正方形存在性問(wèn)題-2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題

專題13正方形存在性問(wèn)題

一、知識(shí)導(dǎo)航

作為特殊四邊形中最特殊的一位，正方形擁有更多的性質(zhì)，因此坐標(biāo)系中的正方形存在性問(wèn)題變化更加多

樣，從判定的角度來(lái)說(shuō)，可以有如下：

(1)有一個(gè)角為直角的菱形；

(2)有一組鄰邊相等的矩形；

(3)對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形.

依據(jù)題目給定的已知條件選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，即可確定所求的點(diǎn)坐標(biāo).

從未知量的角度來(lái)說(shuō)，正方形可以有4個(gè)“未知量”，因其點(diǎn)坐標(biāo)滿足4個(gè)等量關(guān)系，考慮對(duì)角線性質(zhì)，互相

平分(2個(gè))垂直(1個(gè))且相等(1個(gè)).

比如在平面中若已知兩個(gè)定點(diǎn)，可以在平面中確定另外兩個(gè)點(diǎn)使得它們構(gòu)成正方形，而如果要求在某條線

上確定點(diǎn)，則可能會(huì)出現(xiàn)不存在的情況，即我們所說(shuō)的未知量小于方程個(gè)數(shù)，可能無(wú)解.

從動(dòng)點(diǎn)角度來(lái)說(shuō)，關(guān)于正方形存在性問(wèn)題可分為：

(1)2個(gè)定點(diǎn)+2個(gè)全動(dòng)點(diǎn)；

(2)1個(gè)定點(diǎn)+2個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)；

甚至可以有：(3)4個(gè)半動(dòng)點(diǎn).

不管是哪一種類型，要明確的是一點(diǎn)，我們肯定不會(huì)列一個(gè)四元一次方程組求點(diǎn)坐標(biāo)！

常用處理方法：

思路1:從判定出發(fā)

若已知菱形，則加有一個(gè)角為直角或?qū)蔷€相等；

若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；

若已知對(duì)角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件.

思路2:構(gòu)造三垂直全等

若條件并未給關(guān)于四邊形及對(duì)角線的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)，必是等腰直甭

三角形，若已知兩定點(diǎn)，則可通過(guò)構(gòu)造三垂直全等來(lái)求得第3個(gè)點(diǎn)，再求第4個(gè)點(diǎn).

總結(jié)：構(gòu)造三垂直全等的思路僅適合已知兩定點(diǎn)的情形，若題目給了4個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則考慮從矩形的判定出發(fā),

觀察該四邊形是否已為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關(guān)系.

正方形的存在性問(wèn)題在中考中出現(xiàn)得并不多，正方形多以小題壓軸為主.

二、典例精析

例：在平面直角坐標(biāo)系中，A(1,1),B(4,3),在平面中求C、。使得以A、B、C,。為頂點(diǎn)的四邊形是正

方形.

A

y

.B

A

*

如圖，一共6個(gè)這樣的點(diǎn)C使得以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三南形.

至于具體求點(diǎn)坐標(biāo)，以G為例，構(gòu)造9,即可求得G坐標(biāo).至于像C5、Cf這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),

不難發(fā)現(xiàn)，C5是AC3或BG的中點(diǎn),Cf是BC?或AC,的中點(diǎn).

題無(wú)定法，具體問(wèn)題還需具體分析,如上僅僅是大致思路.

三、中考真題演練

1.(2023?湖南?中考真題)我們約定：若關(guān)于尤的二次函數(shù)％=。4+R天+9與丫2=。2*2+4苫+02同時(shí)滿足

G+(d+4)2+h-4I=。3一么)2儂*0,則稱函數(shù)M與函數(shù)丫2互為“美美與共”函數(shù).根據(jù)該約定，解

答下列問(wèn)題:

⑴若關(guān)于尤的二次函數(shù)％=2/+日+3與%=7加+X+〃互為“美美與共”函數(shù)，求左，7找，〃的值;

(3)在同一平面直角坐標(biāo)系中，若關(guān)于x的二次函數(shù)％=渡+匕尤+c與它的“美美與共”函數(shù)出的圖像頂點(diǎn)分

別為點(diǎn)A,點(diǎn)8,函數(shù)為的圖像與x軸交于不同兩點(diǎn)C,函數(shù)內(nèi)的圖像與x軸交于不同兩點(diǎn)E,足當(dāng)CD=

時(shí)，以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形能否為正方形？若能，求出該正方形面積的取值范圍；若不請(qǐng)說(shuō)明理

由.

【詳解】(1)解：由題意可知：%=。2，ai=cv瓦=-b2中0,

m—3,n—2,k——1.

答：人的值為T(mén),比的值為3,w的值為2.

2

(3)解：由題意可知％=依2+bx+c,y2=cx-bx+a,

.(b4ac-b2b4ac-b2

..A-----,----------—,---------,

、2Q4a112c4c)

2

.rn_ylb-4ac_揚(yáng)-4ac

開(kāi)一'-H—'

'：CD=EF^.b2-4ac>0,

?*-H=lch

①若a=_f,貝！|%=ax?=―辦？_bx+a,

要使以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成正方形,

則△C4D,AC3。為等腰直角三角形，

**-CD=2\y/\,

.揚(yáng)+4/-42-b2

??----------=2-1----a--------1,

⑷4a

**-2y]b2+4^2=b2+4片,

???廿+4/=4,

.1，1b2-4ac1b2+4a22

**c3正一~CD-~2―彳2——29

22a2aa

?//=4-4/>0,

0<a2<1,

???S正>2；

②若a=c,則A、8關(guān)于y軸對(duì)稱，以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形不能構(gòu)成正方形，

綜上，以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成正方形，此時(shí)S>2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思

想解決問(wèn)題.

2.（2023?遼寧?中考真題）如圖，拋物線y=4/+法+。與無(wú)軸交于點(diǎn)人和點(diǎn)3（4,0），與V軸交于點(diǎn)C（0,4）,

備用圖

（1）求拋物線的解析式;

（3）點(diǎn)V在直線AC上，點(diǎn)N在平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo).

分析：（3）先求得直線AC的解析式為>=2尤+4,分別過(guò)點(diǎn)M、E作y的垂線，垂足分別為尸、Q,證明

^-m2+m+4j,則1m2_m_4,mj,由點(diǎn)M

△OEP^AMOQ,推出PE=0。，PO=MQ,設(shè)E機(jī),一

2

在直線AC上，列式計(jì)算，可求得相的值，利用平移的性質(zhì)可得點(diǎn)N的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)M（a,6）,則點(diǎn)E（b,-a）,

當(dāng)繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到OE時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M繞點(diǎn)。逆時(shí)針90。得到點(diǎn)石時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得

點(diǎn)N的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：???拋物線y=無(wú)2+法+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)3(4,0)和C(0,4),

127

——x4+4/?+c=0

??.J2,

c=4

[b=l

解得小

拋物線的解析式為y=-；/+兀+4；

(3)解：令)=。，貝|一；％2+%+4=0,

解得％=-2或%=4,

???A(-2,0),

同理，直線AC的解析式為y=2x+4,

,/四邊形OENM是正方形，

：.OE=OM,ZEOM=90°,分別過(guò)點(diǎn)“、E作y的垂線，垂足分別為尸、。，如圖,

ZOPE=ZMQO=90°,ZOEP=90°-ZEOP=ZMOQ,

：.△函啜△MOQ,

：.PE=OQ,PO=MQ,

設(shè)機(jī)，一;機(jī)2+機(jī)+41,

PE=OQ=-m,PO=MQ=-^m2+m+4,

則機(jī)2_m_4,,

??,點(diǎn)M在直線AC上，

m=zf^-m2-m-4j+4,

解得機(jī)=4或機(jī)=-1,

當(dāng)根=4時(shí)，M（0,4）,￡1（4,0）,

即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E與點(diǎn)5重合時(shí)，四邊形OENM是正方形，此時(shí)N（4,4）；

當(dāng)相=—1時(shí)，Af

點(diǎn)。向左平移|■個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)

則點(diǎn)E向左平移|■個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)N,

.,?咱.|加,即?《|）；

設(shè)點(diǎn)Af（a,6）,則點(diǎn)E優(yōu),-a）,

當(dāng)OM繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到OE時(shí)，如圖，

:點(diǎn)E在y=2x+4的圖象上，

，=2。+4,

.?.點(diǎn)M（a,2a+4）,

:點(diǎn)E在y=-g尤?+x+4的圖象上，

1\2

??—（2。+4）+2a+4+4——a,

解得：”-［或。，

得（0,4）出（4,0）,%,E211,電，

當(dāng)點(diǎn)M繞點(diǎn)。逆時(shí)針90。得到點(diǎn)￡時(shí)，點(diǎn)E（-6,a）,M（a,2a+4），E（-2a-4,a）,

:點(diǎn)E在y=-g尤?+x+4的圖象上，

1

/.--（-2a-49）-2a-4+4=a,

-11土庖

解得：a=

"-5+>/57-17

；?點(diǎn)的坐標(biāo)為或

N-4'一

【點(diǎn)睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次

函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩點(diǎn)之間的距離公式和正方形的性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的

題，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式以及分情況討論.

3.(2023?黑龍江綏化?中考真題)如圖，拋物線必=渥+法+，的圖象經(jīng)過(guò)A(-6,0),8(-2,0),C(0,6)三點(diǎn),

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式.

⑵點(diǎn)E,b為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以E、F、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)E在點(diǎn)尸的左側(cè).這樣的

E,/兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)將拋物線y^a^+bx+c的圖象向右平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線%，此拋物線的圖象與》軸交于M,N

兩點(diǎn)(加點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)).點(diǎn)P是拋物線％上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直線NC下方.已知點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為過(guò)點(diǎn)

P作PDLNC于點(diǎn)D.求山為何值時(shí)，。+!尸。有最大值，最大值是多少？

2

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)①當(dāng)3c為正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，分別過(guò)3點(diǎn)C點(diǎn)作電工BC,使4B=E/=BC,

CF\=CF°=BC,連接與耳、E2F2,證明△B&d附△CBO(AAS),得出4H=8。=2,&B=OC=6,則

4(-8,2)同理可得，E2(4,-2);②以BC為正方形的對(duì)角線時(shí)，過(guò)3c的中點(diǎn)G作區(qū)鳥(niǎo)，8C,使名鳥(niǎo)與3c

互相平分且相等，則四邊形瑞C為正方形，過(guò)點(diǎn)芻作軸于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)河，

222

證明△CEsNgA4BMlAAS),得出自8=2石，在Rt△區(qū)NC中，E3C=CN+E3N,解得CN=2或4,

進(jìn)而即可求解；

【詳解】(1)解：把4-6,0),5(-2,0),C(0,6)代入％+灰+。

36〃-6b+c=Q

得v4〃一2。+。=0

c=6

.1

a——

2

解得。=4

c=6

1

??y.=—x9+4x+6

12

把5(-2,0)代入y="+6得上=3

y=3x+6

(2)滿足條件的￡、方兩點(diǎn)存在，旦(-8,2),用(4,-2),5-4,4)

解：①當(dāng)BC為正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，分別過(guò)8點(diǎn)C點(diǎn)作g芻LBC,F^IBC,使與2=用2=2(7,

CFt=CF2=BC,連接片片、E￡.

-8-7-0-5-4-323r5678x

-2卜E2

過(guò)點(diǎn)片作gHJx軸于區(qū).

?.?BEl=CB,ZBOC=NE'H'B=90°=NE&C,

又ZBElHl=90°-ZElBHl=ZCBO,

：.△BE/蘆△CBO(AAS),

，E向=80=2,H、B=OC=6

.??4(-8,2)

同理可得，￡(4，-2)

②以BC為正方形的對(duì)角線時(shí)，過(guò)8C的中點(diǎn)G作E3F31BC,使外片與BC互相平分且相等，則四邊形

為正方形，

過(guò)點(diǎn)E3作E3N，y軸于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)2作，E3N于點(diǎn)知

CE3=BE3/CNE3=/E3MB=90°,

又NBE3M=90°-ZCE3N=ZEiCN

：./\CE3N^AE3BM(AAS)

CN=E3M,BM=E3N

?/BC=2V10

Efi=BG=>Jid

：.g3=2正

22

在RtA￡,?/C中，E3c②=CN+E3N

:.Q?。?CN、(6-CN?

解得GV=2或4

當(dāng)CN=4時(shí)，4(2,2),此時(shí)點(diǎn)E在點(diǎn)尸右側(cè)故舍去；

當(dāng)CN=2時(shí)，￡3(-4,4).

綜上所述：耳(-8,2),E2(4,-2),￡3(-4.4)

4.(2023?湖南岳陽(yáng)?中考真題)已知拋物線Q：y=-尤2+bx+c與x軸交于4(-3,0),3兩點(diǎn)，交V軸于點(diǎn)

C(0,3),

⑴請(qǐng)求出拋物線2的表達(dá)式.

⑵如圖1,在y軸上有一點(diǎn)。（0,-1）,點(diǎn)E在拋物線。上，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E,尸使得

四邊形ZM環(huán)為正方形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)瓦尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）把A（-3,0）,<7（0,3）代入。[：?=々+a+，,求出8=-2,c=3即可；

（2）假設(shè)存在這樣的正方形，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)R,過(guò)點(diǎn)F作尸軸于點(diǎn)/,證明

△EAR=AAOD,^FID=ADOA,可得ER=3,AR=1,FI=1,10=2,故可得E（-2,3）,尸（1,2）；

【詳解】（1）:拋物線Q：y=-尤2+bx+c與X軸交于A（-3,o）,兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0,3）,

.?.把4（一3,0）,。（0,3）代入2~=-尤2+云+°,得，

J-9-36+c=0

jc=3

（b=-2

解得，°,

[c=3

工解析式為：y=-x2-2x+3；

（2）假設(shè)存在這樣的正方形ZMEF,如圖，過(guò)點(diǎn)E作成_Lx于點(diǎn)尺過(guò)點(diǎn)/作Cy軸于點(diǎn)/,

??.ZAER+ZEAR=90°,

四邊形是正方形,

.?.AE=AD,ZEAD=9Q°,

：.ZEAR+ZDAR=90°,

：.ZAER=/DAO,

又ZERA=ZAQD=90。，

；?AAER與DAO,

AR=DO、ER=AO,

???A（-3,0）,D（0,-l）,

OA—3QD-1,

:.AR=1,ER=3,

：.OR=OA—A7?=3—1=2,

￡（-2,3）；

同理可證明：^FID=ADOA,

：.FI=DO=1,DI=AO=3,

/.IO=DI-DO=3-1=2,

.,.F（l,2）；

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性

質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?山東濟(jì)寧?中考真題）已知拋物線G：y=-g（療m+1"-1與x軸有公共點(diǎn).

（1）當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，求自變量x的取值范圍；

⑵將拋物線G先向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移〃個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C?（如圖所示），拋物線g與

x軸交于點(diǎn)A,8（點(diǎn)A在點(diǎn)8的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.當(dāng)OC=OA時(shí)，求〃的值；

（3）。為拋物線C?的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作拋物線C2的對(duì)稱軸/的垂線，垂足為G,交拋物線C2于點(diǎn)E,連接BE

交I于點(diǎn)、F.求證：四邊形CDE尸是正方形.

【答案】⑴x<-l

（2）九=2

（3）見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)拋物線與&軸由公共點(diǎn)，可得A'。，從而而求出加的值，進(jìn)而求得拋物線對(duì)稱軸，進(jìn)一

步得到結(jié)果;

(2)根據(jù)圖像平移的特征可求出平移后拋物線的解析式，根據(jù)x=0和y=0分別得出點(diǎn)C和A的坐標(biāo)，根

據(jù)OC=Q4列出方程，進(jìn)而求的結(jié)果；

(3)從而得出點(diǎn)8、點(diǎn)C的坐標(biāo)，由拋物線的解析式可得出點(diǎn)。的坐標(biāo)和點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而求得BE的解

析式，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出CG=EG=DG=/G=1,進(jìn)一步得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：???拋物線y=-g(/+i卜2-(〃[+1)尤-1與無(wú)軸有公共點(diǎn)，

/.(m+l)2-4xx(-l)..D.

:.-(m-l)2..O.m—1=0.

m=l,

y——X2—2%—1=—(x+1尸,

V-l<0,

???當(dāng)xv—1時(shí)，y隨著工的增大而增大.

(2)解：由題意，y=—(x+1—n)2+4=—x2—2(1—n)x—n2+2H+3,

當(dāng)y=0時(shí)，一(x+1-〃)2+4=0.,

解得：％=-3+〃或％=1+〃.，

??,點(diǎn)A在點(diǎn)8的右側(cè)，

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1+〃，0),點(diǎn)5的坐標(biāo)為(—3+H,0).

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,一/+2〃+3),

〃+1=—n2+2?z+3.

解得：〃=2或〃=—1(舍去).

故〃的值為2.

(3)解：由(2)可知：拋物線C2的解析式為y=—(x-1)2+4.

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)3的坐標(biāo)為(一1,0)

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,4),

拋物線C2的對(duì)稱軸是直線x=1,

:點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于直線x=l對(duì)稱,

.??點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2,3）.

，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1,3）.

設(shè)直線BE解析式為〉=依+6,

..上+6=0,

'[2k+b^3.

伏=1,

解得：一

[6=1.

??y=:x+1.

當(dāng)x=l時(shí)，y=l+l=2.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1,2）.

FG=EG=DG=CG=1.

四邊形C。所為矩形.

又；CE_LDF,

四邊形CDE尸為正方形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，平移圖像的特征，正方形的判定，

解決問(wèn)題的關(guān)鍵是平移前后拋物線解析式之間的關(guān)系.

6.（2022?山東泰安?中考真題）若二次函數(shù)丁=加+區(qū)+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2,0）,B（0,T）,其對(duì)稱軸為直

線x=l,與x軸的另一交點(diǎn)為C.

⑵若點(diǎn)M在直線AB上，且在第四象限，過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N.

①若點(diǎn)N在線段0C上，旦MN=3NC,求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②以為對(duì)角線作正方形MPNQ(點(diǎn)尸在MN右側(cè))，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案］(1)y=；尤2_i

⑵①(1「］｝②

【分析】(1)利用待定系數(shù)解答，即可求解；

(2)①先求出直線42的表達(dá)式為y=-2x-4,然后設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(加,0).可得2機(jī)-4).可得到

MN=2m+4,NC=4-m.再由MN=3NC,即可求解；②連接PQ與MN交與點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為

2r-4),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為”,0)

根據(jù)正方形的性質(zhì)可得E的坐標(biāo)為&V-2),進(jìn)而得到P的坐標(biāo)(2/+2,T-2).再由點(diǎn)P在拋物線上，即

可求解.

【詳解】(1)解：???二次函數(shù)交加+灰+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-4),

又???拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0),對(duì)稱軸為直線x=l,

1

_±=1CL——,

2a'解得：＜2

4a—2b—4=0,b=-l,

拋物線的表達(dá)式為y=:尤2_》_4

(2)解：①設(shè)直線A8的表達(dá)式為、=丘+".

???點(diǎn)A,8的坐標(biāo)為A(-2,0),3(0,T),

-2k+n=0k=—2

“z’解得：

n=-4

...直線AB的表達(dá)式為y=-2x-4.

根據(jù)題意得：點(diǎn)C與點(diǎn)&(-2,0)關(guān)于對(duì)稱軸直線*=1對(duì)稱,

/.C(4,0).

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m,0).

???M/V_Lx軸，

/.MV=2m+4

:.NC=4—m.

?：MN=3NC

2m+4=3(4-m),

Q

解，得加=,

點(diǎn)M的坐標(biāo)g-g1;

②連接PQ與MN交與點(diǎn)E.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為&-2,-4),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為億0)

?.?四邊形MW。是正方形，

PQ±MN,NE=EP,NE=-MN.

2

:MMLx軸，

.?.尸Q/戊軸.

?e-E的坐標(biāo)為—2).

NE=1+2.

/.ON+EP=ON+NE=，+，+2=2%+2.

P的坐標(biāo)(2%+2,T—2).

???點(diǎn)P在拋物線y=；尤2一元一4上,

17

/.-(2Z+2)一(2%+2)-4=一斤一2.

解，得％=；，t2=-l.

???點(diǎn)尸在第四象限，

t=—2舍去.

即/=;.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，一次函數(shù)

的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.(2023?遼寧葫蘆島?一模)如圖,拋物線y=-《無(wú)2+&X+C與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(3,0),與＞軸交于點(diǎn)C(0,2),

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在直線BC上方時(shí)，作DFLx軸于點(diǎn)尸，交直線8C于點(diǎn)E,當(dāng)ND=N3CO時(shí)，求點(diǎn)。

的坐標(biāo)；

⑶點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸/上，點(diǎn)。是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形8PDQ為正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出

點(diǎn)Q的坐標(biāo).

24

【答案】⑴了=-尹+產(chǎn)2

⑵⑷

(3)0(352),。2(1,2),。3(1,-2),a(6.5,-2)

【分析】(1)將8,C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)根據(jù)題意可求出直線BC的解析式，由4>=/BC0可證明CD=CE,作CWLDE于H,^DH=HE,

設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為t,分別表達(dá)DH和HE,建立方程即可得出結(jié)論；

(3)若四邊形8POQ為正方形，則△BPD是等腰直角三角形，且4叫=90。，根據(jù)題意畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形，利

用全等三角形建立方程，即可得出結(jié)論.

【詳解】⑴???y=-"2+6x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(3,0),點(diǎn)C(0,2)

，2

——x9+3b+c=0

3

。二2

解得3

。=2

24

?.?拋物線的函數(shù)解析式為：y=--x2+-x+2

(2)vDFlxtt，

：.DF//y^,

:.ZDEC=ZBCO,

?;/D=/BCO,

:.ZD=ZDEC,

CD=CE,

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m,

將5(3,0)