江蘇省南京市玄武高級(jí)中學(xué)2025屆高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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江蘇省南京市玄武高級(jí)中學(xué)2025屆高三一診考試數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn),則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.2.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的函數(shù)為偶函數(shù),則的值為()A. B. C. D.3.關(guān)于的不等式的解集是,則關(guān)于的不等式的解集是()A. B.C. D.4.在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后,甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè).甲:我的成績(jī)比乙高.乙:丙的成績(jī)比我和甲的都高.丙:我的成績(jī)比乙高.成績(jī)公布后,三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確,那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)锳.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙5.函數(shù)在上的大致圖象是()A. B.C. D.6.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,則的最小值為A.8 B.16 C.24 D.367.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則下列結(jié)論正確的是()A. B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是C. D.8.已知復(fù)數(shù)滿足:,則的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.9.已知橢圓的焦點(diǎn)分別為,,其中焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,且橢圓與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)連線正好過(guò)點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.10.雙曲線C:(,)的離心率是3,焦點(diǎn)到漸近線的距離為,則雙曲線C的焦距為()A.3 B. C.6 D.11.半正多面體(semiregularsolid)亦稱“阿基米德多面體”,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體,是由正方體切截而成的,它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形為面的半正多面體.如圖所示,圖中網(wǎng)格是邊長(zhǎng)為1的正方形,粗線部分是某二十四等邊體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.12.對(duì)于函數(shù),定義滿足的實(shí)數(shù)為的不動(dòng)點(diǎn),設(shè),其中且,若有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是()A.或 B.C.或 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,則_____14.某部門(mén)全部員工參加一項(xiàng)社會(huì)公益活動(dòng),按年齡分為三組,其人數(shù)之比為,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本,若組中甲、乙二人均被抽到的概率是,則該部門(mén)員工總?cè)藬?shù)為_(kāi)_________.15.某種圓柱形的如罐的容積為個(gè)立方單位,當(dāng)它的底面半徑和高的比值為_(kāi)_____.時(shí),可使得所用材料最省.16.雙曲線的左焦點(diǎn)為,點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),且周長(zhǎng)的最小值為8,則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)_______,離心率為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),,(1)討論的單調(diào)性;(2)若在定義域內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且此時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18.(12分)已知數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程:(2)求與交點(diǎn)的極坐標(biāo).20.(12分)已知函數(shù),(1)證明:在區(qū)間單調(diào)遞減;(2)證明:對(duì)任意的有.21.(12分)已知橢圓:()的左、右焦點(diǎn)分別為和,右頂點(diǎn)為,且,短軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程;(2)若過(guò)點(diǎn)作垂直軸的直線,點(diǎn)為直線上縱坐標(biāo)不為零的任意一點(diǎn),過(guò)作的垂線交橢圓于點(diǎn)和,當(dāng)時(shí),求此時(shí)四邊形的面積.22.(10分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)記函數(shù)的最小值為,正實(shí)數(shù)、滿足,求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

先求得的漸近線方程,根據(jù)沒(méi)有公共點(diǎn),判斷出漸近線斜率的取值范圍,由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由于雙曲線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn),所以雙曲線的漸近線的斜率,所以雙曲線的離心率.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,考查雙曲線離心率的取值范圍的求法,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】將將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得函數(shù)又由函數(shù)為偶函數(shù),所以,解得,因?yàn)?,?dāng)時(shí),,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換,合理應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

由的解集,可知及,進(jìn)而可求出方程的解,從而可求出的解集.【詳解】由的解集為,可知且,令,解得,,因?yàn)?,所以的解集為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理能力,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

利用逐一驗(yàn)證的方法進(jìn)行求解.【詳解】若甲預(yù)測(cè)正確,則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,則甲比乙成績(jī)高,丙比乙成績(jī)低,故3人成績(jī)由高到低依次為甲,乙,丙;若乙預(yù)測(cè)正確,則丙預(yù)測(cè)也正確,不符合題意;若丙預(yù)測(cè)正確,則甲必預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,丙比乙的成績(jī)高,乙比甲成績(jī)高,即丙比甲,乙成績(jī)都高,即乙預(yù)測(cè)正確,不符合題意,故選A.【點(diǎn)睛】本題將數(shù)學(xué)知識(shí)與時(shí)政結(jié)合,主要考查推理判斷能力.題目有一定難度,注重了基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.5、D【解析】

討論的取值范圍,然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,則,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變小,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變大,可排除A、B;當(dāng)時(shí),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變大,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變小,可排除C,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了識(shí)別函數(shù)的圖像,考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.6、B【解析】

方法一:由題意得,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得成等差數(shù)列,設(shè),則,,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,從而的最小值為16,故選B.方法二:設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為d,由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及,化簡(jiǎn)可得,即,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,從而的最小值為16,故選B.7、D【解析】

首先求得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)除法運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由題意知復(fù)數(shù),則,所以A選項(xiàng)不正確;復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,所以B選項(xiàng)不正確;,所以C選項(xiàng)不正確;,所以D選項(xiàng)正確.故選:D【點(diǎn)睛】本小題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模,復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結(jié)合思想.8、B【解析】

轉(zhuǎn)化,為,利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn),即得解【詳解】復(fù)數(shù)滿足:所以故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的基本概念,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)題意可得易知,且,解方程可得,再利用即可求解.【詳解】易知,且故有,則故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、拋物線的幾何性質(zhì),考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題10、A【解析】

根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離,可得,然后根據(jù),可得結(jié)果.【詳解】由題可知:雙曲線的漸近線方程為取右焦點(diǎn),一條漸近線則點(diǎn)到的距離為,由所以,則又所以所以焦距為:故選:A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線方程,以及之間的關(guān)系,識(shí)記常用的結(jié)論:焦點(diǎn)到漸近線的距離為,屬基礎(chǔ)題.11、D【解析】

根據(jù)三視圖作出該二十四等邊體如下圖所示,求出該幾何體的棱長(zhǎng),可以將該幾何體看作是相應(yīng)的正方體沿各棱的中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的,可求出其體積.【詳解】如下圖所示,將該二十四等邊體的直觀圖置于棱長(zhǎng)為2的正方體中,由三視圖可知,該幾何體的棱長(zhǎng)為,它是由棱長(zhǎng)為2的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的,該幾何體的體積為,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,幾何體的體積,對(duì)于二十四等邊體比較好的處理方式是由正方體各棱的中點(diǎn)得到,屬于中檔題.12、C【解析】

根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義,利用換底公式分離參數(shù)可得;構(gòu)造函數(shù),并討論的單調(diào)性與最值,畫(huà)出函數(shù)圖象,即可確定的取值范圍.【詳解】由得,.令,則,令,解得,所以當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)單調(diào)遞減;所以在處取得極大值,即最大值為,則的圖象如下圖所示:由有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),可得得或,解得或.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用,由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與最值,分離參數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)方法的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

化簡(jiǎn)得,利用周期即可求出答案.【詳解】解:,∴函數(shù)的最小正周期為6,∴,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14、60【解析】

根據(jù)樣本容量及各組人數(shù)比,可求得C組中的人數(shù);由組中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C組的總?cè)藬?shù),即可由各組人數(shù)比求得總?cè)藬?shù).【詳解】三組人數(shù)之比為,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本,則三組抽取人數(shù)分別.設(shè)組有人,則組中甲、乙二人均被抽到的概率,∴解得.∴該部門(mén)員工總共有人.故答案為:60.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的定義與簡(jiǎn)單應(yīng)用,古典概型概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用,由各層人數(shù)求總?cè)藬?shù)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

設(shè)圓柱的高為,底面半徑為,根據(jù)容積為個(gè)立方單位可得,再列出該圓柱的表面積,利用導(dǎo)數(shù)求出最值,從而進(jìn)一步得到圓柱的底面半徑和高的比值.【詳解】設(shè)圓柱的高為,底面半徑為.∵該圓柱形的如罐的容積為個(gè)立方單位∴,即.∴該圓柱形的表面積為.令,則.令,得;令,得.∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.∴當(dāng)時(shí),取得最小值,即材料最省,此時(shí).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是寫(xiě)出表面積的表示式,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,屬中檔題.16、22【解析】

設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為,根據(jù)周長(zhǎng)為,計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為.周長(zhǎng)為:.當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立,故,即實(shí)軸長(zhǎng)為,.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線周長(zhǎng)的最值問(wèn)題,離心率,實(shí)軸長(zhǎng),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)時(shí),在上單調(diào)遞增,時(shí),在上遞減,在上遞增.(2).【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù),分類討論,由確定增區(qū)間,由確定減區(qū)間;(2)由,利用(1)首先得或,求出的最小值即可得結(jié)論.【詳解】(1)函數(shù)定義域是,,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;時(shí),令得,時(shí),,遞減,時(shí),,遞增,綜上所述,時(shí),在上單調(diào)遞增,時(shí),在上遞減,在上遞增.(2)易知,由函數(shù)單調(diào)性,若有唯一零點(diǎn),則或.當(dāng)時(shí),,,從而只需時(shí),恒成立,即,令,,在上遞減,在上遞增,∴,從而.時(shí),,,令,由,知在遞減,在上遞增,,∴.綜上所述,的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與不等式恒成立問(wèn)題,解題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化,不等式恒成立問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.這又可通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解.18、(1);(2)【解析】

(1)根據(jù)遞推公式,用配湊法構(gòu)造等比數(shù)列,求其通項(xiàng)公式,進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式;(2)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解:(1),,是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.所以,.(2).【點(diǎn)睛】本題考查了由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式,錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的問(wèn)題,屬于中檔題.19、(1)(2)與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為,和【解析】

(1)先把曲線化成直角坐標(biāo)方程,再化簡(jiǎn)成極坐標(biāo)方程;(2)聯(lián)立曲線和曲線的方程解得即可.【詳解】(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為:,即.的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程為;(2)聯(lián)立可得:,與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為,和.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程,直角坐標(biāo)方程,極坐標(biāo)方程的互化,也考查了極坐標(biāo)方程的聯(lián)立,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)答案見(jiàn)解析.(2)答案見(jiàn)解析【解析】

(1)利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求出,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.(2)首先證,令,求導(dǎo)可得單調(diào)遞增,由即可證出;再令,再利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)遞增,由即可證出.【詳解】(1)顯然時(shí),,故在單調(diào)遞減.(2)首先證,令,則單調(diào)遞增,且,所以再令,所以單調(diào)遞增,即,∴【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,解題的關(guān)鍵掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),屬于難題.21、(1)(2)【解析】

(1)依題意可得,解方程組即可求出橢圓的方程;(2)設(shè),則,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,消去,設(shè),,列出韋達(dá)定理,即可表示,再根據(jù)求出參數(shù),從而得出,最后由點(diǎn)到直線的距離得到,由即可得解;【詳解】解:(1)∵,∴解得,∴橢圓的方程為.(2)∵,∴可設(shè),∴.∵,∴,∴設(shè)直線的方程為,∴,∴,顯然恒成立.設(shè),,則,,∴.∴,∴,∴解得,解得,∴,,∴.∵此時(shí)直線的方程為,,∴點(diǎn)到直線的距離為,∴,即此時(shí)四邊形的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線與橢圓的綜合應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬

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