北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)考點(diǎn) 清單01 勾股定理（11個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

清單01勾股定理（11個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

【清單01】勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.理解勾股定理的一些變式：，，.運(yùn)用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3.利用勾股定理，作出長為的線段【清單02】勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.，所以.【清單03】勾股定理逆定理1.定義：如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計(jì)算來判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.2.如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.【清單04】勾股數(shù)像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。勾股數(shù)滿足兩個(gè)條件：①滿足勾股定理②三個(gè)正整數(shù)【清單05】勾股定理應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論．本專題分類進(jìn)行鞏固解決以下生活實(shí)際問題【考點(diǎn)題型一】用勾股定理解三角形

【典例1】若Rt△ABC中一條直角邊和斜邊的長分別為8和10，則另一條直角邊的長是（

A．3 B．9 C．6 D．36【變式1-1】如圖，∠C=∠ABD=90°，AD=13，BD=12，BC=3，則AC的長等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-1】如圖，在△DEF中，∠DEF=90°,DE=3,EF=2，以點(diǎn)F為圓心，EF長為半徑作圓弧交DF于點(diǎn)H，則DH的長為（

）A．13 B．2 C．13?2 D．【變式1-2】如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BD⊥AC于點(diǎn)D，DC=2，則BD=．【考點(diǎn)題型二】已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離

【典例2】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為3,0,(0,4)，則線段ABA．3 B．4 C．5 D．以上答案都不對【變式2-1】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A2,?4A．2 B．4 C．23 D．【變式2-2】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(6,8)到原點(diǎn)的距離是（

）A．2 B．5 C．10 D．2【變式2-3】在直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)A2，?1與點(diǎn)B【考點(diǎn)題型三】勾股樹(數(shù))問題【典例3-1】下列各組數(shù)據(jù)不是勾股數(shù)的是（

）A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．6，8，10【典例3-2】如圖，是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的邊長分別是4、3、4、16，則正方形D的面積是．【變式3-1】我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（

）A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11【變式3-2】如圖，正方形ABCD的邊長為a，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…，按此規(guī)律，則S2024的值為

【考點(diǎn)題型四】以直角三角形三邊為邊長的圖形面積【典例4】如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，b的面積分別為5和13，則c的面積為（）A．6 B．7 C．8 D．9【變式4-1】如圖，已知△ABC中∠ACB=90°，以△ABC的三邊為直徑向外作3個(gè)半圓，以AB、BC為直徑的半圓面積分別為9和5，則以AC為直徑的半圓面積為【變式4-2】圖中三角形是直角三角形，所有四邊形都是正方形，最大正方形的邊長為5cm，則圖中所有正方形的面積的和是（

A．50cm2 B．75cm2 C．【變式4-3】如圖，已知Rt△ABC的斜邊AB=5，分別以直角邊BC、AC為邊向外作正方形，正方形的面積分別記為S1，S2，則S【考點(diǎn)題型五】勾股定理與折疊問題

【典例5】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，把Rt△ABC沿BD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊的點(diǎn)E處，則AD的長為（A．1.5 B．2.5 C．3 D．5【變式5-1】如圖，直角三角形紙片ABC的兩直角邊長分別為6，8，現(xiàn)將△ABC如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE．則CE的長是（

）

A．247 B．73 C．74【變式5-2】如圖所示，有一張長方形紙片ABCD，AB=8，AD=6．現(xiàn)折疊該紙片使得AD邊與對角線DB重合，折痕為DG，點(diǎn)A落在F處，求AG=．【變式5-3】如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，連接CE，點(diǎn)F在邊AD上，連接CF，將△CDF沿CF翻折得到△CGF，點(diǎn)G在線段CE上，則AF的長為【考點(diǎn)題型六】利用勾股定理證明線段平方關(guān)系

【典例6】如圖，已知△ABC與△CDE都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠DCE=90°，D為AB邊上一點(diǎn)．

(1)試判斷AD與BE的大小關(guān)系，并說明理由；(2)試說明AD

【變式6-1】對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC,BD交于點(diǎn)O．若AD=1,BC=4，則AB2

【變式6-2】在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形(如圖所示)．已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1＋S2＋S3＋S4的值為（）A．6 B．5 C．4 D．3【變式6-3】在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如圖1，則有a2+b2=c2；若△ABC為銳角三角形時(shí)，小明猜想：a∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2+b所以小明的猜想是正確的．（1）請你猜想，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，a2+b（2）溫馨提示：在圖3中，作BC邊上的高．（3）證明你猜想的結(jié)論是否正確．【考點(diǎn)題型七】以弦圖為背景的計(jì)算題

【典例7】【探究發(fā)現(xiàn)】我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1所示圖形，其中四邊形ABED和四邊形CFGH都是正方形，巧妙地用面積法得出了直角三角形三邊長a，b，c之間的一個(gè)重要結(jié)論：a2（1）請你將數(shù)學(xué)家趙爽的說理過程補(bǔ)充完整：已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c求證：a2證明：由圖可知S正方形∵S正方形ABED正方形CFGH邊長為______，∴c即a2【深入思考】如圖2，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以AB為直角邊在AB的右側(cè)作等腰直角△ABD，其中AB=BD，∠ABD=90°，過點(diǎn)D作DE⊥CB，垂足為點(diǎn)E（2）求證：DE=a，BE=b；（3）請你用兩種不同的方法表示梯形ACED的面積，并證明：a2【實(shí)際應(yīng)用】（4）將圖1中的四個(gè)直角三角形中較短的直角邊分別向外延長相同的長度，得到圖3所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，若a=12，b=9，“數(shù)學(xué)風(fēng)車”外圍輪廓（圖中實(shí)線部分）的總長度為108，求這個(gè)風(fēng)車圖案的面積．【變式7-1】“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖，大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a，b，那么a+b2的值是（

A．25 B．20 C．16 D．12【變式7-2】我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”（如圖①），圖②由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+A．103 B．4 C．5 D．【變式7-3】如圖1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，若圖1中的直角三角形的長直角邊為5，大正方形的面積為29，連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，求圖3中陰影部分的面積

【考點(diǎn)題型八】勾股定理與無理數(shù)

【典例8】如圖，在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，OA在數(shù)軸上，以原點(diǎn)O為圓心，斜邊OB的長為半徑畫弧，交負(fù)半軸于一點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是（

A．5 B．?5 C．?2 【變式8-1】如圖，在數(shù)軸上以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)B′，則點(diǎn)B′所表示的數(shù)為【變式8-2】如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是．【變式8-3】如圖，矩形ABCD的邊AB在數(shù)軸上，其中點(diǎn)A，B分別表示數(shù)?1，2，BC=2，以點(diǎn)B為圓心，BD長為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P表示的數(shù)為．【考點(diǎn)題型九】勾股定理的逆定理運(yùn)用

【典例9】小明家有一塊四邊形地ABCD（如圖），已知其周長為32m，其中AB=3m,BC=4m，【變式9-1】為了綠化環(huán)境，我市某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量∠A=90°,AB=9m,DA=12m【變式9-2】網(wǎng)格中的小正方形邊長均為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，完成下列問題：(1)AB=______；BC=______；AC=______；(2)求△ABC的面積(3)求AB邊上的高【變式9-3】如圖，某公園有一塊四邊形空地ABCD，公園管理處計(jì)劃在四邊形ABCD區(qū)域內(nèi)種植草坪，AC處修一條小路．已知AB=10米，BC=CD=20米，AD=30米，∠B=90°，求四邊形ABCD的面積．

【考點(diǎn)題型十】勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

【典例10】一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？(2)如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？【變式10-1】“兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”．又到了放風(fēng)箏的最佳時(shí)節(jié)．某校八年級(jí)（1）班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂直高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測得水平距離BD的長為15米；②根據(jù)手中剩余線的長度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．(1)求風(fēng)箏的垂直高度CE；(2)如果小明想風(fēng)箏沿CD方向下降12米，則他應(yīng)該往回收線多少米？【變式10-2】如圖，琪琪在離水面高度5m的岸邊C處，用繩子拉停在B處的小船靠岸，開始時(shí)繩子BC的長為13

(1)開始時(shí)，小船距岸A的距離為_______m；(2)若琪琪收繩5m后，船到達(dá)D處，求小船向岸A移動(dòng)的距離BD【變式10-3】如圖，一棵豎直的大杉樹在一次臺(tái)風(fēng)中被刮斷AB⊥CD，樹頂C落在離樹根B15m處，工作人員要查看斷痕A處的情況，在離樹根B有6m的D處架起一個(gè)長10m的梯子AD【變式10-4】如圖，某沿海城市A接到臺(tái)風(fēng)預(yù)警，在該市正南方向340?km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BD方向以15?km/h的速度移動(dòng)，已知城市A到BC的距離(1)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過多長時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？(2)如果在距臺(tái)風(fēng)中心200?km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺(tái)風(fēng)的影響，那么A【變式10-5】交通安全是社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問題，安全隱患主要是超速、超載、不按規(guī)定行駛．某中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)進(jìn)行了測試汽車速度的實(shí)驗(yàn)．如圖，先在筆直的公路l旁選取一點(diǎn)P，在公路l上確定點(diǎn)O、B，使得PO⊥l，PO=100米，∠PBO=45°．這時(shí)，一輛轎車在公路l上由B向A勻速駛來，測得此車從B處行駛到A處所用的時(shí)間為3秒，并測得∠APO=60°．此路段限速每小時(shí)80千米，試判斷此車是否超速？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：2≈1.4,【考點(diǎn)題型十一】平面展開圖-最短路徑問題【典例11】直四棱柱的上下底面是正方形，底面邊長為3cm，高為10cm．在其側(cè)面從點(diǎn)A開始，繞側(cè)面兩周，嵌入裝飾彩條至點(diǎn)【變式11-1】一只螳螂在一圓柱形松樹樹干的點(diǎn)A處，它發(fā)現(xiàn)在其正上方的點(diǎn)B處有一只小蟲子，螳螂想捕到這只蟲子，但又怕被發(fā)現(xiàn)，于是按如圖所示的路線，繞到蟲子后面吃掉它．已知樹干的底面周長為20cm，A，B【變式11-2】問題情境：如圖①，一只螞蟻在一個(gè)長為100cm，寬為50cm的長方形地毯上爬行，地毯上堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱平行且等于寬AD，木塊從正面看是一個(gè)邊長為20cm的等邊三角形，求一只螞蟻從點(diǎn)A(1)數(shù)學(xué)抽象：將螞蟻爬行過的木塊的側(cè)面“拉直”“鋪平”，“化曲為直”，請?jiān)趫D②中用虛線補(bǔ)全木塊的側(cè)面展開圖，并用實(shí)線連接AC；(2)線段AC的長即螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程，依據(jù)是_________；(3)問題解決：求出這只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程．【變式11-3】如圖，圓柱形容器的高為0.7m，底而周長為4.8m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.1m的點(diǎn)B處有一只蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁離容器上沿0.1m與蚊子相對的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短路程是多少？

清單01勾股定理（11個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

【清單01】勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.理解勾股定理的一些變式：，，.運(yùn)用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3.利用勾股定理，作出長為的線段【清單02】勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.，所以.【清單03】勾股定理逆定理1.定義：如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計(jì)算來判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.2.如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.【清單04】勾股數(shù)像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。勾股數(shù)滿足兩個(gè)條件：①滿足勾股定理②三個(gè)正整數(shù)【清單05】勾股定理應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論．本專題分類進(jìn)行鞏固解決以下生活實(shí)際問題【考點(diǎn)題型一】用勾股定理解三角形

【典例1】若Rt△ABC中一條直角邊和斜邊的長分別為8和10，則另一條直角邊的長是（

A．3 B．9 C．6 D．36【答案】C【分析】本題主要考查了勾股定理．根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：另一條直角邊的長是102故選：C【變式1-1】如圖，∠C=∠ABD=90°，AD=13，BD=12，BC=3，則AC的長等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】此題考查了勾股定理，利用勾股定理求出AB，再利用勾股定理求出AC，熟練掌握勾股定理的計(jì)算是解題的關(guān)鍵【詳解】解：∵∠ABD=90°，AD=13，BD=12，∴AB=A∵∠C=90°，BC=3，∴AC=A故選：D【變式1-1】如圖，在△DEF中，∠DEF=90°,DE=3,EF=2，以點(diǎn)F為圓心，EF長為半徑作圓弧交DF于點(diǎn)H，則DH的長為（

）A．13 B．2 C．13?2 D．【答案】C【分析】此題考查了勾股定理，根據(jù)勾股定理求出DF=DE2+EF【詳解】解：在△DEF中，∠DEF=90°,DE=3,EF=2，∴DF=D∵以點(diǎn)F為圓心，EF長為半徑作圓弧交DF于點(diǎn)H，∴FH=EF=2，∴DH=DF?FH=13故選：C【變式1-2】如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BD⊥AC于點(diǎn)D，DC=2，則BD=．【答案】6【分析】本題主要考查了勾股定理，先求出AD=AC?CD=8，再利用勾股定理可得BD=A【詳解】解：∵AB=AC=10，∴AD=AC?CD=8，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=故答案為：6．【考點(diǎn)題型二】已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離

【典例2】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為3,0,(0,4)，則線段ABA．3 B．4 C．5 D．以上答案都不對【答案】C【分析】此題主要考查了勾股定理，正確利用數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵．直接利用勾股定理得出AB的長即可．【詳解】解：∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為3,0,(∴AO=3,BO=4，∴AB=O故選：C．【變式2-1】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A2,?4A．2 B．4 C．23 D．【答案】D【詳解】本題主要考查了兩點(diǎn)間距離公式，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．【分析】解：由題意得，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為：2?02故選：D．【變式2-2】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(6,8)到原點(diǎn)的距離是（

）A．2 B．5 C．10 D．2【答案】C【分析】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，勾股定理，解題關(guān)鍵是掌握點(diǎn)到原點(diǎn)的距離求法：一個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根即為此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．根據(jù)勾股定理求出點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離．【詳解】解：已知P(6,8)，則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為62故選：C．【變式2-3】在直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)A2，?1與點(diǎn)B【答案】2【分析】本題考查兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)有兩點(diǎn)Ax1，y1【詳解】解：∵A2，?1∴點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離=2?故答案為：25【考點(diǎn)題型三】勾股樹(數(shù))問題【典例3-1】下列各組數(shù)據(jù)不是勾股數(shù)的是（

）A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．6，8，10【答案】A【分析】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理逆定理，根據(jù)“一組正整數(shù)，且滿足兩個(gè)較小的數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方，這樣的一組數(shù)叫做勾股數(shù)”，進(jìn)行判斷即可，理解勾股數(shù)的定義及熟練掌握勾股定理逆定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、∵22∴不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；B、∵32∴是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵52∴是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；D、∵62∴是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【典例3-2】如圖，是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的邊長分別是4、3、4、16，則正方形D的面積是．【答案】215【分析】本題主要考查以勾股定理為背景的圖形面積的計(jì)算，在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．設(shè)正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b，正方形G的邊長為g，根據(jù)題意，運(yùn)用勾股定理可得，g2=a2+b2，正方形G的面積是正方形A、B的面積和，同理可得，正方形E的面積是正方形G、F【詳解】解：如圖所述，設(shè)正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b，正方形G的邊長為g，∴根據(jù)題意可得，a2=16，b∴g同理可得，正方形E的面積是正方形G、F的面積和，所以正方形F的面積=162同理可得，正方形F的面積是正方形C、D的面積和，所以正方形F的面積=231?4故答案為：215【變式3-1】我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（

）A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11【答案】C【分析】本題考查勾股定理，根據(jù)勾股數(shù)的定義，三個(gè)正整數(shù)，兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于較大數(shù)的平方，這三個(gè)正整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)，進(jìn)行判定即可．【詳解】解：A、22B、72C、62D、52故選C．【變式3-2】如圖，正方形ABCD的邊長為a，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…，按此規(guī)律，則S2024的值為

【答案】1【分析】本題主要考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理與正方形面積的關(guān)鍵找出規(guī)律．根據(jù)勾股定理可得DE2+CE2=DC【詳解】解：如圖所示，△CDE為等腰直角三角形，

則CE=DE,DE∴2DE即S2同理可得：S3∴S故答案為：12【考點(diǎn)題型四】以直角三角形三邊為邊長的圖形面積【典例4】如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，b的面積分別為5和13，則c的面積為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本題考查了對勾股定理的理解能力，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)三角形全等找出相等的量是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE，從而得到c的面積=b的面積?a的面積．【詳解】解：如圖，∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∠ABC=∠CDE∠ACB=∠DEC∴△ABC≌△CDE(AAS∴BC=DE，∴根據(jù)勾股定理得，得AB∴c的面積=b的面積?a的面積=13?5=8．故選：C．【變式4-1】如圖，已知△ABC中∠ACB=90°，以△ABC的三邊為直徑向外作3個(gè)半圓，以AB、BC為直徑的半圓面積分別為9和5，則以AC為直徑的半圓面積為【答案】4【分析】題目主要考查勾股定理解三角形及圓的面積，根據(jù)題意得出AB2=AC【詳解】解：∵△ABC中∠ACB=90°，∴AB2∵以AB、∴π×(即18∴以AC為直徑的半圓面積為：π×(故答案為：4．【變式4-2】圖中三角形是直角三角形，所有四邊形都是正方形，最大正方形的邊長為5cm，則圖中所有正方形的面積的和是（

A．50cm2 B．75cm2 C．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)勾股定理的幾何意義解答即可．熟悉勾股定理的幾何意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知：直角三角形兩直角邊所對應(yīng)的兩個(gè)正方形的面積之和等于斜邊所對應(yīng)的正方形的面積，則圖中所有正方形的面積的和為52故選：A．【變式4-3】如圖，已知Rt△ABC的斜邊AB=5，分別以直角邊BC、AC為邊向外作正方形，正方形的面積分別記為S1，S2，則S【答案】25【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)勾股定理求出AB的平方即為S1【詳解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，A∵AC∴S1故答案為：25．【考點(diǎn)題型五】勾股定理與折疊問題

【典例5】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，把Rt△ABC沿BD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊的點(diǎn)E處，則AD的長為（A．1.5 B．2.5 C．3 D．5【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，先根據(jù)勾股定理得出AB=AC2+BC2=42【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3∴AB=A根據(jù)折疊可知：BE=BC=3，DE=CD，∴AE=5?3=2，設(shè)DE=CD=x，則AD=4?x，根據(jù)勾股定理得：AD∴4?x2解得：x=1.5，∴AD=4?1.5=2.5，故選：B．【變式5-1】如圖，直角三角形紙片ABC的兩直角邊長分別為6，8，現(xiàn)將△ABC如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE．則CE的長是（

）

A．247 B．73 C．74【答案】C【分析】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)及勾股定理，先設(shè)CE=x，再根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出AE=BE=8?x，再根據(jù)勾股定理求出x的值．【詳解】解：設(shè)CE=x，則AE=8?x，∵△BDE是△ADE翻折而成，∴AE=BE=8?x，在Rt△BCE中，即(8?x)2解得x=7故選：C．【變式5-2】如圖所示，有一張長方形紙片ABCD，AB=8，AD=6．現(xiàn)折疊該紙片使得AD邊與對角線DB重合，折痕為DG，點(diǎn)A落在F處，求AG=．【答案】3【分析】本題考查了勾股定理與折疊問題；先利用勾股定理求出BD，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AD=DF=6，AG=GF，∠DFG=∠A=90°，求出BF，然后在Rt△BFG中，利用勾股定理構(gòu)建方程，即可求出AG【詳解】解：∵AB=8，AD=6，∠A=90°，∴BD=A由折疊得：AD=DF=6，AG=GF，∠DFG=∠A=90°，∴BF=BD?DF=10?6=4，∠BFG=90°，在Rt△BFG中，B∴42∴AG=3，故答案為：3．【變式5-3】如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，連接CE，點(diǎn)F在邊AD上，連接CF，將△CDF沿CF翻折得到△CGF，點(diǎn)G在線段CE上，則AF的長為【答案】16【分析】本題考查勾股定理，翻折定義．根據(jù)題意可得BE=5，CB=12，得出CE=13，因?yàn)镃D=CG=10，所以EG=CE?CG=3，連接EF，設(shè)FD=FG=x，即可得到答案．【詳解】解：連接EF，∵BE=5，CB=12，∴CE=13，CD=CG=10，EG=CE?CG=3，連接EF，設(shè)FD=FG=x，可得方程：AF代入數(shù)值可得：(12?x)2解得x=20∴AF=12?20故答案為：163

【考點(diǎn)題型六】利用勾股定理證明線段平方關(guān)系

【典例6】如圖，已知△ABC與△CDE都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠DCE=90°，D為AB邊上一點(diǎn)．

(1)試判斷AD與BE的大小關(guān)系，并說明理由；(2)試說明AD【答案】(1)AD=BE，理由見解析(2)AD【分析】（1）證明△ACD≌△BCE即可；（2）根據(jù)（1）可得△ACD≌△BCE，得到AD=BE，∠ABC=∠A=∠CBE=45°，得到△DBE是直角三角形，根據(jù)勾股定理證明即可．【詳解】（1）AD=BE．理由如下：∵△ABC與△CDE都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∴∠ACD=∠BCE=90°?∠BCD．∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE．（2）AD由（1）可得△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠ABC=∠A=∠CBE=45°，∴∠DBE=90°，∴BE∴AD【點(diǎn)睛】此題綜合運(yùn)用了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、以及勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AD=BE．

【變式6-1】對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC,BD交于點(diǎn)O．若AD=1,BC=4，則AB2

【答案】17【分析】根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；【詳解】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得，AA∴A∵AD=1,BC=4,∴A故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂直的定義，勾股定理的應(yīng)用，正確理解“垂美”四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．

【變式6-2】在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形(如圖所示)．已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1＋S2＋S3＋S4的值為（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【詳解】∵S1左側(cè)和S2右側(cè)部分的兩個(gè)直角三角形是全等三角形，根據(jù)勾股定理的幾何意義可知∴S1+S2=1∴S2+S3=2∴S3+S4=3∴S1+S2+S3+S4=4故選C【變式6-3】在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如圖1，則有a2+b2=c2；若△ABC為銳角三角形時(shí)，小明猜想：a∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2+b所以小明的猜想是正確的．（1）請你猜想，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，a2+b（2）溫馨提示：在圖3中，作BC邊上的高．（3）證明你猜想的結(jié)論是否正確．【答案】（1）a2【分析】（1）根據(jù)題意可猜測：當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，a2+b2與（2）根據(jù)題意可作輔助線：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D；（3）然后設(shè)CD=x，分別在Rt△ADC與Rt△ADB中，表示出AD2，即可證得結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，a2+b2與（2）如圖3，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D；（3）證明：如圖3，設(shè)CD=x．在Rt△ADC中，AD2=∴a2∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2∴當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，a2考點(diǎn)：三角形綜合題；勾股定理．【考點(diǎn)題型七】以弦圖為背景的計(jì)算題

【典例7】【探究發(fā)現(xiàn)】我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1所示圖形，其中四邊形ABED和四邊形CFGH都是正方形，巧妙地用面積法得出了直角三角形三邊長a，b，c之間的一個(gè)重要結(jié)論：a2（1）請你將數(shù)學(xué)家趙爽的說理過程補(bǔ)充完整：已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c求證：a2證明：由圖可知S正方形∵S正方形ABED正方形CFGH邊長為______，∴c即a2【深入思考】如圖2，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以AB為直角邊在AB的右側(cè)作等腰直角△ABD，其中AB=BD，∠ABD=90°，過點(diǎn)D作DE⊥CB，垂足為點(diǎn)E（2）求證：DE=a，BE=b；（3）請你用兩種不同的方法表示梯形ACED的面積，并證明：a2【實(shí)際應(yīng)用】（4）將圖1中的四個(gè)直角三角形中較短的直角邊分別向外延長相同的長度，得到圖3所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，若a=12，b=9，“數(shù)學(xué)風(fēng)車”外圍輪廓（圖中實(shí)線部分）的總長度為108，求這個(gè)風(fēng)車圖案的面積．【答案】（1）12ab，a?b

（2）見解析

（3）見解析

【分析】本題考查了勾股定理的驗(yàn)證和運(yùn)用，理解勾股定理解決問題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意得，S△ABC=12ab,（2）依據(jù)題意,通過證明△ABC≌△BDE,即可判斷得解；（3）依據(jù)題意，用兩種方法分別表示出梯形ACED=S△ABC+（4）依據(jù)題意，結(jié)合圖形，“數(shù)學(xué)風(fēng)車”外圍輪廓(圖中實(shí)線部分)的總長度為108，可得AD+BD=108÷4=27.又設(shè)AD=x,故BD=27?x.又在△BCD中,BC2+CD2=BD2,則，求出x后可列式計(jì)算得解.【詳解】(1)證明：由圖可知S正方形∵S正方形ABED正方形CFGH邊長為a?b，∴c即a2故答案為：12ab，（2）證明:∵DE⊥BC,∴∠DBE+∠BDE=90°，∵∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBE=90°，∴∠ABC=∠BDE，又∠C=∠BED=90°,AB=BD,∴△ABC≌△BDEAAS∴BC=DE=a,AC=BE=b；(3)證明：由題意，第一種方法：S梯形ACED=ab+1第二種方法：S==1∴1∴a2+2ab+b∴a2+b2=c2；(4)由題意,如圖,∵“數(shù)學(xué)風(fēng)車”外圍輪廓(圖中實(shí)線部分)的總長度為108,∴AD+BD=108÷4=27，設(shè)AD=x,則BD=27?x，在△BCD中,BC2+CD2=BD2∴a將a=12,b=9代入可得，9+x2∴x=7，∴小正方形的邊長等于a?b=12?9=3∴風(fēng)車的面積為：12【變式7-1】“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖，大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a，b，那么a+b2的值是（

A．25 B．20 C．16 D．12【答案】A【分析】本題考查勾股定理以及完全平方公式及其變形．正確根據(jù)圖形的關(guān)系求得a2+b根據(jù)大正方形的面積即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2【詳解】解：如圖，∵大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，設(shè)大正方形邊長為c，∴c∴a∴直角三角形的面積是(13?1)÷4=3，又∵直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，∴1∴ab=6，∴(a+b)故選：A．【變式7-2】我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”（如圖①），圖②由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+A．103 B．4 C．5 D．【答案】B【分析】此題主要考查了運(yùn)用勾股定理解決問題，根據(jù)已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=12求出是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)圖形的特征得出四邊形MNKT的面積設(shè)為x，將其余八個(gè)全等的三角形面積一個(gè)設(shè)為y【詳解】解：將四邊形MTKN的面積設(shè)為x，將其余八個(gè)全等的三角形面積一個(gè)設(shè)為y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3∴得出S1=8y+x，S2∴S1+x+4y=4，所以S2故選：B【變式7-3】如圖1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，若圖1中的直角三角形的長直角邊為5，大正方形的面積為29，連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，求圖3中陰影部分的面積【答案】21【分析】本題主要考查了勾股定理中趙爽弦圖模型．利用勾股定理，求出AB=CD=2，從而得到S△ADC【詳解】解：如圖，根據(jù)題意得：BC=5,AC2=29，∠ABC=90°∴AB=A∴CD=2，∴S△ADC∴陰影部分的面積為29?4×2=21．故答案為：21

【考點(diǎn)題型八】勾股定理與無理數(shù)

【典例8】如圖，在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，OA在數(shù)軸上，以原點(diǎn)O為圓心，斜邊OB的長為半徑畫弧，交負(fù)半軸于一點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是（

A．5 B．?5 C．?2 【答案】B【分析】本題考查了勾股定理和用數(shù)軸上的點(diǎn)表示無理數(shù)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，先利用勾股定理求出OB的長度，再根據(jù)在數(shù)軸的正負(fù)半軸求解即可．【詳解】在Rt△OAB中，OA=2，AB=1∴OB=A∵以原點(diǎn)O為圓心，斜邊OB的長為半徑畫弧，交負(fù)半軸于一點(diǎn)，∴這個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是?5故選：B．【變式8-1】如圖，在數(shù)軸上以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)B′，則點(diǎn)B′所表示的數(shù)為【答案】2?1/【分析】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出AB的長即可得到答案．【詳解】解：由勾股定理得：AB=1以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)B′∴AB=A∵B′所表示的數(shù)為∴x的值為2?1故答案為：2?1【變式8-2】如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是．【答案】5【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，先根據(jù)勾股定理求出圓弧半徑，再用?1減去半徑即可得到答案．【詳解】解：由勾股定理得，圓弧半徑為22則點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)為1+5故答案為：1+5【變式8-3】如圖，矩形ABCD的邊AB在數(shù)軸上，其中點(diǎn)A，B分別表示數(shù)?1，2，BC=2，以點(diǎn)B為圓心，BD長為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P表示的數(shù)為．【答案】2?13/【分析】根據(jù)勾股定理求出BD，BP=BD，再利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離即可求出點(diǎn)P．【詳解】解：∵BC=2，∴BD=2∴BP=13∴點(diǎn)P表示的數(shù)為：2?13故答案為：2?13【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，在數(shù)軸上表示無理數(shù)，其中利用距離求點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

【考點(diǎn)題型九】勾股定理的逆定理運(yùn)用

【典例9】小明家有一塊四邊形地ABCD（如圖），已知其周長為32m，其中AB=3m,BC=4m，【答案】這塊地的面積是36m【分析】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的應(yīng)用、三角形的面積公式．連接AC，根據(jù)勾股定理先求出AC，再利用周長求出AD，根據(jù)勾股定理的逆定理證明△ACD為直角三角形即可解答．【詳解】解：連接AC，∵AB=3m，BC=4m在Rt△ABCAC=A∵四邊形ABCD的周長為32m∴AB+BC+CD+DA=32m∴DA=32?AB?BC?CD=32?3?4?13=12m在△ACD中，ACCD∴AC∴△ACD為直角三角形，∴S答：這塊地的面積是36m【變式9-1】為了綠化環(huán)境，我市某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量∠A=90°,AB=9m,DA=12m【答案】空地ABCD的面積114m【分析】連接BD，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD2，再利用勾股定理的逆定理判斷得到Rt【詳解】解：如圖，連接BD，在Rt△ABD中，B在△CBD中，CD而82即BC∴△DBC為直角三角形，∴∠DBC=90°，S四邊形答：空地ABCD的面積114m2【變式9-2】網(wǎng)格中的小正方形邊長均為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，完成下列問題：(1)AB=______；BC=______；AC=______；(2)求△ABC的面積(3)求AB邊上的高【答案】(1)13(2)2.5(3)5【分析】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格，等面積法，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用勾股定理與網(wǎng)格的聯(lián)系，列式作答即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格的特征，利用割補(bǔ)法列式作答；（3）運(yùn)用等面積法，進(jìn)行列式作答即可．【詳解】（1）解：AB=故答案為：13（2）解：△ABC的面積=3×3?1（3）解：△ABC的面積=2.5=1即AB邊上的高=2.5×2【變式9-3】如圖，某公園有一塊四邊形空地ABCD，公園管理處計(jì)劃在四邊形ABCD區(qū)域內(nèi)種植草坪，AC處修一條小路．已知AB=10米，BC=CD=20米，AD=30米，∠B=90°，求四邊形ABCD的面積．【答案】100+1005【分析】本題考查勾股定理以及勾股定理逆定理的應(yīng)用，四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．在△ABC中，利用勾股定理求出AC的長，再由勾股定理逆定理判斷△ACD的形狀，由三角形面積公式求得四邊形ABCD的面積．【詳解】解：在△ABC中，∠B=90°，AB=10米，BC=20米，則：AC=A在△ACD中，CD=20米，AD=30米，AC=則：AC2+C∴AC∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，故S四邊形∴四邊形ABCD的面積是100+1005

【考點(diǎn)題型十】勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

【典例10】一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？(2)如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？【答案】(1)梯子頂端距離地面的高度為24米(2)梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米【分析】本題主要考查了勾股定理在解直角三角形中的應(yīng)用，熟練掌握并正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）利用勾股定理可以得出梯子的頂端距離地面的高度；（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的頂端距離地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑動(dòng)的距離．【詳解】（1）解：根據(jù)勾股定理：梯子頂端距離地面的高度為：AB=25（2）梯子下滑了4米，即梯子頂端距離地面的高度為：24?4=20米，根據(jù)勾股定理得：BC∴CC即梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米．【變式10-1】“兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”．又到了放風(fēng)箏的最佳時(shí)節(jié)．某校八年級(jí)（1）班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂直高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測得水平距離BD的長為15米；②根據(jù)手中剩余線的長度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．(1)求風(fēng)箏的垂直高度CE；(2)如果小明想風(fēng)箏沿CD方向下降12米，則他應(yīng)該往回收線多少米？【答案】(1)風(fēng)箏的高度CE為21.6米(2)他應(yīng)該往回收線8米【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用；（1）利用勾股定理求出CD的長，再加上DE的長度，即可求出CE的高度；（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意得：AB=DE=1.6m在Rt△CDB由勾股定理得，CD所以，CD=20（負(fù)值舍去），所以，CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米)，答：風(fēng)箏的高度CE為21.6米；（2）解：由題意得，CM=12米，∴DM=20?12=8米，∴BM=D∴BC?BM=25?17=8（米)，∴他應(yīng)該往回收線8米．【變式10-2】如圖，琪琪在離水面高度5m的岸邊C處，用繩子拉停在B處的小船靠岸，開始時(shí)繩子BC的長為13

(1)開始時(shí)，小船距岸A的距離為_______m；(2)若琪琪收繩5m后，船到達(dá)D處，求小船向岸A移動(dòng)的距離BD【答案】(1)12(2)12?【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是學(xué)握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理計(jì)算出AB（2）根據(jù)題意可得CD長，然后再次利用勾股定理計(jì)算出AD長，再利用BD=AB?AD可得BD長．【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，∠CAB=90°,BC=13∴AB=13故答案為：12；（2）∵琪琪收繩5m后，船到達(dá)D∴CD=13?5=8(m∴AD=C∴BD=AB?AD=(12?39【變式10-3】如圖，一棵豎直的大杉樹在一次臺(tái)風(fēng)中被刮斷AB⊥CD，樹頂C落在離樹根B15m處，工作人員要查看斷痕A處的情況，在離樹根B有6m的D處架起一個(gè)長10m的梯子AD【答案】25【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，先由勾股定理求出AB=8m，再由勾股定理求出AC=17m，最后由這棵樹原來的總高度為【詳解】解：∵AB⊥CD，∴∠ABD=∠ABC=90°，∵AD=10m，BD=6∴AB=A∵BC=15m∴AC=A∴這棵樹原來的總高度為：AB+AC=8+17=25m【變式10-4】如圖，某沿海城市A接到臺(tái)風(fēng)預(yù)警，在該市正南方向340?km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BD方向以15?km/h的速度移動(dòng)，已知城市A到BC的距離(1)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過多長時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？(2)如果在距臺(tái)風(fēng)中心200?km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺(tái)風(fēng)的影響，那么A【答案】(1)20(2)16【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．（1）先對Rt△ABD運(yùn)用勾股定理求出BD（2）在射線BC上取點(diǎn)E、F，使得AE=AF=200km，對Rt△AED運(yùn)用勾股定理求得ED=120km【詳解】（1）解：由題意可知，AD⊥BC，AB=340km，AD=160在Rt△ABD中，BD=∵300÷15=20h∴臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過20h從B點(diǎn)移到D（2）解：如圖，在射線BC上取點(diǎn)E、F，使得AE=AF=200km由AD⊥BC得DE=DF，在Rt△AED中，ED=∴EF=2ED=240km∴t=240÷15=16h∴A市受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間持續(xù)16h【變式10-5