=EP,NE=-MN.

2

:MMLx軸，

.?.尸Q/戊軸.

?e-E的坐標為—2).

NE=1+2.

/.ON+EP=ON+NE=，+，+2=2%+2.

P的坐標(2%+2,T—2).

???點P在拋物線y=；尤2一元一4上,

17

/.-(2Z+2)一(2%+2)-4=一斤一2.

解，得％=；，t2=-l.

???點尸在第四象限，

t=—2舍去.

即/=;.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，一次函數(shù)

的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.(2023?遼寧葫蘆島?一模)如圖,拋物線y=-《無2+&X+C與x軸交于點A和點B(3,0),與＞軸交于點C(0,2),

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,當點。在直線BC上方時，作DFLx軸于點尸，交直線8C于點E,當ND=N3CO時，求點。

的坐標；

⑶點P在拋物線的對稱軸/上，點。是平面直角坐標系內(nèi)一點，當四邊形8PDQ為正方形時，請直接寫出

點Q的坐標.

24

【答案】⑴了=-尹+產(chǎn)2

⑵⑷

(3)0(352),。2(1,2),。3(1,-2),a(6.5,-2)

【分析】(1)將8,C兩點坐標代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)根據(jù)題意可求出直線BC的解析式，由4>=/BC0可證明CD=CE,作CWLDE于H,^DH=HE,

設(shè)點。的橫坐標為t,分別表達DH和HE,建立方程即可得出結(jié)論；

(3)若四邊形8POQ為正方形，則△BPD是等腰直角三角形，且4叫=90。，根據(jù)題意畫出對應(yīng)圖形，利

用全等三角形建立方程，即可得出結(jié)論.

【詳解】⑴???y=-"2+6x+c經(jīng)過點8(3,0),點C(0,2)

，2

——x9+3b+c=0

3

。二2

解得3

。=2

24

?.?拋物線的函數(shù)解析式為：y=--x2+-x+2

(2)vDFlxtt，

：.DF//y^,

:.ZDEC=ZBCO,

?;/D=/BCO,

:.ZD=ZDEC,

CD=CE,

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m,

將5(3,0)