一元二次方程及其應用（考點解讀）-2023年中考數學第一輪復習

專題06一元二次方程及其應用(考點解讀)

中考命題解讀,

一元二次方程是歷年中考的必考內容，在中考中一般為2-3道題，分值為10-16分,

常見直接單獨考查其解法，也會與不等式、函數等知識結合在一起考查根的判別式及

簡單的根與系數關系運用等，這部分內容常與直角三角形、菱形、垂徑定理等融會，

利用一元二次方程解決實際問題是歷年中考的高頻考點。

考標要求》

----------------------/1.經歷由具體問題抽象出一元二次方程的過程，進一步體會

方程是刻畫現(xiàn)實世界中數量關系的一個有效數學模型.

2.能夠利用一元二次方程解決有關實際問題，能根據具體問題的實際意義檢驗結果

的合理性，進一步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的意識和能力.

3.了解一元二次方程及其相關概念，會用配方法、公式法、分解因式法解簡單的一

元二次方程(數字系數人并在解一元二次方程的過程中體會轉化等數學思想.

4.經歷在具體情境中估計一元二次方程解的過程，發(fā)展估算意識和能力.

考點精講

考點L一元二次方程

(1)概念：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的方

程，叫做一元二次方程。

(2)一般形式：ax2+bx+c=0(aWO),其中ax?叫作二次項，a是二次項系數；bx叫作

一次項，b是一次項系數；c叫作常數項。

考點2：一元二次方程的解法

(1)直接開平方法：

①當方程的一次項位0時，即方程ax2+c=0(aW0,ac<0)

②形如(x+m)2=n,(n>0)的方根

(2)配方法

用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(k^0)的一般步驟是：

①化為一般形式；

②移項，將常數項移到方程的右邊；

③化二次項系數為1,即方程兩邊同除以二次項系數；

④配方，即方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方；化原方程為(x+a)Jb的形式;

⑤如果b20就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果bWO,則原方程無解.

(3)公式法：

用公式法求一元二次方程的一般步驟：

(1)把方程化成一般形式2/+法+?=0,確定a、b、c的值(注意符號)

(2)求出判別式A=b2-4ac的值，判斷根的情況

(3)在A=bL4ac?0(注：此處A讀“德爾塔”)的前提F,把a、b、c的值代入公式

x=-b*而=-b±也2―4-進行計算,求出方程的;艮。

2a2a

(4)因式分解法：

因式分解法解一元二次方程的一般步驟如下：

(1)移項，使方程的右邊化為零；

(2)將方程的左邊轉化為兩個一元一次多項式的乘積；

(3)令每個因式分別為零；

(4)兩個因式分別為零的解就都是原方程的解。

如：X?+(P+q)x+pq=0因式分解后>(x+°)(x+q)=0

考點3：一元二次方程的判別式：

①b,-4ac>o時，方程有兩個不相等的實數根；

②b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；

③b2-4acV0時，方程無實數根，反之亦成立

考點4：一元二次方程的根與系數:

根與系數的關系：即ax~+bx+c=O的兩根為Xi、X2，則Xi+X、=-Xi,X2=—利

aa。

x\+x2=(x\+*2)2-2中2

用韋達定理可以求一些代數式的值(式子變形)，如

考點5：一元二次方程的應用

(1)變化率問題：

設基準數為a,兩次增長(或下降)后為b；增長率(下降率)為x,第一次增長

(或下降)后為ax(l±x)；第二次增長(或下降)后為a(l±x)2.可列方程為

2

a(l±x)=bo

(2)傳染、分裂問題

有一人患了流感,經過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個

人？設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人：

第一輪傳染后第二輪傳染后.八、

弟牝餞兆工1+x_T+x+x(l+x)

(3)握手、比賽問題

握手問題：n個人見面，任意兩個人都要握一次手，問總共握的二D次手。

2

贈卡問題：n個人相互之間送卡片，總共要送n(n-l)張卡片。

(4)銷售利潤問題：

①常用公式：利潤=售價-成本；總利潤=每件利潤X銷售量；

②每每問題中，單價每漲a元，少買y件。若漲價y元，則少買的數量為b人

—xy件

a

(5)幾何面積問題

(1)如圖①,設空白部分的寬為X,則S陰影=(a-2x)(b-2x);

AD

(2)如圖②，設陰影道路的寬為X,貝⑹空白=(a-X)(b-x)----IL|I

(3)如圖③，欄桿總長為a,BC的長為b,則5=瞪小

圉①方②圖③

(6)動點與幾何問題

關鍵是將點的運動關系表示出來，找出未知量與已知量的內在聯(lián)系，根據面積或體積

公式列出方程.

母題精講

【典例I】（2022?西藏）已知關于x的一元二次方程（m-1）f+2x-3=0有實數根，則加

的取值范圍是（）

A.B.m<—C.相>2且冽D.冽且相

3333

【典例2】（2020?黔西南州）有一人患了流感，經過兩輪傳染后，共有121人患了流感，

每輪傳染中平均每人傳染了個人.

【典例3】（2022?青海）如圖，小明同學用一張長11°機，寬7c機的矩形紙板制作一個底面

積為21c源的無蓋長方體紙盒，他將紙板的四個角各剪去一個同樣大小的正方形，將四

周向上折疊即可（損耗不計）.設剪去的正方形邊長為xcm,則可列出關于x的方程

為.

【典例4】（2022?涼山州）解方程：X2-2X-3=0.

【典例5】（2021?日照）某藥店新進一批桶裝消毒液，每桶進價35元，原計劃以每桶55元

的價格銷售，為更好地助力疫情防控，現(xiàn)決定降價銷售.已知這種消毒液銷售量y（桶）

與每桶降價X（元）（0<x<20）之間滿足一次函數關系，其圖象如圖所示：

（1）求y與x之間的函數關系式；

（2）在這次助力疫情防控活動中，該藥店僅獲利1760元.這種消毒液每桶實際售價多

少元？

【典例6】（2022?德州）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長寬分別為35m，15現(xiàn)計劃對其進

行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地.

（1）若擴充后的矩形綠地面積為800%求新的矩形綠地的長與寬；

（2）擴充后，實地測量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長寬之比為5：3.求新的矩形綠地面積.

【典例7】（2022?南岸區(qū)自主招生）北京冬奧會期間，某商店購進600個紀念品，每個紀

念品的進價為6元，第一周以每個10元的價格售出200個.第二周商店為了適當增加銷

售量，決定降價銷售.根據市場調查，單價每降低1元，可多售出50個（售價不得低于

進價）.第三周商店把每個紀念品的售價再在第二周售價的基礎上降低20%,剩余紀

念品全部售完.

注：銷售利潤=銷售量X（售價-進價）

（1）若第二周每個紀念品降價加元，用含機的代數式表示這批紀念品第二周的銷售利

潤；

（2）若前兩周商店銷售這批紀念品的利潤為1400元，求第二周每個紀念品的售價；

（3）若這批紀念品共獲得銷售利潤1730元，求這批紀念品第三周的銷售數量.

真題精選

命題1一元二次方程的解法,

1.（2022?臨沂）方程%2-2%-24=0的根是（）

A.xi=6,%2=4B.XI=6,%2=-4

C.xi=-6,42=4D.XI=-6，X2=-4

2.（2022?梧州）一元二次方程（x-2）（x+7）=0的根是

3.（2021?蘭州）解方程：/+4x-i=o.

命題2—元二次方程根的判別式,

--------------------------------------------------/4.（2022?郴州）一元二次方程2犬+.「1=0

的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根

C.只有一個實數根D.沒有實數根

5.（2022?蘭州）關于x的一元二次方程依2+2%-1=0有兩個相等的實數根，貝心=（）

A.-2B.-1C.0D.1

6.（2022?安順）定義新運算談"對于任意實數a,6滿足a%=（a+b）（a-6）-1,

其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算，例如3*2=（3+2）（3-2）-1=5-1

=4.若x%=2x（左為實數）是關于x的方程，則它的根的情況是（）

A.有一個實數根B.有兩個不相等的實數根

C.有兩個相等的實數根D.沒有實數根

命題3—元二次方程的實際應用\

7.（2022?河池）某廠家今年一月份的口罩產量是30萬個，三月份的口罩產量是50萬個，

若設該廠家一月份到三月份的口罩產量的月平均增長率為x.則所列方程為（）

A.30（1+x）2=50B.30（1-%）2=50

C.30（1+x2）=50D.30（1-%2）=50

8.（2022?黑龍江）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環(huán)比賽，單

循環(huán)比賽共進行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？（）

A.8B.10C.7D.9

9.（2022?寧夏）受國際油價影響，今年我國汽油價格總體呈上升趨勢.某地92號汽油價

格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升.設該地92號汽油價格這兩個月平均每月的增

長率為羽根據題意列出方程，正確的是（）

A.6.2(1+x)2=8.9

B.8.9(1+x)2=6.2

C.6.2(1+x2)=8.9

D.6.2(1+x)+6.2(1+x)2=8.9

10.(2019?廣西)揚帆中學有一塊長30加，寬20根的矩形空地，計劃在這塊空地上劃出四

分之一的區(qū)域種花，小禹同學設計方案如圖所示，求花帶的寬度.設花帶的寬度為

則可列方程為()

A.(30-%)(20-%)=1X20X30

4

B.(30-2%)(20-%)-1X20X30

4

C.30.r+2X20x=lx20X30

4

D.(30-2%)(20-x)=1X20X30

4

11.(2021?沈陽)某校團體操表演隊伍有6行8列，后又增加了51人，使得團體操表演隊

伍增加的行、列數相同，求增加了多少行或多少列？

12.(2022?眉山)建設美麗城市，改造老舊小區(qū).某市2019年投入資金1000萬元，2021

年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同.

(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；

(2)2021年老舊小區(qū)改造的平均費用為每個80萬元.2022年為提高老舊小區(qū)品質，每

個小區(qū)改造費用增加15%.如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以

改造多少個老舊小區(qū)？

專題06一元二次方程及其應用（考點解讀）

中考命題解讀）

一元二次方程是歷年中考的必考內容，在中考中一般為2-3道題，分值為10-16分,

常見直接單獨考查其解法，也會與不等式、函數等知識結合在一起考查根的判別式及

簡單的根與系數關系運用等，這部分內容常與直角三角形、菱形、垂徑定理等融會，

利用一元二次方程解決實際問題是歷年中考的高頻考點。

考標要求\

1.經歷由具體問題抽象出一元二次方程的過程，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中

數量關系的一個有效數學模型.

2.能夠利用一元二次方程解決有關實際問題，能根據具體問題的實際意義檢驗結果

的合理性，進一步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的意識和能力.

3.了解一元二次方程及其相關概念，會用配方法、公式法、分解因式法解簡單的一

元二次方程(數字系數人并在解一元二次方程的過程中體會轉化等數學思想.

4.經歷在具體情境中估計一元二次方程解的過程，發(fā)展估算意識和能力.

考點精講

考點1:一元二次方程

(1)概念：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的方

程，叫做一元二次方程。

(2)一般形式：ax2+bx+c=O(aWO),其中ax?叫作二次項，a是二次項系數；bx叫作

一次項，b是一次項系數；c叫作常數項。

考點2：一元二次方程的解法

(1)直接開平方法：

①當方程的一次項位0時，即方程ax2+c=O(aWO,ac<0)

②形如(x+m)2=n,(n>0)的方根

(2)配方法

用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(k^0)的一般步驟是：

①化為一般形式；

②移項，將常數項移到方程的右邊；

③化二次項系數為1,即方程兩邊同除以二次項系數；

④配方，即方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方；化原方程為(x+a)Jb的形式;

⑤如果b20就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果bWO,則原方程無解.

(3)公式法:

用公式法求一元二次方程的一般步驟：

（1）把方程化成一般形式aJ+bx+cuO,確定a、b、c的值（注意符號）

（2）求出判別式A=b2-4ac的值，判斷根的情況

（3）在A=b2-4ac?0（注：此旭讀“德爾塔”）的前提F,把a、b、c的值代入公式

x「b±&=-6±也2一4知進行計算,求出方程的艮。

2a2a

（4）因式分解法：

因式分解法解一元二次方程的一般步驟如下：

（1）移項，使方程的右邊化為零；

（2）將方程的左邊轉化為兩個一元一次多項式的乘積;

（3）令每個因式分別為零；

（4）兩個因式分別為零的解就都是原方程的解。

如：X?+（P+q）x+pq=0因式分解后>（x+°）（x+q）=0

考點3：一元二次方程的判別式：

①b~4ac>0時，方程有兩個不相等的實數根；

②b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；

③b2-4acV0時，方程無實數根，反之亦成立

考點4：一元二次方程的根與系數：

根與系數的關系：即ax~+bx+c=O的兩根為X1、X。，則XI+X2=-2，XJX2=9利

一一aao

22

x=（x.+x2）-2x.x,

用韋達定理可以求一些代數式的值（式子變形），如

考點5：一元二次方程的應用

（1）變化率問題：

設基準數為a,兩次增長（或下降）后為b；增長率（下降率）為x,第一次增長

（或下降）后為ax（l±x）；第二次增長（或下降）后為a（l±x）2.可列方程為

2

a（l±x）=bo

（2）傳染、分裂問題

有一人患了流感,經過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個

人？設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人：

1第一輪傳蟠T+x第二輪傳染包T+X+X（1+X）

（3）握手、比賽問題

握手問題：n個人見面，任意兩個人都要握一次手，問總共握巫9次手。

2

贈卡問題：n個人相互之間送卡片，總共要送n（n-l）張卡片。

（4）銷售利潤問題：

①常用公式：利潤=售價-成本；總利潤=每件利潤X銷售量；

⑦每每問題中，單價每漲a元，少買y件。若漲價y元，則少買的數量為b科

—xy件

a

（5）幾何面積問題

（1）如圖①,設空白部分的寬為X,則S陰影=（a-2x）（b-2x）;

（2）如圖②，設陰影道路的寬為X,貝⑶空白=%（b-x）

（3）如圖③，欄桿總長為a,BC的長為b,則S=9-b

（6）動點與幾何問題

關鍵是將點的運動關系表示出來，找出未知量與已知量的內在聯(lián)系，根據面積或體積

公式列出方程.

母題精講

【典例1】（2022?西藏）已知關于x的一元二次方程（m-1）f+2x-3=0有實數根，則加

的取值范圍是（）

A.機B.m<—C.m>2且冽D.m>2且

3333

【答案】D

【解答】解：?關于x的一元二次方程（冽-1）r+2廠3=0有實數根，

2

...；A=2-4（m-l）X（-3）＞0,

m-lTtO

解得：機且mwi.

3

故選：D.

【典例2】（2020?黔西南州）有一人患了流感，經過兩輪傳染后，共有121人患了流感，

每輪傳染中平均每人傳染了個人.

【答案】10

【解答】解：設每輪傳染中平均每人傳染了x人.

依題意，得1+x+x（1+x）=121,

即（1+x）2=121,

解方程，得XI=10,X2=-12（舍去）.

答：每輪傳染中平均每人傳染了10人.

【典例3】（2022?青海）如圖，小明同學用一張長HCM,寬7cm的矩形紙板制作一個底面

積為215?的無蓋長方體紙盒，他將紙板的四個角各剪去一個同樣大小的正方形，將四

周向上折疊即可（損耗不計）.設剪去的正方形邊長為我用，則可列出關于x的方程

故答案為：（11-2%）（7-2%）=21

【典例4】（2022?涼山州）解方程：X2-2X-3=0.

【解答】解：原方程可以變形為（x-3）（x+1）=0

x-3=0或x+l=0

??X1=3,X2=-1.

【典例5】（2021?日照）某藥店新進一批桶裝消毒液，每桶進價35元，原計劃以每桶55元

的價格銷售，為更好地助力疫情防控，現(xiàn)決定降價銷售.已知這種消毒液銷售量y（桶）

與每桶降價x（元）（0<x<20）之間滿足一次函數關系，其圖象如圖所示：

（1）求y與x之間的函數關系式；

（2）在這次助力疫情防控活動中，該藥店僅獲利1760元.這種消毒液每桶實際售價多

少元？

【解答】解：（1）設y與x之間的函數關系式為：y=kx+b,

將點（1,110）、（3,130）代入一次函數關系式得：I110=k+b,

I130=3k+b

解得“k=10,

lb=100

故函數的關系式為：y=10x+100（0<x<20）；

（2）由題意得：（lOx+100）X（55-%-35）=1760,

整理，得x2-10x-24=0.

解得xi=12,X2=-2（舍去）.

所以55-x=43.

答：這種消毒液每桶實際售價43元.

【典例6】（2022?德州）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長寬分別為35加，15%現(xiàn)計劃對其進

行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地.

（1）若擴充后的矩形綠地面積為800處求新的矩形綠地的長與寬；

（2）擴充后，實地測量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長寬之比為5：3.求新的矩形綠地面積.

15m

35m

【解答】解：(1)設將綠地的長、寬增加.加，則新的矩形綠地的長為(35+x)m,寬

為(15+x)m,

根據題意得：(35+x)(15+x)=800,

整理得：^+50%-275=0

解得：xi=5,%2=-55(不符合題意，舍去)，

.*.35+x=35+5=40,15+x=15+5=20.

答：新的矩形綠地的長為40m，寬為20M.

(2)設將綠地的長、寬增加JTO,則新的矩形綠地的長為(35+y)m,寬為(15+y)m,

根據題意得：(35+y)：(15+y)=5：3,

即3(35+y)=5(15+y),

解得：y=15,

：.(35+y)(15+y)=(35+15)X(15+15)=1500.

答：新的矩形綠地面積為1500療.

【典例7】(2022?南岸區(qū)自主招生)北京冬奧會期間，某商店購進600個紀念品，每個紀

念品的進價為6元，第一周以每個10元的價格售出200個.第二周商店為了適當增加銷

售量，決定降價銷售.根據市場調查，單價每降低1元，可多售出50個(售價不得低于

進價).第三周商店把每個紀念品的售價再在第二周售價的基礎上降低20%,剩余紀

念品全部售完.

注：銷售利潤=銷售量X(售價-進價)

(1)若第二周每個紀念品降價加元，用含用的代數式表示這批紀念品第二周的銷售利

潤；

(2)若前兩周商店銷售這批紀念品的利潤為1400元，求第二周每個紀念品的售價；

(3)若這批紀念品共獲得銷售利潤1730元，求這批紀念品第三周的銷售數量.

【解答】解：(1)依題意得：第二周每個紀念品的銷售利潤為(10-冽-6)=(4-

m)元，銷售量為(200+50m)個，

這批紀念品第二周的銷售利潤為(4-m)(200+50m)元.

(2)依題意得：(10-6)X200+(4-m)(200+50/n)=1400,

整理得：m12-4=0,

解得：“21=2,OT2=_2(不符合題意，舍去)，

，10-m=10-2=8.

答：第二周每個紀念品的售價為8元.

(3)依題意得：(10-6)X200+(4-m)(200+50m)+[CIO-m)X(1-20%)

-6][600-200-(200+50w)]=1730,

整理得：加2+26m-27=0,

解得：/加=1,OT2=~27(不符合題意，舍去)，

.*.600-200-(200+50冽)=600-200-(200+50X1)=150.

答：這批紀念品第三周的銷售數量為150個.

真題精選

命題1一元二次方程的解法〉

1.（2022?臨沂）方程f-2x-24=0的根是（）

A.xi=6，％2=4B.XI=6，X2=-4

C.x\=-6,短=4D.X\=-6,%2=-4

【答案】B

【解答】解：?-2x-24=0,

（x-6）（x+4）=0,

x-6=0或x+4=0,

解得X1=6,X2=-4,

故選：B.

2.（2022?梧州）一元二次方程（x-2）（x+7）=0的根是

【答案】xi=2,X2=-7

【解答】解：(x-2)(x+7)=0,

x-2=0或x+7=0,

xi=2,X2=-7,

故答案為：xi=2,X2=-7.

3.(2021?蘭州)解方程：/+4xT=0.

【解答】解：?.?x*2+*564x-l=0

.'.X2+4X=1

.'.X2+4X+4=1+4

(x+2)2=5

'.x=-2土述

.'?xi=-2+J^,X2=-2-A/5-

命題2一元二次方程根的判別式,

-------------------------------------------------/4.（2022?郴州）一元二次方程2f+x-1=0

的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根

C.只有一個實數根D.沒有實數根

【答案】A

【解答】解：；A=12-4X2X（-1）=1+8=9>0,

一元二次方程2r+%-1=0有兩個不相等的實數根，

故選：A.

5.（2022?蘭州）關于x的一元二次方程依2+2%-1=0有兩個相等的實數根，則左=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解答】解：根據題意得左W0且△=22-4左X（-1）=0,

解得左=-1.

故選：B.

6.（2022?安順）定義新運算a*。：對于任意實數a,萬滿足a%=（a+。）（a-。）-1,

其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算，例如3*2=(3+2)(3-2)-1=5-1

=4.若x*左=2x(左為實數)是關于x的方程，則它的根的情況是()

A.有一個實數根B.有兩個不相等的實數根

C.有兩個相等的實數根D.沒有實數根

【答案】B

【解答】解：根據題中的新定義化簡得：(x+左)Cx-k)-l=2x,

整理得：X2-2X-1-^=0,

VA=4-4(-1-3)=4評+8>0,

...方程有兩個不相等的實數根.

故選：B.

命題3—元二次方程的實際應。^

7.(2022?河池)某廠家今年一月份的口罩產量是30萬個，三月份的口罩產量是50萬個，

若設該廠家一月份到三月份的口罩產量的月平均增長率為x.則所列方程為()

A.30(1+x)2=50B.30(1-%)2=50

C.30(1+%2)=50D.30(1-%2)=50

【答案】A

【解答】解：設該廠家一月份到三月份的口罩產量的月平均增長率為X,

由題意得，30(1+x)2=50.

故選：A.

8.(2022?黑龍江)2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了