2025屆重慶市秀山高級(jí)中學(xué)高三(最后沖刺)數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2025屆重慶市秀山高級(jí)中學(xué)高三(最后沖刺)數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某市政府決定派遣名干部(男女)分成兩個(gè)小組,到該市甲、乙兩個(gè)縣去檢查扶貧工作,若要求每組至少人,且女干部不能單獨(dú)成組,則不同的派遣方案共有()種A. B. C. D.2.如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的年入境游客(單位:萬(wàn)人次)的變化情況,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.2014年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次最少B.后4年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次呈逐漸增加趨勢(shì)C.這6年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次的中位數(shù)大于13340萬(wàn)人次D.前3年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次數(shù)據(jù)的方差3.設(shè)集合,,則()A. B.C. D.4.已知集合,則集合真子集的個(gè)數(shù)為()A.3 B.4 C.7 D.85.已知非零向量、,若且,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.6.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則()A.1 B.2 C.3 D.47.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為,已知,則為()A. B. C.或 D.或8.已知集合A,則集合()A. B. C. D.9.如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象,為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象,只需將的圖象上的所有的點(diǎn)()A.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,縱坐標(biāo)不變B.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變C.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,縱坐標(biāo)不變D.向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變10.已知雙曲線的一條漸近線方程是,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.11.已知,是兩條不重合的直線,,是兩個(gè)不重合的平面,則下列命題中錯(cuò)誤的是()A.若,,則或B.若,,,則C.若,,,則D.若,,則12.已知,則下列關(guān)系正確的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在梯形中,∥,分別是的中點(diǎn),若,則的值為_(kāi)__________.14.圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程為_(kāi)____.15.的展開(kāi)式中,若的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則________.16.在直角坐標(biāo)系中,某等腰直角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)該三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則的解析式為_(kāi)__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在極坐標(biāo)系中,已知曲線C的方程為(),直線l的方程為.設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),且,求r的值.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫(xiě)出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,求的最小值以及此時(shí)的直角坐標(biāo).19.(12分)如圖,平面分別是上的動(dòng)點(diǎn),且.(1)若平面與平面的交線為,求證:;(2)當(dāng)平面平面時(shí),求平面與平面所成的二面角的余弦值.20.(12分)如圖,三棱臺(tái)中,側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形,若,且.(Ⅰ)若,,證明:∥平面;(Ⅱ)若二面角為,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.21.(12分)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)(點(diǎn)在軸上方),斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn),且,直線交軸于點(diǎn).(1)設(shè)橢圓的離心率為,當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí),的坐標(biāo)為,求的值.(2)若橢圓的方程為,且,是否存在使得成立?如果存在,求出的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(10分)有最大值,且最大值大于.(1)求的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),證明:.(參考數(shù)據(jù):)

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

在所有兩組至少都是人的分組中減去名女干部單獨(dú)成一組的情況,再將這兩組分配,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】?jī)山M至少都是人,則分組中兩組的人數(shù)分別為、或、,

又因?yàn)槊刹坎荒軉为?dú)成一組,則不同的派遣方案種數(shù)為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合問(wèn)題,涉及分組分配問(wèn)題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.2、D【解析】

ABD可通過(guò)統(tǒng)計(jì)圖直接分析得出結(jié)論,C可通過(guò)計(jì)算中位數(shù)判斷選項(xiàng)是否正確.【詳解】A.由統(tǒng)計(jì)圖可知:2014年入境游客萬(wàn)人次最少,故正確;B.由統(tǒng)計(jì)圖可知:后4年我國(guó)入境游客萬(wàn)人次呈逐漸增加趨勢(shì),故正確;C.入境游客萬(wàn)人次的中位數(shù)應(yīng)為與的平均數(shù),大于萬(wàn)次,故正確;D.由統(tǒng)計(jì)圖可知:前年的入境游客萬(wàn)人次相比于后年的波動(dòng)更大,所以對(duì)應(yīng)的方差更大,故錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表信息的讀取以及對(duì)中位數(shù)和方差的理解,難度較易.處理問(wèn)題的關(guān)鍵是能通過(guò)所給統(tǒng)計(jì)圖,分析出對(duì)應(yīng)的信息,對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題的能力有一定要求.3、D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運(yùn)算可得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

解出集合,再由含有個(gè)元素的集合,其真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)可得答案.【詳解】解:由,得所以集合的真子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選:C【點(diǎn)睛】此題考查利用集合子集個(gè)數(shù)判斷集合元素個(gè)數(shù)的應(yīng)用,含有個(gè)元素的集合,其真子集的個(gè)數(shù)為個(gè),屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

設(shè)非零向量與的夾角為,在等式兩邊平方,求出的值,進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為,即可得解.【詳解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的計(jì)算,同時(shí)也考查利用向量的模計(jì)算向量的夾角,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率,列出a的方程即可求解【詳解】因?yàn)?,且在點(diǎn)處的切線的斜率為3,所以,即.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題7、D【解析】

由正弦定理可求得,再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知,所以,解得,又,且,所以或。故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍,是否有兩解的情況,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

化簡(jiǎn)集合,,按交集定義,即可求解.【詳解】集合,,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

由函數(shù)的最大值求出,根據(jù)周期求出,由五點(diǎn)畫(huà)法中的點(diǎn)坐標(biāo)求出,進(jìn)而求出的解析式,與對(duì)比結(jié)合坐標(biāo)變換關(guān)系,即可求出結(jié)論.【詳解】由圖可知,,又,,又,,,為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象,只需將的圖象上的所有向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位,得到的圖象,再將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的(縱坐標(biāo)不變)即可.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象求解析式,考查函數(shù)圖象間的變換關(guān)系,屬于中檔題.10、D【解析】雙曲線的漸近線方程是,所以,即,,即,,故選D.11、D【解析】

根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),可判定A;由線面平行的判定定理,可判斷B;C中可判斷,所成的二面角為;D中有可能,即得解.【詳解】選項(xiàng)A:若,,根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),有或,故A正確;選項(xiàng)B:若,,,由線面平行的判定定理,有,故B正確;選項(xiàng)C:若,,,故,所成的二面角為,則,故C正確;選項(xiàng)D,若,,有可能,故D不正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象能力,屬于中檔題.12、A【解析】

首先判斷和1的大小關(guān)系,再由換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的大小即可.【詳解】因?yàn)?,,,所以,綜上可得.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

建系,設(shè)設(shè),由可得,進(jìn)一步得到的坐標(biāo),再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到答案.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,設(shè),則,所以,,由,得,即,又,所以,故,,所以.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查利用坐標(biāo)法求向量的數(shù)量積,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道中檔題.14、【解析】

求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),即可得解.【詳解】的圓心為,關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為,則有:,解得,所以對(duì)稱后的圓心為,故所求圓的方程為.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查求圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓方程,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).15、【解析】試題分析:由已知得,故的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為,,,,,其系數(shù)之和為,解得.考點(diǎn):二項(xiàng)式定理.16、【解析】

結(jié)合題意先畫(huà)出直角坐標(biāo)系,點(diǎn)出所有可能組成等腰直角三角形的點(diǎn),采用排除法最終可確定為點(diǎn),再由函數(shù)性質(zhì)進(jìn)一步求解參數(shù)即可【詳解】等腰直角三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)可能的位置如下圖中的點(diǎn),其中點(diǎn)與已有的兩個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)重復(fù),舍去;若為點(diǎn)則點(diǎn)與點(diǎn)的中間位置的點(diǎn)的縱坐標(biāo)必然大于或小于,不可能為,因此點(diǎn)也舍去,只有點(diǎn)滿足題意.此時(shí)點(diǎn)為最大值點(diǎn),所以,又,則,所以點(diǎn),之間的圖像單調(diào),將,代入的表達(dá)式有由知,因此.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)圖像求解解析式,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解析】

先將曲線C和直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,可得圓心到直線的距離,再由勾股定理,計(jì)算即得.【詳解】以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,可得曲線C:()的直角坐標(biāo)方程為,表示以原點(diǎn)為圓心,半徑為r的圓.由直線l的方程,化簡(jiǎn)得,則直線l的直角坐標(biāo)方程方程為.記圓心到直線l的距離為d,則,又,即,所以.【點(diǎn)睛】本題考查曲線和直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,是基礎(chǔ)題.18、(1):,:;(2),此時(shí).【解析】試題分析:(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為;(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為到的距離當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為,此時(shí)的直角坐標(biāo)為.試題解析:(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為.(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,因?yàn)槭侵本€,所以的最小值即為到的距離的最小值,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為,此時(shí)的直角坐標(biāo)為.考點(diǎn):坐標(biāo)系與參數(shù)方程.【方法點(diǎn)睛】參數(shù)方程與普通方程的互化:把參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征,選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒?,常?jiàn)的消參方法有:代入消參法;加減消參法;平方和(差)消參法;乘法消參法;混合消參法等.把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵:一是適當(dāng)選取參數(shù);二是確?;セ昂蠓匠痰牡葍r(jià)性.注意方程中的參數(shù)的變化范圍.19、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)首先由線面平行的判定定理可得平面,再由線面平行的性質(zhì)定理即可得證;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),,所在的直線分別為軸,以過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求出二面角的余弦值;【詳解】解:(1)由,又平面,平面,所以平面.又平面,且平面平面,故.(2)因?yàn)槠矫妫?,又,所以平面,所以,又,所?若平面平面,則平面,所以,由且,又,所以.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),,所在的直線分別為軸,以過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,設(shè)則由,可得,,即,所以可得,所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,,,取,得所以易知平面的法向量為,設(shè)平面與平面所成的二面角為,則,結(jié)合圖形可知平面與平面所成的二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理及性質(zhì)定理的應(yīng)用,利用空間向量法求二面角,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),屬于中檔題.20、(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)連接,由比例可得∥,進(jìn)而得線面平行;(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作的垂線,建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則求得平面的法向量為,設(shè)平面的法向量為,由求二面角余弦即可.試題解析:(Ⅰ)證明:連接,梯形,,易知:;又,則∥;平面,平面,可得:∥平面;(Ⅱ)側(cè)面是梯形,,,,則為二面角的平面角,;均為正三角形,在平面內(nèi),過(guò)點(diǎn)作的垂線,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則,故點(diǎn),;設(shè)平面的法向量為,則有:;設(shè)平面的法向量為,則有:;,故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.21、(1);(2)不存在,理由見(jiàn)解析【解析】

(1)寫(xiě)出,根據(jù),斜率乘積為-1,建立等量關(guān)系求解離心率;(2)寫(xiě)出直線AB的方程,根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)B的坐標(biāo),計(jì)算出弦長(zhǎng),根據(jù)垂直關(guān)系同理可得,利用等式即可得解.【詳解】(1)由題可得,過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn),且,直線交軸于點(diǎn).點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí),的坐標(biāo)為,即,,化簡(jiǎn)得:,即,解得或(舍去),所以;(2)橢圓的方程為,由(1)可得,聯(lián)立得:,設(shè)B的橫坐標(biāo),根據(jù)韋達(dá)定理,即,,所以,同理可得若存在使得成立,則,化簡(jiǎn)得:,,此方程無(wú)解,所以不存在使得成立.【點(diǎn)睛】此題考查求橢圓離心率,根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系解決弦長(zhǎng)問(wèn)題,關(guān)鍵在于熟練掌握解析幾何常用方法,尤其是韋達(dá)定理在解決解析幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.22、(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域?yàn)?,,分和兩種情況討論,分析函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,即可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式,進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上遞增,在上遞減,可得出,由,構(gòu)造函數(shù),證明出,進(jìn)而得出,再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)論.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,?當(dāng)時(shí),對(duì)任意的,,

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