湖北省孝感市孝南區(qū)2025屆高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

湖北省孝感市孝南區(qū)2025屆高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知單位向量,的夾角為,若向量,,且,則()A.2 B.2 C.4 D.62.為雙曲線的左焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn),(在、之間)與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),若,且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.已知集合,,則()A. B.C. D.4.已知是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為1的圓上的任意一點(diǎn),將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到交圓于點(diǎn),則的最大值為()A.3 B.2 C. D.5.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則()A.3 B.5 C. D.6.已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形,則該幾何體的各個(gè)面中,最大面的面積為()A.2 B.5 C. D.7.設(shè)全集,集合,,則集合()A. B. C. D.8.已知,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.9.已知數(shù)列滿足:,則()A.16 B.25 C.28 D.3310.已知某超市2018年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示:根據(jù)該折線圖可知,下列說法錯(cuò)誤的是()A.該超市2018年的12個(gè)月中的7月份的收益最高B.該超市2018年的12個(gè)月中的4月份的收益最低C.該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D.該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元11.已知數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,設(shè),,則當(dāng)時(shí),的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.1112.設(shè)集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,則集合中的元素共有()A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為,過作軸的垂線與相交于兩點(diǎn),與軸相交于.若,則雙曲線的離心率為_________.14.設(shè),滿足約束條件,則的最大值為______.15.已知,為雙曲線的左、右焦點(diǎn),雙曲線的漸近線上存在點(diǎn)滿足,則的最大值為________.16.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,向量(4,﹣n),(Sn,n+3).若⊥,則數(shù)列{}前2020項(xiàng)和為_____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,.(1)解;(2)若,證明:.18.(12分)某企業(yè)現(xiàn)有A.B兩套設(shè)備生產(chǎn)某種產(chǎn)品,現(xiàn)從A,B兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本,檢測某一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品,否則為不合格品.圖1是從A設(shè)備抽取的樣本頻率分布直方圖,表1是從B設(shè)備抽取的樣本頻數(shù)分布表.圖1:A設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻率分布直方圖表1:B設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2184814162(1)請(qǐng)估計(jì)A.B設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值;(2)企業(yè)將不合格品全部銷毀后,并對(duì)合格品進(jìn)行等級(jí)細(xì)分,質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的定為一等品,每件利潤240元;質(zhì)量指標(biāo)值落在或內(nèi)的定為二等品,每件利潤180元;其它的合格品定為三等品,每件利潤120元.根據(jù)圖1、表1的數(shù)據(jù),用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級(jí)產(chǎn)品的概率.企業(yè)由于投入資金的限制,需要根據(jù)A,B兩套設(shè)備生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品每件獲得利潤的期望值調(diào)整生產(chǎn)規(guī)模,請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù),從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮企業(yè)應(yīng)該對(duì)哪一套設(shè)備加大生產(chǎn)規(guī)模?19.(12分)某商場舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),顧客購買每滿元的商品即可抽獎(jiǎng)一次.抽獎(jiǎng)規(guī)則如下:抽獎(jiǎng)?wù)邤S各面標(biāo)有點(diǎn)數(shù)的正方體骰子次,若擲得點(diǎn)數(shù)大于,則可繼續(xù)在抽獎(jiǎng)箱中抽獎(jiǎng);否則獲得三等獎(jiǎng),結(jié)束抽獎(jiǎng),已知抽獎(jiǎng)箱中裝有個(gè)紅球與個(gè)白球,抽獎(jiǎng)?wù)邚南渲腥我饷鰝€(gè)球,若個(gè)球均為紅球,則獲得一等獎(jiǎng),若個(gè)球?yàn)閭€(gè)紅球和個(gè)白球,則獲得二等獎(jiǎng),否則,獲得三等獎(jiǎng)(抽獎(jiǎng)箱中的所有小球,除顏色外均相同).若,求顧客參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲得三等獎(jiǎng)的概率;若一等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金元,二等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金元,三等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金元,記顧客一次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金為,若商場希望的數(shù)學(xué)期望不超過元,求的最小值.20.(12分)已知拋物線:()上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為4.(1)求p的值;(2)設(shè)()為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過P作圓的兩條切線分別與y軸交于A、B兩點(diǎn).求的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù),其中.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè),求證:;(Ⅲ)若對(duì)于恒成立,求的最大值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、,焦距為2,直線與橢圓交于兩點(diǎn)(均異于橢圓的左、右頂點(diǎn)).當(dāng)直線過橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸時(shí),四邊形的面積為6.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線的斜率分別為.①若,求證:直線過定點(diǎn);②若直線過橢圓的右焦點(diǎn),試判斷是否為定值,并說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)列方程,由此求得的值,進(jìn)而求得.【詳解】由于,所以,即,解得.所以所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,考查向量模的求法,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

過點(diǎn)作,可得出點(diǎn)為的中點(diǎn),由可求得的值,可計(jì)算出的值,進(jìn)而可得出,結(jié)合可知點(diǎn)為的中點(diǎn),可得出,利用勾股定理求得(為雙曲線的右焦點(diǎn)),再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示,過點(diǎn)作,設(shè)該雙曲線的右焦點(diǎn)為,連接.,.,,,為的中點(diǎn),,,,,由雙曲線的定義得,即,因此,該雙曲線的離心率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解,解題時(shí)要充分分析圖形的形狀,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.3、A【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)可知,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】∵,集合,∴由交集運(yùn)算可得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由對(duì)數(shù)的性質(zhì)比較大小,集合交集的簡單運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由三角函數(shù)的定義得,,,利用輔助角公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由已知,,,所以,當(dāng)時(shí),取得等號(hào).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問題,涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識(shí),是一道容易題.5、C【解析】

先由已知,求出,進(jìn)一步可得,再利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可【詳解】由z是純虛數(shù),得且,所以,.因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)三視圖還原出幾何體,找到最大面,再求面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)三棱錐,如圖所示,將其放在一個(gè)長方體中,并記為三棱錐.,,,故最大面的面積為.選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別,復(fù)雜的三視圖還原為幾何體時(shí),一般借助長方體來實(shí)現(xiàn).7、C【解析】∵集合,,∴點(diǎn)睛:本題是道易錯(cuò)題,看清所問問題求并集而不是交集.8、B【解析】

利用函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),可得,再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)比較a,c進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】依題意,函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱,則,即,又,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)、指數(shù)的大小比較,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

依次遞推求出得解.【詳解】n=1時(shí),,n=2時(shí),,n=3時(shí),,n=4時(shí),,n=5時(shí),.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.10、D【解析】

用收入減去支出,求得每月收益,然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此判斷出說法錯(cuò)誤的選項(xiàng).【詳解】用收入減去支出,求得每月收益(萬元),如下表所示:月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高,A選項(xiàng)說法正確;月收益最低,B選項(xiàng)說法正確;月總收益萬元,月總收益萬元,所以前個(gè)月收益低于后六個(gè)月收益,C選項(xiàng)說法正確,后個(gè)月收益比前個(gè)月收益增長萬元,所以D選項(xiàng)說法錯(cuò)誤.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析,考查收益的計(jì)算方法,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù)題意計(jì)算,,,解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,∴.∵是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴.∴.∵,∴,解得.則當(dāng)時(shí),的最大值是9.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列,f分組求和,意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.12、A【解析】試題分析:,,所以,即集合中共有3個(gè)元素,故選A.考點(diǎn):集合的運(yùn)算.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由已知可得,結(jié)合雙曲線的定義可知,結(jié)合,從而可求出離心率.【詳解】解:,,又,則.,,,即解得,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義,考查了雙曲線的性質(zhì).本題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何關(guān)系,分析出.關(guān)于圓錐曲線的問題,一般如果能結(jié)合幾何性質(zhì),可大大減少計(jì)算量.14、29【解析】

由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為以原點(diǎn)為圓心的圓,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖:聯(lián)立,解得,目標(biāo)函數(shù)是以原點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓,由圖可知,此圓經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),半徑最大,此時(shí)也最大,最大值為.所以本題答案為29.【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題,首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線,其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等,最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.15、【解析】

設(shè),由可得,整理得,即點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上.又點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為,所以當(dāng)雙曲線的漸近線與圓相切時(shí),取得最大值,此時(shí),解得.16、【解析】

由已知可得?4Sn﹣n(n+3)=0,可得Sn,n=1時(shí),a1=S1=1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1.可得:2().利用裂項(xiàng)求和方法即可得出.【詳解】∵⊥,∴?4Sn﹣n(n+3)=0,∴Sn,n=1時(shí),a1=S1=1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1.,滿足上式,.∴2().∴數(shù)列{}前2020項(xiàng)和為2(1)=2(1).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)列遞推關(guān)系、裂項(xiàng)求和方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析.【解析】

(1)在不等式兩邊平方化簡轉(zhuǎn)化為二次不等式,解此二次不等式即可得出結(jié)果;(2)利用絕對(duì)值三角不等式可證得成立.【詳解】(1),,由得,不等式兩邊平方得,即,解得或.因此,不等式的解集為;(2),,由絕對(duì)值三角不等式可得.因此,.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值不等式的求解,同時(shí)也考查了利用絕對(duì)值三角不等式證明不等式,考查推理能力與運(yùn)算求解能力,屬于中等題.18、(1)30.2,29;(2)B設(shè)備【解析】

(1)平均數(shù)的估計(jì)值為組中值與頻率乘積的和;(2)要注意指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品才視為合格品,列出A、B設(shè)備利潤分布列,算出期望即可作出決策.【詳解】(1)A設(shè)備生產(chǎn)的樣本的頻數(shù)分布表如下質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)41640121810.根據(jù)樣本質(zhì)量指標(biāo)平均值估計(jì)A設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)平均值為30.2.B設(shè)備生產(chǎn)的樣本的頻數(shù)分布表如下質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2184814162根據(jù)樣本質(zhì)量指標(biāo)平均值估計(jì)B設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)平均值為29.(2)A設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤記為X,B設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤記為Y,X240180120PY240180120P若以生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤作為決策依據(jù),企業(yè)應(yīng)加大B設(shè)備的生產(chǎn)規(guī)模.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的估計(jì)值、離散隨機(jī)變量的期望,并利用期望作決策,是一個(gè)概率與統(tǒng)計(jì)綜合題,本題是一道中檔題.19、;.【解析】

設(shè)顧客獲得三等獎(jiǎng)為事件,因?yàn)轭櫩蛿S得點(diǎn)數(shù)大于的概率為,顧客擲得點(diǎn)數(shù)小于,然后抽將得三等獎(jiǎng)的概率為,求出;由題意可知,隨機(jī)變量的可能取值為,,,相應(yīng)求出概率,求出期望,化簡得,由題意可知,,即,求出的最小值.【詳解】設(shè)顧客獲得三等獎(jiǎng)為事件,因?yàn)轭櫩蛿S得點(diǎn)數(shù)大于的概率為,顧客擲得點(diǎn)數(shù)小于,然后抽將得三等獎(jiǎng)的概率為,所以;由題意可知,隨機(jī)變量的可能取值為,,,且,,,所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,,化簡得,由題意可知,,即,化簡得,因?yàn)?,解得,即的最小值?【點(diǎn)睛】本題主要考查概率和期望的求法,屬于??碱}.20、(1);(2)【解析】

(1)根據(jù)橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為4,由拋物線的定義得到求解.(2)設(shè)過點(diǎn)的直線方程為,根據(jù)直線與圓相切,則有,整理得:,根據(jù)題意,建立,將韋達(dá)定理代入求解.【詳解】(1)因?yàn)闄M坐標(biāo)為3的點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為4,由拋物線的定義得:,解得:.(2)設(shè)過點(diǎn)的直線方程為,因?yàn)橹本€與圓相切,所以,整理得:,,由題意得:所以,,因?yàn)?,所以,所?【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義及點(diǎn)與拋物線,直線與圓的位置關(guān)系,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.21、(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ).【解析】

(Ⅰ)利用二次求導(dǎo)可得,所以在上為增函數(shù),進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),所以函數(shù)在遞減,在,遞增,則,進(jìn)而可證;(Ⅲ)條件等價(jià)于對(duì)于恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性,即可得到的最小值為,再次構(gòu)造函數(shù)(a),,利用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求得最大值.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,則,所以,又因?yàn)?,所以在上為增函?shù),因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),,為增函數(shù),當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ),則令,則(1),,

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