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文檔簡介
2025屆江西省撫州市重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),若方程恰有兩個(gè)不同實(shí)根,則正數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.2.在邊長為的菱形中,,沿對角線折成二面角為的四面體(如圖),則此四面體的外接球表面積為()A. B.C. D.3.已知定義在上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),.設(shè)在上的最大值為(),且數(shù)列的前項(xiàng)的和為.若對于任意正整數(shù)不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.4.若函數(shù)在處取得極值2,則()A.-3 B.3 C.-2 D.25.復(fù)數(shù)()A. B. C.0 D.6.設(shè)a,b,c為正數(shù),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不修要條件7.已知不重合的平面和直線,則“”的充分不必要條件是()A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B.且C.且 D.內(nèi)的任何直線都與平行8.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為則()A. B.C. D.9.已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合,且拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長為,那么該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.拋物線方程為,一直線與拋物線交于兩點(diǎn),其弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則直線的方程為()A. B. C. D.11.設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)作平行的一條漸近線的直線與交于點(diǎn),則的面積為()A. B. C.5 D.612.已知正四面體的內(nèi)切球體積為v,外接球的體積為V,則()A.4 B.8 C.9 D.27二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載“今有人共買物,人出八,盈三;人出七,不足四.問人數(shù)、物價(jià)各幾何?”設(shè)人數(shù)、物價(jià)分別為、,滿足,則_____,_____.14.直線是圓:與圓:的公切線,并且分別與軸正半軸,軸正半軸相交于,兩點(diǎn),則的面積為_________15.函數(shù)的最小正周期是_______________,單調(diào)遞增區(qū)間是__________.16.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一個(gè)元素,則實(shí)數(shù)a的值為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其中為實(shí)常數(shù).(1)若存在,使得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),設(shè)直線與函數(shù)的圖象相交于不同的兩點(diǎn),,證明:.18.(12分)為了解網(wǎng)絡(luò)外賣的發(fā)展情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)從全國各城市中抽取了100個(gè)相同等級地城市,分別調(diào)查了甲乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣平臺(tái)(以下簡稱外賣甲、外賣乙)在今年3月的訂單情況,得到外賣甲該月訂單的頻率分布直方圖,外賣乙該月訂單的頻數(shù)分布表,如下圖表所示.訂單:(單位:萬件)頻數(shù)1223訂單:(單位:萬件)頻數(shù)402020102(1)現(xiàn)規(guī)定,月訂單不低于13萬件的城市為“業(yè)績突出城市”,填寫下面的列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺(tái)”有關(guān).業(yè)績突出城市業(yè)績不突出城市總計(jì)外賣甲外賣乙總計(jì)(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,外賣甲今年3月在全國各城市的訂單數(shù)(單位:萬件)近似地服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),的值已求出,約為3.64,現(xiàn)把頻率視為概率,解決下列問題:①從全國各城市中隨機(jī)抽取6個(gè)城市,記為外賣甲在今年3月訂單數(shù)位于區(qū)間的城市個(gè)數(shù),求的數(shù)學(xué)期望;②外賣甲決定在今年3月訂單數(shù)低于7萬件的城市開展“訂外賣,搶紅包”的營銷活動(dòng)來提升業(yè)績,據(jù)統(tǒng)計(jì),開展此活動(dòng)后城市每月外賣訂單數(shù)將提高到平均每月9萬件的水平,現(xiàn)從全國各月訂單數(shù)不超過7萬件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個(gè)城市不開展?fàn)I銷活動(dòng),若每按一件外賣訂單平均可獲純利潤5元,但每件外賣平均需送出紅包2元,則外賣甲在這100個(gè)城市中開展?fàn)I銷活動(dòng)將比不開展?fàn)I銷活動(dòng)每月多盈利多少萬元?附:①參考公式:,其中.參考數(shù)據(jù):0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若,則,.19.(12分)已知橢圓的離心率為,橢圓C的長軸長為4.(1)求橢圓C的方程;(2)已知直線與橢圓C交于兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)k使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.20.(12分)如圖,在直棱柱中,底面為菱形,,,與相交于點(diǎn),與相交于點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成的角的正弦值.21.(12分)已知函數(shù),,.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上存在零點(diǎn).求實(shí)數(shù)的取值范圍;若存在實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)在時(shí)取得最大值,求正實(shí)數(shù)的最大值;若直線與曲線和都相切,且在軸上的截距為,求實(shí)數(shù)的值.22.(10分)已知函數(shù)(1)若,不等式的解集;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
當(dāng)時(shí),函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示,方程兩個(gè)不同實(shí)根,即函數(shù)和有圖像兩個(gè)交點(diǎn),計(jì)算,,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,故函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:方程,即,即函數(shù)和有兩個(gè)交點(diǎn).,,故,,,,.根據(jù)圖像知:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題,確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.2、A【解析】
畫圖取的中點(diǎn)M,法一:四邊形的外接圓直徑為OM,即可求半徑從而求外接球表面積;法二:根據(jù),即可求半徑從而求外接球表面積;法三:作出的外接圓直徑,求出和,即可求半徑從而求外接球表面積;【詳解】如圖,取的中點(diǎn)M,和的外接圓半徑為,和的外心,到弦的距離(弦心距)為.法一:四邊形的外接圓直徑,,;法二:,,;法三:作出的外接圓直徑,則,,,,,,,,,.故選:A【點(diǎn)睛】此題考查三棱錐的外接球表面積,關(guān)鍵點(diǎn)是通過幾何關(guān)系求得球心位置和球半徑,方法較多,屬于較易題目.3、C【解析】
由已知先求出,即,進(jìn)一步可得,再將所求問題轉(zhuǎn)化為對于任意正整數(shù)恒成立,設(shè),只需找到數(shù)列的最大值即可.【詳解】當(dāng)時(shí),則,,所以,,顯然當(dāng)時(shí),,故,,若對于任意正整數(shù)不等式恒成立,即對于任意正整數(shù)恒成立,即對于任意正整數(shù)恒成立,設(shè),,令,解得,令,解得,考慮到,故有當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),有單調(diào)遞減,故數(shù)列的最大值為,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問題,涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前n項(xiàng)和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識,是一道較為綜合的數(shù)列題.4、A【解析】
對函數(shù)求導(dǎo),可得,即可求出,進(jìn)而可求出答案.【詳解】因?yàn)?所以,則,解得,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】略6、B【解析】
根據(jù)不等式的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:,,為正數(shù),當(dāng),,時(shí),滿足,但不成立,即充分性不成立,若,則,即,即,即,成立,即必要性成立,則“”是“”的必要不充分條件,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.7、B【解析】
根據(jù)充分不必要條件和直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系,依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行,則相交或,排除;B.且,故,當(dāng),不能得到且,滿足;C.且,,則相交或,排除;D.內(nèi)的任何直線都與平行,故,若,則內(nèi)的任何直線都與平行,充要條件,排除.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件和直線和平面,平面和平面的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.8、B【解析】
根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)模的求法,代入化簡即可求解.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,∵,代入可得,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的幾何意義,復(fù)數(shù)模的求法及共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
由拋物線的焦點(diǎn)得雙曲線的焦點(diǎn),求出,由拋物線準(zhǔn)線方程被曲線截得的線段長為,由焦半徑公式,聯(lián)立求解.【詳解】解:由拋物線,可得,則,故其準(zhǔn)線方程為,拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn),.拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長為,,又,,則雙曲線的離心率為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及利用過雙曲線的焦點(diǎn)的弦長求離心率.弦過焦點(diǎn)時(shí),可結(jié)合焦半徑公式求解弦長.10、A【解析】
設(shè),,利用點(diǎn)差法得到,所以直線的斜率為2,又過點(diǎn),再利用點(diǎn)斜式即可得到直線的方程.【詳解】解:設(shè),∴,又,兩式相減得:,∴,∴,∴直線的斜率為2,又∴過點(diǎn),∴直線的方程為:,即,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交的中點(diǎn)弦問題,解題方法是“點(diǎn)差法”,即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線方程相減后可把弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)建立關(guān)系.11、A【解析】
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)的坐標(biāo),再求出過點(diǎn)與的一條漸近線的平行的直線方程,通過解方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo),最后利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知中:,因此右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,雙曲線的漸近線方程為:,根據(jù)雙曲線和漸近線的對稱性不妨設(shè)點(diǎn)作平行的一條漸近線的直線與交于點(diǎn),所以直線的斜率為,因此直線方程為:,因此點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組:的解,解得方程組的解為:,即,所以的面積為:.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程的應(yīng)用,考查了兩直線平行的性質(zhì),考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.12、D【解析】
設(shè)正四面體的棱長為,取的中點(diǎn)為,連接,作正四面體的高為,首先求出正四面體的體積,再利用等體法求出內(nèi)切球的半徑,在中,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑,利用球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)正四面體的棱長為,取的中點(diǎn)為,連接,作正四面體的高為,則,,,設(shè)內(nèi)切球的半徑為,內(nèi)切球的球心為,則,解得:;設(shè)外接球的半徑為,外接球的球心為,則或,,在中,由勾股定理得:,,解得,,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問題,考查了椎體的體積公式以及球的體積公式,需熟記幾何體的體積公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用已知條件,通過求解方程組即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)人數(shù)、物價(jià)分別為、,滿足,解得,.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,方程組的求解,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
根據(jù)題意畫出圖形,設(shè),利用三角形相似求得的值,代入三角形的面積公式,即可求解.【詳解】如圖所示,設(shè),由與相似,可得,解得,再由與相似,可得,解得,由三角形的面積公式,可得的面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,以及三角形相似的應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、,,【解析】
化簡函數(shù)的解析式,利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.【詳解】函數(shù),最小正周期,令,,可得,,所以單調(diào)遞增區(qū)間是,,.故答案為:,,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的公式的應(yīng)用,余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.16、2【解析】
利用AB中有且只有一個(gè)元素,可得,可求實(shí)數(shù)a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個(gè)元素,所以,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算,集合交集的運(yùn)算本質(zhì)是存同去異,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析.【解析】
(1)將所求問題轉(zhuǎn)化為在上有解,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題;(2)將所證不等式轉(zhuǎn)化為,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為,然后再通過構(gòu)造加以證明即可.【詳解】(1),根據(jù)題意,在內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間,則不等式在上有解,由得,設(shè),則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,所以當(dāng)時(shí),,所以存在,使得成立,所以的取值范圍為。(2)當(dāng)時(shí),,則,從而所證不等式轉(zhuǎn)化為,不妨設(shè),則不等式轉(zhuǎn)化為,即,即,令,則不等式轉(zhuǎn)化為,因?yàn)?,則,從而不等式化為,設(shè),則,所以在上單調(diào)遞增,所以即不等式成立,故原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,這里要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn),在證明不等式時(shí),通常是構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值來處理,本題是一道有高度的壓軸解答題.18、(1)見解析,有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺(tái)”有關(guān).(2)①4.911②100萬元.【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖與頻率分布表,易得兩個(gè)外賣平臺(tái)中月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量,即可完善列聯(lián)表.通過計(jì)算的觀測值,即可結(jié)合臨界值作出判斷.(2)①先根據(jù)所給數(shù)據(jù)求得樣本平均值,根據(jù)所給今年3月訂單數(shù)區(qū)間,并由及求得,.結(jié)合正態(tài)分布曲線性質(zhì)可求得,再由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望求法求解.②訂單數(shù)低于7萬件的城市有和兩組,根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可確定各組抽取樣本數(shù).分別計(jì)算出開展?fàn)I銷活動(dòng)與不開展?fàn)I銷活動(dòng)的利潤,比較即可得解.【詳解】(1)對于外賣甲:月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量為,對于外賣乙:月訂單不低于13萬件的城市數(shù)量為.由以上數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表如下圖,業(yè)績突出城市業(yè)績不突出城市總計(jì)外賣甲4060100外賣乙5248100總計(jì)92108200且的觀測值為,∴有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺(tái)”有關(guān).(2)①樣本平均數(shù),故==,,的數(shù)學(xué)期望,②由分層抽樣知,則100個(gè)城市中每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有(個(gè)),每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有(個(gè)),若不開展?fàn)I銷活動(dòng),則一個(gè)月的利潤為(萬元),若開展?fàn)I銷活動(dòng),則一個(gè)月的利潤為(萬元),這100個(gè)城市中開展?fàn)I銷活動(dòng)比不開展每月多盈利100萬元.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖與頻率分布表的應(yīng)用,完善列聯(lián)表并計(jì)算的觀測值作出判斷,分層抽樣的簡單應(yīng)用,綜合性強(qiáng),屬于中檔題.19、(1);(2)存在,當(dāng)時(shí),以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.【解析】
(1)設(shè)橢圓的焦半距為,利用離心率為,橢圓的長軸長為1.列出方程組求解,推出,即可得到橢圓的方程.(2)存在實(shí)數(shù)使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)點(diǎn),,,,將直線的方程代入,化簡,利用韋達(dá)定理,結(jié)合向量的數(shù)量積為0,轉(zhuǎn)化為:.求解即可.【詳解】解:(1)設(shè)橢圓的焦半距為c,則由題設(shè),得,解得,所以,故所求橢圓C的方程為(2)存在實(shí)數(shù)k使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.理由如下:設(shè)點(diǎn),,將直線的方程代入,并整理,得.(*)則,因?yàn)橐跃€段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,所以,即.又,于是,解得,經(jīng)檢驗(yàn)知:此時(shí)(*)式的,符合題意.所以當(dāng)時(shí),以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法,橢圓的簡單性質(zhì),直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于中檔題.20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)要證明平面,只需證明,即可:(2)取中點(diǎn),連,以為原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出與平面的法向量,再利用計(jì)算即可.【詳解】(1)∵底面為菱形,∵直棱柱平面.∵平面..平面;(2)如圖,取中點(diǎn),連,以為原點(diǎn),分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系:,點(diǎn),設(shè)平面的法向量為,,有,令,得又,設(shè)直線與平面所成的角為,所以故直線與平面所成的角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明以及向量法求線面角的正弦值,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,本題解題關(guān)鍵是正確寫出點(diǎn)的坐標(biāo).21、;4;12.【解析】
由題意可知,,求導(dǎo)函數(shù),方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解,求出實(shí)
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